1. Zápočtová písemka (MB101 Matematika I)
19.10.2011 skupina 04
1. ÚLOHA
Kolik trojciferných čísel lze zapsat z cifer 2,4,6,8, mohou-li se cifry opakovat?
Řešení
Záleží na pořadí cifer, mohou se opakovat, tedy použijeme variace s opakováním. Hledáme trojciferná
čísla tj., k = 3 a máme k dispozici čtyři cifry tj., n = 4.
V (3, 4) = 43
= 64
2. ÚLOHA
V bedně je 30 žárovek, z nichž jsou 3 vadné. S jakou pravděpodobností bude mezi 5 náhodně
vybranými žárovkami nejvýše jedna vadná?
Řešení
Nejvýše jedna vadná znamená, že buď nebude vadná žádná nebo bude vadná jedna. Počet všech
možností, jak vybrat 5 žárovek z 30 možných je 30
5 . Z 27 dobrých žárovek vybereme 5 dobrých
27
5 způsoby. Dále 4 dobré žárovky z 27 dobrých a jednu vadnou ze tří vadných žárovek vybereme
27
4
3
1 . Pravěpodobnost je tedy
P =
27
5 + 27
4
3
1
30
5
=
190
203
.
3. ÚLOHA
Na stole jsou 2 mísy s koláči. V první míse je 12 tvarohových koláčů a 8 ořechových koláčů. V druhé
míse je 13 tvarohových a 12 ořechových koláčů. Náhodně ochutnám jeden koláč. Jaká je pravděpodobnost,
že mnou ochutnávaný koláč bude ořechový?
Řešení
Jedná se o úlohu na cekovou pravděpodobnost. Označíme si P(O) pravděpodobnost výběru ořechového
koláče, dále M1 ozn. jev výběru ořechového koláče z první mísy a M2 jev výběru ořechového
koláče z druhé mísy. Tedy P(M1) = P(M2) = 1
2 , P(O, M1) = 8
20 , P(O, M2) = 12
25 . Pravděpodobnost
výběru ořechového koláče je tedy
P(O) = P(O, M1)P(M1) + P(O, M2)P(M2) =
11
25
4. ÚLOHA
Úsečka AB je dána body A = [2, 6] a B = [−2, 6]. Otočte úsečku AB o úhel π
4 v záporném smyslu
kolem bodu [1,1].
Řešení
Rotace kolem bodu P = O + w různého od počátku O napíšeme jako (viz. skripta)
x
y
= Rϕ · (v − w) + w =
cos ϕ(x − x(w)) − sin ϕ(y − y(w)) + x(w)
sin ϕ(x − x(w)) + cos ϕ(y − y(w)) + y(w)
.
Rotujeme o úhel ϕ = −π
4 okolo bodu [1, 1]. Dosadíme do matice, tedy
A =
cos(−π
4 )(2 − 1) − sin(−π
4 )(6 − 1) + 1
sin(−π
4 )(2 − 1) + cos(−π
4 )(6 − 1) + 1
A=[2,6]
=
√
2
2 + 5
√
2
2 + 1
−
√
2
2 + 5
√
2
2 + 1
=
3
√
2 + 1
2
√
2 + 1
B =
cos(−π
4 )(−2 − 1) − sin(−π
4 )(6 − 1) + 1
sin(−π
4 )(−2 − 1) + cos(−π
4 )(6 − 1) + 1
B=[−2,6]
=
−3
√
2
2 + 5
√
2
2 + 1
3
√
2
2 + 5
√
2
2 + 1
=
√
2 + 1
4
√
2 + 1