Skupina A
3.samostatná písemná práce z MB101. Na řešení máte 40 minut. Na každý papír se prosím čitelně podepište a napište svou skupinu. Pracujte pozorně. Pokud něčemu v zadání nerozumíte, zeptejte se. Přeji Vám hodně štěstí!!!
Příklad č. 1: Určete dimenzi a najděte nějakou bázi podprostoru V = span ((1, 2, lf , (2, 0,1)T, (1, 0, 0)T, (2, 2, 3)T, (2,1,1)T, (1, 3, 0)T) C R3
Řešení. Bázi určíme tak, že vybereme lineárně nezávislé vektory z této množiny, tedy vektory naskládáme do matice a tu upravíme na schodovitý tvar:
1 2   1   2   2   1\ /l   2   1    2    2 1\
2 0 0 2 1 3 ] ~ ... ~ í 0 1 1 -1 1 1 ] 110310/ \0  0  2   -6   1 5/
Odtud je vidět, že bázi můžeme vytvořit například z prvních tří vektorů. Dimenze udává počet vektorů v bázi, tedy dimV = 3.
Příklad č. 2: Určete bázi a dimenzi součtu a průniku podprostoru S a T.
S = span ((1,-1,0)^,(1, 2, 0)T> T = span ((2,1,1)T, (0, 2, 3)T>
Řešení. Bázi množiny S + T zjistíme tak, že vybereme lineárně nezávislé vektory z obou podprostoru, tedy
1    1   2   0\      /l   1   2 0\ -1   2   1   2 ] ~ í 0   3   3   2 ] 0    0   13/      \0   0   1 3/
Vidíme, že S + T = ((1, -1, 0)T, (1, 2, 0)T, (2,1,1)T>. Platí dimS + T = 3.
Víme, že platí: když x G S* H T, pak x = ai(l, — 1,0)T + 02(1, 2, 0)T a zároveň x = &i(2,1,1)T + 62(0, 2, 3)T. Odtud platí
ai(l, -1, 0)T + a2(l, 2, 0)T - b1(2,1,1)T - 62(0, 2, 3)T = 0.
1
Řešíme tuto soustavu, můžeme vzužít již upravený schodovitý tvar předchozí matice. Odtud dostáváme, že 62 = ~P a b± = 3p, kde p G M je parametr. Neznáme a± a 02 již nemusíme počítat. Dosadíme do x a dostáváme
x   =   61(2,l,l)T + 62(0,2,3)T = 3p(2,l,l)T-p(0,2,3)T
=  p [(6, 3, 3)T - (0, 2, 3)T] = p[(6,1, 0)T] = span ((6,1, 0)T>
Platí dimS n T = 1
Příklad č. 3: Zjistěte, zda je zobrazení / : M3 —> M2 lineární: f((x,y,z)) = (2x - z,y + z). Jestliže ano, pak určete Kerf a Imf. Řešení. Nejprve ověříme platnost linearity. Tedy
1.
f((x, y, z) + (k, l, m)) = f((x + k,y + l,z + m)) =
{2x + 2k — z — m,y + l + z + m)   = {2x — z,y + z) + (2k — m,l + m) = f((x,y,z))+f((k,l,m))
2.
af((x, y, z)) = a(2x — z,y + z) = (2ax — az, ay + a z) = f((ax, ay, a z))
Linearita je tedy splněna. Nyní najdeme jádro Kerf. Víme, že podle definice musí platit
(2x-z,y + z) = (0,0)
A odtut dostáváme 2x — z = 0 a zároveň y + z = 0. Řešením této soustavy dostáváme z = t, y = — íax = |, kde t £ M je parametr. A tedy platí
Kerf = (í -t, tf = í(i -1,1)T = span ^(i -1,1)T^
Obraz Imf nalezneme tak, že se podíváme, kam se zobrazují vektory báze R3. Tedy
/((1,0,0)) = (2,0) /((0,1,0)) = (0,1) /((0, 0,1)) = (-1,1)
A odtud dostáváme
Imf = span ((2, 0)T, (0,1)T, (-1,1)T> = ((2, 0)T, (0,1)T> = M2
2
Příklad č. 4: Najděte matici přechodu od báze a k bázi [3. Pomocí této matice určete souřadnice vektoru (w)a = (1,1,1) v bázi [3.
a = [(3,1,-5), (1,1, -3), (-1,0,2)]
(3 = [(2,1,1), (2,-1,1), (1,2,1)]
Řešení. Potřebujeme vyjádřit každý vektor z báze a jako lineární kombinaci vektorů z báze [3. Označíme-li si vektory v bázi a jako u±, u2 a u% a vektory z báze /3 jako v±, v2 a «3, pak budeme řešit následující soustavy
«1 = a±vi + 61 «2 + C1V3 u2 = a2vi + b2v2 + c2«3 u3 = a^vx + 63u2 + C3U3
Matice přechodu má pak tvar
' a±   <22   0131 61   62 h Kci   c2 c3/
Dopočtením koeficientů dostáváme matici přechodu
35 19 _ 13 n
2 2 2
/„•,7\       _ I _19 _11 1
\lu)f3,a — \      2 2 2
-13    -7 5 S jejím využitím pak spočteme {w)p.
41     23       x T
(w)p = {iď)p,a{w)a = ( —,- — , -15
3