Příklady k zápočtu (MB101 Matematika I, skupina 04)
1. ÚLOHA
Ukažte, že množina A = {a = (a1, a2); a1, a2 ∈ (0, ∞)} s operacemi a + b = (a1b1, a2b2) a xa =
(ax
1, ax
2), kde x ∈ R, tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly.
2. ÚLOHA
Určete, zda je množina M = {(x, y, z) ∈ C3
; x + y + z = 1} vektorovým podprostorem vektorového
prostoru C3
.
3. ÚLOHA
Jsou vektory v1 = (4, −5, 2, 6), v2 = (2, −2, 1, 3), v3 = (6, −3, −3, 9), v4 = (4, −1, 5, 6) z R4
lineárně
závislé? Pokud ano, najděte lineární kombinaci, která netriviálně dává 0 (nulový vektor).
4. ÚLOHA
Určete, jaká je dimenze lineárního obalu funkcí f, g, h (uvažovaných na netriviálním intervalu):
f(x) = asin(x) − 4cos(x) − sin(2x)
g(x) = 4sin(x) − 6cos(x) − 3sin(2x)
h(x) = sin(x) + cos(x) − asin(2x)
v závislosti na reálném parametru a.
5. ÚLOHA
Nechť A : R3
→ R2
je lineární zobrazení definované předpisem A(α1, α2, α3) = (α1 − α3, α2 − α1),
kde x = (α1, α2, α3). Nalezněte jádro, dimenzi jádra, obraz a dimenzi obrazu tohoto zobrazení.
6. ÚLOHA
Určete souřadnice vektoru v = (2, 5, 6) vzhledem k bázi B = {u1, u2, u3} = {(1, 2, 1), (1, 1, −3), (−7, 4, −1)}
a zapište vektor v jako příslušnou lineární kombinaci.
7. ÚLOHA
Ve vektorovém prostoru R3
jsou dány dvě množiny vektorů S a N.
S =







1
0
1



 ,




0
1
0



 ,




1
1
0







= {si}
N =







2
1
1



 ,




−1
1
−1



 ,




−1
0
0







= {ni}
Dále buď T lineární zobrazení T : R3
→ R3
definované takto:
Tx = T




x1
x2
x3



 =




x1 + x2
2x2
x1 − x3




(a) Ověřte, že množiny S i N tvoří bázi vektorového prostoru R3
.
(b) Určete souřadnice vektorů ni vůči bázi S. Určete souřadnice vektorů si vůči bázi N.
(c) Najděte matici lineárního zobrazení T vůči bázi S a vůči bázi N.