Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3 4
Počet bodů:
Příklad 1. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f : R2
→ R2
, f(x, y) = x2
sin y + y2
cos x v bodě [π, π].
Rozhodněte (tím se myslí i zdůvodněte), zda tečná rovina ke grafu této funkce v bodě [π, π, f(π, π)] prochází bodem
[0, 0, π3
+ π2
].
Řešení. T(x, y) = −π2
− (π2
+ 2π)(y − π) − 2π(x − π)(y − π) + 1
2 π2
(x − π)2
− (y − π)2
, ano. 2
Příklad 2. Určete těžiště tělesa v R3
, které leží nad rovinou z = 0, pod rovinou z = 2 a je dále ohraničeno kužely
x2
+ y2
= z2
a x2
+ y2
= 2z2
.
Řešení. [0, 0, 3
2 ]. Lze řešit i úvahou (pokud vím, že kužel má těžiště ve čtvrtině výšky). 2
Příklad 3. Nalezněte řešení rovnice
y(3)
= −2y′′
− 2y′
− y + sin(x),
splňující y(0) = −1
2 , y′
(0) =
√
3
2 a y′′
(0) = −1 −
√
3
2 .
Řešení. y(x) = −e−x
+ e− 1
2 x
sin(
√
3
2 x) + e− 1
2 x
cos(
√
3
2 x) − 1
2 sin(x) − 1
2 cos(x). 2
Příklad 4. Uvažme následující hru dvou hráčů: na stole je sedm mincí na jedné hromádce. Hráči se střídají na tahu.
Tah spočívá v provedení alespoň jednoho z následujících dvou bodů:
• rozdělení nějaké hromádky na stole na dvě (neprázdné) hromádky
• odebrání libovolných dvou mincí ze stolu
Kdo nemůže udělat tah, prohrává. Rozhodněte, za kterého hráče (prvního či druhého) existuje vyhrávající strategie.
Zdůvodněte. Napište alespoň (jeden z možných) prvních tahů vyhrávající strategie hráče, který ji má (v případě, že má
vyhrávající strategii druhý hráč, tak na každý z možných prvních tahů prvního hráče napište vyhrávající odpověď).
Řešení. Výhra za prvního hráče. Úvodní tah 7 → 5. 2