MB103 – 1. demonstrovaná cvičení
Funkce více proměnných
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
20.9. 2011
Příklad 1. Uvažme následující funkci:
f (x, y) =
x2+y2
x2−y2 pro x, y ∈ R2 \ {(0, 0)}
0 pro (x, y) = (0, 0)
Zjistěte, zda je funkce spojitá v bodě (0, 0). Lze tuto funkci
předefinovat v bodě (0, 0) tak, aby byla spojitá?
Tečna ke křivce γ(t) = [f (t), g(t), h(t)] v bodě γ(t0) = (x0, y0, z0)
má směrový vektor
(f (t0), g (t0), h (t0)),
tedy rovnice normálové roviny je
f (t0)(x − x0) + g (t0)(y − y0) + h (t0)(z − z0) = 0.
Příklad 2. Určete tečnu a normálovou rovinu ke křivce
γ : R → R3, γ(t) = [cos(t), t2, t] v bodě t = π.
Příklad 4. Určete směrovou derivaci funkce f (x, y) = ln(x) · y2 ve
směru v = (2, 1) v bodě [x0, y0] = (1, 1).
Rovnice tečné rovniny k ploše zadané jako f (x, y, z) = 0 v bodě
(x0, y0, z0) jsou
fx (x0, y0, z0)(x−x0)+fy (x0, y0, z0)(y−y0)+fz(x0, y0, z0)(z−z0) = 0,
normála má pak směrový vektor
(fx , fy , fz).
Příklad 5. Určete tečnou rovinu ke grafu funkce f (x, y) = xy2 v
bodě (1, 1).
Příklad 6. Určete tečnu ke křivce dané rovnicemi
x2 + y2 + z2 − 1 = 0, z2 − 2y2 − x2 = 0 v bodě ( 1√
2
, 0, 1√
2
).