Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Drsná matematika III – 1. přednáška
Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace,
diferenciál
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
19. 9. 2011
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Funkce a zobrazení
Funkce více proměnných
Topologie euklidovských prostorů
Křivky v euklidovských prostorech
Zobrazení
3 Parciální derivace a diferenciál
Derivace ve směru vektoru
Totální diferenciál
Tečná nadrovina ke grafu funkce
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Kde je dobré číst?
Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet
funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999,
273 s.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Definition
Zobrazení f (x1, x2, . . . , xn) : Rn → R nazýváme funkce více
proměnných. Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných
proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f
definované v „rovině E2 = R2 budou značeny
f : R2
(x, y) → f (x, y) ∈ R
a podobně v „prostoru E3 = R3
f : R3
(x, y, z) → f (x, y, z) ∈ R.
Definiční obor A ⊂ Rn – množina, kde je funkce definována.
(Hříčkou pro písemky a úlohy bývá úkol k dané formuli pro funkci
najít co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.)
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Definition
Graf funkce více proměnných je podmnožina Gf ⊂ Rn × R = Rn+1
definová vztahem
Gf = {(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)); (x1, . . . , xn) ∈ A},
kde A je definiční obor f .
Grafem funkce definované v E2
f (x, y) =
x + y
x2 + y2
je plocha na obrázku,
maximálním definičním
oborem je E2 \ {(0, 0)}.
3
2
1
0 y-4
-3
-1
-2
-2
-1 0
-2
0
1x 2
2
-3
3
4
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic)
spolu se zaměřením Rn, což je vektorový prostor možných
přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat.
Navíc je na Rn standardní skalární součin u · v = n
i=1 xi yi , kde
u = (x1, . . . , xn) a v = (y1, . . . , yn) jsou libovolné vektory.
Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti P − Q dvojic
bodů P, Q předpisem
P − Q 2
= u 2
=
n
i=1
x2
i ,
kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. E2 je
vzdálenost bodů P1 = (x1, y1) a P2 = (x2, y2) dána
P1 − P2
2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R
P − R = (P − Q) + (Q − R) ≤ (P − Q) + (Q − R) .
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného
Euklidovského En:
Definition
Cauchyovská posloupnost – Pi − Pj < , pro každé pevně
zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j,
konvergentní posloupnost – Pi − P < , pro každé pevně
zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j,
bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi ,
hromadný bod P množiny A ⊂ En – existuje posloupnost
bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P,
uzavřená množina – obsahuje všechny své hromadné body,
otevřená množina – její doplněk je uzavřený,
otevřené δ–okolí bodu P – množina
Oδ(P) = {Q ∈ En; P − Q < δ},
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Definition
hraniční bod P množiny A – každé δ–okolí bodu P má
neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A,
vnitřní bod P množiny A – existuje δ–okolí bodu P, které celé
leží uvnitř A,
ohraničená množina – leží celá v nějakém δ–okolí některého
svého bodu (pro dostatečně velké δ),
kompaktní množina – uzavřená a ohraničená množina.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Theorem
Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí:
1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného
systému δ–okolí,
2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční,
3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným
bodem A,
4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná
posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A,
5 A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí
obsahuje konečné pokrytí.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Definition
Křivka je zobrazení c : R → En.
Analogicky k funkcím v jedné proměnné:
Definition
Limita: limt→t0 c(t) ∈ En
Derivace: c (t0) = limt→t0
1
|t−t0| · (c(t) − c(t0)) ∈ Rn
Integrál:
b
a c(t)dt ∈ Rn.
Výrok o integrálu má smysl i pro křivku ve vektorovém prostoru Rn!
Limity, derivace i integrály lze spočíst po jednotlivých n souřadných
složkách v Rn a stejně se rozpozná i jejich existence.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Analogie souvislosti Riemannova integrálu a antiderivace pro
křivky:
Theorem
Je-li c : R → Rn křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její
Riemannův integrál
b
a c(t)dt. Navíc je křivka
C(t) =
t
a
c(s)ds ∈ Rn
dobře definovaná, diferencovatelná a platí C (t) = c(t) pro
všechny hodnoty t ∈ [a, b].
Věta o střední hodnotě dává existenci čísel ti takových, že
ci (b) − ci (a) = (b − a) · ci (ti ).
Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit
rozdílový vektor koncových bodů c(b) − c(a) jako násobek
derivace křivky v jediném bodě.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Např. v rovině E2 pro c(t) = (x(t), y(t)) takto dostáváme
c(b) − c(a) = (x (ξ)(b − a), y (η)(b − a)) = (b − a) · (x (ξ), y (η))
pro dvě (obecně různé) hodnoty ξ, η ∈ [a, b].
Pořád nám ale úvaha stačí na následující odhad
Theorem
Je-li c křivka v En se spojitou derivací na kompaktním intervalu
[a, b], pak pro všechny a ≤ s ≤ t ≤ b platí
c(t) − c(s) ≤
√
n maxr∈[a,b] c (r) · |t − s|.
Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R → En v bodě
c(t0) ∈ En – vektor c (t0) ∈ Rn v prostoru zaměření Rn daný
derivací.
Přímka zadaná parametricky T : c(t0) + τ · c (t0) je tečna ke
křivce c v bodě t0, nezávisí na parametrizaci křivky c.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em → En.
Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho
„pohledu na věc , může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání.
Změna souřadnic – invertibilní zobrazení Rn → Rn.
Příklad: polohu P zadáváme
jako vzdálenost od počátku
souřadnic r a úhel ϕ mezi
spojnicí s počátkem a osou x.
15/62/31/21/31/6
0
2*Pi
11/6*Pi
5/3*Pi
3/2*Pi
4/3*Pi
7/6*Pi
Pi
5/6*Pi
2/3*Pi
1/2*Pi
1/3*Pi
1/6*Pi
0
Přechod z polárních souřadnic do standardních je
Ppolární = (r, ϕ) → (r cos ϕ, r sin ϕ) = Pkartézské
Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení Rn → Rn+1.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Definition
Funkce f : Rn → R má derivaci ve směru vektoru v ∈ Rn v bodě
x ∈ En, jestliže existuje derivace dv f (x) složeného zobrazení
t → f (x + tv) v bodě t = 0, tj.
dv f (x) = lim
t→0
1
t
(f (x + tv) − f (x)).
Speciální volbou přímek ve směru souřadných os dostáváme tzv.
parciální derivace funkce f , které značíme ∂f
∂xi
, i = 1, . . . , n, nebo
bez odkazu na samotnou fukci jako operace ∂
∂xi
.
Pro funkce v E2 dostáváme
∂
∂x
f (x, y) = lim
t→0
1
t
(f (x + t, y) − f (x, y)),
∂
∂y
f (x, y) = lim
t→0
1
t
(f (x, y + t) − f (x, y)).
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Example
Se samotnými parciálními nebo směrovými derivacemi nevystačíme
pro dobrou aproximaci chování funkce lineárními výrazy:
g(x, y) =
1 když xy = 0
0 jinak
, h(x, y) =
1 když y = x2 = 0
0 jinak
.
ádná z nich neprodlužuje všechny hladké křivky procházející bodem
(0, 0) na hladké křivky.
Pro g existují obě parciální derivace v (0, 0) a jiné směrové
derivace neexistují, zatímco pro h existují všechny směrové derivace
v bodě (0, 0) a platí dv h(0) = 0 pro všechny směry v, takže jde o
lineární závislost na v ∈ R2.
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné
proměnné:
Definition
Funkce f : Rn → R je diferencovatelná v bodě x, jestliže
1 v bodě x existují všechny směrové derivace dv f (x), v ∈ Rn,
2 dv f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a
3 0 = limv→0
1
v f (x + v) − f (x) − dv f (x) .
Lineární výraz dv f (závislý na vektorové proměnné v) nazýváme
diferenciál funkce f vyčíslený na přírůstku v.
V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f .
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Uvažujme f : E2 → R se spojitými parciálními derivacemi.
Diferenciál v pevném bodě (x0, y0) je lineární funkce df : R2 → R
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi.
Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně
df =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 + · · · +
∂f
∂xn
dxn (∗)
a platí:
Theorem
Nech˛ f : En → R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu
x ∈ En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v
bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (∗).
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Pro f : E2 → R a pevný bod (x0, y0) ∈ E2 uvažme rovinu v E3:
z = f (x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
Je to jediná rovina procházející (x0, y0), ve které leží derivace a
tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme
jí tečná rovina ke grafu funkce f .
Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce
f (x, y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky
c(t) = (t, t, f (t, t)).
0
1
2
3
x
0
-2 4
1 2
-1
5
3 4
0
y 5
6
6
1
2
0
1
2
3
x
0
-2 4
1 2
-1
5
3 4
0
y 5
6
6
1
2
Literatura Funkce a zobrazení Parciální derivace a diferenciál
Obecně pro f : En → R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+1.
Tato nadrovina
1 prochází bodem (x, f (x))
2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : Rn → R,
tj. diferenciálu v bodě x ∈ En.
Analogie s funkcemi jedné proměnné:
Diferencovatelná funkce f na En má v bodě x ∈ En nulový
diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou
procházející tímto bodem zde má stacionární bod.
To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň
lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné
proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších.