Příklad 1: Najděte ortogonální doplněk k množině
W = span((l,-1,1, 0,0), (1,0,1,0,1), (1,1, 0,-1,1)).
[span((l, 0,-1,1,0), (0,-1,-1,0,1))]
Příklad 2: Ve vektorovém prostoru matic Mat2X2 mějme podprostor W generovaný maticemi
;)-<*=(-°i "oV=G !)■<*=(; !)■"■=G o
Určete bázi a dimenzi vektorového podprostoru W a určete bázi ortogonálního doplňku podprostoru W, tj. podprostoru W^.
[VK = span^í/i,í/2,í/3), dimVK = 3, VK1- = span^~| j^)]
Příklad 3: Určete nejlepší lineární aproximaci (regresní přímku) zadaných bodů
[0,1], [1,4], [2, 2], [3, 2].
Pozn.: K řešení se podívejte na příklady 127-129 z přednášky (str. 113-115), ať víte, jak si sestavit matici A a vektor b pro řešení metodou nejmenších čtverců.
[y = 2/5x + 7/5]
Příklad 4: Mějme vektorový podprostor V generovaný vektory — (2, 0,-1), u2 — (—1,1,1), — (1,1,1). Pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu určete ortogonální bázi podprostoru V.
[((TI'0' 75^' (-730' ^fe' ~7m>> (-TÉ' 7e'
Příklad 5: Mějme vektorový podprostor V generovaný vektory u\ — (1,2,2,—1), u2 — (1,1, —5, 3), W3 — (—1, 3, 3,1). Pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu určete ortogonální bázi podprostoru V.
[((1,2, 2,-1), (2, 3,-3, 2), (-2,1,1, 2))]
Příklad 6: Ve vektorovém prostoru matic Mat2X2 mějme podprostor W generovaný maticemi
1 i)'U2-[l 0) 't/3_ ( Z 0
Pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu určete ortogonální bázi
(—2 3
(3 — (Ví, V2, V3) podprostoru W. Poté určete souřadnice matice X -vzhledem k této vypočtené ortogonální bázi (3.
[Ví — ^ j   |^ , V2 — ^     |^ ' ^3 — ^ 1     ^3^ ' souřadnice matice X v této
ortogonální bázi jsou (1, 3,1)]
1
Příklad 7: Ve vektorovém prostoru matic Mat2X2 mějme podprostor W generovaný maticemi
i i)>U2-[l o)>U3-[o 1
Pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu určete ortogonální bázi (3 — (Vi, V2, V3) podprostoru W. Poté určete souřadnice matice X — [ ^ ^ I vzhledem k této vypočtené ortogonální bázi (3.
[Ví — ^|   |^ , V2 — ^     |^ ' ^3 — ' souradnice matice X v této
ortogonální bázi jsou (3,1, —2)] Příklad 8: Uvažujme podprostor W C R4 a vektor x ^ kde
W = span((l,0,0, 1), (0,1,1,0)), x =(1,2,-1,2).
Určete vzdálenost a odchylku vektoru x od podprostoru W.
[ vzdálenost — 5, odchylka ip — 45°] Příklad 9: Uvažujme podprostor W C i?4 a vektor x ^ kde
= span(^(5,1,3,3), (3, -1, -3,5)), x = (4,2, -5,3).
Najděte kolmý průmět vektoru x do podprostoru W.
[(5/2,-1,-3,9/2)] Příklad 10: Uvažujme podprostor W C i?4 a vektor x ^ kde
= span(^(5,1,3, 3), (3, -1, -3,5), (3, -1,5, -3)), x = (4,2, -5, 3).
Najděte kolmý průmět vektoru x do podprostoru W.
[(2,0,-3,5)]
Příklad 11: Určete vzdálenost bodu A — (4,1, —4, —5) od roviny P : (3, —2,1, 5)-í(2,3,-2,-2) + a(4,l,3,2).
Nápověda: Stejný postup jako u příkladů, kde se hledá vzdálenost vektoru od podprostoru. Vektor tady získáme jako x — A—B, B — (3, —2,1, 5) a podprostor je rovina, která je generovaná dvěma vektory, které máme zadané.
[ vzdálenost — 5]
2