Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Matematika II - 9. přednáška Nekonečné řady Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 11. 2011 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Obsah přednášky Q Základní pojmy Ql Nekonečné řady s nezápornými cleny • Kritéria konvergence Q Alternující řady Q Řady absolutně a relativně konvergentní Q Součin řad <í> - i O^O Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB102, e-text. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka - Nekonečné řady s programem Maple, CD, e-text a videozáznamy, http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm. Základní pojmy I lými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Plán přednášky Q Základní pojmy Q Nekonečné řady s nezápornými členy • Kritéria konvergence Q Alternující řady O Řady absolutně a relativně konverger Q Součin řad Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad •ooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo V této kapitole se budeme věnovat součtům nekonečně mnoha sčítanců - buď čísel nebo mocnin. Jako motivace nám může sloužit geometrická řada, kterou jistě znáte ze střední školy, případně Taylorův polynom funkce f(x) pro libovolně velká n. To následně vede k vyjádření (tedy i obráceně, k možné definici) všech elementárních funkcí pomocí polynomů „nekonečného stupně", tedy pomocí nekonečných mocninných řad. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad •ooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo V této kapitole se budeme věnovat součtům nekonečně mnoha sčítanců - buď čísel nebo mocnin. Jako motivace nám může sloužit geometrická řada, kterou jistě znáte ze střední školy, případně Taylorův polynom funkce f(x) pro libovolně velká n. To následně vede k vyjádření (tedy i obráceně, k možné definici) všech elementárních funkcí pomocí polynomů „nekonečného stupně", tedy pomocí nekonečných mocninných řad. Budeme pracovat s posloupností reálných čísel {a0, ai, a2,..., an,... } = {an}^=Q. Definice (Nekonečná řada) Součet tvaru 3o + 3i + 32 + • • • + an + • • • = J2T=o a" nazýváme nekonečnou (číselnou) řadou. Číslo an se nazývá n-tý člen. Číslo sn : = 3o + 3i + 32 + • • • + an, n = 0,1, 2,... se nazývá n-tý částečný součet této nekonečné řady. - Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad o»oooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Geometrická řada Geometrická řada je součet tvaru oo a + aq + aq2 + aq3 + --- + aqn + ■■■ = Y^ ^q", kde a, q (z M jsou pevně zvolená čísla, je to tedy nekonečná řada pro an := aqn. Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné i záporné. Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad o»oooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Geometrická řa Geometrická řada je součet tvaru oo a + aq + aq2 + aq3 + --- + aqn + ■■■ = Y^ ^q", kde a, q (z M jsou pevně zvolená čísla, je to tedy nekonečná řada pro an := aqn. Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné i záporné. Posloupnost částečných součtů geometrické řady je sn = a+aq + aq2 H-----h aq"^1 + aqn, odkud q ■ sn= aq + aq2 H-----h aq"^1 + aq" + aqn+1 a odečtením dostaneme s„ (1 — q) = a (1 — qn+1). Pro q = 1 je zřejmě s„ = (n + l)a, je-li q 7^ 1, potom je Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oo»ooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Součet nekonečné řady Definice Existuje-li vlastní limita lim„->ooSn = s> potom říkáme, že nekonečná řada J2^L0 an konverguje k číslu s, nebo také že má součet s, a píšeme oo n=0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oo»ooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Součet nekonečné řady Definice Existuje-li vlastní limita lim„->ooSn = s> potom říkáme, že nekonečná řada J2^L0 an konverguje k číslu s, nebo také že má součet s, a píšeme oo Existuje-li nevlastní limita lim„-xx>sn = ±00, potom říkáme, že nekonečná řada Yľ^Ĺo an diverguje k ±00 a píšeme an = ±00. n=0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oo»ooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Součet nekonečné řady Definice Existuje-li vlastní limita lim„->ooSn = s> potom říkáme, že nekonečná řada Y^Lo an konverguje k číslu s, nebo také že má součet s, a píšeme oo Existuje-li nevlastní limita lim„-xx>sn = ±00, potom říkáme, že nekonečná řada Yľ^Ĺo an diverguje k ±00 a píšeme an = ±00. Pokud limita lim„-xx>Sn neexistuje, potom říkáme, že nekonečná řada Yľ^Ĺo a" osciluje. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad ooo»oooo oooooooooooo oooo oooooo oo Geometrická řada Yľ^Ĺo acf konverguje pro a / 0, právě když \q\ < 1. V případě konvergence je pak její součet oo n=0 Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad ooo»oooo oooooooooooo oooo oooooo oo Geometrická řada Yľ^Ĺo acf konverguje pro a / 0, právě když \q\ < 1. V případě konvergence je pak její součet oo n=0 Důkaz. Zřejmý z toho, že ,n+l Posloupnost {g"+1}^0 konverguje k 0, právě když je \q\ < 1, k oo pro q > 1 a nemá limitu pro q < — 1. Odtud pro \q\ < 1 dostáváme lim sn □ Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooo»ooo oooooooooooo oooo oooooo oo Jestliže má daná nekonečná řada konvergovat, musí se zřejmě její členy postupně zmenšovat (v absolutní hodnotě) k nule, jinak by posloupnost částečných součtů nemohla konvergovat ke konečnému číslu. Platí tedy následující. Věta (nutná podmínka konvergence) Jestliže nekonečná řada J2T=o a" konverguje, potom nutně platí lim an = 0. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooo»ooo oooooooooooo oooo oooooo oo Jestliže má daná nekonečná řada konvergovat, musí se zřejmě její členy postupně zmenšovat (v absolutní hodnotě) k nule, jinak by posloupnost částečných součtů nemohla konvergovat ke konečnému číslu. Platí tedy následující. Věta (nutná podmínka konvergence) Jestliže nekonečná řada J2T=o a" konverguje, potom nutně platí lim an = 0. Důkaz. Konvergence řady Yľ^Ĺo an implikuje lim sn = s G M a protože an = sn — s„+i, zřejmě lim an = lim(s„ — s„_i) = s — s = 0. □ Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad ooooo»oo oooooooooooo oooo oooooo oo Harmonická řad Předchozí podmínka je skutečně pouze podmínkou nutnou: Příklad Řada Yl^Li n se nazÝvá harmonická (každý její člen je harmonickým průměrem dvou sousedních členů (tj. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad ooooo»oo oooooooooooo oooo oooooo oo Harmonická řada Předchozí podmínka je skutečně pouze podmínkou nutnou: Příklad Řada Yl^Li n se nazÝvá harmonická (každý její člen je harmonickým průměrem dvou sousedních členů (tj. jr = 4(t^t + t^t) )■ Zřejmě je limn^oo \ = 0, přitom ale řada diverguje, neboť si = l, s2 = l + -, s4>s2 + 2-- = l + 2-- s8 > s4 + 4 • ^ = 1 + 3 • ^ sie > s8 + 8 — = 1 + 4 • ^ sn > 1 + n • ^, odkud je snadno vidět, že {sn}^1 diverguje. Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooo»o oooooooooooo oooo oooooo oo Pravidla pro ne Přímo z definice díky obdobným vlastnostem limit plyne následující. Věta Nechi nekonečné řady J2T=o a" 3 J2T=o konvergují a necht platí 3n = A, £~ 0 b„ = B. Pak platí: 00.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooo»o oooooooooooo oooo oooooo oo Pravidla pro nekonečné řady Přímo z definice díky obdobným vlastnostem limit plyne následující. Věta Necht nekonečné řady J2T=o a" 3 J2T=o konvergují a necht platí 3n = A, £~ 0 bn = B. Pak platí: O pravidlo konstantního násobku: pro libovolné c G M nekonečná řada Yl^Lo c ' a" konverguje a platí oo oo c • an = c an = c • A. n=0 n=0 00.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooo»o oooooooooooo oooo oooooo oo Pravidla pro nekonečné řady Přímo z definice díky obdobným vlastnostem limit plyne následující. Věta Necht nekonečné řady J2T=o a" 3 J2T=o b" konvergují a necht platí YZo 3n = A, £~ 0 bn = B. Pak platí: O pravidlo konstantního násobku: pro libovolné c G M nekonečná řada YT=o c ' a" konverguje a platí oo oo c • an = c an = c • A. 0 Pravidlo součtu a rozdílu: nekonečná řada YT=o (a" ^ b") konverguje a platí oo oo oo Y,{an±bn) = Y,an±Y.b" = A±B- n=0 n=0 n=0 00.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOO* oooooooooooo oooo oooooo oo Předchozí věta nic neříká o součinu (a podílu) nekonečných řad. Tato problematika je mnohem složitější, než se na první pohled zdá, a kolem součinu řad existuje celá teorie (protože existují různé součiny nekonečných řad). Uvědomte si totiž, že při násobení mnohočlenů platí (a0 + ai + • • • + a„) • (do + Z>i + • • • + b„) = aQbQ + 30di H-----h aQbn + aifa + a\b\ H-----Y a\bn H-----h anbn, tedy dostáváme nejen „diagonální součiny" a-,b;, ale také všechny „smíšené součiny" a-,bj. A pro součin takovýchto nekonečných mnohočlenů (tedy pro součin nekonečných řad) bude situace ještě mnohem složitější, protože bude záležet na tom, jakým způsobem výsledný součet jednotlivých součinů uspořádáme (viz později uvedené příklady). Základní pojmy Nekonečné ľady s nezápornými Členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Plán přednášky 0 Základní pojmy Q Nekonečné řady s nezápornými členy • Kritéria konvergence Q Alternující řady Q Řady absolutně a relativně konvergentní O So ucm rad id> <1> « O^O Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOOO »00000000000 oooo oooooo oo Nekonečné řady s nezápornými členy Pro nekonečné řady s nezápornými členy existuje několik kritérií pro určení jejich konvergence/divergence. Všechna kritéria jsou založena na faktu, že pro řadu s nezápornými členy je její posloupnost částečných součtů neklesající. Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOOO »00000000000 oooo oooooo oo Nekonečné řady s nezápornými členy Pro nekonečné řady s nezápornými členy existuje několik kritérií pro určení jejich konvergence/divergence. Všechna kritéria jsou založena na faktu, že pro řadu s nezápornými členy je její posloupnost částečných součtů neklesající. A pokud je tedy neklesající posloupnost {s„}n_0 shora ohraničená, musí mít limitu (rovnu svému supremu). Tedy každá nekonečná řada s nezápornými členy bud' konverguje nebo diverguje k oo (tj. nemůže divergovat k —oo ani oscilovat). Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOOO »00000000000 oooo oooooo oo Nekonečné řady s nezápornými členy Pro nekonečné řady s nezápornými členy existuje několik kritérií pro určení jejich konvergence/divergence. Všechna kritéria jsou založena na faktu, že pro řadu s nezápornými členy je její posloupnost částečných součtů neklesající. A pokud je tedy neklesající posloupnost {s„}n_0 shora ohraničená, musí mít limitu (rovnu svému supremu). Tedy každá nekonečná řada s nezápornými členy bud' konverguje nebo diverguje k oo (tj. nemůže divergovat k —oo ani oscilovat). Věta (srovnávací kritérium) Nechť {an}^0 a {bn^_Q jsou posloupnosti nezáporných čísel, pro které platí O < an < bn pro všechna n od jistého n^ O Jestliže J2T=o bn konverguje, potom také konverguje řada @ Jestliže Yl^o a" diverguje k oo, potom také řada Yl^o diverguje k oo. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo o«oooooooooo oooo oooooo oo Pro použití srovnávacího kritéria je zřejmě potřeba mít „v zásobě" nějaký soubor nekonečných řad, o kterých víme, že jsou konvergentní/divergentní. Příklad Nekonečná řada I + tt + ^í + JT + ÍM----= zC^Ln konverguje podle srovnávacího kritéria, protože všechny její členy lze shora omezit příslušnými členy konvergentní řady i i 1 1 1 1 + 1 + 2+^ + 23 + oo 1 n=0 Pro součet uvedené řady pak zřejmě platí odhad oo ^ oo ^ ^ n=0 n=0 2 1+2 = 3. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oo»ooooooooo oooo oooooo oo Příklad Nekonečná řada lni In 2 In 3 v—\ In n - + - + - + --- = £- n—l diverguje k oo podle srovnávacího kritéria, protože její členy lze zdola omezit příslušnými členy (divergentní) harmonické řady, tj. platí lnu 1 - > - pro všechna n > 2. n n Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo ooo»oooooooo oooo oooooo oo ^příklad ~^^M Nekonečná řada Yľ^Ĺi 77 konverguje podle srovnávacího kritéria, protože pro n > 2 platí < n(n-i) a ^ac'a 00 .. 00 .. V_-_= V_-_ ^2 (n-l)n ^n(n + l) konverguje, neboť jde o teleskopickou řadu, jejíž částečné součty mají tvar 1 111 11,1 s„ = l- - + -- - + ... +---- = 1 2 2 3 n n + 1 n + 1 a tedy limn-xx> sn = 1. ■0 0.O Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo ooo»oooooooo oooo oooooo oo Příklad Nekonečná řada Yľ^Ĺi 7? konverguje podle srovnávacího kritéria, protože pro n > 2 platí < n(n-i) a ^ac'a oo ., oo ^ V_-_= V_-_ ^ (n-l)n ^n(n + l) konverguje, neboť jde o teleskopickou řadu, jejíž částečné součty mají tvar 1 111 11,1 s" = 1-2 + 2-3 + --- + ň-^n = 1-^n a tedy limn-xx> sn = 1. Součet řady je Yľ^Ĺi 77? Je tec'y snora omezen číslem 2. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo ooo»oooooooo oooo oooooo oo Příklad Nekonečná řada Yl^Li 7? konverguje podle srovnávacího kritéria, protože pro n > 2 platí < n(n-i) a ^ac'a E E ^ (n - l)n ^ n(n + 1) konverguje, neboť jde o teleskopickou řadu, jejíž částečné součty mají tvar 1 111 1 1 1 1 s" = 1-2 + 2-3 + --- + ň-^n = 1-^n a tedy limn^oo sn = 1. Součet řady je J2T=i -ie tec'y snora omezen číslem 2. Vyčíslení této řady je z historie známo jako basilejský problém, který vyřešil v roce 1735 Leonhard Euler (důkaz viz wikipedia nebo si počkejte na Taylorovy a Fourierovy řady). Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooo»ooooooo oooo oooooo oo konvergence Věta (integrální kritérium) Necht a" Je nekonečná řada s nezápornými členy. Necht f (x) je funkce definovaná na intervalu [N, oo) pro nějaké N G [0, oo), která je na tomto intervalu nezáporná, nerostoucí a platí f(n) = an pro všechna n > N. Potom oo an konverguje [•OO 44> l f(x) dx konverguje, J N oo an diverguje k oo n=0 ľOO 4^ / f (x) dx = oo. J N Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo ooooo»oooooo oooo oooooo oo ' Příklad Harmonická řada n kritéria, protože funkce f(>, klesající a platí f(n) = ^ p J diverguje k oo podle integrálního -) := - je na intervalu [1, oo) kladná, ro n > 1, přičemž je nevlastní integrál ,00 1 — dx = 00. 1 x Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooo»ooooo oooo oooooo oo Příklad Určete, pro které mocniny pgK nekonečná řada Yl^Li konverguje či diverguje. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooo»ooooo oooo oooooo oo Příklad Určete, pro které mocniny pgK nekonečná řada Yl^i TÍp konverguje či diverguje. Řešení Pro p < 0 jde o řadu Yl^i n P> která má nezáporné rostoucí členy, proto diverguje k oo. Rovněž v případech p = 0,1 řada zřejmě diverguje. ■0 0.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooo»ooooo oooo oooooo oo Příklad Určete, pro které mocniny p G konverguje či diverguje. nekonečná řada Yľ^Ĺi ~hT Řešení Pro p < 0 jde o řadu Yl^i n P> která má nezáporné rostoucí členy, proto diverguje k oo. Rovněž v případech p = 0,1 řada zřejmě diverguje. Pro p > 0, p ^ 1 je funkce f(x) = na intervalu [1, oo) kladná, klesající a platí f(n) = pro n > 1. Vyšetříme konvergenci nevlastního integrálu f^*~ r°° \ dx. Máme - x-p+l ■ oo / — dx = [ -P + 1 J i xp 1 A-p lim — <—>oo 1 ■0 0.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooo»ooooo oooo oooooo oo Příklad Určete, pro které mocniny pgK nekonečná řada konverguje či diverguje. Řešení Pro p < 0 jde o řadu Yl^Li n p> která má nezáporné rostoucí členy, proto diverguje k oo. Rovněž v případech p = 0,1 řada zřejmě diverguje. Pro p > 0, p ^ 1 je funkce f(x) = na intervalu [1, oo) kladná, klesající a platí f(n) = pro n > 1. Vyšetříme konvergenci nevlastního integrálu f^*~ r°° \ dx. Máme - x-p+l ■ oo / — dx = [ -P + 1 J i xp 1 A-p lim — x—>oo 1 Odtud snadno plyne konvergence pro p > 1 a divergence pro pe (0,1). Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo ooooooo»oooo oooo oooooo oo Věta (limitní podílové kritérium) Necht Yľ^Ĺo a" Je nekonečná řada s kladnými členy a předpokládejme, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo ooooooo»oooo oooo oooooo oo Věta (limitní podílové kritérium) Necht Yľ^Ĺo a" Je nekonečná řada s kladnými členy a předpokládejme, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita i- an+l lim - = q. n—>oo an Potom O tato řada konverguje, pokud je q < 1, O tato řada diverguje k oo, pokud je q > 1 nebo q = oo, 0 tento test nedává odpověď , pokud je q = 1. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooo^ooo oooo oooooo oo Příklad Pro nekonečnou řadu platí oo . En! ~n~" 1 2! 3! 4! l + 22 + 33+44 + (n+l)! 3n+i _ (n+i)"+i _ {n + 1)! • nn (n + 1) • n! • nn n\_ n" n \ 1 1 (n + l)" \n + l 'n+l\n 1 + 1\" i N pro nějaké N G N U {0} a předpokládejme, že existuje (vlastnínebo nevlastní) limita lim„-xx> ^fa~n = q. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo ooooooooo»oo oooo oooooo oo Věta (odmocninové kritérium) Necht Yl^o a" Je nekonečná řada s nezápornými členy pro všechna n > N pro nějaké N G N U {0} a předpokládejme, že existuje (vlastnínebo nevlastní) limita lim„-xx> ^fa~n = q. Potom O tato řada konverguje, pokud je q < 1, O tato řada diverguje k oo, pokud je q > 1 nebo q = oo, O tento test nedává odpověď, pokud je q = 1. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooo^o oooo oooooo oo Příklad Pro nekonečnou řadu V^oo _lilili3,_Li_5il, pro n liché, pro n sudé, s podílovým kritériem neuspějeme, Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooo^o oooo oooooo oo ^příklad ~^^M Pro nekonečnou řadu '2U~\~2^~\~^I~\~2^~\~2'i~^~25~^~2F~^~27~^~''',^' pro n liché, pro n sudé, s podílovým kritériem neuspějeme, zatímco odmocninové kritérium použít lze, neboť 1 2' pro n liché, pro n sudé. 1 / n Platí tedy nerovnosti ^ < yan < pro všechna n G N. Limita výrazu na pravé straně se spočte přes exponenciální funkci a 1'Hospitalovo pravidlo: lim,,^^ -ý/n = limr i lim. i In n e" Jim„_ Jim„_ 00.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOOO OOOOOOOOOOO* oooo oooooo oo Příklad Všimněte si, že podílové ani odmocninové kritérium nelze použít pro vyšetření konvergence/divergence nekonečné řady Yľ^Ĺi protože pro podílové kritérium je Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOOO OOOOOOOOOOO* oooo oooooo oo Příklad Všimněte si, že podílové ani odmocninové kritérium nelze použít pro vyšetření konvergence/divergence nekonečné řady Yľ^Ĺi protože pro podílové kritérium je i i- an+l .. (n+l)P lim -= lim 1 : lp = l, lim P n^oo n + 1 lim n^oo V n + 1 a pro odmocninové kritérium je q = lim yan= lim —= — ..... . lim„- lim 1. Zde jsme opět použili limitu limn^oo ý/ň = 1. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Plán přednášky 0 Základní pojmy 0 Nekonečné řady s nezá • Kritéria konvergence Q Alternující řady 0 Řady absolutně a relati Q Součin řad Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo »ooo oooooo oo Uveďme ještě kritérium konvergence pro nekonečné řady, jejichž členy mění znaménka. Definice Nechť {an}^0 je posloupnost nezáporných čísel. Potom se nekonečná řada 3o — a\ + 32 — 33 + • • • = Yľ^Ĺo (—-O" a"' případně -ao + si - 32 + 33 - • • • = X^o a"' nazývá alternující řada. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo »ooo oooooo oo Uveďme ještě kritérium konvergence pro nekonečné řady, jejichž členy mění znaménka. Definice Nechť {an}^0 je posloupnost nezáporných čísel. Potom se nekonečná řada 3o — a\ + 32 — 33 + • • • = YlT^o (—-O" a"' případně -ao + si - 32 + 33 - • • • = X^o a"' nazývá alternující řada. Pro alternující řady se nutná podmínka pro konvergenci stává i podmínkou postačující. Věta (Leibnitzovo kritérium) Jestliže je {an}^_Q nerostoucí posloupnost kladných čísel, potom nekonečná alternující řada X^L0 (—l)"a" konverguje, právě když platí limn^00(-l)" an = 0. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo o»oo oooooo oo Odhad chyby alternující řady Věta Předpokládejme, že alternující řada Yľ^Ĺo (—1)" an (konvergující k číslu A) splňuje podmínky Leibnitzova kritéria. Potom pro všechna n > N platí, že n-tý částečný součet sn := a0 - ai + a2-----h (-l)"an splňuje \A — sn\ < an+i- Navíc, zbytek A — sn má stejné znaménko jako tento první (do sn) nezahrnutý člen (—1)"+1 an+i- Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oo»o oooooo oo Příklad Ilustrujme předchozí tvrzení na alternující řadě f>irA = 1_I + I_i + ..._J_ n=Q 128 + 256 jejíž součet známe. Protože se jedná o geometrickou řadu s a q = — \, je součet této řady roven číslu \ = \ « 0.6666667. 3 3 2 ° Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oo»o oooooo oo ^príklad ~^^M Ilustrujme předchozí tvrzení na alternující řadě f>irA = 1_I + I_i + ..._J_ n=Q 128 + 256 jejíž součet známe. Protože se jedná o geometrickou řadu s a = 1 a q = — \, je součet této řady roven číslu \ = \ « 0.6666667. 3 3 2 ° Potom věta říká, že pokud tuto řadu „ukončíme" po osmém členu (tj. n = 7), potom konečný součet 1111 1 1 1 _ 85 ~2 + 4~8 + Í6~32 + 64~Í28~128 0.6640625 aproximuje číslo A s chybou menší než je as i 0.00390625. 00.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo ooo» oooooo oo Příklad (dokončení) Skutečně, 2 85 1 3 ~ 128 384 0.00260417 < 0.00390625 = a8. Přitom má rozdíl A — S7 = ^ stejné znaménko jako člen (-1)838 2B6, tedy je kladný. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo I dnášky Q Základní pojmy Q Nekonečné řady s nezápornými členy • Kritéria konvergence Q Alternující řady Q Řady absolutně a relativně konvergentní 01 Součin řad Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy oooooooo oooooooooooo Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOO »00000 oo Řady absolutně a relativně konvergentní Nejprve si všimněme, že pokud konverguje řada absolutních hodnot, potom konverguje původní řada. Věta Jestliže konverguje řada Yľ^Ĺo \ an\> potom konverguje také řada Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy oooooooo oooooooooooo Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOO »00000 oo Řady absolutně a relativně konvergentní Nejprve si všimněme, že pokud konverguje řada absolutních hodnot, potom konverguje původní řada. Jestliže konverguje řada Yľ^Ĺo \ an\> potom konverguje také řada Yn=Q an- Důkaz. Zřejmě pro každé n platí nerovnosti -\an\ < an < |an|,=> O < an + \an\ < 2\an\. Tedy pokud ^^10 \an\ konverguje, konverguje také řada Y^Lo^\an\ (podle pravidla konstantního násobku). A dále, podle srovnávacího kritéria, konverguje také řada YT=o (a" + la"l)- A protože platí rovnost 3n = {an + |an|) - |an|> máme Y7=o an = Y7=o ian + \an\) - Y7=o la"l> odkud dostáváme řadu Yľ^Ĺo a" Jako rozdíl dvou konvergentních řad. Tedy tato řada také konverguje podle pravidla rozdílu. □ Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo o»oooo oo Poznámka Opačná implikace ve větě zřejmě neplatí, protože např. alternující harmonická řada Yľ^Ĺi (—1)" 1 ~ konverguje, ale příslušná řada absolutních hodnot je harmonická řada Yľ^Li n' která diverguje k oo. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo o»oooo oo Poznámka Opačná implikace ve větě zřejmě neplatí, protože např. alternující harmonická řada Yľ^Ĺi (—1)" 1 ~ konverguje, ale příslušná řada absolutních hodnot je harmonická řada Yľ^Li n' která diverguje k oo. Definice Řada Y^Loan konverguje absolutně (je absolutně konvergentní), pokud konverguje příslušná řada absolutních hodnot, tj. pokud konverguje řada J2T=o la"l- Jestliže nekonečná řada Yl^Lo a" konverguje, ale nekonverguje absolutně, potom říkáme, že tato řada konverguje relativně (je relativně konvergentní). Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oo»ooo oo ^příklad O Alternující harmonická řada Yľ^Ĺi (—1)" 1 n konverguje relativně. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oo»ooo oo ^příklad O Alternující harmonická řada Yľ^Li (—1)" 1 n konverguje relativně. O Nekonečná řada Yľ^Ĺi (—1)" 1 7Ť? konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot Yľ^Ĺi "t konverguje. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oo»ooo oo ^příklad O Alternující harmonická řada Yľ^Ĺi (—1)" 1 n konverguje relativně. O Nekonečná řada J2T=i (~-0" 1 7? konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot J2T=i konverguje. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oo»ooo oo Příklad O Alternující harmonická řada Yľ^Li (—1)" 1 n konverguje relativně. Q Nekonečná řada Yľ^Ĺi (~-O" 1 7č konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot Yľ^Ĺi konverguje. Rozdíl mezi absolutně a relativně konvergentní řadou je zejména v tom, že členy absolutně konvergentní řady můžeme libovolně přeskládávat a nejenže dostaneme opět konvergentní řadu, ale tato nová přeskládaná řada bude mít stejný součet jako řada původní. Naproti tomu členy relativně konvergentní řady nelze přeskládávat vůbec. Lze totiž jednoduše ukázat, že různým přeskládáním téže relativně konvergentní řady lze vytvořit řadu divergující k ±oo, konvergující k libovolně předem zvolenému reálnému číslu, či řadu oscilující. To vyplývá z toho, že v relativně konvergentní řadě musí být součet všech kladných členů oo a součet všech záporných členů —oo, a při tom musí členy samotné konvergovat k^yle^ Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo ooo«oo oo Příklad Uvažme řadu ^ 11111111 n—l ■0 0.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo ooo«oo oo Příklad Uvažme řadu ^ 11111111 n—l Nejprve si všimněte, že součet všech kladných členů je nekonečná řada ^ 1 111 která skutečně diverguje k oo (např. podle integrálního kritéria). A dále součet všech záporných členů je nekonečná řada • • • = —oo, která skutečně diverguje k —oo (např. podle integrálního kritéria). ^^^^^ ^ -00.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooo»o oo Příklad (pokr.) Potom vhodným přeskládáním členů alternující harmonické řady lze získat nekonečnou řadu, která např. diverguje k oo: • Vezměme nejprve jeden kladný člen, tj. „součet" je roven 1 > 1 Přidejme nyní jeden záporný člen a tolik kladných členů, aby byl součet > 2 , tj. součet je pak i 1111 1"2+3+5+7+ + — « 2.004063454 > 2. (K tomu je zapotřebí k té 1 přidat 20 kladných členů.) • Potom přidejme další (druhý) záporný člen a tolik kladných členů, až je součet > 3 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOOO OOOOOOOOOOOO OOOO 00000» oo Příklad (dokončení) konverguje k předem zvolenému reálnému číslu: Zvolme si nejprve nějaké číslo s é k, ke kterému má přerovnaná řada konvergovat. • Nejprve vezměme tolik kladný členů, až je jejich součet > s. • Přidejme nyní tolik záporných členů, až je výsledný součet < s. » Přidejme nyní tolik dalších kladných členů, až je výsledný součet > s, ... Uvědomme si, že kladných či záporných členů je vždy dostatek, abychom překročili stanovenou hranici s, protože součet kladných členů je oo a součet záporných členů je —oo. Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad OOOOOOOO OOOOOOOOOOOO OOOO 00000» oo Příklad (dokončení) konverguje k předem zvolenému reálnému číslu: Zvolme si nejprve nějaké číslo s é k, ke kterému má přerovnaná řada konvergovat. • Nejprve vezměme tolik kladný členů, až je jejich součet > s. • Přidejme nyní tolik záporných členů, až je výsledný součet < s. » Přidejme nyní tolik dalších kladných členů, až je výsledný součet > s, ... Uvědomme si, že kladných či záporných členů je vždy dostatek, abychom překročili stanovenou hranici s, protože součet kladných členů je oo a součet záporných členů je —oo. A protože přidáváme stále se (v absolutní hodnotě) zmenšující se členy, výsledný součet po takových krocích „přeskakuje" zvolenou hodnotu s a současně se k číslu s nekonečně blíží. Současně tímto způsobem vyčerpáme všechny členy původní řady. Tedy takto přerovnaná řada konverguje právě k číslu s. osciluje mezi zvolenými a, b G M, a < b : podobně jako výše. □ Oř - = Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo oo Plán přednášky 0 Základní pojmy 0 Nekonečné řady s nezápornýr • Kritéria konvergence 0 Alternující řady 0 Řady absolutně a relativně kc 0 Součin řad Príklad V tomto příkladu si ukážeme, že i když obě řady YlZi a" a zC^li bn konvergují, potom řada Yl^Li {an • bn) konvergovat nemusí. Uvažujme nekonečné řady, kde an = bn := (—-^=. Potom jsou příslušné nekonečné řady konvergentní, což plyne z Leibnitzova kritéria, zatímco řada součinů oo oo / 1\2oo1 E(3»-t») = E((-1)""1^) = Y\ diverguje k oo. ■0 0.0 Základní pojmy Nekonečné rady s nezápornými členy Alternující řady Řady absolutně a relativně konvergentní Součin řad oooooooo oooooooooooo oooo oooooo o» Příklad Na druhou stranu může nastat i situace, že takováto řada součinů Yl^Li (an ' cn) konverguje, přestože jedna z řad Yl^Li an nekonverguje. Vezměme si např. řadu oo oo ^ ^c" = ^' která diverguje k oo, zatímco řada součinů OO OO / 11\00 1 D-.)^ Hr'^i>EH)-Í konverguje.