Skupina B
2.samostatná písemná práce z MB101. Na řešení máte 40 minut. Na každý papír se prosím čitelně podepište a napište svou skupinu. Pracujte pozorně. Pokud něčemu v zadání nerozumíte, zeptejte se. Přeji Vám hodně štěstí!!!
Příklad č. 1: Zjistěte pro které hodnoty parametrů a, b má soustava v M
1. právě 1 řešení (nepočítejte ho),
2. více než jedno řešení (napište tvar těchto řešení),
3. žádné řešení.
ax + y + z   = b x + y + z   = 1 x + y + bz   = a.
Řešení. Nejprve sestavíme matici soustavy, kterou následně upravíme na schodovitý tvar:
a	1	1	b
1	1	1	1
1	1	b	a
Nyní již rozhodujeme o počtu řešení na základě toho, jak bude vypadat poslední řádek:
1. Právě jedno řešení dostaneme, když v posledním řádku bude před lomítkem nenulový prvek, tedy odtud dostáváme, že b 7^ 1.
2. Nekonečně mnoho řešení bude soustava mít, když v posledním řádku budou samé nuly, tedy odtud dostáváme b = 1 a a = 1. Řešení pak má tvar z = p, y = t, x = 1 — p — t.
3. Soustava nebude mít žádné řešení, když na levé straně v posledním řádku budou nuly a na pravé straně nenulový prvek, tedy pak b = 1 a a ^ 1
1
Příklad č. 2: Z následujících vektorů libovolně vyberte podmnožinu s maximálním počtem lineárně nezávislých vektorů:
/1\  /3\  /1\  /1\ /l\
4 4 2 2 3 113      3 2
v) W W W w
Řešení. Každý z vektorů má 4 souřadnice a proto bude maximální množina lineárně nezávislých vektorů, utvořená z těchto vektorů, obsahovat nanejvýš 4 vektory. Na základě definice lineární nezávislosti řešíme následující soustavu:
3 1   1   1\ /l   3    1 1
4 2   2   3 0   1   -1 -1 1   3   3   2   ~ "' ~   0   0    1 1 3  4   2   1/            \0  0    0 1
Matici jsme upravili na schodovitý tvar a je vidět, že tyto vektory jsou lineárně závislé. Vybíráme z nich tedy ty vektory, které mají ve svém sloupci vedoucí prvek řádku matice. Tedy v našem případě 1.-4. vektor.
4 1 \4
1\
-i
2
1
2
3 2
Přiklad č. 3: Určete hodnost matice A a v případě, že existuje, nalezněte inverzní matici:
' 0    1 1N A = | -2   1 0 1    0 \,
Řešení. Nejprve ověříme hodnost tak, že matici upravíme na schodovitý tvar a zjistíme počet lineárně nezávislých řádků:
0
1
Odtud plyne, že hodnost matice je 3 a existuje tedy její inverzní matice. Tu vypočteme na základě úpravy následující blokové matice:
0
1
1 1 0
	0	0	1	-1
0	1	0	2	-1
0	0	1	-1	1
Na pravé straně za lomítkem máme hledanou inverzní matici.
Příklad č. 4-' Dvěma různými způsoby vypočtěte determinant matice B
B =
2
Řešení. Nejjednodušší je použít Sarrusovo pravidlo. Další možný způsob je pomocí ERO nebo Laplaceova rozvoje. Výsledek je 8.
3