Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Matematika II - 4. přednáška Derivace - základní věty, průběh funkce Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 19. 10. 2011 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Qi Vlastnosti derivací Q ĽHospitalovo pravidlo Q Derivace implicitně zadaných funkcí Ql Diferenciál funkce a Taylorův polynom Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Zuzana Došlá, Jaromír Kuben - Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2 (rovněž na http: //www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf). Vlastnosti derivací pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooooooooo< Plán přednášky Q Vlastnosti derivací Q ĽHospitalovo pravidlo 0 Derivace implicitně zadaných funkcí Q Diferenciál funkce a Taylorův polynom 0 Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce <□> <1> <í> 1 ■O'KC* Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce •oooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc I i] Věty o střední Odvodíme několik výsledků, které nám umožní snáze pracovat s funkcemi při modelování reálných problémů. Věta (Rolleova) Nechť funkce f : m —> m je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí f (a) = f(b), pak existuje c g (a, b) takové, že f'(c) = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce o»ooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Důkaz. Funkce f spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině) má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by funkce f byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech intervalu (a, b). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce o»ooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Důkaz. Funkce f spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině) má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by funkce f byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech intervalu (a, b). Předpokládejme tedy, že bud' maximum nebo mimimum je jiné a nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není možné, aby v c bylo f'(c) ^ 0, protože to by v tomto bodě byla funkce f bud' rostoucí nebo klesající a jistě by tedy v okolí bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je f(c). □ ĽHospitalov ooooooo Implicitní deriv ooo Z Rolleovy věty snadno vyplýva tzv. věta o střední hodnotě. Věta (Lágrangeova) Necht funkce f : m —> m je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c g (a, b) takové, že nc) = m-m Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooo»ooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, f (a)] a [b, f (b)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (viz obrázek). ĽHospitalov OOOOOOO Implicitní deriv ooo Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, f (a)] a [b, f (b)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (viz obrázek). Rovnice naší sečny je b — a Rozdíl h(x) = f(x) — g(x) udává vzdálenost grafu od sečny (v hodnotách y). Jistě platí h(a) = h(b) a yM = rM-fW-fW, b — a Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h'(c) = 0. □ ■0 0.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce oooo»oooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: f(b) = f(a) + f'(c)(b-a) a v případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = f(t), x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Důsledek (Cauchyova věta o střední hodnotě) Necht funkce y = f (t) a x = g(t) jsou spojité na intervalu [a, b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g'(t) ^ 0 pro všechny t g (a, b). Pak existuje bod c g (a, b) takový, že platí f(b)-f(a) f'{c) g(b)-g(a) g'(cY Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce oooo»oooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: f(b) = f(a) + f'(c)(b-a) a v případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = f(t), x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Důsledek (Cauchyova věta o střední hodnotě) Necht funkce y = f (t) a x = g(t) jsou spojité na intervalu [a, b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g'(t) ^ 0 pro všechny t g (a, b). Pak existuje bod c g (a, b) takový, že platí f(b)-f(a) f'{c) _g{b)-g{a) g'(cY_ Všimněte si, že jakkoliv jde o důsledek předchozích tvrzení, zároveň tato tvrzení i zobecňuje (g(t) = t). ĽHospitalov OOOOOOO Implicitní deriv ooo Důkaz. Opět spoléháme na použití Rolleovy věty. Položíme proto h(t) = (f(b) - f(a))g(t) - (g(b) - g(a))f(t). Nyní h(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b), h(b) = f(b)g(a) - f(a)g(b), takže existuje c g (a, b) takový, že h'(c) = 0. Protože je g'(c) ý 0. dostáváme právě požadovaný vztah. □ L'Hospitalo\. OOOOOOO Implicitní deriv ooo Věty o střední hodnotě mají celou řadu důsledků týkajících se vlastnosti funkcí. Např.: • Které funkce mají nulovou derivaci? - Pouze konstantní funkce. • Které funkce mají stejnou derivaci? - Právě ty funkce, které se navzájem liší o konstantu. Důsledek Je-li f(x) diferencovatelná na (a, b) a je-li f'(x) = 0 na (a, b), potom f(x) = c na (a, b). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooo»o ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Důkaz. Pro libovolné dva body xi,X2 g (a, b), x\ < X2, platí, že f (x) je spojitá na [xi,X2] (neboť existuje vlastní f (x)) a diferencovatelná na (xi,X2). Podle Lagrangeovy věty je pak pro nějaký bod c g (xi,x2) f(X2) " f(Xl) = f (C) =0, f(Xl} = f(x2). x2 - Xi A protože byly body x\ a X2 vybrány libovolně v intervalu (a, b), musí být nutně f (x) konstantní na intervalu (a, b). □ Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce 00000000» ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Důsledek Jsou-li f (x) a g(x) diferencovatelné na (a, b) a je-li f (x) = g'(x) na (a, b), potom f (x) = g(x) + c na (a, b), tj. f (x) a g(x) se Uší o konstantu. Důkaz. Funkce (f — g)(x) je diferencovatelná na (a, b) a {f - g)'(x) = f\x) - g\x) = O na (a, b). Podle předchozího důsledku je pak f (x) — g(x) = c na (a, b), tj. f (x) = g(x) + c na (a, b). □ Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ášky Q Vlastnosti derivací Q ĽHospitalovo pravidlo Q Derivace implicitně zadaných funkcí Q Diferenciál funkce a Taylorův polynom Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce OOOOOOOOO «000000 ooo ooooooo oooooooooooc Podobná úvaha jako v posledním tvrzení vede k mimořádně užitečnému nástroji pro počítání limit funkcí. Je znám jako ĽHospitalovo pravidlo: Předpokládejme, že f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xo g m, ne však nutně v bodě xq samotném, a necht existují limity lim f(x) = O, lim g (x) = 0. X^Xfj Jestliže existuje limita pak existuje i limita x^x0 hm —- x^x0 g'(x) hm x^xq g{x) a jsou si rovny. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo o»ooooo ooo ooooooo oooooooooooc Poznámka « ĽHospitalovo pravidlo nelze použít, pokud limita podílu derivací neexistuje. Např. limita podílu funkcí lim sin x x—>oo x typ ohr. oo 0, ale limita podílu derivací neexistuje, protože lim x—>oo (sin x)' lim x—>oo COSX lim cosx (neexistuje). 4 □ ► 4 & \ 1 -00.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo o»ooooo ooo ooooooo oooooooooooc Poznámka « ĽHospitalovo pravidlo nelze použít, pokud limita podílu derivací neexistuje. Např. limita podílu funkcí lim sin x typ ohr. oo 0, x—>oo x ale limita podílu derivací neexistuje, protože cosx (sinx)' h m lim x—>oo 1 lim cosx (neexistuje). • Pravidlo nelze použít na typ limity cok0°llv. Např. limita podílu funkcí arctgx lim - x^oo arccotgx typ 0^ oo, ale limita podílu derivací je rovna -1. 4 □ ► 4 & \ 1 -00.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo oo»oooo ooo ooooooo oooooooooooc Důkaz Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v xo mají funkce ŕ a g nulovou hodnotu. Výsledek je opět jednoduše představitelný pomocí obrázku. Uvažujme body [g(x),f(x)] g m2 parametrizované proměnnou x. Podíl hodnot pak odpovídá směrnici sečny mezi body [0,0] a [g(x), f(x)]. Zároveň víme, že podíl derivací odpovídá směrnici tečny v příslušném bodě. Z existence limity směrnic tečen tedy chceme dovodit existenci limity směrnic sečen. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooo»ooo ooo ooooooo oooooooooooc Důkaz - pokr. Technicky lze využít věty o střední hodnotě v parametrickém tvaru. Předně si uvědomme, že v tvrzení věty implicitně předpokládáme existenci výrazu f'{x)/g'{x) na nějakém okolí xo, zejména tedy pro dostatečně blízké body c k xo bude g'(c) ^ 0. .. f(x) f(x) - f(x0) f'(cx) h m -)-r = hm -i—-)— = hm r, x^x0 g(x) x^x0 g(x) - g(x0) x^x0 g'(cx) kde cx je číslo mezi xo a x. Nyní si všimněme, že z existence limity f'(x) limx^Xo -jp^ vyplývá, že stejnou hodnotu bude mít i limita libovolné posloupnosti vzniklé dosazením hodnot x = xn jdoucích k xo do f'(x)/g'(x). Zejména tedy můžeme dosadit jakoukoliv posloupnost cx„ pro x„ —> xq a proto bude existovat i limita f'(c ) limx^Xo g/(cxj a poslední dvě limity zjevně budou mít stejnou hodnotu. Dokázali jsme tedy, že naše hledaná limita existuje a má také stejnou hodnotu. □ Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo oooo»oo ooo ooooooo oooooooooooc Jednoduše lze rozšířit ĽHospitalovo pravidlo i pro limity v nevlastních bodech ±00 a v případě nevlastních hodnot limit. Je-li, např. lim f(x) = 0, lim g (x) = 0, x—>oo x—>oo potom je limx^o+ f(Vx) = 0 a limx^o+ áí(l/x) = 0- Zároveň z existence limity podílu derivací v nekonečnu dostaneme lim vw*)y = lim m/w) = lim fjm = lim m x-,0, (ř(l/x))' x^O, S'(l/x)(-l/x2) *-.Otg'(l/x) Použitím předchozí věty tedy dostáváme, že v tomto případě bude existovat i limita podílu f{x) f(l/x) f\x) lim = hm ) , = lim -^r. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooo»o ooo ooooooo oooooooooooc Ještě jednodušší je postup při výpočtu limity v případě, kdy lim f(x) = ±00, lim g(x) = ±00. x—>XQ x—>XQ Stačí totiž psát lim f{x) lim Vř(x) x^xo g{x) x^xo l/f{x)' což je již případ pro použití L'Hospitalova pravidla z předchozí věty. Necht f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xq g však nutně v bodě xq samotném, a necht existují limity limv-_s.y„ f(x) = ±00 a lim lim ne x^x0 f{x) = 3 linix^o SÍX) = ±00. Jestliže existuje limita x^xq jr$j pak existuje i limita limx^Xo ^ a jsou si rovny. 0^x •q = (x-) wi| +0^x LUI| at +°^x t +°^x +°^x —,-- LU 11 = —— LU 11 =XU|X LU 11 (XU|) ds°H,l XU| X>0000000000 ooooooo ooo «oooooo ooooooooo 3D>|unj l|sqnj,-| LuouApd Aruo|Äej_ e SD^unj |eou3J3jiq SDEAuap iuq.oi|diu| o|piAejd OAOieiidsoi-^-i peAusp iq.souq.se|/\ I = o3 = xu|x+0->|3 = xu|x3 Wl| = xX Wl| •Q = (x-) wi| V- +0^x -Sr- w!l .IT J +°^x 7 +0^x —,-- LU 11 = —— (XU|) ds°H,l XU| +0^x LUI| = X U| X LUI| X>0000000000 ooooooo ooo «oooooo ooooooooo 3D>|unj l|3qnj,-| LuouX|od Aruo|Äej_ e SD^unj |eou3J3jiq SDCAuap iuq.oi|diu| o|piAejd OAOieiidsoi-^-i peAusp iq.souq.se|/\ Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Q Vlastnosti derivací Q ĽHospitalovo pravidlo Q Derivace implicitně zadaných funkcí Q Diferenciál funkce a Taylorův polynom Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce OOOOOOOOO OOOOOOO »00 ooooooo oooooooooooc Pokud máme zadánu funkci f (x) vzorcem y = f(x), hovoříme o jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = O, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak i v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo o»o ooooooo oooooooooooc Príklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce yi = Vx, y2 = -V* =>- y[ = -^=, y'2 = —Á= (* Avšak i bez znalosti samotných funkcí yi a y2 lze derivovaním rovnice y2 = x spočítat, že (y2)' = (x)' 2y/= 1 y' = ± což je jediný vzorec pro y' obsahující jak yi tak y2. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo o»o ooooooo oooooooooooc Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce Y2 2^' Y2 2^ y =7T> 2y Avšak i bez znalosti samotných funkcí yi a y2 lze derivováním rovnice y2 = x spočítat, že (y2)' = (x)' 2yy' = \ = což je jediný vzorec pro y' obsahující jak yi tak y2. Při derivování implicitně zadaných funkcí obsahuhe výsledná derivace y' jak proměnnou x tak proměnnou y (na rozdíl od běžného derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce OOOOOOOOO OOOOOOO 009 ooooooo oooooooooooc Príklad Určete směrnici tečny ke kružnici x2 +y2 25 v bodě P ,4,. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce OOOOOOOOO OOOOOOO 009 ooooooo oooooooooooc Príklad Určete směrnici tečny ke kružnici x2 + y2 = 25 v bodě P = [—3,4]. Řešení Derivováním zadané rovnice podle proměnné x dostaneme (x2+y2)' = (25)' 2x + 2yy' = 0 y'= X y" A proto je směrnice tečny v bodě P (=derivace v bodě P) rovna , -3 3 y ~ ~ 4 ~ 4' Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooooooooo< Plán přednášky Q Vlastnosti derivací Q ĽHospitalovo pravidlo Q Derivace implicitně zadaných funkcí Q Diferenciál funkce a Taylorův polynom Q Průběh funkce a Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce OOOOOOOOO OOOOOOO OOO »000000 oooooooooooc Diferenciál funkce je pojem, který se pro funkce jedné proměnné využívá pouze pro potřeby integrování nebo pro přibližné výpočty. Pro funkce více proměnných má mnohem větší význam (viz MB103). Definice Nechť xo g T>(f) je bod, ve kterém existuje vlastní derivace f'(xo) funkce y = f (x). Potom definujeme • diferenciál dx (diferenciál nezávislé proměnné) jako dx = x — xq (pro x blízko xq), • diferenciál dy (diferenciál závislé proměnné) jako dy = f'(xo). dx Alternativní značení pro dy je df, případně df(xo) pokud chceme zdůraznit, že se jedná o diferenciál v bodě xq. Uvědomte si, že pokud je x napravo od xo, je dx = x — xq > O, pokud je ale x nalevo od xo, je dx = x — xq < 0. 1 -00.0 ĽHospitalov ooooooo Implicitní deriv ooo Diferenciál funkcf o»ooooo Co to vlastně ten diferenciál je? Pokud se podíváme na rovnici tečny v bodě xq, máme y - yo = f'{xo){x ~ xo), kdey0 y-f{xQ) = f'{xQ)dx = df{xQ). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo o»ooooo oooooooooooc Co to vlastně ten diferenciál je? Pokud se podíváme na rovnici tečny v bodě xo, máme y-yo = f'{xo){x ~ xo), kde y0 = f(x0), y-f{xQ) = f'{xQ)dx = df{xQ). dy Vidíme tedy, že diferenciál dy je změna funkčních hodnot na tečně. A protože hodnoty na tečně aproximují funkční hodnoty f (x) pro x blízko bodu xo, plyne odtud vzoreček pro približné výpočty: f {x) « f(x0) + df(x0), tj. f(x)«f(xo) + f'(xo)(x-xo). (Jedná se vlastně o rovnici tečny trošku zapsanou jiným způsobem). Tedy hodnoty funkce f(x) pro x „blízko" bodu xo se přibližně rovnají hodnotám na tečně v bodě xo, přičemž pro tento výpočet musíme znát hodnotu funkce ^(xo) a derivace f'(xo) v bodě xo. Diferenciál je tedy přibližná změna funkčních hodnot pro x blízko xq ■ < □ ► < ů? ► I O^O Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo oo»oooo oooooooooooc Príklad Pomoci diferenciálu približne vypočtěte v85 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo oo»oooo oooooooooooc Príklad Pomoci diferenciálu približne vypočtěte V85- Řešení Protože známe VŠT = 9, položíme xo = 81 a x = 85, tj. dx = x — xo = 4. Tedy pro f (x) = -Jx potom je f (x) = a tedy f {81) = 9 a f {81) = = j§- Ze vzorce pro aproximaci potom plyne, že f {85) « f{81) + df {81) = f {81) + f'{81) dx, tj. V85«9 + -^--4 = 9 + ^ = ^ = 9.2222.... 18 9 9 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo oo»oooo oooooooooooc Príklad Pomoci diferenciálu približne vypočtěte V85- Řešení Protože známe VŠT = 9, položíme xo = 81 a x = 85, tj. dx = x — xo = 4. Tedy pro f (x) = ^/x potom je f (x) = a tedy f {81) = 9 a f {81) = = j§- Ze vzorce pro aproximaci potom plyne, že f {85) « f{81) + df {81) = f {81) + f'{81) dx, tj. V85«9 + -^--4 = 9 + ^ = ^ = 9.2222.... 18 9 9 Pro srovnání je přesná hodnota y/85 = 9.2195.... Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooo#ooo oooooooooooc Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooo#ooo oooooooooooc Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Definice Nechť xo £ T>(f) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f'(xo), f"(xo), ..., f("\xo) funkce f(x) až do řádu n. Taylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě xq je polynom T(x)= Tn(x)= Tfn(x)= Tfn(x;xQ) definovaný jako T(x) := f (xo)+f'(x0) (x-xQ)+^M (x-x0)2+- • •+^^ )". oo dostáváme v polynomu 7~„(x) k součtu nekonečně mnoha členů - tzv. nekonečné řadě. Více o tomto tématu probereme později. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce OOOOOOOOO OOOOOOO OOO 000000» oooooooooooc Důkaz. Toto důležité tvrzení je důsledkem Rolleovy věty o střední hodnotě. Podrobnosti jsou ve skriptech. □ Poznámka S rostoucím n se stupeň Taylorova polynomu zvyšuje, až se pro n —> oo dostáváme v polynomu 7~„(x) k součtu nekonečně mnoha členů - tzv. nekonečné řadě. Více o tomto tématu probereme později. Příklad Odhadněte chybu v bodě x = j Taylorova polynomu stupně n = 6 funkce f(x) = cosx se středem v bodě xq = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Q Vlastnosti derivací Q ĽHospitalovo pravidlo Q Derivace implicitně zadaných funkcí Q Diferenciál funkce a Taylorův polynom Q Průběh funkce • Konvexnost, konkávnost, inflexe • Asymptoty • Celkový průběh funkce Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo »ooooooooooc Definice Funkce f (x) je • rostoucí (resp. neklesající) na intervalu /, pokud ^(xi) < f{x2) (resp. ^(xi) < f{x2)) pro každé xi,x2 g /, x\ < x2, « klesající (resp. nerostoucí)na intervalu /, pokud ^(xi) > f{x2) (resp. ^(xi) > f(x2)) pro každé xi,x2 g /, x\ < x2, Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo »ooooooooooc Definice Funkce f (x) je • rostoucí (resp. neklesající) na intervalu /, pokud ^(xi) < f{x2) (resp. ^(xi) < f{x2)) pro každé xi,x2 g /, x\ < x2, « klesající (resp. nerostoucí)na intervalu /, pokud ^(xi) > f{x2) (resp. ^(xi) > f(x2)) pro každé xi,x2 g /, x\ < x2, Funkce f (x) má v bodě xo g D [f) » lokálni maximum, pokud f (x) < í(xq) pro všechna x z nějakého okolí bodu xo, • lokálni minimum, pokud f (x) > í(xq) pro všechna x z nějakého okolí bodu xq. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo »ooooooooooc Definice Funkce f (x) je • rostoucí (resp. neklesající) na intervalu /, pokud ^(xi) < f{x2) (resp. ^(xi) < f{x2)) pro každé xi,x2 g /, x\ < x2, « klesající (resp. nerostoucí)na intervalu /, pokud ^(xi) > f{x2) (resp. ^(xi) > f(x2)) pro každé xi,x2 g /, x\ < x2, Funkce f (x) má v bodě xo g D [f) » lokálni maximum, pokud f (x) < í(xq) pro všechna x z nějakého okolí bodu xo, • lokálni minimum, pokud f (x) > í(xq) pro všechna x z nějakého okolí bodu xq. Analogicky ostré lokálni maximum (minimum. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo o»oooooooooc Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f (x) je neklesající na intervalu I 44> f (x) > 0 Vx g /. J ■0 0.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo o»oooooooooc Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f (x) je neklesající na intervalu I 44> f (x) > 0 Vx g /. O Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I 44> f (x) > 0 Vx g /, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. ■0 0.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo o»oooooooooc Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f (x) je neklesající na intervalu I 44> f (x) > 0 Vx g /. O Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I 44> f (x) > 0 Vx g /, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. O Funkce f (x) je nerostoucí na intervalu I 44> f (x) < 0 Vx g /. ■0 0.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo o»oooooooooc Věta Necht f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. O Funkce f (x) je neklesající na intervalu I 44> f (x) > 0 Vx g /. O Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I 44> f (x) > 0 Vx g /, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. O Funkce f (x) je nerostoucí na intervalu I 44> f (x) < 0 Vx g /. O Funkce f (x) je klesající na intervalu I 44> f (x) < 0 Vx g /, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. ■0 0.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oo«ooooooooc Body, kde f'(x) = 0, se nazývají stacionární body funkce f {x). Věta Funkce f (x) může mít lokální extrémy pouze ve svých stacionárních bodech nebo v bodech, kde f'(x) neexistuje. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oo«ooooooooc Body, kde f'(x) = 0, se nazývají stacionární body funkce f {x). Věta Funkce f (x) může mít lokální extrémy pouze ve svých stacionárních bodech nebo v bodech, kde f'(x) neexistuje. ' Věta ^ Necht xq je stacionární bod funkce f(x), tj. f\xQ) = 0 , a necht existuje f"(xo). O Je-li f"(xo) > 0, potom je v bodě xq ostré lokální minimum. O Je-li f"(xo) < 0, potom je v bodě xq ostré lokální maximum. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooo»oooooooc Pojmy konvexnost, konkávnosti a inflexních bodů slouží ke studiu toho, jak daná funkce (či přesněji její graf) „zatáčí". Tyto pojmy budeme uvažovat pouze pro diferencovatelné funkce. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooo»oooooooc Pojmy konvexnost, konkávnosti a inflexních bodů slouží ke studiu toho, jak daná funkce (či přesněji její graf) „zatáčí". Tyto pojmy budeme uvažovat pouze pro diferencovatelné funkce. Definice Nechť má funkce f(x) vlastní derivaci na intervalu / C V(f). Funkce f(x) se nazývá • konvexní na intervalu I, pokud je f'(x) neklesající na /, • konkávni na intervalu I, pokud je f'(x) nerostoucí na /. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooo»ooooooc Poznámka To, že funkce f (x) je neklesající na intervalu / (tj. f (x) je konvexní), znamená, že tečny mají „neklesající směrnici", tj. graf funkce f(x) zatáčí doleva a tečny leží pod grafem. To, že funkce f'(x) je nerostoucí na intervalu / (tj. f(x) je konkávni), znamená, že tečny mají „nerostoucí směrnici", tj. graf funkce f(x) zatáčí doprava a tečny leží nad grafem. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooo»oooooc Príklad O Funkce f(x) = x2 má derivaci f'(x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na m. A proto je x2 konvexní na m. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooo»oooooc Príklad O Funkce f (x) = x2 má derivaci f (x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na m. A proto je x2 konvexní na m. O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu [0,oo) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto je x3 konvexní na [0, 00). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooo»oooooc Príklad O Funkce f (x) = x2 má derivaci f (x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na m. A proto je x2 konvexní na m. O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu [0,oo) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto je x3 konvexní na [0, 00). O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu (—oo,0] funkce klesající (tudíž nerostoucí). A proto je x3 konkávni na (—00, 0]. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooo»oooooc Príklad O Funkce f (x) = x2 má derivaci f (x) = 2x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesající) na m. A proto je x2 konvexní na m. O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu [0,oo) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto je x3 konvexní na [0, 00). O Funkce f(x) = x3 má derivaci f'(x) = 3x2, což je na intervalu (—oo,0] funkce klesající (tudíž nerostoucí). A proto je x3 konkávni na (—00, 0]. O Funkce f(x) = ax + b má derivaci f'(x) = a, což je funkce konstantní (tudíž neklesající) na m. A proto je ax + b konvexní na m. Současně je konstantní funkce f'(x) = a nerostoucí na m, a proto je ax + b také konkávni na m. ■0 0.0 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooo»ooooc Věta Nechť I c V(f) je otevřený interval a nechť má funkce f (x) druhou derivaci f" (x) na I. (i) Je-li f" (x) > 0 na I, potom je f (x) konvexní na intervalu I. (ii) Je-li f" (x) < 0 na I, potom je f (x) konkávni na intervalu I. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooo»ooooc Konvexnost a druhá derivace Věta Nechť I c V(f) je otevřený interval a nechť má funkce f (x) druhou derivaci f" (x) na I. (i) Je-li f" (x) > 0 na I, potom je f (x) konvexní na intervalu I. (ii) Je-li f" (x) < 0 na I, potom je f (x) konkávni na intervalu I. Důkaz. ad (i): Je-1 i f "(x) > 0 na intervalu /, potom je funkce f (x) rostoucí na intervalu /. Tedy je přímo podle definice funkce f (x) konvexní na intervalu /. □ Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooooo»oooc Tam, kde se mění konvexnost na konkávnost nebo naopak, se nacházejí tzv. inflexní body funkce. Definice Nechť má funkce f (x) vlastní nebo nevlastní derivaci f'(xo). Je-1 i f'(xo) nevlastní, potom navíc předpokládejme, že je f (x) spojitá v bodě xo. Bod xo je inflexní bod funkce f (x), pokud v nějakém levém okolí bodu xo je funkce f (x) konvexní a v nějakém pravém okolí bodu xo je funkce f (x) konkávni, nebo naopak. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooo»ooc Věta (i) Pokud existuje vlastní druhá derivace f"(xo) = 0 v inflexním bodě xq, potom je f"(xo) = 0. (ii) Je-li f"(xo) = 0 a f "(x) mění znaménko v bodě xq, potom je xq inflexní bod. (iii) Je-li f"(xo) = 0 a f"'(xo) ^ 0, potom je xq inflexní bod. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooo»ooc Věta (i) Pokud existuje vlastní druhá derivace f"(xo) = 0 v inflexním bodě xq, potom je f"(xo) = 0. (ii) Je-li f"(xo) = 0 a f "(x) mění znaménko v bodě xq, potom je xq inflexní bod. (iii) Je-li f"(xo) = 0 a f"'(xo) ^ 0, potom je xq inflexní bod. Zejména část (ii) v předchozí větě ukazuje, jak inflexní body najít. Současně ze změny znaménka f"(x) (tedy jestli se jedná o změnu z 0 do © nebo o změnu z © do 0) poznáme, kterým směrem graf funkce f[x) v bodě xq „zatáčí". Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo ooooooooo»o< Príklad Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost a inflexní body funkce f (x) =x + sinx na intervalu [0,47r]. Vlastnosti derivací ĽHospitalov o pravidlo Implicitní derivac Diferenciál funkce a Taylor v polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo OOOOOOO ooooooooo»o< Príklad Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost a inflexní body funkce f(x) =x + sinx na intervalu [0,47r]. Řešení f'(x) = 1 + cosx = 0 implikuje, že cos x = — 1, tedy x = ir, 3tt jsou stacionární body (v intervalu [0,47r]). Body, kde neexistuje f'(x) nejsou. V každém z intervalů (0, ir), (7r,37r) a (3ir, 4tt) vybereme jeden bod pro určení znaménka f'(x) v těchto intervalech. Tedy f(x) je rostoucí na [0,47r], f(x) nemá lokální extrémy. » Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooo»c Řešení příkladu - pokr. Řešení f"(x) = — sin x = 0 implikuje, že x = 0, ir, 2tt, 3tt, 4tt jsou kandidáti na inflexní body. V každém z intervalu (0,7r), (tt,2tt), (2tt, 3tt) a (3ir, 4tt) vybereme jeden bod pro určení znaménka f"(x) v těchto intervalech. Tedy f (x) je konvexní na [ir, 2tt] a na [37r,47r], f (x) je konkávni na [0,7r] a na [27r,37r], f (x) má inflexi v bodech x = ir, 2tt, 3tt. A protože můžeme jednoduše vypočítat funkční hodnoty a hodnoty derivace (pro sklon tečny) ve zmiňovaných stacionárních, inflexních a krajních bodech, můžeme také načrtnout graf této funkce na intervalu [0,47r]. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo 00000000000« Funkce f(x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak rozlišujeme asymptoty v 00 a v —00. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo 00000000000« Funkce f(x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak rozlišujeme asymptoty v 00 a v —00. Definice • Přímka x = xo (svislá přímka) je asymptotou bez směrnice funkce f(x), pokud je alespoň jedna jednostranná limita v bodě xo nevlastní, tj. lirri . + fix) = ±00 nebo lim , - fix) = ±00. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo 00000000000« Asymptoty Funkce f(x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak rozlišujeme asymptoty v 00 a v —00. Definice • Přímka x = xq (svislá přímka) je asymptotou bez směrnice funkce f(x), pokud je alespoň jedna jednostranná limita v bodě xo nevlastní, tj. lirri . + fix) = ±00 nebo lim , - fix) = ±00. • Přímka y = ax + b (a, b £ m) je asymptotou se směrnicí v 00, pokud lim \f(x) - (ax + b)] = 0. Podobně pro asymptotu se směrnicí v —00. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Príklad (a) Funkce f (x) = - má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ' Príklad (a) Funkce f (x) = ^ má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f (x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože / sinx \ sinx hm--0 = hm - x—>±oo V X J x—>±oo x ohr. typ , ±00 = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Príklad (a) Funkce f(x) = - má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f(x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože . smx hm--0 x—>±oo V x lim sin x x—>±OQ x typ ohr. ±00 0. (c) Funkce f(x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ±00). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Príklad (a) Funkce f(x) = - má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f(x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože . smx hm--0 x—>±oo V x lim sin x x—>±OQ x typ ohr. ±00 0. (c) Funkce f(x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ±00). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ' Príklad (a) Funkce f (x) = ^ má asymptotu bez směrnice x = 0 a asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00). (b) Funkce f (x) = má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ±00), protože / sinx \ sinx hm--0 = hm - x—?±oo V x J x—?±oo x ohr. typ , ±00 = 0. (c) Funkce f (x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ±00). Poznámka Je zřejmé, že asymptoty bez směrnice mohou být pouze v bodech nespojitosti funkce ^(x). Samozřejmě ne každý bod nespojitosti zadává asymptotu, viz např. f(x) = v xq = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Věta Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f(x) i/oo f(x) a= lim -, b = lim [f(x) — ax]. x—>oo x x—>oo Podobně, přímka y = ax + b je asymptotou funkce f(x) v — oo 44> f(x) a = lim -, b = lim [fix) — ax]. x—>—oo x x—>—oo Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Důkaz. Býti asymptotou v oo znamená, že f (x) ax + b pro x —> oo. Tedy pokud obě strany podělíme výrazem x, dostaneme, že f {x) b -a H— pro x —^ oo. x x A protože výraz ^ —> 0 pro x —^ oo, dostáváme odtud vzoreček pro hodnotu koeficientu a. Dále, známe-li koeficient a, potom f(x) — ax k, b pro x —> oo. ^__ Samozřejmě, pokud alespoň jedna z limit definujících koeficienty a, b je nevlastní nebo neexistuje, tak potom daná funkce asymptotu v příslušném oo nebo —oo nemá. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Príklad Určete asymptoty funkce f(x) (x + 2f Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ' Príklad ^ Určete asymptoty funkce f(x) = (x - 2)3 (x+ 2)2- Řešení x = —2 je asymptota bez směrn ce. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Príklad Určete asymptoty funkce f(x) (x + 2f Řešení -2 je asymptota bez směrnice. 3^ x r f (x) —00. Proto y = 1, £>+ = ••• = —10. Podobně pro 10 je asymptota v 00 i v —00. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Při vyšetrovaní průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. • asymptoty bez směrnice a se směrnicí, Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Při vyšetřování průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. • asymptoty bez směrnice a se směrnicí, • hodnoty funkce f(x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech (např, stacionárních a inflexních bodech, kde neexistuje f'(x) nebo f"(x), v krajních bodech, atd.), Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc Při vyšetrovaní průběhu funkce určíme • definiční obor (pokud již není zadán), • první derivaci f'(x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body, body kde neexistuje f'(x), intervaly monotonie (rostoucí a klesající f(x)) a lokální extrémy. • druhou derivaci f"(x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy. • asymptoty bez směrnice a se směrnicí, • hodnoty funkce f(x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech (např, stacionárních a inflexních bodech, kde neexistuje f'(x) nebo f"{x), v krajních bodech, atd.), • a nakonec ze všech těchto informací sestrojíme graf funkce f(x). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ' Príklad Vyšetřete celkový průběh funkce f (x) = - + In x. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ' Príklad Vyšetřete celkový průběh funkce f (x) = - + In x. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (0, oo). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ' Príklad Vyšetřete celkový průběh funkce f (x) = - + In x. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (0, oo). • První derivace f (x) = tj. x = 1 je jediný stacionárni bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce ^(x)). Vlastnosti derivací ooooooooo ĽHospitalovo pravidlo ooooooo Implicitní derivace ooo Diferenciál funkce a Taylorův polynom OOOOOOO Průběh funkce oooooooooooc Príklad Vyšetřete celkový průběh funkce f (x) = - + In x. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (0, oo). • První derivace f (x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionárni bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)). 9 Druhá derivace f"(x) = je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. Vlastnosti derivací ooooooooo ĽHospitalovo pravidlo ooooooo Implicitní derivace ooo Diferenciál funkce a Taylorův polynom OOOOOOO Průběh funkce oooooooooooc Príklad Vyšetřete celkový průběh funkce f (x) = - + In x. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (0, oo). • První derivace f (x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionárni bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)). 9 Druhá derivace f"(x) = je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. • x = 0 je asymptota bez směrnice Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Implicitní derivace Diferenciál funkce a Taylorův polynom Průběh funkce ooooooooo ooooooo ooo ooooooo oooooooooooc ' Príklad Vyšetřete celkový průběh funkce f (x) = - + In x. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (0, oo). • První derivace f (x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionárni bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)). 9 Druhá derivace f"(x) = je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. • x = 0 je asymptota bez směrnice • f (x) nemá žádnou asymptotu se směrnicí Vlastnosti derivací ooooooooo ĽHospitalovo pravidlo ooooooo Implicitní derivace ooo Diferenciál funkce a Taylorův polynom OOOOOOO Průběh funkce oooooooooooc Príklad Vyšetřete celkový průběh funkce f [x) = - + In x. Řešení • Definiční obor je T>(f) = (0, oo). • První derivace f (x) = ^r, tj. x = 1 je jediný stacionárni bod (a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)). 9 Druhá derivace f"(x) = je proto x = 2 je jediným kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je. • x = 0 je asymptota bez směrnice • f (x) nemá žádnou asymptotu se směrnicí • Hodnoty funkce f[x) a derivace f'(x) ve všech „význačných" bodech: f{l) = l, f'{l) = 0, f(2) = 1 + In2 « 1.19, f'{2) = \.