Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Drsná matematika III – 4. demonstrovaná cvičení Násobné integrály Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 11.10. 2011 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Návodné úlohy Těžiště tělesa Povrch grafu reálné funkce f (x, y) dvou proměnných x a y Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Buď dáno zobrazení F : R2 → R, F(x, y) = xy sin π 2 xy2 . Ukažte, že rovnost F(x, y) = 1 zadává v nějakém okolí bodu [1, 1] implicitně funkci f jedné reálné proměnné tak, že F(x, f (x)) = 1. Určtete f (1). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Fy (1, 1) = x sin π 2 xy2 + πx2y2 cos π 2 xy2 (1, 1) = 1, tedy předpis F(x, y) = 1 zadává implicitně na okolí bodu (1, 1) funkci f : R → R. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Fy (1, 1) = x sin π 2 xy2 + πx2y2 cos π 2 xy2 (1, 1) = 1, tedy předpis F(x, y) = 1 zadává implicitně na okolí bodu (1, 1) funkci f : R → R. Pro její derivaci potom platí f (x) = − Fx Fy (1, 1) = − 1 1 = −1. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete, zda existují maxima a minima funkce f : (R+)n → R, f (x1, . . . , xn) = n √ x1 · · · xn za podmínky x1 + · · · + xn = c, c ∈ R+, x1 > 0,. . . , xn > 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Normálový vektor k nadrovině definované podmínkou je (1, . . . , 1). Extrém může nastat v bodech, kdy je gradient zkoumané funkce násobkem normály. Pro tyto body tedy dostáváme soustavu 1 n n x1 · · · ˆxi · · · xn 1 n xn−1 i = k, i = 1, . . . n. Tato soustava má na zkoumané množině jediné řešení x1 = · · · = xn, k = 1, což odpovídá maximu dané funkce. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete, zda existují maxima a minima funkce f : R3 → R, f (x, y, z) = z − xy2 na elipsoidu x2 + y2 + 2z2 = 1. Pokud extrémy existují, určete je. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Řešíme soustavu x = −ky2 y = −2kxy 2z = k Z druhé rovnice dostáváme, že buď y = 0, nebo x = − 1 2k . První možnost vede k bodům (0, 0, ± √ 2/2). Druhá pak nemůže být splněna (dosazením do rovnice koule dostaneme rovnici 1 4k2 + 1 2k2 + k2 /2 = 1, která nemá řešení. Ve dvou vypočtených bodech na dané sféře má funkce maximum, resp. minimum. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Návodné úlohy Těžiště tělesa Povrch grafu reálné funkce f (x, y) dvou proměnných x a y Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete obsah plochy ohraničené parabolou y = x2 a přímkou y = x + 2. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete ojem části prostoru splňující nerovnosti x ≥ 0, y ≥ 0, x ≥ 0, x + y + z ≤ 1. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Souřadnici z v těžiště tělesa T v R3 spočítáme jako 1 V T z dx dy dz, kde V je objem tělesa. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Souřadnici z v těžiště tělesa T v R3 spočítáme jako 1 V T z dx dy dz, kde V je objem tělesa. Určete objem a těžiště tělesa ohraničeného paraboloidem x2 + y2 = z, válcem x2 + y2 = 2y a rovinou z = 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Povrch grafu funkce dvou proměnných nad plochou S v rovině xy spočítáme jako P = S 1 + f 2 x + f 2 y dx dy. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Povrch grafu funkce dvou proměnných nad plochou S v rovině xy spočítáme jako P = S 1 + f 2 x + f 2 y dx dy. Příklad 4. Určete obsah části pláště kužele x2 + y2 = 3z2, která leží nad rovninou z = 0 a uvnitř válce x2 + y2 = 4y.