3. Zápočtová písemka (MB101 Matematika I) 30.11.2011 skupina 04
1. ÚLOHA
Zjistěte, zda je množina V vektorovým prostorem na R, je-li V — {(x, y), x > 0} se standardními operacemi sčítání vektorů, tj. (x, y) + (x, y) — (x + x, y + y) a násobení vektoru skalárem, tj. k(x,y) = (kx,ky).
2. ÚLOHA
Najděte nějakou bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M — {2x — l,x3 + x + l,x2 + x, 2x2 + 1, x3 + 3x2 + 2x + 2} ve vektorovém prostoru V — R^[x] všech polynomů v proměnné x nad polem M stupně nejvýše 3.
3. ÚLOHA
Určete jádro a obraz lineárního zobrazení / : R4 —> R4, /(xi, X2, X3, X4) — (x\ + 2x2 + 3aľ3 + 4aľ4, 4xi + 3aľ2 + 2x3 + x4i xi ~ 2x2 + 3x3 — X4, x\ + X2 + X3 + X4). Najděte nějakou bázi Ker(f) a Im(f).
4. ÚLOHA
Buďte dány báze M = {(1,2, 0), (2,1,1), (1, 0,1)} a N = {(2, 2,1), (1,2,1), (0, 0, 2)} prostoru M3. Určete matice přechodu od báze N k bázi M a od báze M k bázi N.
3. Zápočtová písemka (MB101 Matematika I) 30.11.2011 skupina 04
1. ÚLOHA
Zjistěte, zda je množina V vektorovým prostorem na M, je-li V — {{x,y),x > 0} se standardními operacemi sčítání vektorů, tj. (x,y) + (x,y) — (x + x,y + y) a násobení vektoru skalárem, tj. k(x,y) = (kx,ky).
2. ÚLOHA
Najděte nějakou bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M — {2x — l,x3 + x+ l,x2 + x, 2x2 + 1, x3 + 3x2 + 2x + 2} ve vektorovém prostoru V — R^[x] všech polynomů v proměnné x nad polem M stupně nejvýše 3.
3. ÚLOHA
Určete jádro a obraz lineárního zobrazení / : M4 —> M4, f(x\, X2, X3, x4) — (x\ + 2x2 + 3x3 + 4x4, 4xi + 3x2 + 2x3 + X4, xi — 2x2 + 3x3 — X4, x\ + X2 + X3 + X4). Najděte nějakou bázi Ker(f) a Im(f).
4. ÚLOHA
Buďte dány báze M = {(1,2, 0), (2,1,1), (1, 0,1)} a N = {(2, 2,1), (1,2,1), (0, 0, 2)} prostoru M3. Určete matice přechodu od báze N k bázi M a od báze M k bázi N.