Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Matematika II - 8. přednáška Aplikace určitého integrálu, nevlastní integrály, přibližné výpočty Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 11. 2011 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Obsah přednášky Q Integrální věty o střední hodnotě Q| Aplikace určitého integrálu Q Nevlastní integrály Q Numerická kvadratura (integrování) Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo OOOOOOO Plán přednášky Q Integrální věty o střední hodnotě Q Aplikace určitého integrálu Q Nevlastní integrály Q Numerická kvadratura (integrová 4 P ► 4 S ► < -š ► ' - ► Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) •ooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Věty o střední hodnotě Stejně tak jako má diferenciální počet své věty o střední hodnotě podobné věty důležité i v integrálním počtu. Začněme následujícím motivačním příkladem. Pokud máme konečně mnoho čísel a\,..., an, potom jejich průměrná hodnota je ai H-----h an 1 " n —' k=l Tedy průměrná hodnota čísel f{c\),..., f(cn) je pak k=l Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) o»oooo ooooooooo ooooooo ooooooo Položme si otázku, co by se stalo, kdybychom nahradili konečně mnoho čísel f{c\),..., f(cn) nekonečně mnoha funkčními hodnotami f(x), tj. analyzujme limitu 1 " 1 " b — a lim -sPf(ck)= lim--y^f(ck)-- n->oo n ^—J n->oo b — a J ^jri^ délka dělících subintervalů = lim —-— • (Riemannův součet, ale místo mk či Mk je zde f{c\S) n->oo b — a -_í_/'f. b-a L Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oo»ooo ooooooooo ooooooo ooooooo Definice (Průměr funkce) Nechť f G R[a, b]. Potom číslo av(f) = av[aM{f) := - nazýváme průměrnou hodnotou (též střední hodnotou) funkce f(x) na intervalu [a,b]. Označení je z angličtiny „average value". Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) ooo#oo ooooooooo ooooooo ooooooo Příklad (a) Pro funkci f(x) = c na intervalu [a, b] platí av(f) b-a c dx b-a c (b — a) = c, tj. průměrná hodnota konstantní funkce je samozřejmě tatáž konstanta. (b) Pro funkci f(x) = x na intervalu [a, b] platí av{f) b-a x dx b2 -a2 b + a b-a (c) Pro funkci f(x) = x2 na intervalu [0,1] platí av(f) 1-0 x2 dx Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooo»o ooooooooo ooooooo ooooooo V dalším textu označme m : = inf {f(x), x e [a, b]}, M := sup {f(x), x e [a, b]}, tj. platí pak m < f(x) < M na intervalu [a, b]. (i) Necht f G R[a, b]. Potom existuje číslo cel, m < c < M, takové, že fbf = c(b-a), J a av(f), tj. plocha mezi grafem funkce f(x) a osou x je rovna obsahu obdélníka se základnou [a, b] a výškou c. (ii) Je-li navíc funkce f(x) spojitá na [a, b], potom existuje bod xq g [a, b] s vlastností, že f(xo) = c = av(f) = -^-a fa f, tj. spojitá funkce f(x) nabývá svou průměrnou hodnotu v intervalu [a, b]. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) 00000» ooooooooo ooooooo ooooooo Příklad Funkce f(x) = 4 — x2 má na intervalu [0,3] průměrnou hodnotu av(f) = l /'t4"*2) dx = l(fu4 dx~fu *2 dx) = ^12"9) = L Podle Věty tedy pro číslo c = av(f) = 1 platí, že í (4 - x2) dx = c (b - a) = 1 • 3 = 3. Jo Dále, protože je funkce 4 — x2 spojitá na intervalu [0,3], existuje podle Věty bod xo G [O, 3] s vlastností, že ^(xo) = 4 — xq = 1. Zřejmě se jedná o bod xq = \/3. ■0 0.0 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Plán prednášky Q Integrální věty o střední hodnotě Q Aplikace určitého integrálu Q Nevlastní integrály Q| Numerická kvadratura (integrová ■= -O Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO »00000000 ooooooo ooooooo Obsah plochy mezi dvěma grafy Víme, že určitý integrál J f byl zkonstruován jako orientovaná plocha mezi grafem funkce f(x) a osou x na intervalu [a,b]. Tato orientovaná plocha je zřejmě rovna skutečné ploše, pokud je f(x) > O na [a,b]. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO »00000000 ooooooo ooooooo Obsah plochy mezi dvěma grafy Víme, že určitý integrál J f byl zkonstruován jako orientovaná plocha mezi grafem funkce f(x) a osou x na intervalu [a,b]. Tato orientovaná plocha je zřejmě rovna skutečné ploše, pokud je f(x) > O na [a,b]. Pokud nás zajímá velikost plochy mezi grafy funkcí f(x) a g(x), určíme ji pomocí vepsaných a opsaných obdélníků (stejně jako při konstrukci Riemannova integrálu), avšak nyní bude obsah každého takového obdélníka tvaru [^(c^) — g(cfr)] (x^ — x^-i), Riemannův součet je pak n ^2[f(ck) ~ g(ck)] {*k ~ Xk-i)-k=í Tyto úvahy vedou k odvození následujícího vzorce. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo o#ooooooo ooooooo ooooooo Věta (plocha mezi grafy) Necht f, g e TZ[a, b] a f (x) 2 mezi grafy těchto funkcí na ii P = j\f{x) ~ S{x)\ dx = J l g(x) na [a, b]. Potom má plocha itervalu [a, b] velikost ŕ [ horní funkce — dolní funkce ] dx. a Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo o»ooooooo ooooooo ooooooo Necht f,g£ 7Z[a, b] a f(x) > g(x) na [a, b\. Potom má plocha mezi grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost b í-b [f(x) — g(x)]dx = / [ horní funkce — dolní funkce ] dx. Příklad Určete plochu mezi grafy funkcí y = sin x a y = 2 sin x na intervalu [ir, 2ir]. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo o»ooooooo ooooooo ooooooo Věta (plocha mezi grafy) Necht f,g£ 7Z[a, b] a f(x) > g(x) na [a, b\. Potom má plocha mezi grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost b í-b [f(x) — g(x)]dx = / [ horní funkce — dolní funkce ] dx. Příklad Určete plochu mezi grafy funkcí y = sin x a y = 2 sin x na intervalu [ir, 2ir]. Řešení Oba grafy se protínají v bodech x = tt a x = 2tt, přičemž funkce y = sinxje horní funkce na tomto intervalu. Proto P= l (sin x — 2 sin x) dx = I (— sinx) dx = [cosx J TY J TY = cos27t — cos7t = 1 — ( — 1) = 2. 2ty Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo oo»oooooo ooooooo ooooooo Délka křivky Křivka C v rovině, C : [a, (3] —> M2, je zadána parametricky jako zobrazení C : 11-> [x(ŕ),y(ŕ)]. Příklad Křivka C : t i-> [cos t, sin t] pro ř G [0,27r] je kružnice o poloměru r = 1 se středem v počátku. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo oo»oooooo ooooooo ooooooo Délka křivky Křivka C v rovině, C : [a, (3] —> M2, je zadána parametricky jako zobrazení C : t1-> [x(ŕ), y(ŕ)]. Příklad Křivka C : t i-> [cos t, sin t] pro t G [0,27r] je kružnice o poloměru r = 1 se středem v počátku. Věta (Délka křivky v rovině) Nechť C je křivka v rovině a [x(ř),y(ř)] pro t G [a, (3] její parametrizace. Mají-li souřadné funkce x(ŕ) a y(ř) spojitou derivaci na intervalu [a, (3], potom má křivka C konečnou délku a platí d(Q= ľ vVWP + [y'(t)]2 dt. J OL Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooo»ooooo ooooooo ooooooo Odvození předchozího vztahu pomocí dělení je obdobné jako u obsahu plochy. Intuitivně lze s využitím Pythagorovy věty argumentovat takto: Představme si křivku C jako dráhu pohybu v čase t. Derivací tohoto zobrazení dostaneme hodnoty, které budou odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t = b) bude dána integrálem přes interval [a,b], kde integrovanou funkcí je dráha uražená za nekonečně malý čas dt. Ta je podle Pythagorovy věty rovna y/dx2 + dy2 = 0c'(ŕ)2 +y'(ŕ)2dŕ, a odtud dostáváme požadovaný výsledek. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo oooo^oooo ooooooo ooooooo Příklad Určete obvod kružnice o poloměru r > 0. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo oooo^oooo ooooooo ooooooo Příklad Určete obvod kružnice o poloměru r > 0. Kružnice má parametrizaci [x(ř),y(ř)] = [r cos ŕ, r sin t] pro t G [0, 27t]. Tyto funkce mají spojitou derivaci [x'(t), y'(t)] = [—rsin ŕ, r cos t] na [0, 27r], a proto je obvod kružnice roven d = ^[x'{t)}2 + [y'(ŕ)]2 dt = yj'(-r sin ŕ)2 + (r cos ŕ)2 d í'2tt i- í'2tt = J y r2 (sin2 t + cos2 t) dt = J r dt = [r t]2^ = 2-rrr. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooo»ooo ooooooo ooooooo Graf funkce f(x) můžeme chápat jako množinu bodů [x, f(x)], tedy je to speciální případ křivky v rovině, která má parametrizaci [ŕ, f (t)] pro t G [a, b] (v tomto případě tuto parametrizaci ale píšeme s proměnnou x). A protože má tato parametrizace derivaci [{t)', f {t)] = [l,f'{t)], dostáváme Důsledek Má-li funkce f (x) spojitou derivaci na intervalu [a, b], potom má její graf na intervalu [a, b] konečnou délku a platí d(f) = ľ y/l + [f'(x)]2 dx. * Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO 000000*00 ooooooo ooooooo Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo oooooosoo ooooooo ooooooo Objem rotačního tělesa Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Věta (objem rotačního tělesa) Necht f (x) je spojitá nezáporná funkce na intervalu [a, b\. Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy mezi grafem f a osou x na intervalu [a, b] kolem osy x, je ŕ V = tv f2(x)dx. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO 000000*00 ooooooo ooooooo Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f(x) a osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znaménko na intervalu [a,b], tj. je buď stále nezáporná nebo nekladná). Věta (objem rotačního tělesa) Necht f (x) je spojitá nezáporná funkce na intervalu [a, b\. Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy mezi grafem f a osou x na intervalu [a, b] kolem osy x, je ŕ V = tv f2(x)dx. J a Intuitivní zdůvodnění je obdobné jako u délky křivky - objem nekonečně malé válcové části tělesa o délce dx je dán součinem dx a obsahu kruhové podstavy o obsahu 7r/r(x)2, n > Analogicky jako objem vypočteme i povrch pláště rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu [a,b], vzniká při přírůstku Ax nárůst plochy, jehož velikost je rovna součinu As délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti kružnice o poloměru f(x). Plocha se proto spočte formulí S{f) = 2ir f{x)ds = 2ir f{x)Jl + {f'{x))2dx, kde ds = \Jdx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x). Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOO0O ooooooo ooooooo Povrch rotačního tělesa Analogicky jako objem vypočteme i povrch pláště rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu [a,b], vzniká při přírůstku Ax nárůst plochy, jehož velikost je rovna součinu As délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti kružnice o poloměru f(x). Plocha se proto spočte formulí S(f) = 2tt í f{x) ds = 2tt í f(x)^l + (f'(x))2dx, Ja J a kde ds = yj dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x). Věta (obsah pláště rotačního tělesa) Necht f (x) je nezáporná funkce se spojitou derivací f'(x) na intervalu [a, b]. Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne grafu f na intervalu [a, b] kolem osy x, je S = 2tt í f(x) Jl + [^(x)]2 dx. J a 00.0 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO 00000000« ooooooo ooooooo Příklad Určete povrch jednotkové koule. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO 00000000« ooooooo ooooooo Příklad Určete povrch jednotkové koule. Řešení Povrch určíme jako dvojnásobek povrchu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotací funkce f(x) = y/ r2 — x2 kolem osy x na intervalu [0,1]. Protože platí f'(x) = x2 ? Je tedy = 4?r / r dx = 4?r [ rx ]r = 4irr2. Jo Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Plán přednášky Q Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Q Nevlastní integrály Q Numerická kvadratura (integrování) Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO »000000 ooooooo Stejně jako je f f plocha mezi grafem (ohraničené) funkce f(x) a osou x na (konečném) intervalu [a, b], můžeme chtít najít tuto plochu na neohraničeném intervalu [a, oo), (—00, b], (—00,00), případně i pro neohraničenou funkci f(x). Dostáváme se tak k pojmu nevlastního integrálu Přitom, jak uvidíme, všechna pravidla pro výpočet integrálu zůstávají zachována, jen je potřeba dávat pozor na neurčité výrazy (obsahující symbol 00) a ty pak spočítat pomocí limity. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Příklad • Plocha pod ohraničenou funkcí f(x) = ^ na intervalu [l,oo) je f°° 1 1 ' oo 1 / -j dx = Ji x2 X OO (-1) = 0 + 1 = 1. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Příklad • Plocha pod ohraničenou funkcí f(x) = ^ na intervalu [l,oo) je - (-1) = 0 + 1 = 1. • Plocha pod neohraničenou funkcí f(x) = ^ na intervalu (0,1] je = —1 + oo = oo. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Příklad • Plocha pod ohraničenou funkcí f(x) = ^ na intervalu [l,oo) je - (-1) = 0 + 1 = 1. • Plocha pod neohraničenou funkcí f(x) = ^ na intervalu (0,1] je = —1 + oo = oo. • Plocha pod ohraničenou funkcí f(x) = ^ na intervalu [l,oo)je f°° 1 oo / — c/x = ľ lnx]ľ° = In oo — In 1 = oo — 0 = oo. Ji x 1 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo oo»oooo ooooooo Definice (Nevlastní integrál 1. druhu - nekonečný integrál) Nechť je funkce f(x) definována na intervalu [3,00). Existuje-li vlastní limita lim í f(x)dx = L, b^°° J a potom říkáme, že nevlastní integrál Ja°° f[x) dx konverguje a klademe fOO f(x) dx = L Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo oo»oooo ooooooo Definice (Nevlastní integrál 1. druhu - nekonečný integrál) Nechť je funkce f(x) definována na intervalu [3,00). Existuje-li vlastní limita potom říkáme, že nevlastní integrál f°° f(x) dx konverguje a klademe / f(x) dx = L J a Podobně hovoříme o divergenci integrálu. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo oo»oooo ooooooo Definice (Nevlastní integrál 1. druhu - nekonečný integrál) Nechť je funkce f(x) definována na intervalu [a, oo). Existuje-li vlastní limita lim b—>oo í f(x)dx = L, J a potom říkáme, že nevlastní integrál f°° f(x) dx konverguje a klademe /•OO f(x) dx = L Podobně hovoříme o divergenci integrálu. Obdobně pro interval [—00, b]. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooosooo ooooooo ^příklad ~^^H Vypočtěte nevlastní integrál projeden z typů parciálních zlomků f°° x Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooosooo ooooooo ^príklad ~^^H Vypočtěte nevlastní integrál projeden z typů parciálních zlomků o (x2 + a2)2 dx, Řešení Pomocí substituce dostaneme o (x2 + a2)2 dx x2 = t 2x dx = dt x = 0 =>- t = 0 x = oo =4> ŕ = oo 1 * = i 2 J„ (t + 32)2 2 lim -r t^cxD t + a2 t + a1 1 2^2" = 0 00.0 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo oooo»oo ooooooo Někdy lze podobným způsobem s využitím pravidla návaznosti vypočítat i nevlastní integrál přes (oboustranně) nekonečný interval (—00, 00), Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo oooo»oo ooooooo Někdy lze podobným způsobem s využitím pravidla návaznosti vypočítat i nevlastní integrál přes (oboustranně) nekonečný interval (—00, 00), Příklad V pravděpodobnosti a statistice se často používá nevlastní integrál 1 f°° _x£ e 2 dx = 1, přičemž funkce ^/2tt J — f {x) 1 _*£ e 2 2tt se nazývá hustota pravděpodobnosti (standardního) normálního rozdělení. Protože je tato funkce f(x) sudá, zřejmě je pak 00 2 _ X e 2 dx 2tt - « 1.2533. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooo«o ooooooo Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat i v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooo«o ooooooo Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Definice (Nevlastní integrál 2. druhu) Nechť je neohraničená funkce f(x) definována na intervalu (a, Existuje-li vlastní (pravostranná) limita říkáme, že nevlastní integrál Ja f(x)dx konverguješ klademe Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooo«o ooooooo Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Definice (Nevlastní integrál 2. druhu) Nechť je neohraničená funkce f(x) definována na intervalu (a, Existuje-li vlastní (pravostranná) limita říkáme, že nevlastní integrál Ja f(x)dx konverguješ klademe í f(x) dx = L. Pokud je tato limita nevlastní, říkáme, že integrál diverguje. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooo«o ooooooo Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat i v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Definice (Nevlastní integrál 2. druhu) Nechť je neohraničená funkce f(x) definována na intervalu (a, b]. Existuje-li vlastní (pravostranná) limita říkáme, že nevlastní integrál Ja f(x)dx konverguješ klademe í f(x) dx = L. J a Pokud je tato limita nevlastní, říkáme, že integrál diverguje. Podobně i v případě funkce definované na intervalu [a, b) a definice nevlastního integrálu f f(x)dx pomocí (levostranné) limity lim/3^fa- //' f{x)dx. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo oooooo* ooooooo ^príklad ~^^H Určete plochu pod grafem funkce f(x) = ^1 2 na intervalu (-1,1)- Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO 000000» ooooooo ^příklad ~^^H Určete plochu pod grafem funkce f(x) = ^1 2 na intervalu (-1,1)- Řešení Funkce f(x) = ^2 je na intervalu (—1,1) neohraničená a sudá. Plochu vypočítáme jako dvojnásobek plochy na intervalu [0,1). P = 2 í , dx = 2 ľarcsinxli = 2 ( ( lim arcsinx) — arcsit Jo vT^2 l Jo ^x^_ j = 2 (arcsin 1 — arcsin 0) = 2Í^- — Oj = ir. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO 000000» ooooooo ^příklad ~^^H Určete plochu pod grafem funkce f(x) = ^1 2 na intervalu (-1,1)- Řešení Funkce f(x) VT- ie na intervalu (—1,1) neohraničená a sudá. Plochu vypočítáme jako dvojnásobek plochy na intervalu [0,1). o vT :dx = 2[ arcsinxj0 = 2 7t ^ lim arcsinx) x—>1~ arcsit i 2 (arcsin 1 — arcsin 0) = 2 ( — — O | = ir. V tomto případě limita ani není potřeba, protože primitivní funkce 1 je spojitá zleva v x = 1 a F(x) = arcsinx k funkci f{x) 11 arcsin x -i Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooooo Plán přednášky Q Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Q Nevlastní integrály Q Numerická kvadratura (integrování) Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOO »000000 Numerická integrace (kvadratura) Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOO »000000 Numerická integrace (kvadratura) Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) • integrovaná funkce je známá, ale její primitivní funkci (antiderivaci) je obtížné (či dokonce nemožné) vyjádřit j a kožto elemen tární funkci. Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo o»ooooo Numerická kvad ratura Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem pod plochou apod. Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem pod plochou apod. Newton-Cotesovy vzorce Interval [a, b] , nad kterým integrujeme, rozdělíme na n stejných částí (délky h) tak, že v krajních bodech těchto částí známe hodnotu integrované funkce. Podle toho, jestli uvažujeme i hodnoty v krajních bodech a a b intervalu, rozlišujeme Newton-Cotesovy formule na uzavřené a otevřené. Pak Wj jsou váhy (uzavřený tvar). Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo oo»oooo Váhy snadno odvodíme např. pomocí Lagrangeovy interpolace. ľb ľb j f(x)dx*s / L(x)dx = Ja Ja ľb n n ľb = / f (xíM*) dx = E f (x'0 / ti(*)dx- J a ■ n -n J a /=0 /=0 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooo»ooo Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo oooo»oo lichoběžníkové pravidlo (uzavřená Newton-Cotesová formule) -interpolace lineární funkcí Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) oooooo ooooooooo ooooooo ooooo#o Simpsonovo pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) -interpolace kvadratickou funkcí Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOO 000000» ' Příklad ^ Pomocí lichoběžníkového, resp , = J ). Simpsonova pravidla vypočtěte ľlľ/2 sin x dx. 0 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOO 000000» ' Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp l = ) ). Simpsonova pravidla vypočtěte r-w/2 sin x dx. 0 Řešení • lichoběžníkové pravidlo: / | • ^ 0.785 Integrální věty o střední hodnotě Aplikace určitého integrálu Nevlastní integrály Numerická kvadratura (integrování) OOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOO 000000» ' Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp l = ) ). Simpsonova pravidla vypočtěte r-w/2 sin x dx. 0 Řešení • lichoběžníkové pravidlo: / ? • Simpsonovo pravidlo: / ~ : • \ « 0.785 « 1.003.