Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Drsná matematika III – 5. demonstrovaná cvičení
Násobné integrály a diferenciální rovnice
Martin Panák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
18.10. 2011
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Návodné úlohy
Rovnice se separovanými proměnnými
Model změny teploty
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete povrch tělesa vzniklého průnikem válců x2 + z2 = 4 a
x2 + y2 = 4.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete povrch tělesa vzniklého průnikem válců x2 + z2 = 4 a
x2 + y2 = 4.
Řešení.
S = 16
2
0
√
4−x2
0
4
√
4 − x2
dy dx = 64.
2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete objem části prostoru dané nerovnostmi x2 + y2 ≤ 4, z ≥ 0
a z ≤ x + y + 1.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Těleso nejprve otočíme v záporném smyslu o 45◦. Tím se
nám změní pouze rovnice roviny: z =
√
2x + 1.
Dále těleso rozdělíme na část ležící nad výsečí kruhu o poloměru 2
ohraničenou úhly ± arccos(−
√
2/4) (s objemem V1 a na jehlan,
který má podstavu trojúhelník o vrcholech [−
√
2/2, 7/2],
[−
√
2/2, 7/2], [0, 0] s objemem V2.
2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete objem a souřadnice těžiště komolého kužele o kruhových
podstavách s poloměry r1 > r2 a výšce h.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Nejprve spočítejme těžiště kužele s podstavou o poloměru
r a výšce v Otočíme-li kužel vrcholem dolů a ten umístíme do
počátku souřadnic, pak ve válcových souřadnicích:
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Nejprve spočítejme těžiště kužele s podstavou o poloměru
r a výšce v Otočíme-li kužel vrcholem dolů a ten umístíme do
počátku souřadnic, pak ve válcových souřadnicích:
V = 4
π/2
0
r
0
h
h
r
ρ
ρ dz dρ dφ =
1
3
πhr2
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Nejprve spočítejme těžiště kužele s podstavou o poloměru
r a výšce v Otočíme-li kužel vrcholem dolů a ten umístíme do
počátku souřadnic, pak ve válcových souřadnicích:
V = 4
π/2
0
r
0
h
h
r
ρ
ρ dz dρ dφ =
1
3
πhr2
.
Těžiště zjevně leží na ose z. Pro z-tovou souřadnici pak máme
z =
1
V kužel
zdV =
4
V
π/2
0
r
0
h
h
r
ρ
zρ dz dρ dφ =
3
4
h.
Těžiště tedy leží ve výšce 1
4 h nad středem podstavy kužele. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Návodné úlohy
Rovnice se separovanými proměnnými
Model změny teploty
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Vyřešte rovnici
y +
1 + y2
xy2(1 + x2)
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Rychlost změny teploty tělesa je přímo úměrná rozdílu teploty
tělesa a prostředí, které jej obklopuje. Uvařili jsme šálek zeleného
čaje (o teplotě 80◦ C). Teplota čaje klesla v místnosti o teplotě
20◦ C za pět minut na 60◦ C. Za jak dlouho klesne teplota čaje na
40◦ C.