Opravná zápočtová písemka (MB101 Matematika I)
4.1.2012 skupina 04
1. ÚLOHA
Stroj vyřezává součástky obdélníkového tvaru. Při proměření 200 součástek bylo zjištěno:
• jen délka je mimo toleranci u 10 součástek;
• jen šířka je mimo toleranci u 15 součástek;
• jsou mimo toleranci oba rozměry u 43 součástek.
Jsou náhodné jevy A-překročení tolerance v délce a B-překročení tolerance v šířce závislé či nezá-
vislé?
2. ÚLOHA
Pomocí Cramerova pravidla najděte řešení soustavy
x1 + 2x2 + 3x3 = 10
3x1 + 4x2 + 5x3 = 11
5x1 + 6x2 + 8x3 = 12.
3. ÚLOHA
Nechť L je lineární prostor polynomů nejvýše třetího stupně. Nechť jsou B = {x + 1, x − 1, (x +
1)2
, (x + 1)3
} a B0 = {1, x, x2
, x3
} uspořádané báze tohoto prostoru.
(a) Najděte matici přechodu od báze B0 k B a matici přechodu od báze B k B0.
(b) Najděte souřadnice polynomu p ∈ L, kde p(x) = 2x3
+x2
−3x, vzhledem k bázi B0 a vzhledem
k bázi B.
4. ÚLOHA
Nalezněte jádro, dimenzi jádra, obraz a dimenzi obrazu lineárního zobrazení A : R4
→ R3
, které je
dáno předpisem A(x1, x2, x3, x4) = (x1 +2x2 +2x3 +3x4, x1 +2x2 +4x3 +7x4, 2x1 +4x2 +3x3 +4x4).
5. ÚLOHA
Nalezněte vlastní hodnoty a vlastní vektory matice A =




2 4 −3
−1 10 −6
−1 8 −4



 a rozhodněte, zda-li je
tato matice diagonalizovatelná.
6. ÚLOHA
Městská oblast má 400 tisíc obyvatel, přičemž se dělí na dvě části, centrum a předměstí. Analyzujte
změny (z dlouhodobého hlediska) v populaci obývající centrum a předměstí, jestliže se každý rok
přestěhuje 15% populace z centra do předměstí a 5% populace z předměstí do centra.