Skupina D
1.samostatná písemná práce z MB101. Na řešení máte 40 minut. Na každý papír se prosím čitelně podepište a napište svou skupinu. Pracujte pozorně. Pokud něčemu v zadání nerozumíte, zeptejte se. Přeji Vám hodně štěstí!!!
Příklad č. 1: Ve třídě je 12 žáků - 7 chlapců a 5 dívek. Do pěveckého sboru z nich bude vybráno 6 žáků. Požaduje se však aby byly vybrány aspoň 3 dívky. Kolika způsoby mohou být žáci vybráni?
Řešení. Pozor, v zadání je aspoň 3 dívky, tzn. právě 3+ právě 4 + právě 5 dívek. Tedy počítáme pomocí kombinací takto:
= 462
Žáci mohou být vybráni 462 způsoby.
Příklad č. 2: Z karetní hry o 32 kartách vybereme náhodně bez vracení 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň dvě z nich jsou eso? (Předpokládejme, že v balíčku jsou 4 esa.)
Řešení. Nejjednodušší je počítat pomocí doplňku. Od jedničky odečteme pravděpodobnost opačného jevu, tedy že nebude vytaženo žádné eso + bude vytaženo právě 1 eso. Počítáme pomocí kombinací:
Pst., že aspoň dvě ze čtyř karet budou eso, je tedy 0.0662.
Přiklad č. 3: Pojišťovací společnost rozlišuje při pojišťování tři skupiny řidičů: A, B a C. Pravděpodobnost toho, že řidič patřící do skupiny A bude mít během roku nehodu, je 0,02, zatímco u řidiče skupiny B je to 0,07 a u řidiče skupiny C 0,11. Podle dlouhodobých záznamů společnosti je 60% pojistných smluv uzavřeno s řidiči skpiny A, 25% s řidiči skupiny B a 15% s řidiči skupiny C. Jestliže došlo k nehodě pojištěného řidiče, jaká je pravděpodobnost, že patří do skupiny B?
Řešení. Příklad vede na použití Bayesova vzorce. Ze zadání máme:
P(N\A) = 0.02, P(N\B) = 0.07, P(N\C) = 0,11, P(A) = 0,6, P(B) =
= 0.0662
1
0,25, P{C)
0,15, P{B\N) =? Můžeme tedy počítat:
P{B\N)
P{N\B)P{B)
P{N\B)P{B)
P{N) P{N\A)P{A) + P{N\B)P{B) + P{N\C)P{C)
= 0.38
Za podmínky, že došlo k nehodě, řidič patří do skupiny B s pstí 0.38.
Přiklad č. 4-' Na stole jsou 3 mísy s koláči. V první míse je 12 tvarohových koláčů a 8 ořechových koláčů. V druhé míse je 13 tvarohových a 12 ořechových koláčů a ve třetí míse 14 tvarohových a 7 ořechových. Nejprve si vyberu mísu, každá má stejnou pravděpodobnost výběru, a pak náhodně ochutnám jeden koláč. Jaká je pravděpodobnost, že mnou ochutnávaný koláč bude tvarohový?
Řešení. Jedná se o příklad na celkovou pst. Jako H\ až H3 si označíme jev, že vyberu koláč z mísy 1 až 3. Jako P(t) označíme pst, že ochutnám tvarohový koláč. Ale nejprve si vybírám mísu, teprve pak koláč z mísy. Ze zadání máme:
P(#i) = P(H2) = P(H3) = i, P{T\H{) = i§, P{T\H2) = g, P(T\H3) = if. Tedy
P(0) = P{0\H{)P{H{) + P{0\H2)P{H2) + P(0\H3)P(H3) = 0.5956
Pst, že ochutnávaný koláč bude tvarohový je 0.5956.
2