Jméno a příjmení:
Absence Příklad číslo: 1 2 3
Počet bodů:
Skupina A
Příklad 1. Určete, ve kterých bodech nastávají extrémy funkce f : R3
→ R, f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
, na rovině
x + y − z = 1 a určete, o jaké extrémy se jedná.
Řešení. V bodě [1
3 , 1
3 , −1
3 ], minimum (lze rozhodnout pomocí Lagrangeovy funkce, prevodem na vyšetření funkce
dvou reálných proměnných, úvahou: např. ve směru (1,-1,0) se funkce v jakémkoliv bodě zvětšuje) 2
Příklad 2. Určete objem tělesa v R3
, které je ohraničeno částí kužele x2
+ y2
= (z − 2)2
, z ≥ 2 a paraboloidem
x2
+ y2
= 4 − z.
Řešení.
2π
0
1
0
4−r2
r+2
r dz dr dϕ =
5
6
π.
2
Příklad 3. Nalezněte řešení rovnice
y = 2y + y + 1,
splňující y(0) = 0 a y (0) = 1.
Řešení.
y =
1
2
e(1+
√
2)x
+
1
2
e(1−
√
2x)x
− 1.
2
Příklad 4. Najděte maximální tok a jemu odpovídající minimální řez v následující síti:
Řešení. 28, {m, n, p, q, r}. 2