Sbírka případů do cvičení M 0 existuje N G N takové, že pro všechna n G N, n > N platí, že \an — L\ < e Definice 2. Řekneme, že posloupnost {an}^Lo diverguje k oo, jestliže pro každé K > 0 existuje N G N takové, že pro všechna n G N, n > N platí, že an > K. Definice 3. Řekneme, že posloupnost {an}^Lo diverguje k —oo, jestliže pro každé K < 0 existuje N G N takové, že pro všechna n G N, n > N platí, že an < K. 1 Příklad 1. Určete definiční obor funkcí: 1. f(x) = V3x - x3 5. f(x) = arcsin — 2. f(x) = ln (9 - x2) 6. f(x) = log2 log3 log4 x 3- /(*) = 7. /(x) = ^hTtg^ 4. /(x) = (x 4 |x|) • Vxsin2 nx 8. /(x) = arcsin log ^ Ví/s/edeA;. 1. (oo;-V3) U (>/3,0) 5. (-±,1) 2. (-3,3) 6. (4,oo) 3. M+\N 7. (4fc + l)f < x< (2fc + l)f 4. M+ U Z" 8. x G (1,10) 1 + 2! Příklad 2. Načrtněte grafy funkcí: 1. f(x) = 3 — x 9. = i + cos (f - x) 2. /(x) = -2x2 + 8x - 5 10. /(*) = 3- 2 sin (3x - f) 3. f(x) 2:r-4 1—x 11. /(*) = 1 + tg (2x - f) 4. /(x) = \J\ — X + 2 12. /(*) = 2 - cotg (f - x) 5. f(x) = logi(3 - - a:) 13. /(*) = h 4 2 arcsin (| — 2a* 6. /(x) = 1 + ln(: c2 - 4x + 4) 14. /(*) = 7T — | arccos(3x 4 1) 7. /(x) = 1 + 22- 15. /(*) = - 4 - | arctg(l — 2x) 8. f(x) = 2-Q) 22'-1 16. /(*) = 14 arccotg(2x 4 3) Příklad 3. Rozhodněte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché. Svá, tvrzení řádně zdůvodněte. !• /(*) = iiä 4- /(^) = lnM 2. /(x) = x — sin a; 5. f(x) = ^J- 3. /(x) = x2 - 3 cos |x| 6. /(x) = (|)N+1 • ^ Výsledek. 1. Ani sudá, ani lichá 2. Lichá 3. Sudá 4. Sudá 5. Lichá 6. Sudá Příklad 4. Pomocí Lagrangeovy interpolace proložte polynom body 1. [-1,-9], [1,-3], [2,3] 3. [-1,3], [0,-3], [1,3], [2,15] 2. [-1,10], [1,4], [4,25] 4. [-1,-3], [0,-8], [1,5], [2,6] Výsledek. 1. x2 + 3x-7 3. -x3 + 6:r2 + x-3 2. 2x2 - 3x + 5 4. -5x3 + 9x2 + 9x - 8 Příklad 5. Rozložte dané racionální lomené funkce na parciální zlomky: 1. í\x) _ 3:r2-6:r+2 :r3 — 2:r2+:r 2. f(x) _ 2x2-x+3 (x—l)-(x2 + 3. f(x) _ x2+x+l x2+x 4- ./V) _ 2x3+2x-l ~ 2x4-xs Výsledek. 1- /(*) 1 x—1 (x- 2. /(x) — x + x2+3 x 3. /(*) = l + i--X 4. /(x) _ 1 , 2 :r3 2:r — 21 + 1 5. /(x) 6. /(x) 7. /(x) 8. /(x) j3+3z2+a:+l x5+^4-2a3+6a2-3a+l :r3 —:r2+:r 3a3+3a2-l x-{x2 + l)-{2x+l) 2x°+xi-l •1+2x4 x-1 5. f[x) - 1 + x2+:E+1 T " 6. /(x) = x2 + 2x - 1 + i + 2x+l _ 1 x 8. f(x) = x + ^ri-± Příklad 6. Napište prvních 5 členů posloupnosti dané rekurentním vztahem a„+1 = an + (1 — n), ai = — 1 a zjistěte, zda je dané posloupnost monotónní a ohraničená. Dále se pokuste určit obecný vzorec této posloupnosti a dokažte ho matematickou indukcí. 3 Výsledek. —1,-1, —2, —4, —7; posloupnost je nerostoucí a shora ohraničená, an = —^(n2 3n + 4). Příklad 7. Pro £ = 0,1; 0,01; 0,001 určete JVéNz definice limity tak, aby pro všechna n G N, n > N, platilo, že |rrn| < e: 1. xr (-i) n+l 2n n3+l Příklad 8. Přímo z definice limity dokažte, že 22n+l 1. lim n—>00 qn oo \n 1 2. limn^00(-l) 32n 3. limn^oo ttí^ = — 1 3-n2 0 4. limr oo Příklad 9. Vypočtěte: 1. lim n-2 n—>oo n2^^ 2. lim^oo VrľTT - 02 3. limn^oo _1_ ín—>oo (—2)n+1+3"+1 n+1 4. nmr (-2)"+3" Výsledek. 1. 0 2. 0 3. 0 5. limr 6. limn^oo log n n 7. lim n3-3n2+6n-10 n^oo 2n3-3 5 i:™ 3n5+5n4+6n2-3 5. lim^oo 2-n3-8n5 5. 1 6. 0 7. i 4 i ^ 3 4 Cvičení 2: Limita a spojitost funkce Teorie: Podobně, jako jsme definovali limitu posloupnosti, definujeme limitu funkce: Definice 4 (Vlastní limita ve vlastním bodě). Řekneme, že má funkce / vlastní limitu L ve vlastním bodě xq, jestliže pro každé e > 0 existuje ô > 0 tak, že pro všechna x taková, že \x — x0\ < ô, x ý platí, že \ f{x) — L\ < e. Počítat limity budeme různými způsoby. Většinou bude nutné funkci nejprve nějakým způsobem upravit, či aplikovat tvrzení o součtu, rozdílu, součinu či podílu limit. Ve všech příkladech tohoto cvičení si poradíme bez užití ĽHospitalova pravidla. Pokud však chceme dokázat, že funkce v daném bodě limitu nemá, většinou si vystačíme s výpočtem obou jednostranných limit a v případě jejich nerovnosti dostaneme, že funkce v daném bodě limitu nemá. Definice 5. Řekneme, že funkce je spojitá v bodě, jestliže je v tomto bodě definována a má v tomto bodě limitu, která je rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Rozlišujeme odstranitelnou nespojitost a nekonečnou nespojitost. Odstranitelná nespo-jitost je taková, kde z nespojité funkce uděláme spojitou pouze dodefinováním spočetně mnoha funkčních hodnot. Příklad 10. Formulujte definici 1. vlastní limity v nevlastním bodě oo 2. vlastní limity v nevlastním bodě — oo 3. nevlastní limity oo ve vlastním bodě 4. nevlastní limity — oo ve vlastním bodě 5. nevlastní limity oo v nevlastním bodě oo 6. nevlastní limity oo v nevlastním bodě — oo 7. nevlastní limity — oo v nevlastním bodě oo 8. nevlastní limity —oo v nevlastním bodě —oo Příklad 11. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení. V případě nepravdivosti nalezněte protipříklad: 5 1. Funkce je spojitá v bodě právě tehdy, když má v tomto bodě limitu. 2. Je-li funkce spojitá v bodě, potom má v tomto bodě limitu. 3. Má-li funkce v daném bodě limitu, potom je v tomto bodě spojitá. 4. Má-li funkce v bodě obě jednostranné limity, potom má v tomto bodě i limitu. Příklad 12. Uveďte příklad funkce, 1. která je spojitá v každém reálném bodě 2. která není spojitá v žádném reálném bodě Příklad 13. Vypočtěte následující limity: 1. lirn^i a3—4x2+5x—2 x2—3x+2 O lirn (x+3)(x+4)(x+5) Z. mil^oo x*+x-ll 3. lirn^i kde m,neN 4. lim^od^)^ 5. lim^—s.oo 2 l-2x l-xÁ 3+2x2 6. linXj,- l-Vl-x 7. lim^oofx - y/x2 - 1) l. lim^ 9 x2 3x—3 Výsledek. 1. 0 2. 0 3. 4. 0. 2 9. lim^ 10. linXj, 11. lim ■12 9. 2 10. 1 Va2-i+Va2+i X^OD l 1+:E3 12. lim 13. lirn^o 14. lim^- 15. linXji- 16. lim^- 6. \ 7. 0 v^-i sin3:r tg x 0 ~3~ř~ y x+^fx+^/x /x+1 6 11. 4 15. 1 13. 3 16. 1 Příklad 14. Najděte body nespojitosti následujících funkcí a určete charakter těchto nespoj itostí. Výsledek. 1. x = — 1 je bod nekonečné nespojitosti 2. x = — 1 je bod odstranitelné nespojitosti 3. x = —2, a: = 1 jsou body nekonečné nespojitosti 4. x = 0, x = 1 body odstranitelné nespojitosti, x = —1 bod nekonečné nespojitosti Příklad 15. Uveďte příklad funkce, která má v bodech —1; 0; 1 odstranitelnou nespojitost, je na intervalu (—oo, —3) rostoucí a spojitá, na intervalu (3, oo) klesající a spojitá a má v bodech 2; —2 nekonečnou nespojitost. Příklad 16. Dokažte, že funkce f{x) = 1 + x2 ■ arcsinrr — ln (|x| + 1) protíná osu x. Příklad 17. Dokažte, že má polynom x4 — 5x3 + 2x2 + x + 7 reálný kořen. 2 /(*) l+x 1+x3 7 Cvičení 3: Derivace funkce U této kapitoly si moc teorie nepřipomeneme. Základem úspěchu v tomto cvičení je zapamatování si základních vztahů pro derivace elementárních funkcí. Na konci cvičení se dostaneme k tečnám ke grafům daných funkcí a k odchylce daných funkcí. Odchylkou dvou funkcí rozumíme odchylku tečen ve společném bodě. Tečna ke grafu funkce v daném bodě [xq, íjq] má rovnici y = yo + f'(xQ)(x — x$). Příklad 18. 1. Určete f (2), je-li f(x) = x2 ■ sin (x — 2). 2. Určete f'(l), je-li f(x) = x + (x — 1) • arcsin Výsledek. 1. 4 2. 1 + f Příklad 19. Dokažte, že ax cx d a b c d (cx + d)' Příklad 20. Najděte derivace následujících funkcí. 1. a: ~~ (1-:e)2(1+:e)3 10. = x ■ (sin ln x — cos In x 2. /(*) = 3/^2__2_ 11. /(*) _ Jn /1—sina: y l+sinai 3. /(*) = x\/l + X2 12. /(*) = arccos 4. /(*) = 2tg^ 13. /(*) = yfx — arctg yfx 5. /(*) = e-*2 14. /(*) = arctg Q 6. /(*) = \J x + y/x + 15. /(*) • í-z2 = arcsin 7-^-2 7. /(*) sin 21—2: cos x 16. /(*) (ln 3) sin 2!+cos x cos 21+2: sin a: 3X 8. /(*) — 1 1 1 ln xi 4(l+:r4) 1 4 l+ai4 17. /(*) = ex + eea: + e£e 9. /(*) = lntgf 18. /(*) = ln ln ln x 8 Výsledek. 1. l-x+4x2 {\-x)'A{l+x)A ^' 3?/x xJx 3. l+2a2 Vl+x1 5. -2xe-x2 6. 7. 1 + 2 v^iř+4 yfx yj x + *Jx 8\/x^x+^/x^Jx+^/x+^ (cos x+x sinai)-1 9. ^~ 10. 2 sin lni- 11. 12. 13. 14. 15. 16. i COS X 1 Vl+2x-x2 2(1+0') 1 l+x2 2 sgn a 1+ai2 l+ln23 3:t sim 17. ex[\ + ee' 1 + e1 18. i a; ln x In ln a: Příklad 21. Z rovnice tečny ke grafu funkce v daném bodě odvoďte rovnici normály ke grafu funkce v temže bodě. Příklad 22. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f{x) = e x cos2x v bodě T[0;?]. Výsledek, t : x + y — 1 = 0, n : x — í/+1=0 Příklad 23. Je dána funkce f (x) = x\nx a přímka p : 2x — 2y + 3 = 0. Určete rovnici normály rovnoběžné s přímkou p ke grafu funkce /. Výsledek, n : x — y — 3e~2 = 0 Příklad 24. Pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí f (x) = sin x a g (x) = cos x na intervalu (0; |}? Výsledek. arctg2^2 = 70°3ľ. Příklad 25. Určete všechny hodnoty reálneho parametru a tak, aby graf funkce / : y = 3 ax~x protínal osu x pod úhlem j. Výsledek. Pouze a = 4. Příklad 26. Určete všechny body, ve kterých je tečna ke grafu funkce f : y = 2 + x — x2 rovnoběžná 9 1. s osou x. 2. s osou prvního kvadrantu. Výsledek. !.[§;§] 2. [0; 2] 10 Cvičení 4: Neurčité výrazy a výpočet limit, Tayloruv polynom, diferenciál funkce Teorie: V tomto cvičení pro nás bude dulžité ĽHospitalovo pravidlo, které nám říká, že pokud máme limitu podílu dvou funkcí typu |j, nebo potom je tato limita rovna limitě podílu derivací těchto funkcí. ±00 ±00' L'Hospitalovo pravidlo můžeme využít i při výpočtech limit typu 0 • 00, 00 — 00, I00, o 0' 0° a oo°. Limitu funkcí těchto tvarů však musíme nejprve vhodně upravit na tvar jj, nebo Dále se budeme věnovat v tomto cvičení Taylorově polynomu. Taylorova věta nám říká, že pokud má funkce / všechny derivace až do řádu n v bodě a, potom můžeme psát f{x) = f (a) + ]T ^-P^ " aý + Rr, i=i Dále definujme diferenciál funkce v bodě x0 vztahem f'(x0)(x — x0). Příklad 27. Vypočtěte následující limity 1. lim^_i ^3^3 10. lim^rr^ 2. lim, .x H- lim^Ctgs)*2* 3. linwf^f 12' lim-o(cotgx)si^ 13. lima._x)+ {^n^T 14. hm^o {i ~ ~h) 15. lim^—^x (lnu x—l) *±. 11111,E_!,00 5. lim^—s.0 2 cosa2 6. lim^i ^ 2 tg a: 1 7. linXj,^!- lnrrln (1 — x) ^ ^mx^° ( x ) 8. lim^o+^lnx 17- lim^o 9. lim^o^ 18. lim^oí^)^ Výsledek. 1. -| 3. ^ 2. 0 4. 0 11 5. 1 2 12. 1 6. 1 3 13. 1 7. 0 14. 1 2 8. 0 15. 1 2 9. 1 16. i e 6 10. 1 e 17. i es 11. 1 18. i e 3 Příklad 28. Rozviňte polynom P(x) = x4 - 3x2 - 10:c + 11 do Taylorova polynomu se středem 2. Své tvrzení ověřte. Výsledek, P(x) = -5 + 10(x - 2) + 21 (x - 2)2 + 8(x - 2)3 + (a: - 2)4 Příklad 29. Rozviňte funkci f(x) = 2X do Taylorova polynomu čtvrtého stupně se středem 0. Výsledek. T = 1 + zlu2 + ^ + ^ + ^ Příklad 30. Určete přibližnou hodnotu ln 3 s přesností na 6 desetinných míst. Výsledek, 1,098615 Příklad 31. Určete lim^o s~jr- pomocí Taylorovy řady funkce ex se středem v 0. Příklad 32. Určete diferenciál funkcí 1. f(x) = xex 2. f(x) = 2-^ Výsledek, 1. ex{l+x) 2. 2-^ln2^ Příklad 33. Určete přibližnou hodnotu arctgl, 1 pomocí diferenciálu. Výsledek. 0,83539 12 Cvičení 5: Extrémy funkce, průběh funkce Teorie: V tomto cvičení nás čekají příklady na průběh funkce. Pokud máme vyšetřit průběh funkce, znamená to, že máme určit: 1. Definiční obor a obor hodnot 2. Paritu a periodicitu funkce 3. Nulové body a znaménka funkce 4. Stacionární body, lokální extrémy a jejich druh 5. Intervaly, na kterých je funkce rostoucí a klesající 6. Inflexní body 7. Intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávni 8. Asymptoty se směrnicí a bez směrnice 9. Jednostranné limity v bodech nespojitosti, limity v nevlastních bodech 10. Načrtnout graf funkce Příklad 34. Najděte extrémy daných funkcí 1. f(x)=x+\ 3. f(x) = ^ 2- /(*) = iHt 4. f(x) = ďsmx Výsledek. 1. Lokální maximum f(x) = — 2 v bodě x = — 1; lokální minimum f(x) x = 1. 2. Lokální maximum f(x) = 1 v bodě x = 1; lokální minimum /(rr) = x = —1. 3. Lokální maximum f(x) = 4e~2 v bodě x = e2; lokální minimum f(x) x = 0. 4. Lokální maximum v bodech x = + 2kir; lokální minimum v bodech x = 2 v bodě — lv bodě = 1 v bodě = -f +2kn. 13 Příklad 35. Vyšetřete průběh funkce !• /(*) = Ěr 2- /(*) = X~tW 4- /(*) = -Ěl 5. /(rr) = x3 + ^ 6. /(rr) = 2x — 3^x^ 7. f(x) = arctg^i 9. f{x) = (x — 3)y/řř 10. f(x) = £ 14 Cvičení 6: Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 36. Z ostrova vzdáleného od břehu jezera 5 km se chceme dostat v nejkratší době do města na břehu jezera. Ve kterém místě ostrova máme s lodí přistát, je-li rychlost lodičky 4 km/h a rychlost chodce 6 km/h. Výsledek. Místo k přistání je vzdálené 2y/5 od paty kolmice vedené ostrovem k břehu jezera. Příklad 37. Do koule o poloměru r vepište válec s co možná největším objemem. Určete poloměr p tohoto válce. Výsledek, p = \\Í2 Příklad 38. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin. 2. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Výsledek. 1. Součet bude minimální, budou-li obě čísla stejná. 2. Maximální součin bude (f)2™ Příklad 39. Drát délky a máme rozdělit na dvě části. Z první části chceme vyrobit čtverec, ze druhé kruh tak, aby součet ploch obou útvarů byl co možná nej menší. Určete tento součet obsahů. Výsledek. Smin = 4^7r+4-j Příklad 40. Kužel má vrchol ve středu kulové plochy s poloměrem r a podstavná kružnice leží na povrchu koule. Určete, jaký největší objem může mít tento kužel. Výsledek. Vmax = Příklad 41. Dva splavné, na sebe kolmé kanály, jsou široké 4 m a 6 m. Jak nejvýše dlouhou kládu můžeme kanály splavit? Výsledek. ^/(^16 + ^36)3 15 Příklad 42. Ze všech obdélníků, které mají obsah S, určete ten s nejmenším obvodem. Výsledek. Čtverec o straně y/Š. Příklad 43. Pro jaký poloměr a výšku bude mít válec s daným objemem V nejmenší povrch. Výsledek. Výška nádoby musí být rovna průměru podstavy válce. Příklad 44. Do polokoule o poloměru r vepište pravidelný čtyřboký hranol s co možná největším objemem. Výsledek. Rozměry kvádru jsou Příklad 45. Dané kouli opište kužel s co možná nejmenším objemem. Výsledek. Objem kužele je roven dvojnásobku objemu koule. Příklad 46. Určete vzdálenost bodu [1,1] od paraboly y2 = 2x. Výsledek. (^2-l)\f"- Příklad 47. Určete vzdálenost bodu [2,0] od kružnice x2 + y2 = 1. Výsledek. 1 Příklad 48. Účastníte se plavecko-běžeckého závodu. Start je na rovné písčité pláži. Cíl ve vodě. Do cíle můžete běžet rovně po pláži 4 km a pak plavat 1 km kolmo k pláži. Běžíte rychlostí 6 km/h a plavete rychlostí 2 km/h. V jakém místě je nejvýhodnější začít plavat? Výsledek. 4 — od s startu. 16 Cvičení 7: Neurčité integrály Teorie: V tomto a dalším cvičení se podíváme na neurčité integrály. O funkci F (x) řekneme, že je primitivní funkcí k funkci f {x) (nebo též, že je neurčitým integrálem funkce /), jestliže F'(x) = f (x). K integraci funkcí se využívá několik metod. Buď můžeme funkci upravit tak, abychom dostali integrál z nějaké pro nás známé funkce. Další metodou je substituce, kdy vhodně nahradíme novou proměnnou. Pro součin funkcí je pak vhodná metoda per partes. Příklad 49. Odvoďte a dokažte metodu per-partes. Příklad 50. Vypočítejte následující integrály 1. j (^)2 dx 6. J tan2x dx 2- / 7Í dx 7 r d 2 '• J 2+3x2 aX 3. / z o- dx 4. f *4+2+*~4 dx 8' ^ x2-x-2 dX 5. J(tan x + cot x) dx 9. f dx Výsledek. 1. x — - — 2 ln \x\ + c 6. t&nx — x + c 2. \xyfx + 2^řř + c 7. | arctanx-i/| + c 3. -*+iln|i±f| + C ^ 2 ' 4. lnlxl-^ + c 8- ÍlnS+ C 5. ln|tanx|+c 9. — x — 2 ln |1 — x\ + c Příklad 51. Vypočítejte následující integrály 2J(Wá 8. J^dx 3. f /-, , 1, r- dx 9. f tanx dx J (l+x)^/x J 4. / ^ sin i da: 10. / cte 5- / svÍ+1 dX U- / x(5-7x6) ^ 6. j xe~x2 dx 12. j ^4 cřx 17 13. / aVl + ax dx Výsledek. i. -VT 2. x' + c + c ■2(l+x2) 3. 2 arctan ^/x + c 4. cos - + c 5 — in i+Vi+ft2 a: 6. — |e_:r2 + C 7. In (2 + ex) + c + c 14. ( da; J xmxz 8. |ln3x 9. — ln I cos x\ + c 10- Tíi'"^' • - 12. iln 5-7i6 x2+4 x°--4 + C + C 13- 3ib(1+aaVr+tff 14. ± ln (ln z2) + c 18 Cvičení 8: Neurčité integrály Příklad 52. Vypočítejte následující integrály 1. j xe2x dx 7. 2-J^dx 8. 3. J y/x ln2 x dx 4. j x2e~2x dx 5. J xe~x dx 6. J x2 sin2x dx Výsledek. 1. + c 9. 10. 11. 12. J arctan :r cřx J arctan sqrtx dx J sinrrln (tana:) dx I dx J dx ľ ln(siri£) ^ J S1I1 x 2- T^+C l+x 3. fart (ln2x- f lna-+ f) + 4. (z2 + :r + i) +c 5. + lje"* + c 6. 2i:2-1 4 cos 2x + | sin 2x + c 9. 10. 11. 12. x arctan rr — | ln (1 + x2) + c /řř + (1 + x) arctan \fx ln | tan 11 — cos x ln tan x x tan :r + ln | cos x\ + c 2(Vä; - l)e^ — (x + cot x • ln (e sin x)) Příklad 53. Vypočítejte následující integrály 1- / (x+l)(x+2)(x+3) dx 7- / z- j T4+52 f5:r2+4 x2+l 4- I (x+l)2(x-l) 5. J" j3 —1 ^x 6. / ^ ^ Výsledek. dx 2 siní:—cos x+b ľ sin2 x ^x j sin 2i+2 cos x /-. Sm >>— CÍlT 1+sm x dx 9. 10. / 11. ľ äi*x™sx dx J sniT+cosi: smx sin3 ii+cos3 x dx 19 1. i In Qr+2)4 + C 2. x + I arctan re — | arctan | + c 3. 3(a;-l) ^ 9 111 U+2 I ^ G 4. ^ + iln|x2-l|+c 5- Iln (fe^) + ^ arctan 6. t ln ^tt — 7 arctan x + c 4 I 21+1 I 2 l+2a + C ►7 1 , 3 tan f+1 7. --)g arctan —--h c 8. —1(2 sinx+cosx)+7^g ln |tan (l 9. x — arctan (y^tanrr) + c arctan 2N 1 ^ (sina+cosa)2 6 1—sin 2: cos 2: 11. |(sinrr — cosrr) — 7^ ln |tan (| + |) 20 Cvičení 9: Určité a nevlastní integrály Teorie: Důležitým tvrzením pro výpočet určitých integrálů je tkz. Newton-Leibnitzova formule, která nám říká, že pokud je funkce f(x) spojitá na intervalu (a, b) a funkce F(x) je k ní na (a, b) primitivní, pak platí b f (x) dx = F (b) - F (á). Počítáme-li nevlastní integrál, potom ho převádíme na vhodnou limitu integrálu vlastního. Pro přibližné určení určitého integrálu můžeme využít několik obdélníkové, lichoběžníkové či Simpsonovo pravidlo. Příklad 54. Vypočtěte následující určité integrály 1. §\\fx dx 6. x arctan x dx 2. ff-^dx 7' I-i7^dx J75 1+x 8. JQíl x2\/a2 — x2 dx 4. J010°" VI - cos 2a: dx 10. l±g dx^ (subst. x - \ = ť) 5. S^2xe~x dx 11. ti^Ti dx Výsledek. 1 11- 7 - i. ±±4 i. 6 Z- 6 o 7t á. 3 u- 16 9. 2- 4. 200^ 5. | ln f 10- ^ Příklad 55. Vypočítejte následující nevlastní integrály 21 1. f°° \ dx, a > O 4. f1.. dx Ja X2 ' j-l yj\-x2 2. Jg1 lnx cřx 3- J-oo 5. J2 x2+x_2 dx Výsledek. 1. i 4. 7T a 2. -1 3. 7T 5. §ln2 Příklad 56. Pomocí lichoběžníkového pravidla vypočtěte přibližně následující integrály l- Jo í+í dx' (n = 8) 2- £ T+ŤS dx, {n = 12) Výsledek. 1. 0,69315 2. 0,83566 Příklad 57. Pomocí Simpsonova pravidla vypočtěte přibližně následující integrály 1. jl y/x dx, (n = 4) 3. JQf ^ dx, (n = 10) 2. JJ1 \/3 + cos x drr, (n = 6) Fys/edeA;. 1. 17,333 3. 1,37039 2. 5,4024 22 Cvičení 10: Aplikace integrálního počtu Příklad 58. Odvoďte parametrické souřadnice 1. Přímky AB, kde A[-l,2], B[3,1] 2. Úsečky AB, kde A{-1,2], B[3,1] 3. Kružnice se středem v počátku a poloměrem r 4. Funkce f{x) 5. Přímky x = 2 6. Křivky, kterou vytvoří bod na kružnici o poloměru r, která se vně kotálí po jiné kružnici o poloměru R. Příklad 59. Vypočtěte obsahy následujících rovinných ploch vymezených křivkami 1. y = 2x — x2, x + y = 0. 2. y = x, x + sin2 x 3. y = x2, x + y = 2 4. y = | logrr|, y = 0, x = 0,1, x = 10 5. y = 2X, y = 2, x = 0 Výsledek. 1. 4i 4. 9,9-8,1 log e Z- 2 3-| 5' 2 ~ bľ2 Příklad 60. V jakém poměru dělí parabola y2 = x plochu vymezenou kružnicí x2 + y2 Výsledek. Příklad 61. Vypočtěte obsah plochy vymezené křivkami zadanými parametricky 1. x = a (t — siní), y = a(l — cos í), 0 < t < 2n a y = 0 2. x = 2t- t2, y = 2t2 - ŕ Výsledek. 23 1. 3ira2 Příklad 62. Vypočtěte délku křivky 1. y = Xy/x, 0 < x < 4 2. y = ex, 0 < x < xq 3. y = lncosx,0oo 1 2- Ľľ=i arctann 00 n2 °- Z^re=l 2n2+l 26 Příklad 69. Vyšetřete konvergenci, resp. divergenci následujících řad 2. y°°, í^arccosi)"2 Příklad 70. Rozhodněte o konvergenci řady X- l^n=l n! ^' 2-m=l n" Příklad 71. Rozhodněte o konvergenci řady 1. T°° i ^ Z- 2-m=l n2+2" 27 Cvičení 12: Nekonečné řady s nezápornými členy, alternující řady, mocninné řady Příklad 72. Rozhodněte o konvergenci násleudjících řad. Využijte k tomu podílové, od-mocninové či integrální kritérium. a V°° -1- r, \poo 2n()t-l)! u- L^n=\ nn ó- 2^n=l ' Z-m=l íílnn 8- ž^n=l^ . V^oo (»3 „ ^oo , l ^n=1 (5+ž)" 9- Dn=ltanň Příklad 73. Rozhodněte o konvergenci (absolutní konvergenci) následujících alternujících řad. i- e^iC-i)"^ 4- e^i(-i)n -i_i 2. Er=i(-i)nS 5. e^i(-i; n+l 3n Příklad 74. Určete poloměr a obor konvergence následujících mocninných řad. l- 2^n=l ~ U' 2^n=\ Z ^ ^ 2„x„ Z- 2sn=l n2 7 i! 3. Er=i roo (-l)raQr+2)" ^n=l (2ií) E°° 2^_»!_ 2r n=l (2ií)! °- Z^n=l n X y- Z^n=l (2n)!X 4- e^i 28 Cvičení 13: Mocninné řady Příklad 75. Určete součet mocninné řady Y^=i xn a pomocí této řady určete součet číselné řady Y^Li Příklad 76. Určete součet mocninné řady EÍT=i nxn a pomocí této řady určete součet číselné řady J2n=i ■F Příklad 77. Vyjádřete funkci ln(l+x) jako mocninnou řadu a určete součet řady E^=i(—1 Příklad 78. Určete poloměr konvergence a součet následujících řad l- Z^n=l 4n-3 Z^n=lA L> 2n-l \n-ll ' n X 2n 2- EZMn + 2)xn 6. Eľ=i(-l)n(2n + r A V°° í 1V+1 x"+1 R V°° ^- Z-m=]A 1) n(n+l) Z^n=l n Příklad 79. Pomocí mocninných řad určete součet řady -i Y^OO )i()i+2) r> -T^°° 1 Příklad 80. S využitím Taylorovy řady pro ex určete součet řady En=o —— • Příklad 81. Pomocí prvních n členů určete přibližnou hodnotu 1. y/ě, n = 5 2. M1'2, n = 3 3. cos 18° tak, abyste se dopustili chyby nejvýše 1CT4 29