Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Matematika II - 12. přednáška Elementární diferenciální rovnice Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 12. 2011 Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Obsah před náš Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Qf Elementární diferenciální rovnice • Diferenciální rovnice 1. řádu • Rovnice se separovanými proměnnými • Lineární diferenciální rovnice 1. řádu • Variace konstanty Q Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooooooooooooooooo ooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Plán přednášky Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Qf Elementární diferenciální rovnice • Diferenciální rovnice 1. řádu • Rovnice se separovanými proměnnými • Lineární diferenciální rovnice 1. řádu • Variace konstanty q Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu Elementární diferenciální rovnice •oooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Uvod a motivace Diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje neznámá funkce spolu se svou derivací (či derivacemi vyšších řádů). Diferenciální rovnice slouží k modelování fyzikálních procesů, vyskytují se v ekonomii, biologii, chemii, atd. Příklad Příklady fyzikálních procesů, které jsou modelovány diferenciálními rovnicemi. (a) Neznámá funkce je u = u(x) (poloha bodu na přímce), m . u" = F(x) (Newtonův zákon). (b) Neznámá funkce je u = u(x, t) (teplota v bodě x na přímce v čase ř), a2 . = ut (vedení tepla na přímce). < l_l ř ■ÍQ'* ^-S* Elementární diferenciální rovnice o»ooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad (c) Neznámá funkce je u = u(x, t) (vychýlení v bodě x na přímce v čase ř), a2 . = utt (vlnová rovnice). (d) Neznámá funkce je 9 = 9(t) (úhel v čase ř), 6" + a sin 9 = 0 (matematické kyvadlo). (e) Neznámá funkce je Q = Q(t) (množství radioaktivního materiálu v čase ř), Q' = —k Q (radioaktivní rozpad). Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Otázky k zamyšlení Elementární diferenciální rovnice oo»oooooooooooooooooooo 1. Jak poznáme, že daná diferenciální rovnice vůbec má řešení? (otázka existence řešení) 2. Je toto řešení jediné? (otázka jednoznačnosti řešení) Kolik řešení existuje? 4. Jak najít toto/tato řešení? (metody řešení diferenciálních rovnic) 5. Jak určit chování případných řešení, aniž by bylo nutné danou diferenciální rovnici vyřešit? (kvalitativní vlastnosti řešení diferenciálních rovnic) Elementární diferenciální rovnice ooo#ooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad Diferenciální rovnice xy' +y = 0 má řešení y = £ pro libovolné CeK, protože Tedy tato rovnice má nekonečně mnoho řešení. Elementární diferenciální rovnice ooo#ooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad Diferenciální rovnice xy' +y = 0 má řešení y = £ pro libovolné CeK, protože / = (O"1)'==► xy'+y=x(-£)+^=0. Tedy tato rovnice má nekonečně mnoho řešení. Definice Řešení diferenciální rovnice je funkce y = y(x) (případně funkce y = y (t), y = y(x, ŕ), apod.), která splňuje danou diferenciální rovnici. Řešení diferenciálních rovnic se obvykle najdou pomocí integrování, a proto budou obsahovat integrační konstanty. Tedy tzv. obecné řešení (tj. všechna řešení) dostaneme jako množinu danou těmito konstantami. Řešení dané tzv. počátečními podmínkami, např. y(xo) = yo, se nazývá partikulární. Elementární diferenciální rovnice 0000*000000000000000000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad Obecné řešení diferenciální rovnice z Příkladu je C y = —, kde C g R. x Řešení této diferenciální rovnice splňující počáteční podmínku y(l) = 1 je y = ^ (tohle je tedy partikulární řešení). Elementární diferenciální rovnice 0000*000000000000000000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad Obecné řešení diferenciální rovnice z Příkladu je C y = —, kde C g R. x Řešení této diferenciální rovnice splňující počáteční podmínku y(l) = 1 je y = ^ (tohle je tedy partikulární řešení). Příklad Matematicky lze každý příklad na výpočet primitivní funkce (neurčitý integrál) chápat jako diferenciální rovnici y' = f(x), přičemž hledaná neznámá funkce y se vypočítá jako y = f f (x) dx, tedy přímým integrováním. Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooo»ooooooooooooooooo ooooooooo Diferenciální rovnice 1. řádu Definice Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Nyní se budeme podrobněji zabývat deferenciálními rovnicemi 1. řádu. Tj. jsou to rovnice tvaru y' = F(x,y). Elementární diferenciální rovnice ooooo»ooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Diferenciální rovnice 1. řádu Definice Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Nyní se budeme podrobněji zabývat deferenciálními rovnicemi 1. řádu. Tj. jsou to rovnice tvaru y' = F(x,y). (a) Rovnice y' = y2 má nekonečně mnoho řešení (tedy obecné řešení) y = Cgl, definovaných na (—00, C) a na (C, 00) a řešení y = 0 definované na celém M. (b) Rovnice y' = 3 y/y* a počáteční podmínka y(0) = 0 má řešení y = 0 a y = x3 (a také libovolnou jejich navazující kombinaci). Tedy existuje nekonečně mnoho řešení. Elementární diferenciální rovnice oooooo»oooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Rovnice se separovanými proměnnými Speciálními případy této diferenciální rovnice jsou rovnice se separovanými proměnnými a rovnice lineární, kterým se budeme blíže věnovat. Definice (rovnice se separovanými proměnnými) Jedná se o rovnici tvaru y' = f(x).g(y), tj. pravá strana z obecné rovnice je F(x,y) = f(x) .g(y), tj. je to součin funkce proměnné x a funkce proměnné y (odtud je název této rovnice). Elementární diferenciální rovnice ooooooo»ooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad (a) Pro diferenciální rovnici x2 x2 1 y'= —m i 3i -ie fW = -i , 3» s(y) = -> y. (1 + xJJ 1 + xJ y a proto se jedná o rovnici se separovanými proměnnými. (b) Rovnice y' = x + y není rovnice se separovanými proměnnými Elementární diferenciální rovnice 00000000*00000000000000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Pokud napíšeme derivaci y' jako podíl diferenciálů tj. y' = potom lze rovnici se separovanými proměnnými přepsat na tvar % = f(x).g(y), ^-)dy = f(x)dx, odtud název - separované proměnné. A tuto poslední rovnici vyřešíme integrací na obou stranách - na levé straně podle proměnné y a na pravé straně podle proměnné x, tj. Integrační konstantu lze zřejmě brát pouze jednou, např. tedy na pravé straně. Dostáváme tedy následující tvrzení. Věta (O řešitelnosti diferenciální rovnice se separovanými proměnnými) Jsou-li funkce f : (a, b) —» M a g : (c, d) —» M spojité a g(y) ^ 0 na intervalu (c,d), potom má počáteční úloha y' = f(x) .g{y), y(x0)=y0 právě jedno řešení, které je dáno implicitně předchozím vztahem. Konstanta C se určí z počáteční podmínky y(xo) = yo- Elementární diferenciální rovnice oooooooooo«oooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo ' Příklad Pro diferenciální rovnici z Příkladu máme dy x2 x2 dx = y.(l+xl) ydy=l+x*dX 1 + x3 = u 3x2 crx = du = - / — du = - \n\u\ + C = - hl+x+C 3J u 3 11 3 1 ^ 1 ^ 2 y2 = - In |1 +x3| + C. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooo»ooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad (pokračování) Pokud je navíc zadána počáteční podmínka y(0) = 2, potom dosazením do vypočteného vztahu zax = 0ay = 2 dostaneme rovnici 4 = C, a tedy partikulární řešení je y = y 3 ln|l+x3| +4 (ve výše uvedeném vztahu bereme kladnou odmocninu, protože hodnota y(0) = 2 > 0). Elementární diferenciální rovnice oooooooooooo»oooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Některé další typy rovnic lze jednoduchou substitucí převést na rovnici se separovanými proměnnými. Např. diferenciální rovnice tvaru y f\Y- se pomocí substituce u = ^ (Pozor, u = u(x) je funkce proměnné x!) převede na rovnici se separovanými proměnnými. Skutečně, protože je (podle pravidla pro derivaci součinu) u. x y u .x + u du y f (u) - u u .x + u 1 f {u) dx v ' f(u) — u a poslední uvedená rovnice má separované proměnné (x a u). du dx Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních difere íciálních ro vnic 1. řádu ooooooooooooo»ooooooooo ooooooooo Příklad Vyřešte diferenciální rovnici 1 + ^. x Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooo»ooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo ' Příklad ^ Vyřešte diferenciální rovnici y' = l + V-. x Řešení Volbou u = neboli y = u. x, dostaneme y = u . x + u a po desazení do rovnice u'.x + u = l + u u' .x = 1 du ~ďx~ .x = 1 du = — dx x du dx u = In Ixl + C. Zpětným dosazením za proměnnou u pak dostaneme hledané řešení y In Ixl + C y = x In |x| + C x, Cg B -00.0 Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooootoooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Lineární diferenciální rovnice 1. rádu Jedná se o rovnici tvaru / = a{x)y + b{x) tj. pravá strana z obecné rovnice je F(x,y) = a(x) y + b(x), tj. je to lineární funkce vzhledem k proměnné y. Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Elementární diferenciální rovnice oooooooooooooo»oooooooo Jedná se o rovnici tvaru y' = a{x)y + b{x) tj. pravá strana z obecné rovnice je F(x, y) = a(x) y + b(x), tj. je to lineární funkce vzhledem k proměnné y. Lineární diferenciální rovnici lze jednoduchým způsobem vyřešit. homogenní rovnice Rovnice je tzv. homogenní, tj. b(x) = 0. Potom se jedná o rovnici a(x)y, což je rovnice se separovanými proměnnými — = aíx) y =4> — dy = aíx) dx dx y y dy a (x) dx \n\y\ = J a{x)dx+C =>• |y| = e/a(x)dx+c = e/a(x)dx _ gc| Ja(x)dx_ec ^ y = e^aWdx. (±ec) lib. konst. 00.0 Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooo»ooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo nehomogenní rovnice Rovnice je tzv. nehomogenní, tj. b(x) ^ 0. V tomto případě se nejprve celá rovnice vynásobí vhodnou funkcí /x(x) (tzv. integračním faktorem), aby po úpravách vznikl výraz pro derivaci součinu. Integrační faktor je funkce ^(x) := e-/aWdx. 00.0 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo nehomogenní rovnice ^^^^^^^^^^^^^^^^B Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooo»ooooooo Rovnice je tzv. nehomogenní, tj. b(x) ^ 0. V tomto případě se nejprve celá rovnice vynásobí vhodnou funkcí /x(x) (tzv. integračním faktorem), aby po úpravách vznikl výraz pro derivaci součinu. Integrační faktor je funkce ^(x) := e-/aWdx. Tedy platí / - a(x) y = b{x) => [y' - a{x) y] . /x(x) = b{x). /x(x) =>• y'.e-f a(x) dx - y a(x). e~ f a(x) dx = b(x). e~ f a(x) dx (y.e-faWdx)' -f*(x)dx = J b(x).e-fa^dxdx+C y.e y = eIa(x)dx j b(x).e-$a^dx dx+ C C g 00.0 Elementární diferenciální rovnice oooooooooooooooo»oooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Věta (O řešitelnosti lineární diferenciální rovnice 1. řádu) Jsou-li koeficienty a(x) a b(x) spojité funkce na intervalu (a, b), potom má počáteční úloha y' = a(x) y + b(x), y(x0) = y0 právě jedno řešení, které je na celém intervalu (a, b) definováno předchozím vztahem. Konstanta C se určí z počáteční podmínky y(*o) = yo- Elementární diferenciální rovnice oooooooooooooooo»oooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Věta (O řešitelnosti lineární diferenciální rovnice 1. řádu) Jsou-li koeficienty a(x) a b(x) spojité funkce na intervalu (a, b), potom má počáteční úloha y' = a(x) y + b(x), y(x0) = y0 právě jedno řešení, které je na celém intervalu (a, b) definováno předchozím vztahem. Konstanta C se určí z počáteční podmínky y(x0) = yo- Vidíme tedy, že na rozdíl od nelineárních rovnic, které mají zaručenu existenci a jednoznačnost řešení pouze na okolí bodu xo, jsou lineární diferenciální rovnice jednoznačně řešitelné na celém intervalu spojitosti pravé strany rovnice. Elementární diferenciální rovnice 00000000000000000*00000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad Vyřešte diferenciální rovnici y' = -3y + x. Elementární diferenciální rovnice 00000000000000000*00000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Příklad Vyřešte diferenciální rovnici y' = -3y + x. Řešení Protože je y' + 3y = x, je integrační faktor ^(x) = ef3dx = e3x. Potom platí y'e3x + 3ye3x = xe3x (y.e3x)/ = xe3x ^ y . e3x = Jxe3xdx+C u = eJX u = Zj-v = x v' = 1 = ^ x e3x - ^ e3x + C 1 1 ^ -3x y=-x--+Ce Cel. Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Bernoulliova rovnice Elementární diferenciální rovnice oooooooooooooooooo»oooo Některé další typy rovnic lze jednoduchou substitucí převést na rovnici lineární. Například tzv. Bernoulliova rovnice y' = a{x)y + b{x)yr se pomocí substituce u = y1_r (Pozor, u = u(x) je funkce proměnné x!) převede na rovnici lineární. Příklad Vyřešte diferenciální rovnici y' = -3y + xy2. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooo^ooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Řešení (Bernoulliova rovnice Jedná se zřejmě o Bernoulliovu rovnici s r = 2. Substitucí u = y-1 = ^ dostaneme u' = —y~2y' = p a tedy se daná rovnice převede na tvar y -3y + xy -3- + x y -3u + x. Poslední rovnice je lineární diferenciální rovnice pro neznámou funkci u(x). Z dřívějšího příkladu víme, že její řešení je funkce 1 1 r- -3x u = - x---hCe . 3 9 Zpětným dosazením za funkci u pak dostaneme řešení původní rovnice 11 1 r -3x - = -x-- + Ce 3x y 3 9 C e R. Elementární diferenciální rovnice oooooooooooooooooooo»oo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Dalším trikem, který někdy může pomoci převést danou rovnici na lineární diferenciální rovnici, je záměna nezávislé a závislé proměnné x a y. Tedy místo hledání řešení jako funkce y = y(x) jej budeme hledat jako funkci x = x(y). Výsledkem potom zřejmě bude řešení zadané pomocí inverzní funkce. Příklad Vyřešte diferenciální rovnici Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních difere íciálních ro vnic 1. řádu oooooooooooooooooooooso ooooooooo Tato rovnice není lineární diferenciální rovnice. Platí ale 1 dx dy dx 2x dy -2x + y, přičemž poslední rovnice už je lineární diferenciální rovnice pro neznámou funkci x = x(y). Tuto rovnici vyřešíme metodou integračního faktoru, tj. /i(y) = e2y. Řešení je potom tvaru (po dvojnásobné integraci per-partes v integrálu f y2 e2y dy) X=2¥ iy + i + C,-", C g Elementární diferenciální rovnice oooooooooooooooooooooo* Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Řešení nehomogenních rovnic metodou variace konstanty V případě nehomogenní rovnice lze postupovat kromě metody integračního faktoru rovněž (obecněji použitelnější) metodou variace konstanty: Variace konstanty • Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. • Variace konstanty spočívá v nahrazení konstanty v řešení přidružené rovnice funkční proměnnou, tj. hledáme řešení ve tvaru y = C (x) • e/aWdx. • Po dosazení do původní rovnice dostaneme C'(x) .e/aWdx = b(x). « Odtud dostaneme řešení C(x) = f b(x) • e~ / aM dx dx. Elementární diferenciální rovnice oooooooooooooooooooooo* Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooooo Řešení nehomogenních rovnic metodou variace konstanty V případě nehomogenní rovnice lze postupovat kromě metody integračního faktoru rovněž (obecněji použitelnější) metodou variace konstanty: Variace konstanty • Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. « Variace konstanty spočívá v nahrazení konstanty v řešení přidružené rovnice funkční proměnnou, tj. hledáme řešení ve tvaru y = C (x) • e/aWdx. « Po dosazení do původní rovnice dostaneme C'(x) .e/aWdx = b(x). • Odtud dostaneme řešení C(x) = f b(x) • e~ / aM dx dx. Poznamenejme, že v obou případech zřejmě počítáme tytéž integrály, takže z výpočetního hlediska jsou oba postupy ekvivalentní. 01 Elementární diferenciální rovnice • Diferenciální rovnice 1. řádu • Rovnice se separovanými proměnnými • Lineární diferenciální rovnice 1. řádu • Variace konstanty Q Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO »00000000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu Radioaktivní rozpad Radioaktivní materiál se rozpadá rychlostí, která je přímo úměrná množství přítomného materiálu. Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO »00000000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu Radioaktivní rozpad Radioaktivní materiál se rozpadá rychlostí, která je přímo úměrná množství přítomného materiálu. Tedy označíme-li jako Q(t) množství [většinou gramů] radioaktivního materiálu v čase t [roků], potom musí platit rovnice Q'(t) = —rQ(t), kde r > Oje konstanta úměrnosti. Všimněte si, že materiálu zřejmě ubývá, tj. Q' < 0. Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO »00000000 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu Radioaktivní rozpad Radioaktivní materiál se rozpadá rychlostí, která je přímo úměrná množství přítomného materiálu. Tedy označíme-li jako Q(t) množství [většinou gramů] radioaktivního materiálu v čase t [roků], potom musí platit rovnice Q'(t) = —rQ(t), kde r > Oje konstanta úměrnosti. Všimněte si, že materiálu zřejmě ubývá, tj. Q' < 0. Příklad_ Rádium-226 má poločas rozpadu k tomu, aby se dané množství Ra množství. 1620 let. Najděte čas potřebný -226 zmenšilo na | původního Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních difere íciálních ro vnic 1. řádu ooooooooooooooooooooooo o^ooooooo Označíme-li jako Q(0) := Qo původní množství Ra-226, potom pro hledanou funkci Q(t), která splňuje (homogenní) lineární diferenciální rovnici Q' = — rQ, platí (viz dříve) Q{t) = C e-n Q{0) = Ce° = C^C = Q0^ Q(t) = Q0 e~n. Nyní určíme konstantu r z informace o poločasu rozpadu: Qo = Qo e -r. 1620 In -r.1620 In \ 1620 0.000428 [let -li A nyní určíme hodnotu ŕ, pro kterou je Q(t) = | Qo'- -Qo = Qo e-n In* 4 -rt => t = —^ « 672.4 [let]. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu OO0OOOOOO Výměna tepla mezi tělesem a okolím Povrchová teplota tělesa se mění rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu teploty tělesa a okolního prostředí (tzv. Newtonův teplotní zákon). Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních difere íciálních ro vnic 1. řádu ooooooooooooooooooooooo oo»oooooo Výměna tepla mezi tělesem a okolím Povrchová teplota tělesa se mění rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu teploty tělesa a okolního prostředí (tzv. Newtonův teplotní zákon). Označme teplotu tělesa v čase ŕ jako 0(r) [°C] a teplotu okolního prostředí jako T [°C]. Potom musí platit rovnice 0'(ŕ) = -k [0(ŕ) - T], kde k > 0 je konstanta úměrnosti. Všimněte si, že pokud bude teplota okolního prostředí vyšší, než je teplota tělesa (tj. pokud je 0(ř) < 7"), potom je 0' > 0 a těleso se bude zahřívat. Zatímco pokud bude teplota okolního prostředí nižší, než je teplota tělesa (tj. pokud 0(r) > 7"), potom je 0' < 0 a těleso se bude ochlazovat. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu OO0OOOOOO Výměna tepla mezi tělesem a okolím Povrchová teplota tělesa se mění rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu teploty tělesa a okolního prostředí (tzv. Newtonův teplotní zákon). Označme teplotu tělesa v čase ŕ jako 0(r) [°C] a teplotu okolního prostředí jako T [°C]. Potom musí platit rovnice 0'(ŕ) = -k [0(ŕ) - T], kde k > 0 je konstanta úměrnosti. Všimněte si, že pokud bude teplota okolního prostředí vyšší, než je teplota tělesa (tj. pokud je 0(ř) < 7"), potom je 0' > 0 a těleso se bude zahřívat. Zatímco pokud bude teplota okolního prostředí nižší, než je teplota tělesa (tj. pokud 0(r) > 7"), potom je 0' < 0 a těleso se bude ochlazovat. Příklad (Detektivní kancelář) Je nalezena mrtvola, jejíž teplota je změřena na 26.6 °C. O 3 hodiny později je její teplota 21.1 °C, přičemž teplota okolí je 18.3 °C. Určete čas úmrtí. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooo»ooooo Řešení Při použití výše uvedeného značení (pro čas t v jednotkách [hodin]) máme T = 18.3, 0(0) = 26.6 (teplota v čase nalezení mrtvoly), 0(3) = 21.1, přičemž funkce 0(ř) splňuje rovnici 0/ = _/c(0-7) Q' = -kQ + kT. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooo»ooooo Řešení Při použití výše uvedeného značení (pro čas t v jednotkách [hodin]) máme T = 18.3, 0(0) = 26.6 (teplota v čase nalezení mrtvoly), 0(3) = 21.1, přičemž funkce 0(ř) splňuje rovnici 0/ = _/c(0-7) Q' = -kQ + kT. Poslední rovnice je lineární diferenciální rovnice pro neznámou funkci 0(ř). Tuto rovnici vyřešíme metodou integračního faktoru /i(ŕ) = ekt a dostaneme 0 = T+ Ce-kt = 18.3+ Ce-kt, Cel. Konstanty C a k určíme z informací o počáteční teplotě a o teplotě v čase t = 3 [hodiny]. ■0 0.0 Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu OOOO0OOOO Řešení 26.6 = 0(0) = 18.3 +C e° = 18.3 +C C = 8.3 a 0 = 18.3 + 8.3 6-^, a dále 21.1 = 0(3) = 18.3 + 8.3 e-3k e~3k = 21-1 ~ 183 « 0.337, 8.3 odkud -3k = In 0.337 k = _In^37 ~ 0 362. Jedy hledané řešení je funkce 0(ř) = 18.3 + 8.3 e-°-362ř. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu OOOO0OOOO Řešení 26.6 = 0(0) = 18.3 +C e° = 18.3 +C C = 8.3 a 0 = 18.3 + 8.3 6-^, a dále 21.1 = 0(3) = 18.3 + 8.3 e-3k e~3k = 21-1 ~ 183 « 0.337, 8.3 odkud -3k = In 0.337 k = _In^37 ~ 0 362. Jedy hledané řešení je funkce 0(ř) = 18.3 + 8.3 e-°-362ř. Jak se určí čas úmrtí? Určíme čas t, pro který je 0(ř) = 37 °C (teplota lidského těla). Tedy 18.3 + 8.3 e-°-362ř = 37 e-°-362ř = 37 "f-3 « 2.253. 8.3 Odtud -0.362ř = In 2.253 a ŕ = -ll0^2§3- « -2.24 a mrtvola tedy byla nalezena přibližně 2 hodiny a 15 minut po smrti. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooo»ooo Příklad (Míchání roztoku) Vodní nádrž o celkovém objemu L = 1000 [litrů] obsahuje Qq = 0 [gramů] soli v počátečním čase íq = 0 [minut]. Do nádrže přitéká roztok o koncentraci soli c = 50 [gramů/litr] rychlostí v = 20 [litrů/min] a po řádném promíchání s vodou v nádrži z ní vytéká stejnou rychlostí (viz obr.). Určete množství soli Q(t) v nádrži v libovolném čase t a limitní množství pro t —> oo. Elementární diferenciální rovnice Aplikace lineárních difere íciálních ro vnic 1. řádu ooooooooooooooooooooooo ooooo«ooo Příklad (Míchání roztoku) Vodní nádrž o celkovém objemu L = 1000 [litrů] obsahuje Qq = 0 [gramů] soli v počátečním čase íq = 0 [minut]. Do nádrže přitéká roztok o koncentraci soli c = 50 [gramů/litr] rychlostí v = 20 [litrů/min] a po řádném promíchání s vodou v nádrži z ní vytéká stejnou rychlostí (viz obr.). Určete množství soli Q(t) v nádrži v libovolném čase t a limitní množství pro t —> oo. Řešení Označili jsme jako Q(t) [g] množství soli v nádrži v libovolném čase t [min]. Potom Q'(t) udává, jak rychle se toto množství mění a přitom musí platit, že . / rychlost, s jakou sůl \ / rychlost, s jakou sůl y do nádrže přitéká j \ z nádrže vytéká Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu oooooo»oo Řešení (pokr.) Sůl do nádrže přitéká rychlostí c.v = 50 [g/l] . 20 [l/min] = 1000 [g/min]. A protože v nádrži je vždy koncentrace soľ [g/l], sůl z nádrže vytéká rychlostí rovna = ^ mv=mm.x p/minl Tedy hledaná funkce Q(t) splňuje rovnici 0-(.) = c. v => a dále splňuje (3(0) = 0. Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooo»o Řešení (pokr.) Uvedenou rovnici vyřešíme např. metodou integračního faktoru a dostaneme Q = cL+Ce-Tt (? = 50000+Ce-°-02ř, Cel. Z počáteční podmínky Qo = 0 dostaneme C = (Qq - c L) e~L ř° C = -50000, a tedy výsledné partikulární řešení (udávající kolik gramů soli bude v nádrži v okamžiku t minut) je tvaru Q = c L + (Qo - c L) eí ř° e~ř ř Q = 50000(1 - e-0-02 ř). Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu ooooooo»o Řešení (pokr.) Uvedenou rovnici vyřešíme např. metodou integračního faktoru a dostaneme Q = cL+Ce-tt (? = 50000+Ce-°-02ř, Cel. Z počáteční podmínky Qo = 0 dostaneme C = (Qq - c L) e~l ř° C = -50000, a tedy výsledné partikulární řešení (udávající kolik gramů soli bude v nádrži v okamžiku t minut) je tvaru Q = c L + (Qo - c L) eí ř° e~ř ř Q = 50000(1 - e-0-02 ř). Tedy v závislosti na tom, jestli je Qo > c L nebo Qo < c L, množství soli v nádrži (záporně exponenciálně) klesá nebo roste, a při Qo = c L zůstává stále stejné. 5 -o^o Elementární diferenciální rovnice ooooooooooooooooooooooo Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu 00000000» Řešení (dokončení) Pro t —> oo je potom l'"^Q(0 = \\m^\cL + (Q0 -cl) e~ž (*-*>)) lim Q(t) = cL [g] lim Q(t) = 50000 [g] . Po dostatečně dlouhé době bude tedy koncentrace soli v nádrži rovna Qoo = ^ = c [g/l], neboli 0,0 = ^^ = 50 [g/l], což je přesně koncentrace přitékajícího roztoku (samozřejmě, po „nekonečně dlouhé době" přitékající roztok „nahradí" původní roztok v nádrži, přičemž vůbec nezáleží na původním množství Qq, tj. na tom, kolik soli bylo v nádrži na počátku).