Matematika II - 6. přednáška Primitivní funkce, neurčitý integrál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 5. 11. 2008 itegral >ooo Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes • Substituční metody • Integrování racionálních lomených funkcí Q| Riemannův integrál • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Robert Mařík - Příklady řešené krok za krokem (http: //user.mendelu.cz/marik/prez/integrály-cz.pdf). Primitivní funkce oooooooo Plán přednášky Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes • Substituční metody • Integrování racionálních lomených funkcí Q Riemannův integrál Základní integrační metody oooooooooooooooooo Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F'{x) = f(x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = xo < x\ < ■ ■ ■ < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech x; výrazy F(x/+1) - F(x;) f{x) Xi+l ~ Xi dostáváme součet n-l n-l F{b)-F{a) = £ F(X;!l)_F(X;)-(x;+1-x;) c ^ f(x;).(x;+1-x;). /=0 Xi+l - x,- /=0 Primitivní funkce •ooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F'(x) = f(x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů a = xo < xi < • • • < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xf- výrazy /vx) ~ F(x'+i) ~ F(x') - x/ dostáváme součet F(Z>)-F(a) = ]T F(X;+l):F(X;)-(x;+1-x;) c g f(x;).(x;+1-x;). -^7-1-1 -^7 Funkci F nazýváme antiderivace nebo primitivní funkce k funkci f, množinu všech takových funkcí nazveme neurčitým integrálem funkce f. i -o«.o Primitivní funkce o»oooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Antiderivace reálné funkce f(x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f, souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Primitivní funkce o»oooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Antiderivace reálné funkce f(x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f, souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x!). Dá se tedy očekávat, že takovou plochu skutečně spočteme jako rozdíl hodnot antiderivace v krajních bodech intervalu. Tomuto postupu se také říká Newtonův integrál. Píšeme Primitivní funkce oo»ooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrá oooooooooooo Poznámka V dalším skutečně ukážeme, že lze rozumně definovat pojem plocha v rovině tak, aby ji bylo možné počítat právě uvedeným způsobem. Newtonův integrál má ale jednu podstatnou vadu — jeho vyčíslení vyžaduje znalost antiderivace. Tu obecně není snadné spočíst i když ukážeme, že ke všem spojitým funkcím f existuje. Proto budeme napřed diskutovat jinou definici integrálu. Primitivní funkce ooo#oooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x), pak z předchozího víme, že F(x) — G(x) = konst. na celém intervalu. 4 P ► < (5? ► 4 = * ' - * Primitivní funkce ooo#oooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x), pak z předchozího víme, že F(x) — G(x) = konst. na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru Primitivní funkce ooo#oooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] určena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F'(x) = G'(x) = f(x), pak z předchozího víme, že na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru Protože mají funkce F(x) = arctgx a G(x) = — arccotgx stejnou derivaci f(x) = musí se tyto funkce lišit o konstantu. Konstantu C můžeme určit např. z hodnot těchto funkcí v bodě x = 0, arctg 0 = 0, arccotg 0 = ^, C = ^, neboli platí arctgx + arccotgx = f, Vx G M. F(x) — G(x) = konst. ■0 0.0 Primitivní funkce oooo»ooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrá oooooooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'{x) = f(x) pro všechna x G /. Primitivní funkce oooo»ooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrá oooooooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'{x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooo»ooo oooooooooooooooooo oooooooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'{x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooo»ooo oooooooooooooooooo oooooooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'{x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). (c) Funkce arctgx je primitivní k funkci na M. Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooo»ooo oooooooooooooooooo oooooooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'(x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). (c) Funkce arctgx je primitivní k funkci na M. (d) Funkce arcsin x je primitivní k funkci , 1 2 na (—1,1). Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooo»ooo oooooooooooooooooo oooooooooooo Definice Nechť f(x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu /. Funkce F(x) je primitivní k funkci f(x) na intervalu /, pokud F'{x) = f(x) pro všechna x e /. Co už víme? Z pravidel pro derivování elementárních funkcí snadno dostáváme následující. (a) Funkce je primitivní k funkci x" na M. (b) Funkce Inx je primitivní k funkci ^ na (—oo,0) a na (0, oo). (c) Funkce arctgx je primitivní k funkci na M. (d) Funkce arcsin x je primitivní k funkci ^2 na (—1,1). (e) Funkce C (konstantní funkce) je primitivní k funkci 0 na M. ■0 0.0 Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál ooooo»oo oooooooooooooooooo Existence primitivní funkce Kdy k dané funkci f(x) existuje primitivní funkce F(x)l Ne vždy! Kdy k dané funkci f (x) existuje primitivní funkce F{x)l Ne vždy! Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu I, potom k ní existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Důkaz. Později. Kdy k dané funkci f (x) existuje primitivní funkce F{x)l Ne vždy! Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu I, potom k ní existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Důkaz. Později. □ Poznámka Věta udává pouze postačující podmínku pro existenci primitivní funkce, spojitost není podmínkou nutnou! Např. funkce f(x) = 2xsin^ — cos^, pro x / 0, f(0) = 0 není spojitá v bodě x = 0, přitom snadno spočítáme, že funkce F(x) = x2 sin ^, pro a F(0) = 0 je k f(x) primitivní. eax dx = -eax + C a — dx = a I n x + C x a cos £x cŕx = - si n bx + C D a si n bx dx = — — cos bx + C b a cos bxs\r\n bx dx = —-r sin"+1 bx + C b{n + l) a sin bx cos" bx dx =--;-r cos"+1 bx + C b{n + l) a tg bx dx = — — I n (cos bx) + C Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál 0000000» oooooooooooooooooo oooooooooooo a2 + x2 dx = arctg y—j + C dx = In \f(x)\ + C Poznámka V posledním vzorci si všimněte, že na pravé straně je v logaritmu absolutní hodnota, neboť pro x > O je (Inx)' = - a pro x < O je [ln(-x)]' = ^-(-l) = i Q Primitivní funkce Q Základní integrační metody • Metoda per partes • Substituční metody • Integrování racionálních lomených funkcí Q Riemannův integrál Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo oooooooooooo (i) Pravidlo konstantního násobku: Neboli, je-li F(x) primitivní k f (x), potom je c . F (x) primitivní k c . f (x). Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo oooooooooooo (i) Pravidlo konstantního násobku: Neboli, je-li F(x) primitivní k f (x), potom je c . F (x) primitivní k c . f (x). (ii) Pravidlo součtu a rozdílu: J [f {x) ± g{x)] dx = J f {x) dx±J g{x) dx. Neboli, je-li F (x) primitivní k f (x) a je-li G(x) primitivní k g (x), potom je F (x) ± G (x) primitivní k f (x) ± g (x). Metoda pro integraci per partes (= po částech) je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu. Toto integrační pravidlo umožňuje integrovat součiny funkcí, přičemž integrál z daného součinu se vhodně převede na integrál z jednoduššího součinu. ' Věta Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na J u'(x). v(x) dx = u(x). v(x) — j intervalu 1. Potom platí f u(x). v'(x) dx. Metoda pro integraci per partes (= po částech) je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu. Toto integrační pravidlo umožňuje integrovat součiny funkcí, přičemž integrál z daného součinu se vhodně převede na integrál z jednoduššího součinu. ' Věta Nechť funkce u(x) a v(x) mají derivaci na J u'(x). v(x) dx = u(x). v(x) — j intervalu 1. Potom platí f u(x). v'(x) dx. Tato metoda je jednoduchým důsledkem pravidla pro derivaci součinu: [u v]' = u' v + u v', =>■ j[u v]' = f (u' v + u v') u v = j u' v + J uv'. □ Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo o»oooooooooooooooo oooooooooooo Příslušné výpočty pro metodu per partes se často ve výpočtu zapisují mezi dvě svislé čary. Příklad x cos x dx u v - cosx x sin x = 1 x smx si n x d>\ x sin x — (— cosx) + C = x sin x + cosx + C. Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo o»oooooooooooooooo oooooooooooo Příslušné výpočty pro metodu per partes se často ve výpočtu zapisují mezi dvě svislé čary. Příklad x cos x dx u v - cosx x sin x = 1 x smx si n x d>\ x sin x — (— cosx) + C = x sin x + cosx + C. Příklad Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oo»ooooooooooooooo oooooooooooo Metoda per partes občas vyžaduje i použití některých (i když dnes už dostatečně profláknutých) triků: ' Příklad 11 / 1 n x dx = 1. \n x dx = J J v = \nx = x 1 n x — J x ■ — dx = x \nx — u = x v> = ± = x ^ 1 dx = x \nx — x + C Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo ooo»oooooooooooooo oooooooooooo Příklad ex sin x dx v = sin x označme jako / = exsinx— / excosxdx = ex sin x ex = cosx cosx u = e" sin x |excosx — j ex (— sinx) c/x| ex sin x — ex cosx — / exsinxc/x pro neznámý integrál / tedy dostáváme rovnici I = ex (sinx — cosx) — /, odkud snadno dopočteme / = \ ex (sinx — cosx). Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooo»ooooooooooooo Riemannův integrá oooooooooooo Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu J x" eax dx, Jxn cos(ax) dx, Jxn sin(ax) dx, J x" arctg(ax) dx, J x" arccotg(ax) dx, J xa ln"xcrx. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooo»ooooooooooooo Riemannův integrá oooooooooooo Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu J x" eax dx, Jxn cos(ax) dx, Jxn sin(ax) dx, J x" arctg(ax) dx, J x" arccotg(ax) dx, J xa ln"xcrx. Metoda per-partes vede někdy na rovnici pro neznámý integrál, např. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooo»ooooooooooooo Riemannův integrá oooooooooooo Poznámka Metoda per-partes vede k cíli zejména pro integrály typu J x" eax dx, Jxn cos(ax) dx, Jxn sin(ax) dx, J x" arctg(ax) dx, J x" arccotg(ax) dx, J xa ln"xcrx. Metoda per-partes vede někdy na rovnici pro neznámý integrál, např. J r /.«■,„<*,) *• Metoda per-partes vede někdy na rekurentní formuli pro neznámý integrál (viz následující příklad). Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooo»oooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo ' Příklad ^ Určete K„{x) := J f (x2 + l)n ^ Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooo»oooooooooooo Riemannův integrál oooooooooooo Příklad K„{x) (x2 + 1)-" -n(x2 + l)-"-1.2x x(x2 + l)-" (x2 + 1)" x (x2 + 1)" + 2n + 2n x.(-n) (x2 + .2xdx x2 + 1 - 1 (x2 + 1 1 (x2 + 1)" ~ (x2 + dx (x T—^-+2n[Kn{x)-Kn+1{x)}. 00.0 Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooo»ooooooooooo oooooooooooo Příklad (Dokončení) Z rovnice snadno dopočteme Kn+i(x) = ^ • (y2*!)n + ^jjt ' Kn(x), odkud je pak možné iterativně počítat hodnoty Kn, např. volbou n = 1 vypočítáme integrál /<2(x): J WTW = 2—l + 2Kl{x) = 2 • x^TI + 2 3rCtgX + Další dvě metody (obě jsou nazývány substituční) jsou založeny na pravidle pro derivování složené funkce. Další dvě metody (obě jsou nazývány substituční) jsou založeny na pravidle pro derivování složené funkce. Věta (Substituce pro neurčitý integrál) Necht je funkce f(t) definovaná na intervalu I a necht tp(x) je definovaná na intervalu J a tp(J) C /. Je-li funkce F(t) primitivní k funkci f(t) na intervalu I, potom je funkce (F o ip)(x) primitivní k funkci [(f o (x)) Neboli v daném integrálu volíme substituci t = (p(x) Další dvě metody (obě jsou nazývány substituční) jsou založeny na pravidle pro derivování složené funkce. Věta (Substituce pro neurčitý integrál) Necht je funkce f(t) definovaná na intervalu I a necht tp(x) je definovaná na intervalu J a tp(J) C /. Je-li funkce F(t) primitivní k funkci f(t) na intervalu I, potom je funkce (F o (x)) Neboli v daném integrálu volíme substituci t = tp(x) Důkaz. H dt = 2): A B C dx = A In |x — xq|. (x-x0)"' (x-x0)" -i , ..., A I (x - xQyk dx = A X - Xq -k+1 pro k > 2: A -k + 1 (1 - k) (x - Xq)^1 Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooo»ooo oooooooooooo další typ parciálních zlomků Pro dvojici jednoduchých komplexně sdružených kořenů a ± (3i: Bx+C (x_a)2+/32< Bx+ C (x - a)2 + /32 dx Výraz ve jmenovateli upravíme vytýkáním na tvar t2 + 1, kde t = Výsledný integrál je po této substituci tvaru Dt + E dt = D D t2 + l dt + E t2 + l dt — In(ŕ2 + 1) + E arctgŕ. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody ooooooooooooooo»oo Riemannův integrá oooooooooooo poslední typ parciálních zlomků Pro dvojici vícenásobných komplexně sdružených kořenů a ± (3i (n>2): Bx+ C Dx + E Fx + G [(x-a)2+/32]"' [{x - a)2 + p2}"-1' (x - a)2 + /32 Bx+C pro k dx [(x - a)2 + /32]k Výraz ve jmenovateli upravíme vytýkáním na tvar (ŕ2 + 1)^, kde t = ^f1- Výsledný integrál je po této substituci tvaru Ht + J {t2 + l)k dt = H (t2 + iy dt + J (t2 + iy dt, přičemž první z uvedených integrálů vypočteme substitucí s = ŕ2 + 1 (potom ds = 2t dt) a druhý z uvedených integrálů je integrál Kn(x) z dříve řešeného příkladu (přesněji v tomto případě Ki,(t)). kterv vede na rekurentní formuli. 00.0 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody 0000000000000000*0 Riemannův integrál oooooooooooo ' Příklad Vypočtěte J f x3 + 6x2 + 5 (x + l)2(x2 + 4) X" Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody 0000000000000000*0 Riemannův integrál oooooooooooo ' Příklad Vypočtěte J f x3 + 6x2 + 5 (x + l)2(x2 + 4) X" Řešení Rozkladem na parciální zlomky zjistíme x3 + 6x2 + 5 _ A B Cx + D (x + l)2 (x2 + 4) ~ (x + l)2 + 7+1 + x2 + 4 ' 00.0 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody 0000000000000000*0 Riemannův integrál oooooooooooo Příklad Vypočtěte x3 + 6x2 + 5 (x + l)2 (x2 + 4) dx. Rozkladem na parciální zlomky zjistíme x3 + 6x2 + 5 A + B + Cx + D (x+l)2(x2+4) (x + 1)2 x + 1 x2+4 Odsud plyne, že A = 2, B = -1, C = 2, D = 1 a tedy je x3 + 6x2 + 5 (x + l)2 (x2 + 4) -2 dx x + 1 -2 In |x + II + (x+1)2 2x j c/x + x+1 + x2 +4 x2 +4 2x+_l\ x2+47 dx - - In |x + 1| + ln(x2 + 4) + - arctg 00.0 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody 00000000000000000» Riemannův integrá oooooooooooo Poznámka • Mnoho dalších typů integrálů vede přes vhodné substituce na integrály z racionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech. ■0 0.0 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody 00000000000000000» Riemannův integrá oooooooooooo Poznámka • Mnoho dalších typů integrálů vede přes vhodné substituce na integrály z racionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech. • Někdy ani nelze daný integrál vůbec spočítat (tj. vyjádřit pomocí elementárních funkcí), např. / -dx, / -dx, / -dx, / s\r\(x2)dx, J x J x J Inx J J cos(x2) dx, J — dx, J ex dx. Z věty o existenci primitivní funkce ale víme, že k uvedeným funkcím existuje primitivní funkce, protože tyto funkce jsou spojité. Tyto primitivní funkce se pak nazývají vyšší funkce (jsou nevyjádřitelné pomocí elementárních funkcí). ■0 0.0 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody 00000000000000000» Riemannův integrá oooooooooooo Poznámka • Mnoho dalších typů integrálů vede přes vhodné substituce na integrály z racionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech. • Někdy ani nelze daný integrál vůbec spočítat (tj. vyjádřit pomocí elementárních funkcí), např. / -dx, / -dx, / -dx, / s\r\(x2)dx, J x J x J Inx J J cos(x2) dx, J — dx, J ex dx. Z věty o existenci primitivní funkce ale víme, že k uvedeným funkcím existuje primitivní funkce, protože tyto funkce jsou spojité. Tyto primitivní funkce se pak nazývají vyšší funkce (jsou nevyjádřitelné pomocí elementárních funkcí). • Pozor ale na f ^ dx = \ In2x + C, (není to vyšší funkce)! ^ - -00.O Základní integrační metody oooooooooooooooooo Plán přednášky Q Primitivní funkce Základní integrační metody • Metoda per partes • Substituční metody • Integrování racionálních lomených funkcí Riemannův integrál <□> <|l -a O^O Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál •ooooooooooo Bernhard Riemann (1826 - 1866) - jeden z nejvýznamnějších matematiků celé historie (nejen matematické analýzy) - viz http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann V této části budou uvažované funkce vždy ohraničené. Základní otázka zní: Jaká je plocha mezi f(x) a osou x (na intervalu [a, b])l Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. ' Příklad (a) f(x) = 2 pro x £ [-1,1], P = 4. (b) f{x) = /c pro x £ [a,/)], P = k{b- a). Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. (b) f(x) = k pro x £ [a, b], P = k (b — a). (c) f(x) = x pro x G [0, 4], P = \ 42 = 8. ' Příklad (a) f(x) = 2 pro x £ [-1,1], P = 4. (b) f{x) = /c pro x £ [a, fa], P = k(b- a). (c) f{x) = x pro x G [0,4], P = \A2 = 8. (d) f{x) = x pro x G [2,4], P = § 42 - | 22 = 8 - 2 = 6. » -š -o^o Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. (b) f{x) = k pro x £ [a, b], P = *(/>- a). (c) f{x) = x pro x G [0,4], P = 2 H 8. (d) f(x) = x pro x G [2,4], P = I42 _ 2 H I22 = 2 z (e) f{x) = x pro x £ [a, />], P = 2 u ^ a2 2 3 ■ » .= o^o ' Příklad (a) f(x) = 2 proxG [-1,1], P = 4. (b) f{x) = /c pro x £ [a, />], P = k(b - a). (c) f{x) = x pro x G [0,4], P = ±42 = 8. (d) f{x) = x pro x G [2,4], P = \ A2 - I22 = 8-2 = 6. (e) f{x) = x pro x £ [a, />], P = | fa2 - ^ a2 2 3 ■ (f) = Vl -x2 pro x G [-1,1], P = I 7T 12 = TL 2 /i i 2 ■ Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. (b) f(x) = k pro x £ [a, b], P = k (b — a). (c) f{x) = x pro x G [0, 4], P = \ 42 = 8. (d) f(x) = x pro x G [2, 4], P = \ 42 - \ 22 = 8 - 2 = 6. (e) f (x) = x pro x G [a, />], P = | b2 - \ a2. (f) f(x) = Vl-x2 pro x G [-1,1], P = 17T l2 = §. (g) f(x) = -2x + 1 pro x G [1, 2], P = \ ■ § • 3 - § • § • 1 = 2. Ale protože je plocha poc/ osou x, klademe P = —2. Príklad (a) f{x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. (b) f(x) = k pro x G [a, b], P = k (b - a). (c) f(x) = x pro x G [0,4], P = \ A2 = 8. (d) f(x) = x pro x G [2, 4], P = \ 42 - \ 22 = 8-2 = 6. (e) f(x) = x pro x G [a, b], P = \b2 - \ a2. (f) f(x) = Vi - x2 pro x G [-1,1], P = \irí' > _ 7T 2 ■ (g) f(x) = -2x + 1 pro x G [1, 2], P = § • | • 3 - \ ■ \ ■ 1 = 2. Ale protože je plocha pod osou x, klademe P = -2. (h) f(x) = x3 pro x G [—1,1], plocha je stejná nad i pod osou x, a proto klademe P = 0. Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterými jsme v minulé přednášce odůvodňovali souvislost Newtonova integrálu s velikostí plochy. Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterými jsme v minulé přednášce odůvodňovali souvislost Newtonova integrálu s velikostí plochy. Skutečnou plochu mezi f(x) a osou x odhadneme pomocí „vepsaných" a „opsaných" obdélníků, čímž dostaneme dolní odhad s(D, f) pro skutečnou plochu a horní odhad S(D, f) pro skutečnou plochu. Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo ooo»oooooooo Definice (dělení intervalu) Nechť a, b 6 M, a < b. Dělením intervalu [a, b] je konečná množina bodů D C [a, b] s vlastností a, b £ D. Tedy D = {x0, xi,..., x„}, kde a = x0 < xi < • • • < x„_i < xn = b. Body xo,xi,... ,x„ se nazývají dělící body a interval [x/(_i,x/(] se nazývá dělící (pod)interval. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál ooo»oooooooo Definice (dělení intervalu) Nechť a, b 6 M, a < b. Dělením intervalu [a, b] je konečná množina bodů D C [a, b] s vlastností a, b £ D. Tedy D = {x0, xi,..., x„}, kde a = x0 < xi < • • • < x„_i < xn = b. Body xo,xi,... ,x„ se nazývají dělící body a interval [x/(_i,x/(] se nazývá dělící (pod)interval. Délka největšího dělícího podintervalu je pak norma děleníD, tj. je to číslo n(D):= max {xfe-xfe_i}. (1) K=l,...,n Množinu všech dělení intervalu [a,b] označujeme jako V[a,b] či jenom jako V. ■0 0.0 Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooo»ooooooo Pro funkci f(x) na [a, b] a dělení D intervalu [a, b] zaveďme mk :=inf{f(x), x £ [xfc_i, xk]}, Mk : = sup {f(x), x£[xfc_i,xfc]} n s(D, f) := (xk — x/(_1), dolní součet f(x) při dělení D, S(D, O := ^ Mfc {xk -Xk-i), horní součet f(x) při dělení D. k=l Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooo»ooooooo Pro funkci f (x) na [a, b] a dělení D intervalu [a, b] zaveďme mk :=inf{f(x), x G [xfe_i, xk]}, Mk : = sup {f(x), x G [x/,_i,x/,]} s(D, f) := mk (xk — x/(_1), dolní součet f(x) při dělení D, n S(D, f) := Mk (xk — x/(_1), horní součet f(x) při dělení D. Tvrzení Necht c < f (x) < d pro každé x G [a, b]. Potom pro každá dvě dělení Dx, D2 G V [a, Ď] p/aŕ/ c (Ď - a) < s(Di,0 < S(D2,0 < d (b- a), ŕ/', dolní součet libovolného dělení je nejvýše roven hornímu součtu libovolného dělení, přičemž všechny dolní součty jsou zdola ohraničeny číslem c(b — a) a všechny horní součty jsou shora ohraničeny číslem d (b — a) . ■0 0.0 Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo OOOOO0OOOOOO Při vzrůstajícím počtu dělících bodů x/< v dělení D\, D2 se bude dolní součet s(Di, f) zvětšovat a zároveň horní součet S(D2, f) zmenšovat. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál 00000*000000 Při vzrůstajícím počtu dělících bodů v dělení D\, D2 se bude dolní součet s(Di, f) zvětšovat a zároveň horní součet S(D2, f) zmenšovat. Definice Číslo rb / f := sup {s(D, f), De V} — a nazýváme dolním (Riemannovým) integrálem z funkce f(x) na intervalu [a, b]. Číslo f := mí{S(D,f), D G V) nazýváme horním (Riemannovým) integrálem z funkce f(x) na intervalu [a, b]. Současně víme, že vždy je c (b — a) < f bf < fa f < d (b — a). Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooo»ooooo Definice (Riemannův integrál) Je-li potom říkáme, že funkce f(x) je integrovatelná (v Riemannově smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme ŕ f ■- [bf = Jbf. J a —a a Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí na intervalu [a, b] značíme jako 7?,[a, b\. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál 000000*00000 Definice (Riemannův integrál) Je-li i- h —7 t> /' = /'• J_a J a potom říkáme, že funkce f(x) je integrovatelná (v Riemannově smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme fbf:=fbf=f V. J a J a Ja Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí intervalu [a, b] značíme jako 1Z[a, b]. Je-li u —r b na f< f J_ a J a potom říkáme, že funkce f[x) není integrovatelná na [a, b]. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál 000000*00000 Definice (Riemannův integrál) Je-li i- h —7 t> /' = /'• J_a J a potom říkáme, že funkce f(x) je integrovatelná (v Riemannově smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme fbf:=fbf=f V. J a J a Ja Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí intervalu [a, b] značíme jako 1Z[a, b]. Je-li u —r b na f< f J_ a J a potom říkáme, že funkce f[x) není integrovatelná na [a, b]. Riemannův integrál přes interval [a, b] je tedy číslo. Zápis pro Riemannův integrál budeme používat také ve tvaru s integrační proměnnou. Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo ooooooo^oooo ' Příklad Pro konstantní funkci f(x) = c máme = a tedy je = Mk = c pro všechny k s(D,f) = c(b- a), S(D,f) = c(b- VD G V, ľb ľ b T b / c= k= k=c J a J__a Ja (b- a). Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo oooooooo»ooo Dirichletova funkce x [ch i] 1, pro x G Q n [a, b], 0, pro x G (M \ Q) n [a, b], Potom = 0 a = 1 pro všechna k a tedy je s(D,X) = 0, S(D,X) = b-a, VD G V, ^ X = sup{s(D, x)} = sup{0} = 0, — b k = inf{S(D,x)} = inf{/>- a} = b- a => = b-a, a tedy xČK[a,b], tj.% není integrovatelná. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál ooooooooosoo Jak obecně určíme, zda je daná funkce integrovatelná (a pak jakou hodnotu má její určitý integrál) či nikoliv? Definice Nulová posloupnost dělení 6 V je taková posloupnost dělení, která splňuje n(Di<) —> 0 pro k —> oo, neboli norma dělení jde k nule. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál ooooooooosoo Jak obecně určíme, zda je daná funkce integrovatelná (a pak jakou hodnotu má její určitý integrál) či nikoliv? Definice Nulová posloupnost dělení Dk £ V je taková posloupnost dělení, která splňuje n(Dk) —> 0 pro k —> oo, neboli norma dělení jde k nule. Necht je funkce f(x) ohraničená na intervalu [a, b]. Potom pro libovolnou nulovou posloupnost dělení Dk G V platí, že s{Dk,f) f, S(Dk,f) f, pro k oo. Je-li navíc f(x) integrovatelná na [a, b], potom dolní součty s(Dk, f) i horní součty S(Dk, f) konvergují (ve smyslu existence vlastní limity) k číslu Jb f. Primitivní funkce oooooooo Základní integrační metody oooooooooooooooooo Riemannův integrál oooooooooo»o Z této věty vyplývá, že pokud víme, že je f(x) integrovatelná na [a,b], potom lze f f určit limitním přechodem pomocí libovolné nulové posloupnosti dělení intervalu [a,b]. Zásadní otázku, které funkce jsou vlastně (Riemannovsky) integrovatelné, zodpovídá následující tvrzení. ' Věta (i) Každá spojitá funkce na intervalu [a, b] je zde také integrovatelná, neboli c a, b] C R[a, b]. (ii) Každá monotónní funkce na intervalu [a, b] je zde také integrovatelná. Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo OOOOOOOOOOO* Poznámka Riemannův integrál (tj. vlastně orientovaná plocha) se zřejmě nezmění, pokud je integrovatelná funkce f(x) nespojitá či není definována v konečně mnoha bodech (či obecněji na množině „míry nula"), viz obr. Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo polouzavřený interval. Zejména pro (ohraničené) intervaly všech typů (a, b), (a, b] i [a, b) je příslušný určitý integrál přes tento interval roven již dříve definovanému číslu f f, tj. Riemannově integrálu přes uzavřený interval [a,b]. Primitivní funkce Základní integrační metody Riemannův integrál oooooooo oooooooooooooooooo OOOOOOOOOOO* Poznámka Riemannův integrál (tj. vlastně orientovaná plocha) se zřejmě nezmění, pokud je integrovatelná funkce f(x) nespojitá či není definována v konečně mnoha bodech (či obecněji na množině „míry nula"), viz obr. Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo polouzavřený interval. Zejména pro (ohraničené) intervaly všech typů (a, b), (a, b] i [a, b) je příslušný určitý integrál přes tento interval roven již dříve definovanému číslu f f, tj. Riemannově integrálu přes uzavřený interval [a,b]. Příklad Pro nespojitou funkci sgnx platí f32 sgnx dx = 3 + (—2) = 1. Obdobně lze ukázat, že pro a < O < b je sgn x dx = a + b.