Příklad 1: Odběratel přijme 50 kusovou dodávku, jestliže mezi 10 namátkou vybranými kusy není žádný vadný. Jaká je pravděpodobnost, že dodávka bude přijata, obsahuje-li a) 5, b) 10 vadných kusů?
Příklad 2: Na vysoké škole propadá v 1. ročníku 15% studentů z matematiky, 10% z fyziky a 5% z obou předmětů. Jsou propadání z matematiky a z fyziky nezávislé?
Příklad 3: Máme dvě mísy. Na první míse je 12 tvarohových a 8 ořechových koláčů, na druhé je 13 tvarohových a 12 ořechových koláčů. Hostitelka náhodně vezme jednu mísu, postaví ji před vás a vybídne vás, abyste ochutnali. Pohledem nepoznáte, jakou náplň má který koláč. Určete pravděpodobnost, že první koláč, který ochutnáte, bude ořechový.
Příklad 4: Tyč délky 10m je náhodně rozlomena na 2 části. Jaká je pravděpodobnost, že menší část bude delší než 4m?
Příklad 5: Provádíme snímkováním rentgenem. U nemocných objeví tuberkulózu v 90 ze 100 případů. U zdravých dává v 1 ze 100 nesprávný výsledek. Tuberkulóza se vyskytuje u 5 osob z 10000. Náhodně vybraná osoba má podle rentgenu tuberkulózu. Určete pravděpodobnost, že ji opravdu má. (Nápověda: Jako jev A\ si označte nemocné lidi, A^ zdravé lidi a jako jev B, že rentgen říká, že je osoba nemocná.)
Příklad 6: Urna obsahuje 4 lístky s čísly 000, 110, 101, 011. Máme jevy Ai - na i-tém místě náhodně vybraného lístku je nula. Jsou tyto jevy nezávislé? Příklad 7. Po bouřce se zjistilo, že nefunguje elektrické vedení mezi 40. až 70. km. Určete pravděpodobnost, že chyba nastala mezi 50. a 55. km. Příklad 8: Studenti u zkoušky losují 3 z 20 otázek. Jaká je pravděpodobnost, že dva studenti a) si vytáhnou tytéž 3 otázky, b) nedostanou ani jednu stejnou? Příklad 9: Náhodné jevy A,B,C jsou nezávislé a mají stejnou pravděpodobnost rovnou 0,1. Určete P (A U B U C).
Příklad 10: Určete pravděpodobnost, že turisté dojdou z místa X do Y, když si na každé křižovatce náhodně zvolí cestu (zpátky se nevrací, ve slepé uličce končí).
Y
Příklad 11: Z intervalu < 0,1 > byla náhodně vybrána 2 čísla x a y. Nechť jev A značí, že y < x a jev B, že x < 0,5. Určete pravděpodobnost jevů: A, B, A n B, A U B.
Příklad 12: Smith a Jones hrají poker. Pravděpodobnost, že Jones má lepší karty než Smith je 0,05. Když je má lepší, tak zvýší sázku s pravděpodobností 0,9, když slabší, tak s pravděpodobností 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že Jones má vyhrávající karty, když zvýší sázku? (Nápověda: Jako jev Ai si označte, že má horší karty, A^ lepší karty a jako jev B, že zvýší sázku.) Příklad 13: Kolika způsoby si mohou Adam, Bára a Cyril rozdělit 8 jablek? Jak by se situace změnila, pokud víme, že je Adam nejsilnější, a proto dostane alespoň 7 jablek? A jak, pokud víme, že každé dítě dostane alespoň dvě jablka?
1
Příklad 14: Máme férovou dvacetistennou kostku očíslovanou od 1 do 20. Jev
A značí, že na kostce padlo sudé číslo. Jev B značí, že na kostce padlo číslo dělitelné 5. Určete P(AOB), P(AUB), P(A\B) a rozhodněte o nezávislosti jevů A,B.
Příklad 15: Vlaky A a B jezdí na nádraží. Každý přijede nezávisle na druhém vlaku v náhodný čas mezi 12:00 a 13:00. Odbavení vlaku trvá 10 minut. Určete pravděpodobnost, že jeden z nich bude muset čekat, než bude odbaven druhý. Příklad 16: Máme dva košíky s třešněmi. V prvním je 10 zdravých třešní a 3 červivé. Ve druhém koši je 9 zdravých a 1 červivá. Z prvního košíku vezmeme náhodně jednu třešeň a hodíme ji do druhého koše. Z druhého koše poté náhodně vybereme jednu třešeň. Jaká je pravděpodobnost, že je červivá? Příklad 17: Házíme n-krát po sobě kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že a) padne alespoň jedna šestka, b) právě dvě šestky, c) fc-krát šestka? Příklad 18: Ze série 100 kusů výrobků jsme náhodně vybrali 5 kusů. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi není žádný zmetek, je-li zmetkovitost 4%? Příklad 19: V urně je 8+8+8 kuliček tří barev. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytáhnutá kulička bude mít stejnou barvu jako ta první, pokud jsme první po vytáhnutí vrátili do urny?
Příklad 20: Ve třídě je 32 žáků, z nichž 10 není připraveno. V hodině budou zkoušeni 3 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že a) nejvýše dva z nich budou připraveni? b) alespoň dva z nich budou připraveni?
Příklad 21: V urně je 10 koulí - bílé a černé. Urna byla naplněna tak, že se lOx házelo mincí - padl-li rub, vložila se do urny bílá koule, padl-li líc, vložila se černá. Z takto naplněné urny vytáhneme jednu kouli. Vytáhneme-li si bílou kouli, jaká je pravděpodobnost, že urna obsahovala právě 4 bílé koule? Příklad 22: Testujeme skrytou nemoc. U skrytě nemocných osob je test pozitivní sP= 0, 999, u zdravé osoby je test pozitivní s P — 0, 01. Nemoc je u 10% populace. Jaká je pravděpodobnost, že a) osoba s pozitivním testem je opravdu nemocná? b) osoba s negativním testem je opravdu zdravá? c) Jak se výsledky změní, je-li nemocné pouze 1% populace?
Příklad 23: Čtyři přátelé šli do baru a každý si na věšák pověsil kabát. Když odchází, náhodně si vyberou kabát. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich odejde s vlastním kabátem?
Příklad 24: V ruletě je celkem 37 čísel, z toho 18 čísel je černých, 18 červených a jedno číslo je zelené. Určete pravděpodobnost, že v 10 opakováních sázky a) padne černá právě třikrát, b) padne černá alespoň třikrát, c) nepadne černá ani jednou.
Příklad 25: Při karetní hře "Prší" se rozdávají 4 karty z balíčku 32 karet (4 barvy, každá barva má 8 karet s hodnotami 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A). Jaká je pravděpodobnost, že dostaneme do ruky a) 4 karty s různou hodnotou? b) 4 karty stejné barvy? c) 2 esa a 2 krále?
2