Matematika II - 2. přednáška Spojité funkce, limity ;rivace X)OOOOC Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 5. 10. 2011 Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Obsah přednášky Q Reálná čísla Q Limita posloupnosti a funkce O Spojitost 0 Přírůstky do ZOO Q Derivace Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Zuzana Došlá, Jaromír Kuběn - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2 (rovněž na http: //www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf). Reálná čísla Přírůstky do ZOO Derivace | OOOO OOOOOOOOOOOOO OOOOOOO OOOOOOOOOOOOO OOOOOOOC Plán přednášky Q Reálná čísla Q Limita posloupnosti a funkce Q Spojitost Q Přírůstky do ZOO Qi Derivace Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace •ooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Reálná čísla Reálná čísla zavedeme v podstatě intuitivně jako obrazy bodů na přímce, kde vyznačíme bod 0 označující počátek a rozhodneme o kladném směru (doprava). Značíme M. Matematicky lze reálná čísla zavést pomocí axiomů. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace •ooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Reálná čísla Reálná čísla zavedeme v podstatě intuitivně jako obrazy bodů na přímce, kde vyznačíme bod 0 označující počátek a rozhodneme o kladném směru (doprava). Značíme M. Matematicky lze reálná čísla zavést pomocí axiomů. Připomeňme si nyní vlastnosti (axiomy) reálných čísel včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací. Dělící čáry v tabulce naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že M \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, M je pole, množina M spolu s operacemi +, • a s relací uspořádání je tzv. uspořádané těleso (pole) a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že M je dostatečně husté, tj. nechybí nám tam body, jako např. druhá odmocnina ze dvou v číslech racionálních. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace •ooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Reálná čísla Reálná čísla zavedeme v podstatě intuitivně jako obrazy bodů na přímce, kde vyznačíme bod 0 označující počátek a rozhodneme o kladném směru (doprava). Značíme M. Matematicky lze reálná čísla zavést pomocí axiomů. Připomeňme si nyní vlastnosti (axiomy) reálných čísel včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací. Dělící čáry v tabulce naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že M \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, M je pole, množina M spolu s operacemi +, • a s relací uspořádání je tzv. uspořádané těleso (pole) a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že M je dostatečně husté, tj. nechybí nám tam body, jako např. druhá odmocnina ze dvou v číslech racionálních. Zároveň si uvědomujme, které z axiomů platí pro Q a C. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo (Rl) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, fa, c g M (R2) a + b = b + a, pro všechny a, b g M (R3) existuje 0 g M takový, že pro všechny a g M platí a + 0 = a (R4) pro všechny a g M existuje opačný prvek (—a) g M takový, že platí a + (—a) = 0 (R5) (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, fa, c g M (R6) a ■ b = b ■ a pro všechny a, fa g M (R7) existuje 1 g M takový, že pro všechny a g M platí 1 • a = a (R8) pro každý a ě M, 3 / 0 existuje inverzní prvek a-1 g M takový, že platí a • a-1 = 1 (R9) a • (b + c) = a • fa + a • c, pro všechny a, b, c g M (RIO) relace < je úplné uspořádání, tj. reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná relace na M (Rll) pro a, b, c g M platí, že z a < b vyplývá a + c < fa + c (R12) pro všechny a, b e R, a > 0, b > 0, platí také a ■ b > 0 (R13) každá neprázdná ohraničená množina A c M má supremum. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oo»o ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oo»o ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Nechť je dána neprázdná množina ACK. Prvek b G M nazveme horní závorou množiny A, pokud Vx £ A : x < b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závora množiny A, tj. je to prvek a G M s vlastností, že a < x pro všechny x £ A Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oo»o ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Nechť je dána neprázdná množina ACK. Prvek b G M nazveme horní závorou množiny A, pokud Vx £ A : x < b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závora množiny A, tj. je to prvek a G M s vlastností, že a < x pro všechny x £ A Řekneme, že množina A je shora ohraničená (shora omezená), pokud má A alespoň jednu horní závoru. Podobně se definuje zdola ohraničená (zdola omezená) množina A. Množina A je ohraničená (omezená), pokud je A současně zdola i shora ohraničená. Viz příklady reálných intervalů. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oo»o ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Nechť je dána neprázdná množina ACK. Prvek b G M nazveme horní závorou množiny A, pokud Vx £ A : x < b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závora množiny A, tj. je to prvek a G M s vlastností, že a < x pro všechny x £ A Řekneme, že množina A je shora ohraničená (shora omezená), pokud má A alespoň jednu horní závoru. Podobně se definuje zdola ohraničená (zdola omezená) množina A. Množina A je ohraničená (omezená), pokud je A současně zdola i shora ohraničená. Viz příklady reálných intervalů. Nej menší horní závora množiny A se nazývá supremum množiny A. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace ooo# ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Tj. prvek b G M je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: • V x G A : x < b (tj. b je horní závora množiny A), • je-li y G M horní závora množiny A, potom je b < y (tj. b je nejmenší horní závora). Supremum množiny A značíme jako b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závora množiny A, značíme a = inf A. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace ooo# ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Tj. prvek b G M je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: • V x G A : x < b (tj. b je horní závora množiny A), • je-li y G M horní závora množiny A, potom je b < y (tj. b je nejmenší horní závora). Supremum množiny A značíme jako b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závora množiny A, značíme a = inf A. Příklad Je-li A libovolný z intervalů (0,1), [0,1], [0,1) nebo (0,1], potom je vždy sup^ = l a inf/A = 0. Má-li množina A největší (resp. nejmenší) prvek b, potom je b = sup/4 (resp. b = inf A). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace ooo# ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Tj. prvek b G M je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: • V x G A : x < b (tj. b je horní závora množiny A), • je-li y G M horní závora množiny A, potom je b < y (tj. b je nejmenší horní závora). Supremum množiny A značíme jako b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závora množiny A, značíme a = inf A. Příklad Je-li A libovolný z intervalů (0,1), [0,1], [0,1) nebo (0,1], potom je vždy sup^ = l a inf/A = 0. Má-li množina A největší (resp. nejmenší) prvek b, potom je b = sup A (resp. b = inf A). Zatímco největší či nejmenší prvek nemusí v A existovat, i když je množina A ohraničená, supremum a infimum existují (v ohraničeném případě) vždy (jak je vidět z výše uvedeného axiomu R13). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Plán přednášky 01 Reálná čísla 01 Limita posloupnosti a funkce Q Spojitost Q Přírůstky do ZOO 01 Derivace Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO V tomto odstavci se budeme podrobně zabývat situací, kdy se nějaké hodnoty funkce (nebo posloupnosti) „blíží" k nějakému číslu či k ±00. To pak přirozeně vede k zavedení pojmu „limita" Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo V tomto odstavci se budeme podrobně zabývat situací, kdy se nějaké hodnoty funkce (nebo posloupnosti) „blíží" k nějakému číslu či k ±00. To pak přirozeně vede k zavedení pojmu „limita' Příklad K přiblížení pojmu „limita" může dobře posloužit již známý pojem infima či suprema. Zřejmě je 0 = inf(0,1), 1 = sup(0,1), a přitom ani jedno z čísel 0, 1 v množině (0,1) neleží. Uvažujme posloupnost bodů n=2 1 1 1 2' 3' 4' G (0,1) pro zvyšující se n. Potom vidíme, že se hodnoty této posloupnosti „nekonečně blíží" k hodnotě infima (k nule), ale nikdy této hodnoty nedosáhnou. Podobně toto platí pro posloupnost i^}^ = {\, |, 5, • • • } £ (0,1) a hodnotu suprema 1. Reálna čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo o»ooooooooooo Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N —> M) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno „limitou funkce v bodě xq ". Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo o»ooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N —> M) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno „limitou funkce v bodě xo ". Funkce f(x) má limitu L v bodě xo, pokud se funkční hodnoty f(x) libovolně blíží k číslu L, když je x dostatečně blízko k xq. Příklad Uvádíme různé „druhy" limit - vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. (a) Pro funkci f(x) = 3x + 1 máme limx^3(3x + 1) = 10, limx^00(3x + 1) = oo. ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo o»ooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N —> M) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno „limitou funkce v bodě xo ". Funkce f(x) má limitu L v bodě xo, pokud se funkční hodnoty f(x) libovolně blíží k číslu L, když je x dostatečně blízko k xq. Příklad Uvádíme různé „druhy" limit - vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. (a) Pro funkci f(x) = 3x + 1 máme limx^3(3x + 1) = 10, limx^00(3x + 1) = oo. (b) Pro funkci f(x) = \ máme (viz obr.) Iimx^0^ = oo, linix^oo 4 = 0, limx^_oo X = 0. ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo o»ooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N —> M) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno „limitou funkce v bodě xo ". Funkce f(x) má limitu L v bodě xo, pokud se funkční hodnoty f(x) libovolně blíží k číslu L, když je x dostatečně blízko k xq. Příklad Uvádíme různé „druhy" limit - vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. (a) Pro funkci f(x) = 3x + 1 máme limx^3(3x + 1) = 10, limx^00(3x + 1) = oo. (b) Pro funkci f(x) = \ máme (viz obr.) Iimx^0^ = oo, limx^oo^ = 0, limx^_oo ^ = 0. (c) Co je limx^0 \ ? ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo oo»oooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Okolím bodu a G M nazýváme libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-li okolí definované jako interval Os(a) = (a — ô, a + 5) pro kladné číslo ô, hovoříme o á-okolí bod a (a v případě množiny O \ {a} o ryzím (též prstencovém) okolí bodu a). Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Okolím bodu a G M nazýváme libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-li okolí definované jako interval Os(a) = (a — ô, a + 5) pro kladné číslo ô, hovoříme o á-okolí bodu a (a v případě množiny O \ {a} o ryzím (též prstencovém) okolí bodu a). Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel M (vlastních bodů) o dvě nekonečné hodnoty ±00 (nevlastníbody), K* =1U {ioo} ■ Proto zavádíme i pravidla pro počítání s těmito formálními hodnotami pro libovolná konečná čísla a G M: a + 00 = 00 a — 00 = —00 a • 00 = 00, je-li a > 0 a • 00 = —00, je-li a < 0 Okolím bodu a G M nazývame libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-1i okolí definované jako interval Os(a) = (a — ô, a + ô) pro kladné číslo ô, hovoříme o á-okolí bodu a (a v případě množiny O \ {a} o ryzím (též prstencovém) okolí bodu a). Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel M (vlastních bodů) o dvě nekonečné hodnoty ±00 (nevlastníbody), R* =RU {±00} . Proto zavádíme i pravidla pro počítání s těmito formálními hodnotami pro libovolná konečná čísla a G M: a + 00 = 00 a — 00 = —00 a • 00 = 00, je-li a > 0 a • 00 = —00, je-li a < 0 Okolím 00 , resp. —00, rozumíme interval (3,^00}, ^ resp. (—00^ a). _ Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Definice Buď xo, L G M*. Funkce f [x) má v bodě xo limitu L, píšeme lim f (x) = L, pokud pro každé okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{xq) bodu xo tak, že pro všechna x G 0{xq) \ {xq} je f (x) G 0{Ľ). Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Definice Buď xo, L G M*. Funkce f (x) má v bodě xo limitu L, píšeme lim f (x) = L, pokud pro každé okolí 0(Ľ) bodu L existuje okolí 0(xq) bodu xo tak, že pro všechna x G 0(xq) \ {xq} je f (x) G O(Ľ). Poznámka To, že požadujeme, aby x 7^ xo, znamená, že limita nezávisí na hodnotě funkce v bodě xrj!, tj. zajímají nás pouze hodnoty v ryzím okolí bodu xq. Limita posloupnosti a funkce oooo»oooooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Příklad Ukažte z definice, že limx^3(3x + 1) = 10. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Příklad Ukažte z definice, že limx^3(3x + 1) = 10. Řešení Bud' e > 0 libovolné. Chceme najít číslo ô > 0 takové, aby |y - 10| < £, kdykoliv bude 0 < |x - 3| < ô. Tedy |(3x + 1) - 101 < e, tj. |3x-9| Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Příklad Ukažte z definice, že linix^oo 7 = 0. Řešení Bud' e > 0 libovolné. Chceme najít číslo a > 0 takové, aby |y — 0| < e, kdykoliv bude x > a. Tedy |^| < e, tj. ^ < £, tj. x > |. Stačí tedy vzít a := |, případně libovolné jiné a splňující a > -. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Příklad Ukažte z definice, že linix^oo 7 = 0. Řešení Bud' e > 0 libovolné. Chceme najít číslo a > 0 takové, aby |y — 0| < e, kdykoliv bude x > a. Tedy |^| < e, tj. ^ < £, tj. x > |. Stačí tedy vzít a := |, případně libovolné jiné a splňující a > |. Ve vlastních bodech xo se můžeme blížit k bodu xo také jen zprava nebo jen zleva, tj. v definici limity použijeme pouze pravé ryzí okolí bodu xo nebo pouze levé ryzí okolí bodu xo. Dostáváme pak pojmy limity zprava a limity zleva. Limita posloupnosti a funkce OOOOOOOOOOOOO Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Příklad Pro funkci sgnx („signum" = znaménko) definovanou jako sgnx pro x > 0, pro x < 0, pro x = 0, platí lim sgnx = 1, lim sgn x = —1. Limita posloupnosti a funkce oooooo»oooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Príklad Pro funkci sgnx („signum" = znaménko) definovanou jako 1, sgnx 0, platí lim sgnx = 1, x^0+ pro x > 0, pro x < 0, pro x = 0, lim sgn x = —1. ' Príklad Pro funkci i platí lim — = oo, x^0+ x lim — = —oo. x^o- x Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooo»ooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Limita posloupnosti Jestliže je funkce f je definována pouze pro přirozená čísla, hovoříme o limitách posloupností reálných nebo komplexních čísel. Zřejmě má smysl prát se pouze po limitách v oo (tj. jediným hromadným bodem N je oo) a píšeme pro f(n) = an lim an = a. n—>oo Podle definice to pak znamená, že pro každé okolí O(a) limitní hodnoty a existuje index N G N takový, že an G 0(a) pro všechny n > N. Ve skutečnosti jsme tedy v tomto speciálním případě přeformulovali definici konvergence posloupnosti. Říkáme také, že posloupnost an konverguje k a. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO oooo oooooooo»oooo ooooooooooooo oooooooc Kdy limita neexistuje? • skok - funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), <□> i o^o Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace OOOO 00000000*0000 ooooooo ooooooooooooo oooooooc neexistuje? skok - funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), „nekonečný" skok - funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ±00), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo oooooooo»oooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc . i:___ neexistuje? • skok - funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), • „nekonečný" skok - funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ±00), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), • oscilace - např. funkce f(x) = sin ^ v bodě xq = 0. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo oooooooo»oooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc . i:___ neexistuje? • skok - funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), • „nekonečný" skok - funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ±00), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), • oscilace - např. funkce f(x) = sin ^ v bodě xq = 0. • skok - funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), • „nekonečný" skok - funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ±00), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), • oscilace - např. funkce f(x) = sin ^ v bodě xq = 0. nemá limitu v žádném bodě xo G M*, protože v libovolném okolí zvoleného bodu xo se nacházejí jak racionální, tak iracionální čísla, a tedy tato funkce zde nabývá hodnot 1 i 0 (a tedy zde nemůže mít limitu). 1, pro x G Q (tj. pro x racionální), 0, pro x 0 Q (tj. pro x iracionální) Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooo»ooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti limit Věta O Funkce f(x) má v bodě xq g M* nejvýše jednu limitu. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooo»ooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti limit Věta O Funkce f(x) má v bodě xq g W nejvýše jednu limitu. & Má-li f(x) vlastní limitu L g R v bodě xq g W, potom je f(x) na nějakém ryzím okolí bodu xq ohraničená. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooo»ooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti limit Věta O Funkce f(x) má v bodě xq g R* nejvýše jednu limitu. & Má-li f(x) vlastní limitu L g R v bodě xq g R*, potom je f(x) na nějakém ryzím okolí bodu xq ohraničená. O Limita existuje, právě když existují obě jednostranné limity a jsou si rovny tj. lim f(x) = L lim f(x) = L= lim f(x). X^X0 X^XQ X^XQ Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti limit Věta _ Jsou-li lim f(x) = L lim g(x) = M, X^XQ kde [,MéK (pouze vlastní limity!) a x0 g R*, potom lim [f(x)±g(x)] X^XQ = Z.±M, lim fix) ■ g(x) = L ■ M, X^XQ hm x^xo g(x) = pokud lim |f(x) x—5-XQ = 1 lim f(x)| = |Z.|. x—>XQ Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooo»o ooooooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti limit Věta (O třech limitách) Nechi xo, L £ W. Je-li g(x) < f(x) < h(x) na nějakém ryzím okolí bodu xq a je-li L lim g(x) X^XQ lim h(x), X^XQ potom také existuje limita funkce f(x) a je rovna číslu L, tj. lim f(x) = L X^XQ Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Příklad Rozhodněte, jestli má funkce xsin ^ limitu v bodě xq = 0. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Příklad Rozhodněte, jestli má funkce xsin j- limitu v bodě xq = 0. Řešení Protože je funkce sin x ohraničená (jedničkou shora a mínus jedničkou zdola), pro x / 0 platí nerovnosti —|x| < xsin - < |x|. A protože limx^o |x| = 0, existuje podle Věty také limita funkce xsin j a platí limx^oxsin ^ = 0. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Plán přednášky Q| Reálná čísla Q Limita posloupnosti a funkce Ql Spojitost Q Přírůstky do ZOO 0 De rivace Spojitost •oooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny „důležité" vlastnosti. Definice Funkce f(x) je spojitá v bodě xq g M, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě xo existuje funkční hodnota ^(xo) a tato dvě čísla jsou si rovna, tj. limx^Xo f(x) = f(xo). Obdobně spojitost zprava a zleva. Spojitost •oooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny „důležité" vlastnosti. Definice Funkce f(x) je spojitá v bodě xq g M, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě xo existuje funkční hodnota ^(xo) a tato dvě čísla jsou si rovna, tj. limx^Xo f(x) = f(xo). Obdobně spojitost zprava a zleva. Funkce f je spojitá na množině A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech xo g A (příp. jednostranně). Spojitost •oooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny „důležité" vlastnosti. Definice Funkce f(x) je spojitá v bodě xq g M, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě xo existuje funkční hodnota ^(xo) a tato dvě čísla jsou si rovna, tj. limx^Xo f(x) = f(xo). Obdobně spojitost zprava a zleva. Funkce f je spojitá na množině A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech xo g A (příp. jednostranně). Příklad Z vlastností limity snadno plyne, že každý polynom (a tedy i každý splajn) je spojitou funkcí na celém M. Každá racionální lomená funkce je pak spojitá ve všech bodech, kde je nenulový jmenovatel. Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo Spojitost 0*00000 Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Příklad O Funkce f(x) = \ÍA — x2 je spojitá na intervalu [—2,2], tj. f G C[-2,2]. Spojitost 0*00000 Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Příklad Funkce f(x) = VÄ — x2 je spojitá na intervalu [—2,2], tj. f G C[-2,2]. O Funkce f(x) = ^ je spojitá na intervalu (—oo,0), na intervalu (0,oo), ale není spojitá na intervalu (—00,00) (tedy na M). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo oo»oooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnosti O Jsou-li funkce f(x) a g(x) spojité v bodě xo, pak jsou zde spojité i funkce (f±g)(x), f(x).g(x), f(x) ř(x) pro g(x0) Ý O- ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo oo»oooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnosti O Jsou-li funkce f(x) a g(x) spojité v bodě xo, pak jsou zde spojité i funkce (f±g)(x), f(x).g(x), ^ prog:(xo)^0. O (Věta o záměnnosti limitního přechodu a funkce.) Nechť Xq g W. Je-li I imx_s,Xo g(x} — M a je-li funkce f (y) spojitá v bodě yo = M, potom lim f(g(x)) = f( lim g(x)) = f{M). ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo oo»oooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnosti Q Jsou-li funkce f(x) a g(x) spojité v bodě xo, pak jsou zde spojité i funkce (f±g)(x), f(x).g(x), ^ prog:(xo)^0. O (Věta o záměnnosti limitního přechodu a funkce.) Nechť x0 G R*. Je-li I imx_s,Xo g^(x) — M 3 je-li funkce f (y) spojitá v bodě yo = M, potom lim f(g(x)) = f( lim g(x)) = f{M). x^x0 x^x0 0 (Spojitost složené funkce.) Je-li funkce g(x) spojitá v bodě xo a je-li funkce f[y) spojitá v bodě yo = g(xo), potom je složená funkce (f og)(x) = f(g(x)) spojitá v bodě xq. ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooo»ooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrassova) Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své nejmenší a největší hodnoty. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooo»ooo ooooooooooooo oooooooc Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrassova) Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své nejmenší a největší hodnoty. Věta (Bolzanova) Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom f(x) nabývá v tomto intervalu všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou. Důsledek Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu [a, b] a mají-li hodnoty f (a) a f(b) různá znaménka, pak existuje bod c G (a, b) tak, že platí f(c) = 0, tj. rovnice f(x) = 0 má v intervalu (a, b) alespoň jedno řešení. ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo oooo»oo ooooooooooooo oooooooc Spojitost inverzní funkce Věta Je-li funkce f(x) spojitá a ryze monotónní(tj. stále „roste" nebo stále „klesá") na intervalu I, potom je také inverxní funkce f^1(x) spojitá a ryze monotónní na intervalu J := f(l). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo oooo»oo ooooooooooooo oooooooc Spojitost inverzní funkce Věta Je-li funkce f(x) spojitá a ryze monotónní(tj. stále „roste" nebo stále „klesá") na intervalu I, potom je také inverxní funkce f^1(x) spojitá a ryze monotónní na intervalu J := f(l). Poznámka Z této věty snadno vyplyne spojitost cyklometrických funkcí arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx (na příslušných intervalech) a dále spojitost logaritmických funkcí (jakmile je později definujeme). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooo^o ooooooooooooo oooooooc Body nespojitosti Rozlišujeme následující typy nespojitosti (v bodech xq 6 M): Odstranitelná nespojitost Existuje vlastní limita limx^xo f(x), ale tato limita je různá od f(xo) (případně ^(xo) není vůbec definována). Tento typ nespojitosti lze „odstranit" předefinováním (případně dodefinováním) hodnoty f(xo). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooo^o ooooooooooooo oooooooc Body nespojitosti Rozlišujeme následující typy nespojitosti (v bodech xq £ M): Odstranitelná nespojitost Existuje vlastní limita limx^xo f(x), ale tato limita je různá od f(xo) (případně ^(xo) není vůbec definována). Tento typ nespojitosti lze „odstranit" předefinováním (případně dodefinováním) hodnoty f(xo). Příklad • Funkce f(x) = ^—j má v bodě xq = 2 odstranitelnou nespojitost (v podstatě je f(x) = x + 2 pro x 7^ 2). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooo^o ooooooooooooo oooooooc Body nespojitosti Rozlišujeme následující typy nespojitosti (v bodech xq £ M): Odstranitelná nespojitost Existuje vlastní limita limx^xo f(x), ale tato limita je různá od f(xo) (případně ^(xo) není vůbec definována). Tento typ nespojitosti lze „odstranit" předefinováním (případně dodefinováním) hodnoty f(xo). Příklad • Funkce f(x) = ^—j má v bodě xq = 2 odstranitelnou nespojitost (v podstatě je f(x) = x + 2 pro x 7^ 2). • Funkce f(x) = má v bodě xo = 0 odstranitelnou nespojitost. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace OOOO OOOOOOOOOOOOO 000000» ooooooooooooo oooooooc Body nespojitosti - pokr. skok (nespojitost prvního druhu) Existují vlastní jednostranné limity limx^x+ f(x) a limx^x- f{x), ale tyto jednostranné limity jsou různé (přitom vůbec nezáleží na hodnotě ^(xo)). Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace OOOO OOOOOOOOOOOOO 000000» ooooooooooooo oooooooc Body nespojitosti - pokr. skok (nespojitost prvního druhu) Existují vlastní jednostranné limity limx^x+ f(x) a limx^x- f{x), ale tyto jednostranné limity jsou různé (přitom vůbec nezáleží na hodnotě ^(xo)). Příklad Funkce f(x) = sgnx má v bodě xq = O nespojitost typu skok. Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo jitosti - pokr. Spojitost oooooo* Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO skok (nespojitost prvního druhu) Existují vlastní jednostranné limity limx^x+ f (x) a limx^x- f{x), ale tyto jednostranné limity jsou různé (pritom vůbec nezáleží na hodnotě ^(xo)). Príklad Funkce f [x) = sgnx má v bodě xq = 0 nespojitost typu skok. Nespojitost druhého druhu Alespoň jedna jednostranná limita je buď nevlastní nebo neexistuje. J Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace OOOO OOOOOOOOOOOOO 000000» ooooooooooooo oooooooc Body nespojitosti - pokr. skok (nespojitost prvního druhu) Existují vlastní jednostranné limity limx^x+ f(x) a limx^x- f{x), ale tyto jednostranné limity jsou různé (přitom vůbec nezáleží na hodnotě ^(xo)). Příklad Funkce f(x) = sgnx má v bodě xq = O nespojitost typu skok. Nespojitost druhého druhu Alespoň jedna jednostranná limita je bud' nevlastní nebo neexistuje. J Příklad Funkce ŕW = ~2' /r(x)=sin^ mají v bodě xq = 2 nespojitost druhého druhu. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Plán přednášky 01 Reálná čísla Q Limita posloupnosti a funkce Q Spojitost O Přírůstky do ZOO 0 De rivace Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO •oooooooooooo Racionální (lomená) funkce Nechť f a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní hodnoty (tj. připouštíme výrazy anxn + • • • + ao s komplexními a,- G C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Pak funkce /):1\{xě1, g(x) = 0} ->• C, h(x) = ^ je dobře definována ve všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce nazýváme racionální (lomené) funkce. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO •oooooooooooo Racionální (lomená) funkce Nechť f a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní hodnoty (tj. připouštíme výrazy anxn + • • • + 3o s komplexními a,- G C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Pak funkce /):1\{xě1, g(x) = 0} ->• C, h(x) = ^ je dobře definována ve všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce nazýváme racionální (lomené) funkce. Racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech, kde definovány nejsou, mohou mít « konečnou limitu, když jde o společný kořen polynomů f i g (a v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou) • nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě jsou stejné • různé nekonečné limity zprava a zleva. ■0 0.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo o»ooooooooooo oooooooc Mocninné funkce Polynomy jsou seskládány z jednoduchých mocninných funkcí xh>x"s přirozeným číslem n = 0,1, 2,.... Samozřejmý smysl má také funkce x i-> x_1 pro všechny Tuto definici rozšíříme na obecnou mocninnou funkci sděK. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo o»ooooooooooo oooooooc Mocninné funkce Polynomy jsou seskládány z jednoduchých mocninných funkcí xh>x"s přirozeným číslem n = 0,1, 2,.... Samozřejmý smysl má také funkce x i-> x_1 pro všechny Tuto definici rozšíříme na obecnou mocninnou funkci sděK. Pro n = — a s a G N definujeme x-a = (xT1 = (x"1)'. Dále jistě chceme, aby ze vztahu b" = x pro n G N vyplývalo i b = x n. Je třeba ale ověřit, že taková fa skutečně existují pro dané x. Předpokládejme x > 0 a označme B množinu B = {y G M, y > 0, y" < x}. To je zřejmě shora ohraničená množina a lze ověřit, že pro b = sup B skutečně platí požadovaná rovnost. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo o»ooooooooooo oooooooc Mocninné funkce Polynomy jsou seskládány z jednoduchých mocninných funkcí xh>x"s přirozeným číslem n = 0,1, 2,.... Samozřejmý smysl má také funkce x i-> x_1 pro všechny Tuto definici rozšíříme na obecnou mocninnou funkci sděK. Pro n = — a s a G N definujeme x-a = (xT1 = (x"1)'. Dále jistě chceme, aby ze vztahu b" = x pro n G N vyplývalo i b = x n. Je třeba ale ověřit, že taková fa skutečně existují pro dané x. Předpokládejme x > 0 a označme B množinu B = {y G M, y > 0, y" < x}. To je zřejmě shora ohraničená množina a lze ověřit, že pro b = sup B skutečně platí požadovaná rovnost. Zdůvodnili jsme tedy existenci xa pro všechny x > 0 a a G Q. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace OOOO OOOOOOOOOOOOO OOOOOOO OO0OOOOOOOOOO oooooooc Mocninná funkce - pokračování Konečně, pro a G M, x > 1 klademe xa = sup{xy,y G Q, y < a}. Pro O < x < 1 bud' definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s nerovnítky) nebo klademe přímo xa = (j)~a-Pro x = 1 je pak la = 1 pro libovolné a. Obecnou mocninnou funkci xh-x3 máme tedy dobře definovanou pro všechny x G [O, oo) a a G M. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooo»ooooooooo oooooooc Exponenciální funkce Naši konstrukci funkce xa ale můžeme také číst následujícím způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná funkce na celém M, y i-> ď. Této funkci říkáme exponenciální funkce o základu c. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooo»ooooooooo oooooooc Exponenciální funkce Naši konstrukci funkce xa ale můžeme také číst následujícím způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná funkce na celém M, y i-> ď. Této funkci říkáme exponenciální funkce o základu c. Na obrázcích vidíme funkce xh/ hodnotu a = 2.5167 a b = 4.5833. a x i-> x pro jednu konkrétní Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOO0OOOOOOOO Z našich definic je vcelku zřejmé, že mocninné i exponenciální funkce jsou spojité na celých svých definičních oborech. Zároveň se ze spojitosti definice pomocí suprem množin hodnot zjevně přenáší základní vlastnosti platné pro racionální čísla, a, x, y: Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooo»ooooooo oooooooc Eulerovo číslo ' Příklad Určete limitu posloupnosti an = | (1 + *) i" pro n —> oo. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooo»ooooooo oooooooc Eulerovo číslo Příklad Určete limitu posloupnosti an (l + 7;)" pro n ->• oo. Z binomického rozvoje je zřejmé, že pro každé kladné číslo b a přirozené n platí (1 + b)n > 1 + nb, dostáváme proto pro dva po sobě jdoucí členy naší posloupnosti podíl (! + £)" (n2-l)nn (i + tt^t)" 1 "2n("-i) 1-4 >(l-i). " 1. n n Je tedy naše posloupnost rostoucí. Zároveň stejným výpočtem ověříme, že posloupnost čísel b„ = (1 + ln)n+1 = (1 + £)(1 + £)" je klesající a jistě je £>„ > an. 00.0 Určete limitu posloupnosti an (l + 7;)" pro n ->• oo. Z binomického rozvoje je zřejmé, že pro každé kladné číslo b a přirozené n platí (1 + b)n > 1 + nb, dostáváme proto pro dva po sobě jdoucí členy naší posloupnosti podíl (! + £)" (n2-l)nn (i + tt^t)" 1 "2n("-i) 1-4 1. Je tedy naše posloupnost rostoucí. Zároveň stejným výpočtem ověříme, že posloupnost čísel b„ = (1 + ln)n+1 = (1 + £)(1 + £)" je klesající a jistě je />„ > an. Ověřili jsme tedy existenci limity posloupnosti an (a zároveň vidíme, že je rovna limitě klesající posloupnosti bn). 00.0 Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Definice Limita lim I 1 + - >oo \ n je jedním z nejduležitějších čísel v matematice (vedle nuly, jedničky a Ludolfova čísla ir). Nazýváme jej Eulerovým číslem e. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO oooooo»oooooo Definice Limita lim I 1 + - >oo \ n je jedním z nejduležitějších čísel v matematice (vedle nuly, jedničky a Ludolfova čísla ir). Nazýváme jej Eulerovým číslem e. Poznámka O číslu e lze dokázat, že je iracionální a transcendentní (tj. není kořenem nenulového polynomu s celočíselnými koeficienty) -podobně jako Ludolfovo číslo ir. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooo»ooooo oooooooc Přirozený logaritmus Exponenciální funkce ex je všude dobře definována a prostá, proto existuje všude i její funkce inverzní. Označujeme ji In x a říkáme jí přirozený logaritmus nebo logaritmus se základem e. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooo»ooooo oooooooc Přirozený logaritmus Exponenciální funkce ex je všude dobře definována a prostá, proto existuje všude i její funkce inverzní. Označujeme ji In x a říkáme jí přirozený logaritmus nebo logaritmus se základem e. Je definována vztahem Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooo»ooooo oooooooc Přirozený logaritmus Exponenciální funkce ex je všude dobře definována a prostá, proto existuje všude i její funkce inverzní. Označujeme ji In x a říkáme jí přirozený logaritmus nebo logaritmus se základem e. Je definována vztahem elnx = x. Z vlastností mocninných funkcí: ln(x • y) = In x + In y, lnxy=y-lnx. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooo»ooooo oooooooc Přirozený logaritmus Exponenciální funkce ex je všude dobře definována a prostá, proto existuje všude i její funkce inverzní. Označujeme ji In x a říkáme jí přirozený logaritmus nebo logaritmus se základem e. Je definována vztahem elnx = x. Z vlastností mocninných funkcí: ln(x • y) = In x + In y, lnxy=y-lnx. Pro obecnou exponenciální funkci ax se základem a / 1, a > 0 také existuje všude inverzní funkce. Říkáme jí logaritmus při základu a, píšeme logax. Reálna čísla oooo Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO oooooooo»oooo Derivace oooooooc .imity příslušníků ZOO Příklad Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo oooooooo»oooo oooooooc Limity příslušníků ZOO ' Příklad Určete sinx lim -. x^o x Řešení Pro x £ (0, ^) platí sinx < x < tgx (viz obr.). A protože je pro tato x hodnota sinx > 0, je 1 < < sin x cosx < - < 1. sin x cosx Jelikož je funkce cosx spojitá (v nule), obě strany nerovnosti se pro x —> 0+ blíží k 1, a tedy podle věty o třech limitách je sin x lim x^0+ x 1. 00.0 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooo»ooo oooooooc Příklad Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooo»ooo Príklad Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu lim x^o 1 — cos x lim x^o lim x^o lim x^o 1 — COS x sm x 1 — cos x 1 + cos x \ x 1 + cos x I sm x 1 + cos x 1 1 + cos x lim x^o sin2 x 1 + cos x 1.0.- = 0. 2 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo oooooooooo»oo oooooooc Příklad Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO oooooooooo»oo ' Příklad ^ Určete .. ex - 1 lim -. x^o x Řešení Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu jj . Pomocí nerovnosti 1 + < ex < 1 + jS^, pro x G (0, neboli < < 1_12x, pro x G (0, dostaneme z věty o třech limitách, že limx^0+ Ě-^rL = 1- Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO oooooooooo»oo ' Příklad * Určete .. ex - 1 lim -. x^O x Řešení Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu jj . Pomocí nerovnosti 1 + < ex < 1 + jS^, pro x G (0, neboli < < 1_12x, pro x G (0, dostaneme z věty o třech limitách, že limx^0+ = 1- Podobně, platí íľľ^ < ^r1 < í+T' pro x G °)'a tecJy p°dle věty o třech limitách platí limx^0- Ě-^L = 1- Celkově tedy dostaneme lim -= 1. x^O x Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO 00000000000*0 Příklad Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooo»o Příklad Z předchozího příkladu víme, že pro malé x je ex — 1 x, tedy je ex « 1 + x. Logaritmováním obou stran dostaneme, že ln(l +x). Tedy platí, že lim ln(l+x) Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO 000000000000» Příklad Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO 000000000000» ' Příklad * Určete ax - 1 lim -. x^O x Řešení Dosazením za x : = 0 dostaneme, že tato limita je typu lůl- Pomocí rovnosti ax _ ginax _ ex lna dostaneme lim ax-l exlna-l In a, -= lim -■-• In a = x^O x x^ov x In a a tedy je ax - 1 lim -= In a. x^O x Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc Plán přednášky 0 Reálná čísla 0 Limita posloupnosti a funkce 0 Spojitost 0 Přírůstky do ZOO 0 De rivace Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Definice Nechť f je reálná nebo komplexní funkce s definičním oborem A c M a xo G A. Jestliže existuje limita , f(x) ~ f(xo) lim —-1— = a x^x0 x — Xo pak říkáme, že f má v bodě xo derivaci a. Píšeme často a = f'(xo) nebo a = ^(x0) případně a = ^r(x0). Derivace funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou příslušná limita. Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme zcela stejně pomocí limity zprava a zleva. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Analyzujme difereční podíl (viz obr.) x - xo což je směrnice sečny procházející body M = [xq, f(xo)] a N = [x,f(x)} Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Analyzujme difereční podíl (viz obr.) X - Xq což je směrnice sečny procházející body M = [xq, f(xo)] a N = [x,f(x)} Pokud se x blíží k xo (tj. bod N se blíží k bodu M), sečna MN se stává tečnou v bodě M, a tedy je f'(x0) = lim f(X) " f(Xo) x^x0 x — Xo směrnicí tečny v bodě M = [xq, ^(xq)]. Limita posloupnosti a funkce OOOOOOOOOOOOO Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Příklad Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = 1/x v bodě xq = 1. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Příklad Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = l/x v bodě xq = 1. Řešení Směrnici tečny získáme vypočtením příslušné limity Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Príklad Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = l/x v bodě xq = 1. Směrnici tečny získame vypočtením příslušné limity lim --= lim —xtt- x->l x — 1 x->l x_1 lim 1 -x i lim — >i x (x — 1) x->l x Rovnici tečny pak dostaneme ze vztahu y - f{xo) = f'{xo){x ~ xo), tj- -1. y -x+ 2. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xq nejvýše jednu derivaci Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo ooo»oooc • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Derivace f (xq) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f'{x0)= lim f(x) - f(x0) = lim h->o f (x0 + h) - f (x0) x - x0 h Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo ooo»oooc • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f<(xo) = lim f M - f M = lim + x^x0 x — Xo h^O h • Tečna y = ^(xo) + /r/(xo)(x — xo) dobře aproximuje funkci f v dostatečně malém okolí bodu xq. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo ooo»oooc • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f<(xo) = lim f M - f M = lim + x^x0 x — Xo h^O h • Tečna y = ^(xo) + /r/(xo)(x — xo) dobře aproximuje funkci f v dostatečně malém okolí bodu xo. • Aby mohla mít funkce f [x) derivaci v bodě xo, musí být definována na nějakém okolí bodu xq (včetně bodu xq)! Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO ooooooooooooo Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f<(xo) = lim f M - f M = lim H«, + i.)-fM. x^x0 x — Xo h^O h • Tečna y = f(xo) + /r/(xo)(x — xo) dobře aproximuje funkci f v dostatečně malém okolí bodu xq. • Aby mohla mít funkce f [x) derivaci v bodě xo, musí být definována na nějakém okolí bodu xo (včetně bodu xo)! • f'{xo) někdy píšeme jako ^j(xq), nebo jako f'(x)\ _ . Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Příklad Určete derivaci funkce f(x) = \fx v bodech xq g T>{f). Limita posloupnosti a funkce ooooooooooooo Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO Príklad Určete derivaci funkce f (x) = y/x v bodech xq G T>(f). Zrejme je T>(f) = [0, oo). Pro xo > 0 je ■ \/*Q f'{x0)= lim x^xq x lim x lim x^xq *0 *0 lim x0 (x - Xo) (y/x + y/xo) x^x0 y/ž + ^/xô~ 2^/xô~ Pro xo = 0 derivace neexistuje (je to krajní bod definičního oboru, a tudíž v něm neexistuje limita - existuje zde pouze limita zprava). Vypočtěme tedy derivaci zprava: f|(0) = iimx^0+ ^rfi = limx^o+ ir = limx^o+ ^ = °°- Funkce f(x) = y/x tedy má v počátku nevlastní pravostrannou derivaci f+(0) = oo, neboli tečna v bodě xq = 0 je svislá přímka. Reálna čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace oooo OOOOOOOOOOOOO 0OOOOOO OOOOOOOOOOOOO ooooococ Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů (x")' = nxn~\ podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo ooooo»oc Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů (xny = nxn-\ podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Pokud se na bod xo budeme dívat jako na „proměnnou", potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f'(x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f'(x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že V(f') c V(f). Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Pokud se na bod xo budeme dívat jako na „proměnnou", potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f'(x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f'(x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že Tedy prozatím odvozené vztahy pro derivace můžeme shrnout jako = nx' 77-1 V(f') c V(f). = nx' 77-1 1 Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo ooooo»oc Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů (xny = nxn-\ podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Pokud se na bod xo budeme dívat jako na „proměnnou", potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f'(x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f'(x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že V(f') c V(f). Tedy prozatím odvozené vztahy pro derivace můžeme shrnout jako = 6 N' (I)' = 4. (v^)' = ^. Má-li funkce f(x) derivaci v každém bodě množiny (např. intervalu) /, pak říkáme, že f(x) je diferencovatelná na I. Např. x" je diferencovatelná na M, nebo ^ je diferencovatelná na (0, 00) a na (—00, 0). Limita posloupnosti a funkce OOOOOOOOOOOOO Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO rychlost Je-li s(ŕ) poloha hmotného bodu na přímce v čase ŕ, potom je výraz celková dráha s(ŕ) — s(ŕo) celkový čas t — ŕo roven průměrné rychlosti za časový úsek [ŕo, ŕ]. Zřejmě je pak s(ŕ)-s(ŕ0) lim t->t0 s'(to) ŕ - ŕo rychlost v okamžiku ŕo, a tedy je v(t) = s'(ŕ), rychlost je derivace dráhy. Zde je nutné vzít v úvahu, že rychlost v(t) má znaménko, tj. v(t) > 0 ve směru pohybu, kdy se s(ŕ) zvětšuje a v(t) < 0, když se s(ŕ) zmenšuje. Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO zrychleni Protože je zrychlení a(t) změna rychlosti, podobně platí, že v{t) - v{to) lim t^to t - t0 v'(t0) je zrychlení v okamžiku to, a tedy je a(t) = v'(t), zrychlení je derivace rychlosti. Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Přírůstky do ZOO Derivace oooo ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooo oooooooc výkon Protože platí, že výkon změna práce změna času je P(t) = W'(t), výkon je derivace práce. Limita posloupnosti a funkce OOOOOOOOOOOOO Spojitost ooooooo Přírůstky do ZOO OOOOOOOOOOOOO výkon "* Protože platí, že výkon změna práce změna času je P(t) = W'(t), výkon je derivace práce. proud Protože platí, že elektrický proud změna napětí zmena casu je /(ŕ) = U'(t), proud je derivace napětí.