Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Matematika II - 3. přednáška Derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 12. 10. 2011 Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo 0 Přírůstky do ZOO Q Derivace • Vlastnosti a pravidla derivací • Derivace vyšších řádů Q Derivace elementárních funkcí Přírůstky do ZOO ooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Zuzana Došlá, Jaromír Kuběn - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2 [rovněž na http://www.math.muni.cz/~dosla/skript.pdf). Přírůstky do ZOO ooooo Plán přednášky Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Q Přírůstky do ZOO Q Derivace • Vlastnosti a pravidla derivací • Derivace vyšších řádů Q Derivace elementárních funkcí Příklad ' Príklad Určete sinx hm -. x^O x Řešení Pro x £ (0, ^) platí sinx < x < tgx (viz obr.). A protože je pro tato x hodnota sinx > 0, je 1 < < sin x cosx < - < 1. sin x cosx Jelikož je funkce cosx spojitá (v nule), obě strany nerovnosti se pro x —> 0+ blíží k 1, a tedy podle věty o třech limitách je sin x lim x^0+ X 1. 00.0 Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí o»ooo oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooo ' Příklad * Určete 1 — cos X lim -. Přírůstky do ZOO o»ooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Příklad Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu lim x^O cosx lim x^O lim x^O lim x^O 1 — COS X 1 + COS X \ X 1 + COS X / cos2 X sin x sin x 1 + cos x 1 1 + COS X lim x^O sin2 x 1 + cos x 1-0-- = 0. 2 Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí oo»oo oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooo Příklad Přírůstky do ZOO oo»oo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Příklad Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu ^ . Pro x G (0, \) zvolme n tak, aby < x < ^. Z definice e navíc (1 + < e < (1 + Tpi)", odkud dostaneme nerovnost 1 + iži < eX < 1 + r ^, neboli ^ px—i l-2x- Přírůstky do ZOO oo»oo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Příklad Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu Pro x G (0, \) zvolme n tak, aby < x < ^. Z definice e navíc (1 + < e < (1 + Tpi)", odkud dostaneme nerovnost i 1 + ÍTTi x (x — 1) x-4l x Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oo»ooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Příklad Určete rovnici tečny ke grafu funkce f(x) = l/x v bodě xq = 1. Směrnici tečny získáme vypočtením příslušné limity lim --= lim -JĹT x->l x — 1 x->l x_i lim 1 -x i lim — >i x (x — 1) x->l x Rovnici tečny pak dostaneme ze vztahu y - f{xo) = f'{xo){x ~ xo), tj- -1. y -x + 2. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo ooo»oooooooooooooooooo ooooooooooooooo Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooo»oooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xq nejvýše jednu derivaci. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooo»oooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooo»oooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo • Derivace f (xq) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f'{x0)= lim f(x) - f(x0) = lim h->o f (x0 + h) - f (x0) x - x0 h Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooo»oooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f<(xo) = lim f M - f M = lim + x^x0 x — Xo h^O h • Tečna y = ^(xo) + /r/(xo)(x — xo) dobře aproximuje funkci f v dostatečně malém okolí bodu xq. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooo»oooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f<(xo) = lim f M - f M = lim + x^x0 x — Xo h^O h • Tečna y = ^(xo) + /r/(xo)(x — xo) dobře aproximuje funkci f v dostatečně malém okolí bodu xo. • Aby mohla mít funkce f [x) derivaci v bodě xo, musí být definována na nějakém okolí bodu xq (včetně bodu xq)! Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooo»oooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Poznámka • Derivace f'(xo) (jako limita) je vždy limitou typu jj. • Každá funkce má v libovolném bodě xo nejvýše jednu derivaci. • Hodnota f'(xo) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě xo (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). • Položíme-li h := x — xq, dostaneme f<(xo) = lim f M - f M = lim + x^x0 X — Xo h^O h • Tečna y = ^(xo) + /r/(xo)(x — xo) dobře aproximuje funkci f v dostatečně malém okolí bodu xo. • Aby mohla mít funkce f (x) derivaci v bodě xo, musí být definována na nějakém okolí bodu xo (včetně bodu xo)! • f'{xo) někdy píšeme jako ^(*o)> nebo jako f'(x)\ _ . Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooo»ooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Příklad Určete derivaci funkce f(x) = \fx v bodech xq g T>{f). Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooo»ooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Příklad Určete derivaci funkce f(x) = yfx v bodech xq G T>(f). Zřejmě je T>(f) = [0, oo). Pro xo > 0 je f'{x0)= lim x^x0 x lim x lim X^XQ X - X0 XO lim x0 (x - Xo) {y/x + y/xÔ) x^x° V* + V*Ô Pro xo = 0 derivace neexistuje (je to krajní bod definičního oboru, a tudíž v něm neexistuje limita - existuje zde pouze limita zprava). Vypočtěme tedy derivaci zprava: f|(0) = iimx^0+ ^rfi = limx^o+ ir = limx^o+ ^ = °°- Funkce f(x) = yfx tedy má v počátku nevlastní pravostrannou derivaci f+(0) = oo, neboli tečna v bodě xq = 0 je svislá přímka. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo ooooo»oooooooooooooooo ooooooooooooooo Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů (xny = nxn-\ podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo ooooo»oooooooooooooooo ooooooooooooooo Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů (xny = nxn-\ podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Pokud se na bod xo budeme dívat jako na „proměnnou", potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f'(x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f'(x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že V(f') C V(f). Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooooo»oooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Pokud se na bod xo budeme dívat jako na „proměnnou", potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f'(x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f'(x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že Tedy prozatím odvozené vztahy pro derivace můžeme shrnout jako = nx' 77-1 V(f') C V(f). = nx' 77-1 1 Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooooo»oooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů (xny = nxn-\ podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Pokud se na bod xo budeme dívat jako na „proměnnou", potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f'(x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f'(x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že V(f') C V(f). Tedy prozatím odvozené vztahy pro derivace můžeme shrnout jako = 6 N' (I)' = 4. (v^)' = ^. Má-li funkce f(x) derivaci v každém bodě množiny (např. intervalu) /, pak říkáme, že f(x) je diferencovatelná na I. Např. x" je diferencovatelná na M, nebo ^ je diferencovatelná na (0, 00) a na (—00, 0). Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooo»ooooooooooooooo ooooooooooooooo rychlost Je-li s(ř) poloha hmotného bodu na přímce v čase t, potom je výraz celková dráha s(ř) — s(fy) celkový čas t — fy roven průměrné rychlosti za časový úsek [fy, ŕ]. Zřejmě je pak s(ř)-s(fy) lim t->t0 s'(t0) t-t0 rychlost v okamžiku fy, a tedy je v(t) = s'(t), rychlost je derivace dráhy. Zde je nutné vzít v úvahu, že rychlost v(t) má znaménko, tj. v(t) > 0 ve směru pohybu, kdy se s(ř) zvětšuje a v(t) < 0, když se s(ř) zmenšuje. 00.0 Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo ooooooo»oooooooooooooo ooooooooooooooo zrychleni Protože je zrychlení a(t) změna rychlosti, podobně platí, že v{t) - v{to) lim t^to t - t0 v'(t0) je zrychlení v okamžiku to, a tedy je a(t) = v'(t), zrychlení je derivace rychlosti. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace OOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOO Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo výkon Protože platí, že výkon změna práce změna času je P(t) = W'(t), výkon je derivace práce. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo OOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOO ooooooooooooooo výkon "* Protože platí, že výkon změna práce změna času je P(t) = W'(t), výkon je derivace práce. proud Protože platí, že změna napětí elektrický proud =-, změna času je l(t) = U'(t), proud je derivace napětí. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo ooooooooo»oooooooooooo ooooooooooooooo V tomto odstavci odvodíme základní vlastnosti funkce a její derivace a pravidla pro počítání derivací. Věta Má-li f(x) v bodě xq vlastní derivaci f'(xo), potom je funkce f(x) spojitá v bodě xq . Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooooooooo»oooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo V tomto odstavci odvodíme základní vlastnosti funkce a její derivace a pravidla pro počítání derivací. Má-li f(x) v bodě xq vlastní derivaci f'(xo), potom je funkce f(x) spojitá v bodě xq . Důkaz. Chceme ukázat, že limx^Xo f(x) = ^(xo). Protože existuje vlastní f'{xo) je lim f{x) = lim [f{x) - f{x0) + f{x0)] ■ x^x0 x^x0 = |im ^W-ŕ(xo) )=f(xo). x^x0 y x — xo ^—^—> □ Přírůstky do ZOO ooooo Derivace OOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOO Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Věta O Pravidlo konstantního násobku: [c-f{x)]' = c-f'{x). Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo OOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOO ooooooooooooooo Věta O Pravidlo konstantního násobku: [c-f(x)]' = c-f'(x). O Pravidlo součtu a rozdílu: [f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x). Přírůstky do ZOO ooooo Derivace OOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOO Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Pravidlo konstantního násobku: [c-f(x)]' = c-f'(x). Pravidlo součtu a rozdílu: [f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x). Pravidlo součinu: [f(x).g(x)]' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x). 00.0 Přírůstky do ZOO ooooo Derivace OOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOO Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo O Pravidlo konstantního násobku: [c-f(x)]' = c-f'(x). Q Pravidlo součtu a rozdílu: [f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x). O Pravidlo součinu: [f(x).g(x)]' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x). O Pravidlo podílu: f(x)V f'(x).g(x)-f(x).g'(x) g(x) Přírůstky do ZOO ooooo ooooooooooo»oooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Intuitivně můžeme pravidlům velice snadno rozumět, když si derivaci funkce y = f(x) představíme jako podíl přírůstků závislé proměnné y a nezávislé proměnné x: fl = Ay Ax' Pak při y = h(x) = f(x) + g(x) je přírůstek y dán součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace 0OOOOOOOOOO»OOOOOOOO( Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Intuitivně můžeme pravidlům velice snadno rozumět, když si derivaci funkce y = f (x) představíme jako podíl přírůstků závislé proměnné y a nezávislé proměnné x: fl = Ay Ax' Pak při y = h(x) = f(x) + g(x) je přírůstek y dán součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací. U součinu musíme být malinko pozornější. Pro y = h(x) = f(x)g(x) je přírůstek Ay = f(x + Ax)g(x + Ax) - f{x)g(x) = f{x + Ax)(g(x + Ax) - g{x)) + {f(x + Ax) - f{x))g{x) Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek Ax, jde vlastně o výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očekávat pro derivaci součinu fg výraz fg' + f'g. s Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooo»ooooooooo ooooooooooooooo Důkaz. Pravidla (i) a (ii) jsou triviální z definice derivace (jako limity). Ukážeme pravidlo součinu: (f.gY(xQ)= lim X^XQ f(x).g(x)-f(xo).g(xo) lim x^x0 lim X^XQ X - Xq f(x). g(x) - f(x0). g(x) + f(x0)■ g(x) - f (X0) ■ g(x0) x - x0 f(x) - f(xo) g{x) + f (xo) g(x) - g(x0) X - Xq ->f'(xa) f'(xQ).g(xQ) + f(xQ).g'(xQ) X - Xq r'(*o) □ Přírůstky do ZOO ooooo Derivace 0OOOOOOOOOOOO»OOOOOO( Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = h o f, kde definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce y = f(x). Vhled do problému nám poskytne následující příklad. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace 0OOOOOOOOOOOO»OOOOOO( Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = h o f, kde definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce y = f(x). Vhled do problému nám poskytne následující příklad. Příklad Uvažujme soukolí tří ozubených kol, přičemž kolo A má 12 zubů, kolo B má 4 zuby a kolo C má 6 zubů. Jestliže kolo A udělá y otáček, kolo B udělá u otáček a kolo C udělá x otáček, potom platí y 3"' " 2"' 3tedyje y=3U 32" 2-Vidíme, že při skládání funkcí se velikost změn (= derivace) násobí. Opět vypsáním přírůstků dostáváme Az _ Az Ay Ä~x ~ Äy Ä~x' 1 3 í? Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude {hof)\x) = h\f{x))f\x). 1 -00.0 Přírůstky do ZOO ooooo Derivace 0OOOOOOOOOOOOO»OOOOO( Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Věta (Derivace složené funkce) Má-li funkce y = f (u) derivaci v bodě uq := g(xo) a funkce u = g(x) derivaci v bodě xq, potom má složená funkce Y = if ° g){x) = f{g{x)) derivaci v bodě xq a platí (f°g)'(x) = f\uQ).g'(xQ) = f'{g(xQ)).g>(xQ). Přírůstky do ZOO ooooo Derivace 0OOOOOOOOOOOOOO»OOOO( Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Důkaz. Vztah pro derivaci podílu lze snadno odvodit přímo z definice, ukážeme zde ale, jak jej odvodit pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo ooooooooooooooo»oooooo ooooooooooooooo Důkaz. Vztah pro derivaci podílu lze snadno odvodit přímo z definice, ukážeme zde ale, jak jej odvodit pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. Pro funkci (l/g) = {g^1) pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že (g^1)' = —g2 • g' a konečně pravidlo pro derivaci součinu nám dává právě kýžený vzorec: (f/g)' = (f-g-1y = fg fg-2g' f g - fg' g' □ Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooo»ooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Již dávno jsme formulovali pojem inverzní funkce: Pokud k dané funkci f : M —> M inverzní funkce f^1 existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f^1 o f = idjj, f o f^1 = idjj, a druhý již pak platí také (analogicky id^, ide pro f : A —> B). Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooo»ooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Již dávno jsme formulovali pojem inverzní funkce: Pokud k dané funkci f : M —> M inverzní funkce f^1 existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f^1 o f = idjj, f o f^1 = idjj, a druhý již pak platí také (analogicky id^, ide pro f : A —> B). Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f^1 diferencovatelná, vztah pro derivaci složené funkce nám (pro y = f(x)) dává a tedy přímo víme formuli (zjevně f'(x) v takovém případě nemůže být nulové) 1 = (id)'(x) = (f i Přírůstky do ZOO ooooo Derivace 0OOOOOOOOOOOOOOOO»OO( Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f(x) je f = ^ zatímco pro x = f_1(y) je (f_1)'(y) = Takto skutečně můžeme derivace inverzních funkcí počítat: ' Věta Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu xq a f(xo) ^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = f(xo) funkce f^1 inverzní k f a platí vztah 1 f'M Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo ooooooooooooooooo»oooo ooooooooooooooo To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f(x) je f = ^ zatímco pro x = f_1(y) je (f_1)'(y) = Takto skutečně můžeme derivace inverzních funkcí počítat: Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu xq a f(xo) ^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = ^(xo) funkce f^1 inverzní k f a platí vztah Pokud je f(xo) = 0 izolovaným nulovým bodem derivace f'(x) a inverzní funkce k f na okolí f (xq) existuje, pak je derivace funkce f^1 v bodě f(xo) nevlastní (přitom je rovna +00 , právě když je f na daném okolí f (xq) rostoucí). Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooo»ooo ooooooooooooooo Příklad Určete derivaci funkce tfx. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooo»ooo ooooooooooooooo Příklad Určete derivaci funkce yfx. Řešení Funkce y = f 1(x) = yYx je inverzní k funkci x = f (y) = y3. Protože f (y) = 3y2, máme (f-Hx))' f (y) 3y2 3^2' Vidíme (ať už z předchozí věty nebo limitním přechodem v předchozím výpočtu), že v bodě xo = 0 má funkce y/x derivaci oo. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooooooooooooooooooo* Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Jiný (geometrický) pohled na derivaci inverzní funkce Označme jako ip (známý) směrový úhel tečny ke grafu funkce x = f[y) v bodě [yo,xo] vzhledem ke kladnému směru osy y a jako ip (neznámý) směrový úhel tečny ke grafu funkce y = f~1(x) v bodě [xo,yo] vzhledem ke kladnému směru osy x, přičemž platí, že tg) = si"(l~^ = ^ = Je tedy Přírůstky do ZOO ooooo Derivace ooooooooooooooooooo* Derivace elementárních funkcí ooooooooooooooo Jiný (geometrický) pohled na derivaci inverzní funkce Označme jako ip (známý) směrový úhel tečny ke grafu funkce x = f[y) v bodě [yo,xo] vzhledem ke kladnému směru osy y a jako ip (neznámý) směrový úhel tečny ke grafu funkce y = f~1(x) v bodě [xo,yo] vzhledem ke kladnému směru osy x, přičemž platí, že tg sin 1 tg¥>" Vzhledem k tomu, ze ip + tp dostaneme tgV> = tg(^ — '<"> = 7^)- Je-li tg 0 a hodnotami v M, 1Později „znovu zadefinujeme" goniometrické funkce pomocí mocninných řad. < 1 ► 1 -o o, o Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ♦OOOOOOOOOOOOOO Zatím máme shromážděny tyto typy funkcí: • polynomy f definované na celém M s hodnotami v M nebo v C, • racionální funkce f/g definované na celém M kromě konečné množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s hodnotami v M nebo C, • mocninné funkce xb s obecným Ď£l, definované pro x > 0 a hodnotami v M, • exponenciální funkce ax o libovolném základu a > 0 definované pro všechna x G M a s hodnotami v M a k nim inverzní funkce logaritmické o základ a > 0, a 7^ 1 , 1Později „znovu zadefinujeme" goniometrické funkce pomocí mocninných řad. < 1 ► 1 -o o, o Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ♦OOOOOOOOOOOOOO Zatím máme shromážděny tyto typy funkcí: • polynomy f definované na celém M s hodnotami v M nebo v C, • racionální funkce f/g definované na celém M kromě konečné množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s hodnotami v M nebo C, • mocninné funkce xb s obecným Ď£l, definované pro x > 0 a hodnotami v M, • exponenciální funkce ax o libovolném základu a > 0 definované pro všechna x G M a s hodnotami v M a k nim inverzní funkce logaritmické o základ a > 0, a 7^ 1 , • goniometrické funkce sinx, cosx (a funkce tgx,cotgx od nich odvozené) definované jako souřadnice bodu na jednotkové kružnici, kde |x| je délka oblouku od [1,0] k [cosx,sinx]. 1 1Později „znovu zadefinujeme" goniometrické funkce pomocí mocninných řad. < 1 ► 1 -o o, o Přírůstky do ZOO ooooo Víme, že pro n G N U {0} je (x")' = nx"_1. Nyní ukážeme, že stejný vztah platí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro přirozená čísla. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí o»ooooooooooooo Víme, že pro n G N U {0} je (x")' = nxn 1. Nyní ukážeme, že stejný vztah platí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro přirozená čísla. Věta (Derivace mocniny) Pro libovolný exponent r G M platí, že (xr)' = rxr-\ (1) kdykoliv mají uvedené výrazy smysl. Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí o»ooooooooooooo Víme, že pro n G N U {0} je (x")' = nxn 1. Nyní ukážeme, že stejný vztah platí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro přirozená čísla. Věta (Derivace mocniny) Pro libovolný exponent r G M platí, že (/)' = «M, (1) kdykoliv mají uvedené výrazy smysl. Důkaz. Nechť íiéZ \ No- Pak m = —n £ N a z věty o derivaci složené funkce dostáváme: (x")' = ((x™)-1)' = -(xm)-2mxm-1 -mx -2m+m-l -mx -m-l nx n-l 00.0 Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooooooo oo»oooooooooooo Derivace mocniny - pokr. Důkaz. Dále nechť r = |, kde q G N (tj. derivujeme obecnou odmocninu). i Derivaci funkce x^ = -ýj/x odvodíme z věty o derivaci inverzní funkce. Označme si y = f~1(x) = ýx a x = f (y) = yq. Protože je q G N, je f (y) = qy^1. Platí tedy, že Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooooooo oo»oooooooooooo Derivace mocniny - pokr. Důkaz. Dále nechť r = |, kde q G N (tj. derivujeme obecnou odmocninu). i Derivaci funkce x^ = -ýj/x odvodíme z věty o derivaci inverzní funkce. Označme si y = f~1(x) = tfx a x = f (y) = yq. Protože je q G N, je f (y) = qy^1. Platí tedy, že (x')' = qy q{o h h^o h f, . . cos h — 1 sin h = lim < sinx) •--h cosx) •- > = cosx. h->o h h □ Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooooooo ooooo»ooooooooo Derivace goniometrických funkcí - dokončení Důkaz. Derivace ostatních goniometrických funkcí vypočteme z derivace funkce sinx pomocí jejich vyjádření jako složené funkce či podílu funkcí, jejichž derivaci známe. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooooooo ooooo»ooooooooo Derivace goniometrických funkcí - dokončení Důkaz. Derivace ostatních goniometrických funkcí vypočteme z derivace funkce sinx pomocí jejich vyjádření jako složené funkce či podílu funkcí, jejichž derivaci známe. (cosx)' = (sin(| — x)) = cos(| — x) • (—1) = — sinx, Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooo»ooooooooo Derivace ostatních goniometrických funkcí vypočteme z derivace funkce sinx pomocí jejich vyjádření jako složené funkce či podílu funkcí, jejichž derivaci známe. (cosx)' = (sin(| — x)) = cos(| — x) • (—1) = — sinx, dále (tg*)' 1 (cotgx) 1 COSz X □ Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooooooo oooooo»oooooooo Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí ' Věta Pro exponenciální a logaritmické funkce platí (e j = e , (a ) = a In a, (lnx)' = ± (logax)' = - 1 In a Důkaz. Derivaci funkce ex vypočteme z definice za použití základní limity spočítané dříve: Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí OOOOOOO0OOOOOOO Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí - pokr. Důkaz. Podobně bychom z definice mohli spočítat derivaci funkce ax pro obecné a, s využitím vyjádření ax = exlna ale snadno vypočteme, že (ax)' = (exlna)' = exlna)-ln3 = ln3 x In a\ 00.0 Přírůstky do ZOO ooooo oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí OOOOOOO0OOOOOOO unkcí - pokr. Důkaz. Podobně bychom z definice mohli spočítat derivaci funkce ax pro obecné a, s využitím vyjádření ax = exlna ale snadno vypočteme, že (axy = (ex,nay = exlna) • In a = In a ■ ax. Podobně, protože logaritmická funkce byla definovaná jako inverzní k exponenciální, pro y = f^1(x) = In x a pro x = f (y) = ey máme f\y) = ey, takže (Inx)' f'{y) ev e In x 00.0 Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí OOOOOOO0OOOOOOO Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí - pokr. Důkaz. Podobně bychom z definice mohli spočítat derivaci funkce ax pro obecné a, s využitím vyjádření ax = exlna ale snadno vypočteme, že (a*)' = (e*lna)' = e*lna) • In a = In a • ax. Podobně, protože logaritmická funkce byla definovaná jako inverzní k exponenciální, pro y = f-1 (x) = In x a pro x = f (y) = ey máme f\y) = ey, takže (Inx)' = —^- = — - . (logax)' (y) ev e \nx\' 1 1 x In a (lnx)' = -—. lna x In a □ Přírůstky do ZOO ooooo Důsledek Pro libovolné r G I l platí {xr)' = rxr-\ x > 0. Důkaz. Z pravidla pro derivaci složené funkce a z derivace logaritmu plyne, že (xr)' = (eHnx)' - "Hnx eMnx.(r Inx)' =xr.r-J = rxr. x"1 = rx^1 □ Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí OOOOOOOOO0OOOOO Cyklometrické funkce jsou inverzní ke goniometrickým. Protože jsou všechny goniometrické funkce periodické s periodou 2tt, jsou jejich inverze definované vždy jen v rámci jedné periody a to ještě jen na části, kdy je daná funkce bud' rostoucí nebo klesající. Jsou to funkce arcsin = sin-1 s definičním oborem [—1,1] a oborem hodnot [—tt/2,tt/2]. Dále arccos = cos-1 s definičním oborem [—1,1] a oborem hodnot [0,7r]. Zbývají ještě funkce arctg = tg-1 s definičním oborem (—00,00) a oborem hodnot (—7r/2,7r/2) a konečně arccotg = cotg-1 s definičním oborem (—00,00) a oborem hodnot (Oj^r)^ Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí OOOOOOOOOOO0OOO Pro cyklometrické funkce platí (arcsm x) (arctgx)' 1 + x2 (arccosx)' (arccotgx)' vT-x 2' 1 + x 2" Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí OOOOOOOOOOO0OOO Pro cyklometrické funkce platí (arcsm x) (arctgx)' 1 + x2 (arccosx)' (arccotgx)' vT-x 2' 1 + x 2" Důkaz. Derivace všech cyklometrických funkcí vypočteme z pravidla pro derivování inverzní funkce. Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí OOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOO0OOO Derivace cyklometrických funkcí Pro cyklometrické funkce platí (arcsin x)' (arctgx)' 1 (arccosx)' (arccotgx)' vT-x 1 2' 1 + X 2 " Důkaz. Derivace všech cyklometrických funkcí vypočteme z pravidla pro derivování inverzní funkce. Pro y = f~1(x) = arcsin x a pro x = f(y) = siny máme f'(y) = cosy, a proto dostáváme (arcsin x) = —— =-=---:--. f'(y) cosy cos(arcsmx) □ 0 0.O Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí oooooooooooo»oo Důkaz. Tento výsledek ale ještě zjednodušíme. Protože pro libovolné y G M je (cosy)2 + (siny)2 = 1, je 1 = [cos(arcsin x) ]2 + [ sin(arcsinx) ]2 = cos2(arcsinx) +x2, = X =4> cos(arcsinx) = \/l — x2. A tedy platí, že (arcsinx) =---- = . cos(arcsmx) VI — x2 Přírůstky do ZOO Derivace Derivace elementárních funkcí ooooo oooooooooooooooooooooo oooooooooooo»oo Důkaz. Tento výsledek ale ještě zjednodušíme. Protože pro libovolné y G M je (cosy)2 + (siny)2 = 1, je 1 = [cos(arcsin x) ]2 + [ sin(arcsinx) ]2 = cos2(arcsinx) +x2, = X =4> cos(arcsinx) = — x2. A tedy platí, že (arcsinx) =---- = . cos(arcsmx) VI — x2 Obdobným způsobem postupujeme i u ostatních cyklometrických funkcí. □ Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí ooooooooooooo»o Vlastnosti jednotlivých obyvatelů zvířetníku a jejich vztahy: funkce definiční obor třída derivace inverze polynomy f celé R C°° f opět polynom f^1 existuje jen lokálně a neumíme obecnou formulí kubické splajny h celé R C2 H je opět splajn formule s odmocninami a jen lokálně racionální funkce f / g celé R mimo kořeny g c°° opět racionální funkce: fg-fg' ** existuje jen lokálně a neumíme obecnou formulí Přírůstky do ZOO ooooo Derivace oooooooooooooooooooooo Derivace elementárních funkcí 00000000000000» funkce definiční obor třída derivace inverze mocninné interval C°° funkce existuje všude a funkce xa (0,oo) ax3'1 je opět mocninnou funkcí y1/3 exponenci- celé R C°° existuje logaritmická ální funkce všude a je funkce loga ax, a > 0, 1 n a ■ ax a + \ gonio- celé R c°° existuje cyklometrické metrické všude, funkce, existují funkce vzorec lokálně sin x, cosx známe