Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Příklad 4. Příklad 5. Příklad 6. Příklad 7. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Určete stacionární body funkce f : R2 → R, f (x, y) = x2y + y2 − xy a rozhodněte, které z těchto bodů jsou lokální extrémy a jakého druhu. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Určete stacionární body funkce f : R2 → R, f (x, y) = x2y + y2 − xy a rozhodněte, které z těchto bodů jsou lokální extrémy a jakého druhu. Řešení. Stacionární body [0, 0], [1, 0], [1/2, 1/8], první dva sedlové, ve třetím bodě nastává lokální mimimum. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Určete bod v rovině x + y + 2z = 1 ležící v R3, který má nejmenší vzdálenost od počátku souřadnic. A to jak metodami lineární algebry, tak metodami diferenciálního počtu. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Určete bod v rovině x + y + 2z = 1 ležící v R3, který má nejmenší vzdálenost od počátku souřadnic. A to jak metodami lineární algebry, tak metodami diferenciálního počtu. Řešení. [1/6, 1/6, 1/3]. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2 → R, f (x, y) = log2(x2y + y2 + 2) v bodě [1, 1]. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2 → R, f (x, y) = log2(x2y + y2 + 2) v bodě [1, 1]. Řešení. 1 32 ln(2) (64 ln(2) + 4x − 33 + 22y + 4x2 + 4xy − y2). 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Příklad 4. Příklad 5. Příklad 6. Příklad 7. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Ukažte, že funkce f : R2 → R, f (x, y) = ex sin(y) + y − π/2 − 1 definuje předpisem f (x, y) = 0 v okolí bodu [0, π/2] implicitně proměnnou y jako funkci proměnné x, y = g(x). Určete g (x) bodě 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Buď F(x, y, z) = sin(xy) + sin(yz) + sin(zx) − 1. Ukažte, že předpis F(x, y, z) = 0 zadává v okolí bodu ( π/2, π/2, 0) implicitně funkci z = f (x, y) takovou, že F(x, y, f (x, y)) = 0. Určete fx ( π/2, π/2) a fy ( π/2, π/2). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Rozhodněte, zda existují (lokální) maxima a minima funkce f : R2 → R, f (x, y) = x − 2y na křivce dané rovnicí y − x3 − 2x − 1 = 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Rozhodněte, zda existují (lokální) maxima a minima funkce f : R2 → R, f (x, y) = x − 2y na křivce dané rovnicí y − x3 − 2x − 1 = 0. Uvažujte křivku omezenou na interval x ∈ 0, 5 . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete, zda existují maxima a minima funkce f (x, y, z) = x + 2y + 3z na na paraboloidu z = x2 + y2 . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Najděte maximální a minimální hodnotu polynomu p(x, y) = x2 + 3y2 na množině M = [x, y] ∈ R2; 2x2 + y2 ≤ 1 .