Vektorové prostory a lineární zobrazení
1. ÚLOHA
Ověřte, zda množina R+ je vektorovým prostorem, definujeme-li sčítání a násobení reálným
číslem
(a) standardně
(b) u
⊕
v = u · v ∀u, v ∈ R+
λ
⊙
u = uλ ∀u ∈ R+, ∀λ ∈ R
2. ÚLOHA
Zjistěte, zda jsou vektory (1, 0, 1, 1), (0, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 0), (1, 1, 0, 2) lineárně závislé či lineárně
nezávislé.
3. ÚLOHA
Zjistěte, zda je množina U = {(x1, x2, x3) ∈ R3; |x1| = |x2| = |x3|} podprostorem vektorového
prostoru R3.
4. ÚLOHA
Určete bázi a dimenzi podprostoru L ⊆ R3, jestliže L = ⟨(1, 2, 3), (0, 1, 1), (−1, −1, 1), (0, 2, 1)⟩.
5. ÚLOHA
Zjistěte, zda jsou prvky x2 + 2x + 3, x + 1, x − 1 vektorového prostoru všech polynomů
lineárně závislé či lineárně nezávislé.
6. ÚLOHA
Najděte bázi vektorového prostoru V ⊆ R4 tvořeného vektory x1 = (1, 2, 0, 1), x2 =
(−2, 1, 1, 0), x3 = (−1, 8, 2, 4), x4 = (1, 12, 2, 5), jejímž jedním vektorem je y = (3, 11, 1, 5).
7. ÚLOHA
Zapište vektor ¯x = (1, 2, 3) v souřadnicích báze
(a) kanonické báze
(b) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 0), (0, −1, 1)}.
8. ÚLOHA
Uvažujme vektorový prostor R2 s bázemi BM = {(1, 2), (1, 1)} a BN = {(−1, 1), (2, 0)}.
(a) Určete matici přechodu od báze BM k bázi BN .
(b) Vyjádřete vektor ¯xBM
= (−3, 2)BM
v bázi BN .
9. ÚLOHA
Matice
A =




1 2 0 1
2 −1 2 −1
1 −3 2 −2




1
definuje lineární zobrazení ψ : R4 → R3. Určete bázi a dimenzi Ker(ψ), Im(ψ) a R(ψ).
10. ÚLOHA
Je zobrazení f, které je dáno předpisem f(ax2 + bx + c) = abx + c, lineární?
11. ÚLOHA
Mějme dáno zobrazení Φ předpisem Φ(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, x2 − x3, x1 + 2x3). Zjistěte,
zda je toto zobrazení lineární, v případě, že ano, nalezněte jeho jádro a obraz. Dále určete
dimenzi těchto podprostorů.
2