Matematika II - 11. přednáška Taylorova řada Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 7. 12. 2011 Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo oooooooooooooooooo Q Taylorovy a Maclaurinovy řady O Aplikace nekonečných řad Ql Aproximace pomocí Fourierových řad Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo oooooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka - Nekonečné řady s programem Maple, CD, e-text a videozáznamy, http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm. • Matematika III, Fakulta strojního inženýrství, 2007, http://mathonline.fme.vutbr.cz/Fourierovy-rady/ sc-73-sr-l-a-60/ Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Plán přednášky Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad ooooo ooooooo Q Taylorovy a Maclaurinovy řady Q Aplikace nekonečných řad Q Aproximace pomocí Fourierových řad <□> s o^o Taylorovy a Maclaurinovy řady •oooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Pokud se v Taylorově polynomu budou brát členy se stále vyššími derivacemi (až do nekonečna), dostaneme Taylorovu řadu příslušnou k dané funkci f(x). Definice (Taylorova a Maclaurinova řada) Nechť f(x) je funkce, která má na nějakém intervalu (obsahujícím bod xo jakožto vnitřní bod) derivace všech řádů. Taylorova řada se středem v bodě xq příslušná k funkci f(x) je mocninná řada oo n=0 1! (x - x0) + f"(xo) 2! (x - x0)2 + f"'(xo) 3! + .... Tzn. Taylorova řada je mocninná řada se středem v bodě xo a koeficienty an = íí-iíčsl. Pokud je xo = 0, potom se Taylorova řada nazývá Maclaurinovou řadou příslušnou k funkci f(x). Taylorovy a Maclaurinovy řady o»ooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Příklad • Protože má funkce f(x) = sinx derivace všech řádů a hodnoty funkce sinx a jejích derivací v bodě xo = 0 jsou postupně 0, 1, 0, —1, 0, 1, 0, —1, atd., Maclaurinova řada pro funkci sin x je tvaru Její poloměr konvergence je R = oo. 00.0 Taylorovy a Maclaurinovy řady o»ooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Příklad • Protože má funkce f(x) = sinx derivace všech řádů a hodnoty funkce sinx a jejích derivací v bodě xo = 0 jsou postupně 0, 1, 0, —1, 0, 1, 0, —1, atd., Maclaurinova řada pro funkci sin x je tvaru Její poloměr konvergence je R = oo. • Protože má funkce f(x) = ex derivace všech řádů a hodnoty funkce ex a jejích derivací v bodě xo = 0 jsou všechny rovny 1, Maclaurinova řada pro funkci ex je tvaru Ž^!X" = 1+X + ^!x2 + ^!x3 + Í!x4 + áx5 + ---- n=Q Její poloměr konvergence je R = oo. Taylorovy a Mac aurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad oo»oo ooooooo oooooooooooooooooo Příklad Funkce pro pro x = 0, je spojitá a má derivace všech řádů na celém M. V bodě xo = 0 toto lze ukázat pomocí výpočtu jednostranných derivací f!_(0) a /+(0), f"(0) a f"(0). Zejména jsou všechny tyto derivace v bodě xo = 0 rovny 0. Tedy příslušná Maclaurinova řada je tvaru ^f{n){0) „ n n 0 2 0 3 > -T^x" = 0 + 0.x + -x2 + -x3 + -- - = 0. ^—' n\ 2 3! n=Q Tedy jedná se o nulovou řadu, která samozřejmě konverguje pro všechna x G M k nulové funkci s(x) = 0, která není rovna původní funkci f(x). Taylorovy a Maclaurinovy řady ooo#o Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Otázku, kdy Taylorova (Maclaurinova) řada funkce f(x) konverguje k funkci f(x), zodpovídá následující tvrzení, které je bezprostředním důsledkem obdobné věty o Taylorově polynomu. Věta (o konvergenci Taylorovy řady) Q Taylorova řada funkce f(x) konverguje na svém konvergenčním intervalu I k funkci f(x), tj. platí rovnost f(x) = -j— (x — xo)" pro všechna x £ /, n=Q 44> pro posloupnost Taylorových zbytků {/?n(*)}^0 plstí linin^oo Rn{*) = 0 Pro všechna x G /. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooo#o Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Otázku, kdy Taylorova (Maclaurinova) řada funkce f(x) konverguje k funkci f(x), zodpovídá následující tvrzení, které je bezprostředním důsledkem obdobné věty o Taylorově polynomu. Věta (o konvergenci Taylorovy řady) O Taylorova řada funkce f(x) konverguje na svém konvergenčním intervalu I k funkci f(x), tj. platí rovnost f(x) = -j— (x — xo)" pro všechna x G /, n=Q 44> pro posloupnost Taylorových zbytků {/?n(*)}^0 plstí lirrin^oo Rn(x) = 0 pro všechna x G /. 0 Zejména, pokud jsou všechny derivace f(n\x) stejně ohraničené na intervalu I (tj. pokud existuje M tak, že pro všechna n e No a x e /J , potom Taylorova řada konverguje k f (x). Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Maclaurinov Aplikace nekonečných i ooooooo sinx = y\( 1}",x2"+1 pro x G ^(2/7 + 1) cosx = V^—'—x2n pro x e M. ^ (2n)\ v n=Q 00 E n=Q n\ |n(l+x) = ^^-x" pro x G (-1,1]. n=l 00 1 -x n=0 £V pro x G (-1,1). - co — = ^(-l)"x" pro x G ( — 1,1). -U V f ^ j n k j jsi k - 1 -|- x —J Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo oooooooooooooooooo Plán přednášky Q Taylorovy a Maclaurinovy řady O Aplikace nekonečných řad Q Aproximace pomocí Fourierových řad Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad •oooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: • přibližné výpočty funkčních hodnot Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad •oooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: • přibližné výpočty funkčních hodnot • aproximace funkcí Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad •oooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: • přibližné výpočty funkčních hodnot • aproximace funkcí • výpočet limit 4Ľ3*4l3*4 = k4 = * -š -O^O Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad •oooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: • přibližné výpočty funkčních hodnot • aproximace funkcí • výpočet limit • výpočet integrálů vyšších funkcí Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad •oooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: • přibližné výpočty funkčních hodnot • aproximace funkcí • výpočet limit • výpočet integrálů vyšších funkcí • řešení diferenciálních rovnic Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad •oooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: • přibližné výpočty funkčních hodnot • aproximace funkcí • výpočet limit • výpočet integrálů vyšších funkcí • řešení diferenciálních rovnic Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad •oooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: • přibližné výpočty funkčních hodnot • aproximace funkcí • výpočet limit • výpočet integrálů vyšších funkcí • řešení diferenciálních rovnic ' Příklad Pomocí prvních n členů Taylorova rozvoje určete přibližnou hodnotu o y/ě (n = 5), » ^245 (n = 2). Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad o»ooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Při odhadech hodnot funkcí je samozřejmě potřeba znát i požadovanou přesnost, resp. umět (shora) odhadnout chybu, jíž se dopouštíme. Věta Je-li {an}c^_1 nerostoucí posloupnost nezáporných čísel splňující lim an = 0, pak pro zbytek Rn = (-l)nan+1 + (-l)"+1an+2 H---- alternující řady 1)" lan platí, že \Rn\ < 3„+l. 4Ľ3*4l3*4 = k4 = * ^ -O^O Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad o»ooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Při odhadech hodnot funkcí je samozřejmě potřeba znát i požadovanou přesnost, resp. umět (shora) odhadnout chybu, jíž se dopouštíme. Je-li {an}c^_1 nerostoucí posloupnost nezáporných čísel splňující lim an = 0, pak pro zbytek Rn = (-l)nan+1 + (-l)"+1an+2 H---- alternující řady 1)" lan platí, že \Rn\ < 3„+l. Necht an je číselná řada, pro niž platí |^|<<7<1, pak pro zbytek této řady platí \Rn\ < \an\ • Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo oo«oooo oooooooooooooooooo Příklad Vypočtěte sin 18° s chybou menší než 10 Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad oo«oooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Příklad Vypočtěte sin 18° s chybou menší než 10 -4 S využitím Maclaurinovy řady pro sin x dostáváme po dosazení x — 10 . 7t 7t 1 7t 1 . 7t Smíô = íô-3!(íô) Podle věty o odhadu zbytku alternující řady vidíme, že stačí vzít první dva členy řady, neboť < 10 -4 Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad oo«oooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Příklad Vypočtěte sin 18° s chybou menší než 10 -4 S využitím Maclaurinovy řady pro sin x dostáváme po dosazení x — 10 . 7t 7t 1 7t 1 . 7t Smíô = íô-3!(íô) Podle věty o odhadu zbytku alternující řady vidíme, že stačí vzít první dva členy řady, neboť < 10 -4 Dostáváme tak odhad •i"ir~Ž-5<Í5>SMM09- Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooo»ooo oooooooooooooooooo Výpočet limit Příklad Vypočtěte limitu lim^o511121- Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooo»ooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Příklad Vypočtěte limitu lim^o511121- Z rozvoje sin x dostaneme sinx 1 2 1 4 -= 1 - ^tx2 + -x4 - • • • , x 3! 5! odkud snadno získáme výslednou limitu rovnu jedné. Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooo»ooo oooooooooooooooooo Výpočet limit Příklad Vypočtěte limitu lim^o511121- Řešení Z rozvoje sin x dostaneme sinx 1 2 1 4 -= 1 - ^tx2 + -x4 - • • • , x 3! 5! odkud snadno získáme výslednou limitu rovnu jedné ' Příklad Vypočtěte limitu lim (x-x2ln(l + i)) Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo oooo»oo oooooooooooooooooo Integrály vyšších funkcí Příklad Primitivní funkce k funkci je funkce sin x dx -•|x x 3ÍX 7ÍX +- dx 1 — — 3! T + 5! ~5~ (-1)" 00 + C = g(2n + l).(2n + l)! x2n+l + c. Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo oooo»oo oooooooooooooooooo Integrály vyšších funkcí Příklad Primitivní funkce k funkci je funkce sin x ■dx X i.(x-ix3 + ix5-Ix7 + ...U 7! (-1)" X 3! 3 + 5! 5 "'+ ^ (2n + l)-(2n + l)! x2n+l + c. Příklad Přibližně vypočtěte J^2 (s chybou menší než 10 4). Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooo»o oooooooooooooooooo Basilejský problém Příklad (Leonhard Euler, 1735) Určete součet číselné řady ví n=l 1 1111 1 + 4 + 9 + 16 + 25+-- Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooo»o oooooooooooooooooo Basilejský problém Příklad (Leonhard Euler, 1735) Určete součet číselné řady ví n=l 1 1111 1 + 4 + 9 + 16 + 25+-- Funkce má rozvoj X •> X i-Ji.x +BTX ~mx0 +----Její kořeny jsou zřejmě ±ir, ±2tt, ±37r, ±47r, atd. a tedy tuto funkci lze „rozložit" na (nekonečný) součin kořenových činitelů 1 + 7t 2 7tz x 2Ťr 1 + x 4^2 2tt 1 - x 9^2 íôtt^ Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo 000000» oooooooooooooooooo Řešení (dokončení) Porovnáním koeficientů u x2 (po roznásobení) dostaneme 1 _ 1 1 1 1 ~3! ~ ~ 4^2 ~ 9^2 ~ 16tt2 čili po vynásobení číslem — tt2 dostaneme 7t2 1 1 1 ^ 1 T = 1 + 4 + 9+T6+--- = £^ n=l Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad oooooo* Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Řešení (dokončení) Porovnáním koeficientů u x2 (po roznásobení) dostaneme 1 _ 1 1 1 1 ~3! ~ ~ 4^2 ~ 9^2 _ 16?r2 čili po vynásobení číslem — tt2 dostaneme 7t2 1 1 1 ^ 1 y = 1 + 4 + 9 + i6 + --- = 5:^ Toto řešení slavného problému ukázal Euler v roce 1735. Je samozřejmě nutné je precizovat (zejména s ohledem na použití nekonečných součinů, jež jsme ani formálně nezavedli). Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo oooooooooooooooooo Q Taylorovy a Maclaurinovy řady Q Aplikace nekonečných řad Ql Aproximace pomocí Fourierových řad Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooooo Příjemné vlastnosti mocninných řad zároveň poukazují na hranice jejich použitelnosti při modelování závislostí nějakých praktických jevů nebo procesů. Zejména není možné pomocí mocninných řad dobře modelovat po částech spojité funkce. Jak uvidíme vzápětí, je možné pro konkrétněji vymezené potřeby nacházet lepší sady funkcí fn{x) než jsou hodnoty fn{x) = x". Nejznámějšími příklady jsou Fourierovy řady používané pro aproximaci periodických funkcí a tzv. wa ve lety. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad •ooooooooooooooooo Definice Pro pevný interval / = [a,b], konečný nebo nekonečný, definujeme kvadrát vzdálenosti funkcí na / takto: \\f-g\\2= ľ\f(x)-g(x)\2dx. Samozřejmě je třeba předpokládat, že tento Riemannův integrál existuje. Velikost ||f|| funkce f je pak její vzdálenost od funkce nulové, tj. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad •ooooooooooooooooo Definice Pro pevný interval / = [a,b], konečný nebo nekonečný, definujeme kvadrát vzdálenosti funkcí na / takto: \\f-g\\2= ľ\f(x)-g(x)\2dx. Samozřejmě je třeba předpokládat, že tento Riemannův integrál existuje. Velikost ||f|| funkce f je pak její vzdálenost od funkce nulové, tj. Funguje dobře pro množinu S = S[a, b] omezených a po částech spojitých reálných funkcí na /. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad o»oooooooooooooooo Z vlastností integrálu plyne, že S je vektorový prostor a že námi právě uvažovaná velikost je odvozena z dobře definovaného skalárního součinu, tj. symetrického bilineárního zobrazení (f,g) = s příslušnými vlastnostmi. Z vlastností integrálu plyne, že S je vektorový prostor a že námi právě uvažovaná velikost je odvozena z dobře definovaného skalárního součinu, tj. symetrického bilineárního zobrazení s příslušnými vlastnostmi. V konečněrozměrném případě jsme takto definovali velikost vektorů. Nyní je to naprosto stejné a pokud zúžíme naši definici na vektorový prostor generovaný nad reálnými čísly jen konečně mnoha funkcemi /"i,..., fk, dostaneme opět dobře definovaný skalární součin na tomto konečněrozměrném vektorovém podprostoru. a Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oo»ooooooooooooooo Máme-li generátory gy s vlastností (gh gj) 0 pro / 7^ j 1 pro / = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními bázemi). Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad 00*000000000000000 Máme-li generátory gy s vlastností (gh gj) 0 pro / 7^ j 1 pro / = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními bázemi). Grammova-Schmidtova ortogonalizace, která z libovolného spočetného systému generátorů f; vytvoří nové ortogonální generátory g; téhož prostoru, tj. (gi,gj) = 0 pro všechny / ^ j. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad 00*000000000000000 Máme-li generátory gy s vlastností (gh gj) 0 pro / 7^ j 1 pro / = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními bázemi). Grammova-Schmidtova ortogonalizace, která z libovolného spočetného systému generátorů f; vytvoří nové ortogonální generátory g; téhož prostoru, tj. (gi,gj) = 0 pro všechny / ^ j. Spočteme je postupně: g\ = f\ a formulemi r . (fe+i,gi) gí+i = u+i + 3\gi H-----\- aege, a\ =--r,—rr? \\gi\\ pro í > 1. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad 00*000000000000000 Máme-li generátory gy s vlastností (gh gj) 0 pro / 7^ j 1 pro / = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními bázemi). Grammova-Schmidtova ortogonalizace, která z libovolného spočetného systému generátorů f; vytvoří nové ortogonální generátory g; téhož prostoru, tj. (gi,gj) = 0 pro všechny / ^ j. Spočteme je postupně: g\ = f\ a formulemi r . (fe+i,gi) CT" -i = k+i + 3igi H-----h aege, a-, =--M _ \gi pro í > 1. Příkladem jsou např. Legendreovy polynomy. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad 000*00000000000000 Připomeňme si výhody, které ortonormální báze podprostorů měly pro konečněrozměrné vektorové prostory. Můžeme pokračovat v příkladu Legendreových polynomů Po(x), Pi(x) a P2(x), které generují M2M a uvažovat třeba V = Moo[x]. Pro libovolný polynom h G V bude funkce H={h,h1)h1 + {h,h2)h2 + {h,h3)h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje vzdálenost \\h — H\\ mezi všemi funkcemi v l^M- Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad 000*00000000000000 Připomeňme si výhody, které ortonormální báze podprostorů měly pro konečněrozměrné vektorové prostory. Můžeme pokračovat v příkladu Legendreových polynomů Po(x), Pi(x) a P2{x), které generují M2M a uvažovat třeba V = Moo[x]. Pro libovolný polynom h G V bude funkce H={h,h1)h1 + {h,h2)h2 + {h,h3)h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje vzdálenost \\h — H\\ mezi všemi funkcemi v l^M- Koeficienty pro nejlepší aproximaci zadané funkce pomocí funkce z vybraného podprostorů je možné tedy získat prostě integrací. Stejně tak ale tato formule zadá nejlepší aproximaci polynomem nejvýše druhého stupně pro libovolnou funkci h G S[a, b] ve smyslu naší vzdálenosti funkcí na tomto prostoru. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooo^ooooooooooooo Poslední příklad vybízí k zobecnění - co se stane, když zvolíme úplně libovolný spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v S takový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin? Takovému systému funkcí na intervalu / říkáme ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce fn v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost \\fn\\ = 1 normovaná, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooo^ooooooooooooo Poslední příklad vybízí k zobecnění - co se stane, když zvolíme úplně libovolný spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v S takový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin? Takovému systému funkcí na intervalu / říkáme ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce fn v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost \\fn\\ = 1 normovaná, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. Nechť tedy tvoří posloupnost funcí fn ortogonální systém po částech spojitých funkcí na intervalu / = [a, b] a předpokládejme, že pro konstanty cn konverguje řada oo F{x) = ^2cnfn stejnoměrně na /. Pak snadno vyjádříme skalární součin (F, fn) po jednotlivých sčítancích: oo ~b {F, fn) = ^2 cm / fm{x)fn(x) dx = c„||y2. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo»oooooooooooo Lze tedy očekávat , v jakou odpověď je možné doufat, a tu nám skutečně dává následující věta: Věta Necht fn, n = 1, 2,..., je ortogonální posloupnost funkcí Riemannovsky integrovatelných na I = [a, b] a necht g je libovolná funkce, jejíž kvadrát je Riemannovsky integrovatelný na I. Označme cn =\\fn\\ 2 fn{x)g{x) dx J a (tzv. Fourierovy koeficienty funkce g ). (1) Pro libovolné pevné n G N má ze všech lineárních kombinací funkcí fi,..., fn nejmenší vzdálenost od g výraz n h n = ^2qfi(x). i=l Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooosooooooooooo Věta (pokračování) (2) (Besselova nerovnost) Řada čísel cn \\fn konverguje a platí OO 2 vždy £cnWoo zl cnfn jde v tehdy a jen tehdy, když platí oo ^2ii r ||2 li i|2 2_^Cn\\fn\\ = \\g\\ (tzv. Parsevalova rovnost). Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo ooooooo»oooooooooo Zkusme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooo»oooooooooo Zkusme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Náš ortogonální systém funcíje libovolný, nemůžeme očekávat, že lze dobře aproximovat jakoukoliv funkci pomocí lineárních kombinací funkcí f,. Např. když se omezíme u ortogonálních polynomů pouze na sudé stupně, určitě budeme dobře aproximovat pouze sudé funkce. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooo»oooooooooo Zkusme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Náš ortogonální systém funcíje libovolný, nemůžeme očekávat, že lze dobře aproximovat jakoukoliv funkci pomocí lineárních kombinací funkcí f,. Např. když se omezíme u ortogonálních polynomů pouze na sudé stupně, určitě budeme dobře aproximovat pouze sudé funkce. Nicméně hned první tvrzení nám říká, že vždycky budeme dosahovat nejlepší možné aproximace částečnými součty. Druhé a třetí tvrzení pak můžeme vnímat jako analogii ke kolmým průmětům do podprostorů vyjádřených pomocí souřadnic. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooo«ooooooooo Skutečně, pokud pro naši funkci g bodově konverguje řada ^(x) = Yl^Li cnfn{x), pak je funkce F(x) kolmým průmětem g do vektorového podprostoru všech takovýchto řad. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooo«ooooooooo Skutečně, pokud pro naši funkci g bodově konverguje řada ^(x) = Yl^Li cnfn{x), pak je funkce F(x) kolmým průmětem g do vektorového podprostoru všech takovýchto řad. Zároveň ale naše věta neříká, že by částečné součty uvažované řady musely bodově konvergovat k nějaké funkci. Tj. řada F(x) nemusí být obecně konvergentní ani v případě, kdy nastane rovnost v (3). Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooo»oooooooo Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bázemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooo»oooooooo Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bázemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: • Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad F(x) = Yl^Li cnfn- • Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen nejlepší možné přiblížení takovou řadou F(x). Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooo»oooooooo Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bázemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: • Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad F(x) = Yl^Li cnfn- • Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen nejlepší možné přiblížení takovou řadou F(x). V případě, že místo ortogonálního systému fn máme systém ortonormální, jsou formulky ve větě o něco jednodušší, žádné další zlepšení ale nenastane. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooo«ooooooo Jako pěkný příklad na integrování lze elementárními metodami ověřit, že systém funkcí 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sinnx, cosnx, ... je ortogonální systém na intervalu [—7r,7r] (a také na kterémkoliv jiném intervalu o délce 2tt). Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooo«ooooooo Jako pěkný příklad na integrování lze elementárními metodami ověřit, že systém funkcí 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sinnx, cosnx, ... je ortogonální systém na intervalu [—7r,7r] (a také na kterémkoliv jiném intervalu o délce 2tt). Rady z předchozí věty odpovídající tomuto systému nazýváme Fourierovy řady. I v obecném případě diskutovaném výše se někdy hovoří o obecných Fourierových řadách vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí fn. Koeficienty cn se pak nazývají Fourierovy koeficienty funkce f. Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo 00000000000*000000 Na intervalu [—ir, ir] jsou velikosti všech funkcí kromě první vždy -y/Ťr, první má velikost y/2ň. Lze dokázat, že náš systém funkcí je úplným ortogonálním systémem, nebudeme to zde ale dokazovat. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad 00000000000*000000 Na intervalu [—ir, ir] jsou velikosti všech funkcí kromě první vždy \JtŤ, první má velikost y/2ň. Lze dokázat, že náš systém funkcí je úplným ortogonálním systémem, nebudeme to zde ale dokazovat. Ve smyslu vzdálenosti funkcí definované pomocí našeho skalárního součinu proto budou částečné součty Fourierovy řady F(x) pro libovolnou funkci g(x) s konečným integrálem f g(x)2dx, tj. oo F(x) = — + ^(a„ cos(nx) + bn sin(nx)) s koeficienty 1 r 1 r an = — g(x) cos(nx) dx, bn = — / g(x) sin(nx) dx, k J-n k J-iT vždy konvergovat k funkci g(x). Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo oooooooooooo»ooooo Shrňme naše úvahy do následujícího tvrzení. Věta Fourierova řada libovolné integrovatelné funkce g(x) na intervalu [—7T, 7r] má vzhledem k systému 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sinnx, cosnx, ... tvar oo — + E(a" cos(nx) + bns\n{nx)) s koeficienty i r i r an = — I g{x) cos(nx) dx, bn = — I g{x) sin(nx) dx. k J-n k J-n Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooo»ooooo Shrňme naše úvahy do následujícího tvrzení. Věta Fourierova řada libovolné integrovatelné funkce g(x) na intervalu [—7T, 7r] má vzhledem k systému 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sinnx, cosnx, ... tvar oo — + ^(an cos(nx) + bns\n{nx)) s koeficienty i r i r an = — I g{x) cos(nx) dx, bn = — I g{x) sin(nx) dx. Je-li g[x) sudá, jsou všechny bn nulové a je-li lichá, jsou všechny an nulové. Taylorovy a Mac laurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo ooooooooooooo»oooo Z obecnějších úvah lze odvodit, že z konvergence v tomto smyslu vždy vyplývá bodová konvergence částečných součtů ve skoro všech bodech x G /. Nebudeme zde ale ani vysvětlovat, co znamená „skoro všechny", ani nebudeme takový výsledek dokazovat. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooooooo»oooo Z obecnějších úvah lze odvodit, že z konvergence v tomto smyslu vždy vyplývá bodová konvergence částečných součtů ve skoro všech bodech x G /. Nebudeme zde ale ani vysvětlovat, co znamená „skoro všechny", ani nebudeme takový výsledek dokazovat. Jako příklad uveďme Fourierovu řadu pro periodickou funkci vzniklou zúžením analogie Heavisideovy funkce na jednu periodu. Tj. naše funkce g bude na intervalu [—ir, 0] rovna —1 a na intervalu [0,7r] bude rovna 1. Protože jde o funkci lichou, jistě budou všechny koeficienty u funkcí cos(nx) nulové, a pro koeficienty u funkcí sin(nx) spočteme b„ = - g(x)s\n(nx)dx = - sin(nx) dx = — (1 - (-1)"). 2 Výsledná Fourierova řada je tedy tvaru 4 / 1 1 g(x) = - sin(x) + - sin(3x) + - sin(5x) + ... a součet jejích prvních pěti a prvních padesáti členů je na následujících dvou obrázcích. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooo»ooo Všimněme si, že se zvyšujícím se počtem členů řady se výrazně spresňuje aproximace s výjimkou stále se zmenšujícího okolí bodu nespojitosti, na němž je ale maximum odchylky stále zhruba stejné. Je to obecná vlastnost Fourierových řad, které se říká Gibbsův jev. Povšimněme si také, že v samotném bodě nespojitosti je hodnota aproximující funkce právě v polovině mezi limitami zprava a zleva pro Heavisideovu funkci. Nelze očekávat, že by konvergence pro funkce s body nespojitosti mohla být stejnoměrná (to by totiž g musela být coby stejnoměrná limita spojitých funkcí sama spojitá!) i = 2. I = 24. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooooooooo»oo Bez podrobného důkazu si uvedeme následující větu podávající ucelený obrázek o bodové konvergenci Fourierových řad. Nejde o nutné podmínky konvergence a v literatuře lze najít řadu jiných formulací. Tato je ale jednoduchá a postihuje velké množství užitečných případů. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad oooooooooooooooo»o Nechi g je po částech spojitá a monotónní na intervalu [—tt,tt]. Pak její Fourierova řada F(x) konverguje na [—7r,7r] a součet je • roven hodnotě g(xo) v každém bodě xq £ [—ir, ir], ve kterém je funkce g(x) spojitá, » v každém bodě nespojitosti xq funkce g(x) roven Pokud navíc je g(x) spojitá, periodická s periodou 2tt a všude existuje její po částech spojitá derivace, pak konverguje její • v krajních bodech intervalu [—tt, ir] je roven Fourierova řada F(x) stejnoměrně. Taylorovy a Maclaurinovy řady Aplikace nekone čných řad Aproximace pomocí Fourierových řad ooooo ooooooo ooooooooooooooooo* Příklad Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x2 na intervalu [—7r, tt]. Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooooooooooo* Příklad Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x2 na intervalu [—ir, ir]. Řešení Funkce f je sudá, proto jsou koeficienty bn = 0. Dále 2 ľ , x 2 2 3Q = ~ f{x) dx = -7T , 7T Jo i Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooooooooooo* Příklad Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x2 na intervalu [—ir, ir]. Řešení Funkce f je sudá, proto jsou koeficienty bn = 0. Dále 2 Z"71" 2 a0 = ~ f{x)dx = -tv2, 7t Jo i 2 r 4 an = — / f{x) cos(nx) dx = —^(—1)". ^ Jo n Taylorovy a Maclaurinovy řady ooooo Aplikace nekonečných řad ooooooo Aproximace pomocí Fourierových řad ooooooooooooooooo* Příklad Nalezněte Fourierův rozvoj funkce f(x) = x2 na intervalu [—ir, ir]. Řešení Funkce f je sudá, proto jsou koeficienty bn = 0. Dále 2 n 2 a0 = ~ f{x)dx = -tv2, 7t Jo i 2 r 4 an = — / f{x) cos(nx) dx = k Jo n -I)"- Celkem tedy oo 2 2 a0 \ 7r x = — + y.\an cos nx + on sin nx) = — + 4