Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Určete parametrické i obecné rovnice tečny ke křivce c : R → R3, c(t) = (c1(t), c2(t), c3(t)) = (sin(t), 1 − t, t2) v bodě odpovídajícím hodnotě parametru t = π. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete maximální podmnožinu A ⊂ R2 tak, aby na ní byla funkce f (x, y) = x+y x2+2xy+1 dobře definována. Dále určete tečnou rovinu grafu f v bodě [1, 2] a rozhodněte, zda prochází bodem (2, 3, 4) ∈ R3. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete parametrické vyjádření tečny ke křivce, která je dána průnikem grafů funkcí f : R2 → R, f (x, y) = x2 + y2 − 5 a g : R × R+ → R, g(x, y) = x · ln(y) v bodě [2, 1]. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Určete Taylorův polynom druhého řádu funkce ln(2x2y − x) v bodě [1, 1]. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Sylvestrovo kriterium positivní definitnosti. Symetrická čtvercová matice nad R je positivně (semi)definitní, jestliže jsou všechny její vedoucí hlavní minory kladné (nezáporné). Důsledek. Symetrická čtvercová matice nad R je negativně (semi)definitní, jestliže její vedoucí hlavní minory střídají znaménka (případně jsou nulové), počínaje znaménkem mínus. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. V rovině x + 2y + 2z = 2 v R3 určete bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu (1, 1, 1). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete extrémy funkce f : R2 → R, x2y − xy − x. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 4. Určete extrémy funkce f : R2 → R, x2y − xy − x. Řešení. fx = 2xy − y − 1, fy = x2 − x, Hf = 2y 2x − 1 2x − 1 0 . Stacionární body (0, −1), (1, 1), v obou je Hessián indefinitní, tedy funkce extrémy nemá. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete extrémy funkce f : R3 → R, x2 − yz − z2 − 2x + y2 + 2y.