4. Úkol - Relace a zobrazení
1. ÚLOHA
Nalezněte obrazy množin A = 1, 2, 3, B = (−1, 1), C = −5 ∪ (0, ∞) při zobrazeních
(a) f : R → R, f(x) = x2
(b) f : R \ {−1} → R, f(x) = 1
x+1
2. ÚLOHA
Nechť je f : R \ {−2} → R dána předpisem f(x) = x2
x+2 a g : R \ {0} → R \ {−2} dána předpisem
g(x) = 1
x − 2. Jak bude vypadat složené zobrazení f ◦ g?
3. ÚLOHA
Nalezněte inverzní zobrazení f−1
a ověřte správnost zpětným složením.
(a) f : [0, 1] → [1, 3], f(x) = 2x + 1
(b) f : R → R, f(x) = x3
+ 1
(c) f : R → R+
0 , f(x) = 10x−2
4. ÚLOHA
Rozhodněte, zda jsou následující zobrazení injektivní, surjektivní, případně bijektivní.
(a) f : R → R, f(x) = x3
(b) f : R → [−1, 1], f(x) = sin(x)
(c) f : [0, 2] → [0, 3]
f(x) =
x 0 ≤ x ≤ 1
x + 1 1 < x ≤ 2
5. ÚLOHA
Rozhodněte a dokažte, zda jsou následující relace na množině reálných čísel R reflexivní, symetrické,
tranzitivní či antisymetrické.
(a) a ∼ b ⇔ a ≤ b2
(b) a ∼ b ⇔ a · b ≤ 1.
6. ÚLOHA
Rozhodněte a dokažte, zda jsou následující relace na množině přirozených čísel N reflexivní, symetrické,
tranzitivní či antisymetrické.
(a) n ∼ m ⇔ n + m je sudé
(b) n ∼ m ⇔ m > n.
7. ÚLOHA
Na R definujeme relaci R předpisem
(x, y) ∈ R ⇔ (∃c ≥ 1 ∧ c · x = y).
Dokažte, že R je uspořádání na R.
1