Matematika II - 7. přednáška Riemannův integrál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 9. 11. 2011 Ql Riemannův integrál 01 Vlastnosti určitého integrálu Q Integrál jako funkce horní meze Q| Aplikace určitého integrálu • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Riemannův integrál jrčitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu oooooooooooo oo oooooo ooooooooo Plán přednášky Q Riemannův integrál Q| Vlastnosti určitého integrálu Qi Integrál jako funkce horní meze Q Aplikace určitého integrálu <□» <0> <1> 3 O^O Riemannův integrál •ooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Bernhard Riemann (1826 - 1866) - jeden z nejvýznamnějších matematiků celé historie (nejen matematické analýzy) - viz http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann V této části budou uvažované funkce vždy ohraničené. Základní otázka zní: Jaká je plocha mezi f(x) a osou x (na intervalu [a, b])l Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu o»oooooooooo oo oooooo ooooooooo Obsah plochy Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu o»oooooooooo oo oooooo ooooooooo Obsah plochy Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. (b) f (x) = k pro x G [a, b], P = k (b - a). Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu o»oooooooooo oo oooooo ooooooooo Obsah plochy Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. (b) f (x) = k pro x G [a, b], P = k (b - a). (c) f (x) = x pro x G [0, 4], P = \ 42 = 8. Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu o»oooooooooo oo oooooo ooooooooo Obsah plochy ' Příklad (a) f(x) = 2 pro x G [-1,1], P = 4. (b) f{x) = k pro x G [a, b], P = k (b- a). (c) f{x) = x pro x G [0,4], P = \A2 = 8. (d) f{x) = x pro x G [2,4], P = \ 42 - \ 22 = 8 - 2 = 6. horní součet f (x) při dělení D. k=l Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez i Aplikace určitého integrálu 0000*0000000 00 oooooo ooooooooo Pro funkci f(x) na [a, b] a dělení D intervalu [a, b] zaveďme mk :=inf{f(x), x G [xfe_i, xk]}, Mk : = sup {f(x), xG[xfe_i,xfe]} s(D, f) := (x^ — x/(_1), dolní součet f(x) při dělení D, n S(D, f) := (x^ — x/(_1), horní součet f(x) při dělení D. Tvrzení Necht c < f (x) < d pro každé x G [a, £>]. Potom pro každá dvě děleníD-y, D2 G V[a, b] platí c(b-a)< s(Di,0 < S(D2,f) < d (b-a), tj. dolní součet libovolného dělení je nejvýše roven hornímu součtu libovolného dělení, přičemž všechny dolní součty jsou zdola ohraničeny číslem c(b — a) a všechny horní součty jsou shora ohraničeny číslem d (b — a) . ■0 0.0 Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce hon ií meze Aplikace určitého integrálu OOOOO0OOOOOO oo oooooo ooooooooo Při vzrůstajícím poctu dělících bodů Xk v dělení D\, Di se bude dolní součet s(Di, f) zvětšovat a zároveň horní součet S(D2, f) zmenšovat. Riemannův integrál ooooo»oooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Při vzrůstajícím počtu dělících bodů v dělení D\, D2 se bude dolní součet s(Di, f) zvětšovat a zároveň horní součet S(D2, f) zmenšovat. Definice Číslo rb / f := sup {s(D,f), DeP} — a nazýváme dolním (Riemannovým) integrálem z funkce f(x) na intervalu [a, b]. Číslo f := mí{S(D,f), D G V) nazýváme horním (Riemannovým) integrálem z funkce f(x) na intervalu [a, b]. Současně víme, že vždy je c (b — a) < f bf < fa f < d (b — a). Riemannův integrál oooooo»ooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Definice (Riemannův integrál) Je-li potom říkáme, že funkce f(x) je integrovatelná (v Riemannově smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme ŕ f ■- [bf = Jbf. J a —a a Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí na intervalu [a, b] značíme jako 7?,[a, b\. Riemannův integrál oooooo^ooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Definice (Riemannův integrál) Je-li i- h —7 t> /' = /'• J_a J a potom říkáme, že funkce f(x) je integrovatelná (v Riemannově smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme fbf:=fbf=f V. J a J a Ja Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí intervalu [a, b] značíme jako 1Z[a, b]. Je-li u —r b na f< f J_ a J a potom říkáme, že funkce f[x) není integrovatelná na [a, b]. Riemannův integrál oooooo^ooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Definice (Riemannův integrál) Je-li i- h —7 t> /' = /'• J_a J a potom říkáme, že funkce f(x) je integrovatelná (v Riemannově smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme fbf:=fbf=f V. J a J a Ja Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí intervalu [a, b] značíme jako 1Z[a, b]. Je-li u —r b na f< f J_ a J a potom říkáme, že funkce f[x) není integrovatelná na [a, b]. Riemannův integrál přes interval [a, b] je tedy číslo. Zápis pro Riemannův integrál budeme používat také ve tvaru s integrační proměnnou. Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez i Aplikace určitého integrálu ooooooo»oooo 00 oooooo ooooooooo ' Příklad Pro konstantní funkci f(x) = c máme = a tedy je = Mk = c pro všechny k s(D,f) = c(b- a), S(D,f) = c(b- VD G V, ľb ľ b T b / c= k= k=c J a J__a Ja (b- a). 0 pro k —> oo, neboli norma dělení jde k nule. Riemannův integrál ooooooooo»oo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Jak obecně určíme, zda je daná funkce integrovatelná (a pak jakou hodnotu má její určitý integrál) či nikoliv? Definice Nulová posloupnost dělení Dk £ V je taková posloupnost dělení, která splňuje n(Dk) —> 0 pro k —> oo, neboli norma dělení jde k nule. Necht je funkce f(x) ohraničená na intervalu [a, b]. Potom pro libovolnou nulovou posloupnost dělení Dk G V platí, že s{Dk,f) S(Dk,f) pro k oo. Je-li navíc f(x) integrovatelná na [a, b], potom dolní součty s(Dk, f) i horní součty S(Dk, f) konvergují (ve smyslu existence vlastní limity) k číslu f. Riemannův integrál oooooooooo«o Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Z této věty vyplývá, že pokud víme, že je f(x) integrovatelná na [a,b], potom lze f f určit limitním přechodem pomocí libovolné nulové posloupnosti dělení intervalu [a,b]. Zásadní otázku, které funkce jsou vlastně (Riemannovsky) integrovatelné, zodpovídá následující tvrzení. ' Věta (i) Každá spojitá funkce na intervalu [a, b] je zde také integrovatelná, neboli c a, b] C R[a, b]. (ii) Každá monotónní funkce na intervalu [a, b] je zde také integrovatelná. Riemannův integrál 00000000000» Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo Poznámka Riemannův integrál (tj. vlastně orientovaná plocha) se zřejmě nezmění, pokud je integrovatelná funkce f(x) nespojitá (či není definována) v konečně mnoha bodech (či obecněji na množině „míry nula"). Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo polouzavřený interval. Zejména pro (ohraničené) intervaly všech typů (a, b), (a,b] i [a, b) je příslušný určitý integrál přes tento interval roven již dříve definovanému číslu f f, tj. Riemannově integrálu přes uzavřený interval [a,b]. Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu 00000000000» oo oooooo ooooooooo Poznámka Riemannův integrál (tj. vlastně orientovaná plocha) se zřejmě nezmění, pokud je integrovatelná funkce f(x) nespojitá (či není definována) v konečně mnoha bodech (či obecněji na množině „míry nula"). Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo polouzavřený interval. Zejména pro (ohraničené) intervaly všech typů (a, b), (a,b] i [a, b) je příslušný určitý integrál přes tento interval roven již dříve definovanému číslu f f, tj. Riemannově integrálu přes uzavřený interval [a,b]. Příklad Pro nespojitou funkci sgnx platí f32 sgnx dx = 3 + (—2) = 1. Obdobně lze ukázat, že pro a < O < b je Jb sgn x dx = a + b. Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu oooooooooooo oo oooooo ooooooooo Plán přednášky Q Riemannův integrál Qi Vlastnosti určitého integrálu Q Integrál jako funkce horní me Q Aplikace určitého integrálu Nechť f,g£ 7Z[a, b] (f(x) a g(x) jsou integrovatelné) 3 c é K je konstanta. (i) Pravidlo konstantního násobku: c . f G TZ[a, b] a platí ľb ľb j c . f (x) dx = c f (x) dx. J a Ja (ii) Pravidlo součtu a rozdílu: f ± g E 7£[a, b] a platí ľ [f {x) ± g(x)] dx = ľ f {x) dx ± ľ g{x) dx. " a " a " a (iii) Pravidlo monotonie: je-li f (x) < g (x) na [a, b], potom f< / g Riemannův integrál oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo (iv) Pravidlo absolutní hodnoty: \ f\ G 1Z[a, b] a platí (v) Pravidlo součinu: f ■ g G TZ[a, b]. (vi) Pravidlo podílu: je-li g(x) > c na intervalu [a, b] pro nějaké c > 0, potom je ^ G 7Z[a, b]. (vii) Pravidlo návaznosti: je-li a < c < b, potom je f G 7£[a, c], f G 7£[c, fa] a platí Všimněte si, že pravidla (i) a (ii) vlastně říkají, že zobrazení / : K[a, b] R, je lineárni zobrazení mezi vektorovými prostory 1Z\a, b] a: M? « 01 Riemannův integrál 01 Vlastnosti určitého integrálu Q Integrál jako funkce horní meze 01 Aplikace určitého integrálu Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez< 3 Aplikace určitého integrálu oooooooooooo 00 •ooooo ooooooooo Je-li funkce f(x) integrovatelná na [a,b], potom je podle pravidla návaznosti také integrovatelná na intervalu [a,x] pro každé x G [a, b]. Tedy předpis F(x):= f= f(t)dt J a J a definuje funkci F(x), která je řádně definovaná pro všechna x G [a, b]. Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez 3 Aplikace určitého integrálu oooooooooooo 00 •ooooo ooooooooo Je-li funkce f(x) integrovatelná na [a,b], potom je podle pravidla návaznosti také integrovatelná na intervalu [a,x] pro každé x G [a, b\. Tedy předpis F(x):= f= f(t)dt J a J a definuje funkci F[x), která je řádně definovaná pro všechna x G [a, b\. ' Příklad Pro (nespojitou) funkci f(x) := í5' 110, pro x G [0,1), pro x G [1,2], je F(x) := | 5x, lOx- pro x G [0,1], 5, pro x G [1,2], Riemannův integrál oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze o»oooo Aplikace určitého integrálu ooooooooo V následujících dvou tvrzeních uvidíme, že funkce F(x) „vylepšuje" vlastnosti funkce f. Viz např. předchozí příklad, kdy z nespojité funkce f(x) dostaneme spojitou funkci F(x). Nechi f G TZ[a, b] (tedy funkce f(x) může být i nespojitá). Potom je funkce F(x): = f*f spojitá na intervalu [a, b]. Důkaz. Důkaz provedeme pro ohraničenou funkci f(x). Obecný případ lze najít v literatuře. Nechť xo G [a, b] je libovolný bod. Chceme ukázat, že F(x) - F(x0) ^0 pro x x0. Platí |F(x) - F(x0)| = i/ax'-j?'i = i£;'i >x0 — I Jx0 c x 0. n 00.0 Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez 3 Aplikace určitého integrálu oooooooooooo 00 oo»ooo ooooooooo Věta Je-li f(x) spojitá na nějakém okolí bodu xq, potom má funkce F(x) := fx f derivaci v bodě xq a platí F'(xo) = f(x0). * Důsledek (Fundamentáln 'vztah integrálního počtu) Je-li funkce f(x) spojitá na interval F(x) := fxf spojitou derivaci F'(x vztah j [a, b], potom má funkce ) = f(x) na [a, b], tj. platí ' = f (><)■ (2) Předchozí vztah v sobě soustřeďuje poznatky o derivaci, neurčitém integrálu, určitém integrálu a spojitosti. Tento důsledek je důkazem věty o existenci primitivní funkce (slíbeným dříve). Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu oooooooooooo oo ooo»oo ooooooooo Newton-Leibnitzova formule Je-li f £ TZ[a, b] a je-li F(x) libovolná primitivní funkce k f(x) na (a, b), přičemž F(x) je spojitá na [a, b], potom je f(x)dx = F(b) - F(a). Riemannův integrá oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze 000*00 Aplikace určitého integrálu ooooooooo Newton-Leibnitzova formule Věta Je-li f £ TZ[a, b] a je-li F(x) libovolná primitivní funkce k f(x) na (a, b), přičemž F(x) je spojitá na [a, b], potom je í f(x)dx = F(b) - F(a). Důkaz. Důkaz ale provedeme pouze pro spojitou funkci f(x). Je-li f(x) spojitá na [a,b], potom má f(x) na [a, b] primitivní funkci, označme ji F(x). Dále, protože je podle předchozího důsledku funkce f* f také primitivní k f (x) na [a, b], musí se tyto dvě primitivní funkce navzájem lišit o konstantu. Tedy platí, že F(x) = fx f + C pro každé x G [a, fa], a proto je Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu oooooooooooo oo oooo»o ooooooooo Výpočet určitého integrálu Díky předchozí větě vidíme, jak využít metodu per-partes a substituční metody i pro výpočet určitého integrálu. Při použití substituční metody máme oproti výpočtu neurčitého integrálu tu výhodu, že není třeba provádět zpětnou substituci, stačí při substituci transformovat i meze integrace. Věta (Substituce pro určitý integrál) Necht je funkce f(t) spojitá na intervalu [c, d] a necht má funkce (p(x) integrovatelnou derivaci na intervalu [a, b] a ip([a,b]) C [c, d]. Potom platí b f-ip(b) f{lp(x)).lp'(x)dx= / f(t)dt. Jip(a) Neboli v daném integrálu volíme substituci t = tp(x) a transformujeme nejen integrál, ale i meze (v tomtéž pořadí mezí). 5 -o^o Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez< 3 Aplikace určitého integrálu oooooooooooo 00 00000» ooooooooo Příklad Vypočtěte obsah kruhu s poloměrem r > 0. 0. Obsah kruhu vypočítáme např. jako dvojnásobek obsahu půlkruhu. p = 2 j \fr2-x2dx x = r sin t dx = (r cos t) dt x = -r =4> t = x = r t =1k 2 / 2 V r2 - r2 sin2 t . r cos t dt = 2 j r2 cos2 t dt dx 2r2 p l + cos(2ŕ)ďŕ = 2r2 t 1 sin(2ŕ) 2 + 2 2 2 r' 7T Sin 7T 4" + ^r 7T siní—7ľ) - H--1-- 4 4 7rr Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu oooooooooooo oo oooooo ooooooooo Plán přednášky Q| Riemannův integrál 01 Vlastnosti určitého integrálu Ql Integrál jako funkce horní meze Q| Aplikace určitého integrálu Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu OOOOOOOOOOOO OO OOOOOO »00000000 Obsah plochy mezi dvěma grafy Víme, že určitý integrál J f byl zkonstruován jako orientovaná plocha mezi grafem funkce f(x) a osou x na intervalu [a,b]. Tato orientovaná plocha je zřejmě rovna skutečné ploše, pokud je f(x) > O na [a,b]. Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu OOOOOOOOOOOO OO OOOOOO »00000000 Obsah plochy mezi dvěma grafy Víme, že určitý integrál J f byl zkonstruován jako orientovaná plocha mezi grafem funkce f(x) a osou x na intervalu [a,b]. Tato orientovaná plocha je zřejmě rovna skutečné ploše, pokud je f(x) > O na [a,b]. Pokud nás zajímá velikost plochy mezi grafy funkcí f(x) a g(x), viz obr., určíme ji pomocí vepsaných a opsaných obdélníků (stejně jako při konstrukci Riemannova integrálu), avšak nyní bude obsah každého takového obdélníka tvaru [^(c^) — ^(c^)] (x^ — x^-i), Riemannův součet je pak n ^2[f(ck) ~ g(ck)] [*k ~ Xk-i)-k=í Tyto úvahy vedou k odvozeni následujícího vzorce. Riemannův integrál oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu osooooooo Věta (plocha mezi grafy) Necht f, g e TZ[a, b] a f (x) 2 mezi grafy těchto funkcí na ii P = j\f{x) ~ S{x)\ dx = J l g(x) na [a, b]. Potom má plocha itervalu [a, b] velikost ŕ [ horní funkce — dolní funkce ] dx. a Riemannův integrá oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu o»ooooooo Věta (plocha mezi grafy) Necht f,g£ 7Z[a, b] a f(x) > g(x) na [a, b]. Potom má plocha mezi grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost b í-b [f(x) — g(x)]dx = / [ horní funkce — dolní funkce ] dx. Příklad Určete plochu mezi grafy funkcí y = sin x a y = 2 sin x na intervalu [ir, 2ir]. Riemannův integrá oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu o»ooooooo Věta (plocha mezi grafy) Necht f,g£ 7Z[a, b] a f(x) > g(x) na [a, b]. Potom má plocha mezi grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost b í-b [f(x) — g(x)]dx = / [ horní funkce — dolní funkce ] dx. Příklad Určete plochu mezi grafy funkcí y = sin x a y = 2 sin x na intervalu [ir, 2ir]. Řešení Oba grafy se protínají v bodech x = tt a x = 2tt, přičemž funkce y = sinxje horní funkce na tomto intervalu. Proto P= / (sin x — 2 sin x) dx = / (— sinx) dx = [cosx J ty J ty = COS27T — COS7T = 1 — ( — 1) = 2. 2ty Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu OOOOOOOOOOOO OO OOOOOO OO0OOOOOO Délka křivky Křivka C v rovině, C : [a, (3] —> M2, je zadána parametricky jako zobrazení C : 11-> [x(ŕ),y(ŕ)]. Příklad Křivka C : t i-> [cos t, sin t] pro ř G [0,27r] je kružnice o poloměru r = 1 se středem v počátku. Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu OOOOOOOOOOOO OO OOOOOO OO0OOOOOO Délka křivky Křivka C v rovině, C : [a, (3] —> M2, je zadána parametricky jako zobrazení C : t1-> [x(ŕ), y(ŕ)]. Příklad Křivka C : t i-> [cos t, sin t] pro t £ [0,27r] je kružnice o poloměru r = 1 se středem v počátku. Věta (Délka křivky v rovině) Nechť C je křivka v rovině a [x(ř),y(ř)] pro t G [a, (3] její parametrizace. Mají-li souřadné funkce x(ŕ) a y(ř) spojitou derivaci na intervalu [a, (3], potom má křivka C konečnou délku a platí d(Q= ľ xJ[x'{t)Y + [y'{t)Y dt. J ol Riemannův integrál oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooo«ooooo Odvození předchozího vztahu pomocí dělení je obdobné jako u obsahu plochy. Intuitivně lze s využitím Pythagorovy věty argumentovat takto: Představme si křivku C jako dráhu pohybu v čase t. Derivací tohoto zobrazení dostaneme hodnoty, které budou odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t = b) bude dána integrálem přes interval [a,b], kde integrovanou funkcí je dráha uražená za nekonečně malý čas dt. Ta je podle Pythagorovy věty rovna y/áx2 + dy2 = \/x'(t)2 +y'(ŕ)2dŕ, a odtud dostáváme požadovaný výsledek. Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu oooooooooooo oo oooooo oooo»oooo Příklad Určete obvod kružnice o poloměru r > 0. Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez Aplikace určitého integrálu oooooooooooo 00 oooooo oooo»oooo Příklad Určete obvod kružnice o poloměru r > 0. Kružnice má parametrizaci [x(ř),y(ř)] = [r cos ŕ, r sin t] pro t G [O, 27t]. Tyto funkce mají spojitou derivaci [x'(t), y'(t)] = [—rsin ŕ, r cos t] na [O, 27r], a proto je obvod kružnice roven d = vV(0]2 + \y'{t)]2 dt = yj'(-r sin ŕ)2 + (r cos ŕ)2 d í'2tt i- í'2tt = J y r2 (sin2 ŕ + cos2 t) dt = J r dt = [r t]2^ = 2-rrr. Riemannův integrál oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu ooooo«ooo Graf funkce f(x) můžeme chápat jako množinu bodů [x, f(x)], tedy je to speciální případ křivky v rovině, která má parametrizaci [ŕ, f (t)] pro t G [a, b] (v tomto případě tuto parametrizaci ale píšeme s proměnnou x). A protože má tato parametrizace derivaci [{t)', f {t)] = [l,f'{t)], dostáváme Důsledek Má-li funkce f (x) spojitou derivaci na intervalu [a, b], potom má její graf na intervalu [a, b] konečnou délku a platí d(f) = ľ y/l + [f'(x)]2 dx. J a * Riemannův integrál oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu oooooo»oo Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Riemannův integrál oooooooooooo Vlastnosti určitého integrálu oo Integrál jako funkce horní meze oooooo Aplikace určitého integrálu oooooo»oo Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Věta (objem rotačního tělesa) Necht f (x) je spojitá nezáporná funkce na intervalu [a, b]. Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy mezi grafem f a osou x na intervalu [a, b] kolem osy x, je ŕ V = tv f2(x)dx. Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f (x) a osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Věta (objem rotačního tělesa) Necht f (x) je spojitá nezáporná funkce na intervalu [a, b]. Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy mezi grafem f a osou x na intervalu [a, b] kolem osy x, je ŕ V = tv f2(x)dx. J a Intuitivní zdůvodnění je obdobné jako u délky křivky - objem nekonečně malé válcové části tělesa o délce dx je dán součinem dx a obsahu kruhové podstavy o obsahu ^(x)2, n > Analogicky jako objem vypočteme i povrch pláště rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu [a,b], vzniká při přírůstku Ax nárůst plochy, jehož velikost je rovna součinu As délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti kružnice o poloměru f(x). Plocha se proto spočte formulí S{f) = 2ir f{x)ds = 2ir f{x)Jl + {f'{x))2dx, kde ds = \Jdx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x). Analogicky jako objem vypočteme i povrch pláště rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu [a,b], vzniká při přírůstku Ax nárůst plochy, jehož velikost je rovna součinu As délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti kružnice o poloměru f(x). Plocha se proto spočte formulí S(f) = 2tt í f{x) ds = 2tt í f(x)^l + (f'(x))2dx, J a J a kde ds = yj dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x). Věta (obsah pláště rotačního tělesa) Necht f (x) je nezáporná funkce se spojitou derivací f'(x) na intervalu [a, b]. Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne grafu f na intervalu [a, b] kolem osy x, je S = 2tt f f(x) yjl + [^(x)]2 dx. Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu OOOOOOOOOOOO OO OOOOOO 00000000» Příklad Určete povrch jednotkové koule. Riemannův integrál Vlastnosti u rčitého integrálu Integrál jako funkce horní mez Aplikace určitého integrálu oooooooooooo 00 oooooo 00000000» Příklad Určete povrch jednotkové koule. Řešení Povrch určíme jako dvojnásobek povrchu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotací funkce f(x) = vV2 — x2 kolem osy x na intervalu [0,1]. Protože platí f'(x) = x2 ? Je tedy