Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace David Šafránek 1.12.2011 Tento projekt je spolufinancován Fvmpskym sociálním fondem s státním rozpočtem České repuhliky. NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Obsah Transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelováni kinetiky enzymů Modelováni dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Obsah Transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelováni kinetiky enzymů Modelováni dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Dynamický model biologického systému Základní konstrukty stochastického modelu • sledované jevy — komplexní procesy, např. metabolismus • elementární procesy — diskrétní události (chemické reakce) • stavové proměnné — počet molekul jednotlivých látek => stav — vektor počtů molekul v určitém okamžiku • systém je chápán jako stochastický proces popisující vývoj pravděpodobnostního rozložení stavů v čase • rychlost reakce charakterizována frekvencí (tzv. rate) [s-1] (určeno za zjednodušujících podmínek) přeměna: A ——> B syntéza: A + B AB rozklad: AB A + B Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Třídy modelů dynamiky Varianty způsobu zachycení času a změny stavových proměnných kvalitativní model proměnné diskrétni spojité Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Deterministické vs. stochastické modely dynamiky Deterministický model • makropohled — předpoklad vysoké molární koncentrace látek • populační pohled (průměrné chování) • stav = vektor aktuálních koncentrací látek • za daných podmínek generuje jediné chování Stochastický model • mikropohled — interakce individuálních molekul • individuální pohled (chování jedince) • stav= vektor aktuálního počtu molekul jednotlivých látek • za daných podmínek generuje více různých chování Modelování dynamiky KlNETIKA enzymů Transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Energetický proces chemických reakcí • různé energetické stavy molekuly • např. komplex AB méně stabilní než individuální výskyt molekul A, B • při přechodu mezi energ. stavy dochází k výměně energie • energie požadována pro aktivaci procesu (aktivační energie) • energie uvolněna během procesu (volná energie) termodynamické podmínky ovlivňují kinetickou energii molekul • pro reakci (úspěšnou kolizi) musí byt splněno: • správná prostorová konfigurace (orientace) molekul • dostatek kinetické energie Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí • uvažujeme konstantní fyzikální podmínky: • teplota, objem, tlak, vlivy prostředí • uvažujeme dobře promíchané médium (uniformní rozložení) • událost úspěšné kolize molekul chápeme jako stochastický jev —> lze definovat průměrnou pravděpodobnost úspěšné kolize molekul v libovolném časovém okamžiku • určeno fyzikálními vlastnostmi reagujících molekul (struktura, volná energie) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí • přesné modelování by znamenalo: • reflektovat pozici, rychlost a charakter každého objektu v systému • uvažovat každou kolizní událost • včetně kolizí nereaktivních • zjednodušení znamená: • abstrakci od informace o pozici a rychlosti objektů • abstrakci od nereaktivních kolizí (mezi dvěma bezprostředními reaktivními událostmi je velmi mnoho nereaktivních.. .) • efekt nereaktivních kolizí je randomizace rychlosti a pozice molekul Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky • uvažujme systém n substancí S = {Si,S„} provázaných m reakcemi R = Rm} • uvažujeme pouze reakce 0., 1. a 2. řádu • systém zapisujeme pomocí stechiometrické matice M rozměru n x m: — K", je-li K • S/ reaktantem Rj AC, je-li K • S; produktem Rj • závislé reakce: dep(Ri, Rj) ^ 3k. Mki • Mkj < 0 Modelování dynamiky Kinetika enzymu Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad stechiometrické matice Ri : 2A + 3B^2C R2: C -> R3: RA: A^ C -2 0 1 -1" -3 0 0 0 2-101 Předpokládáme Si = A, S2 = B, S3 = C. dep : (/?!, /?3), (/?3, /?4), /?2).(/?2, /?4) Modelování dynamiky Kinetika enzymu Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad stechiometrické matice Ri : 2A + 3B ^2C + A R2: C -> R3: RA: A^ C 0 1 -1" 0 0 0 -1 0 1 Předpokládáme Si = A, S2 = B, S3 = C. dep : (/?!, R3), (R3, RA), (/?!, R2).{R2, R4) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky • počet molekul substance S/ v čase t budeme značit A/,(t) náhodnou proměnnou rozložení počtů molekul substancí v čase t charakterizujeme vektorem: X(t) = (N1(t),...,Nn(t)) • vývoj tohoto rozložení X(t) v čase charakterizujeme jako stochastický proces ve spojitém čase: {X(t)\t G M+} Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí • uvažujme A/i molekul látky Si a N2 molekul látky S2 • náhodná proměnná XNi,N2,dt charakterizující pravděpodobnost kolize molekul Si a S2 v časovém intervalu (ŕ, c/ŕ] je určena: XNuN2,dt = x{Ni, N2) ■ dt kde x(A/i, A/2) = c • A/i • A/2 je tzv. hazardní funkce • předpokládáme Si a S2 různé látky • c je konstanta charakterizující průměrnou frekvenci úspěšných kolizí Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí závislost frekvence kolizí c na absolutní teplotě T (Arheniův zákon): c oc e rt • Ea ... aktivační energie reakce • R ... plynová konstanta Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Přesné odvozeni je komplikované! Pouze pro informaci, nebude vyžadováno... R,: S] + 52—íL-> products >MOLECULE 2 MOLECULE 1 i7r?i • v,,5i Prob{vl2-collision in dt} = ^r^i2dt\ ProbJÄ^. |v„-collision} = pj(va). 0"J2)Oi2^) n Prob that a randomly chosen S] pair does an Rj in next dt '\pjivu)) *x\xi = \ ^-{vaPj(vu))^ )x1x2dt = cjxlx1dt i-.-^ a,.(x) c, J S, iff "cottisionalK.E">El => (vnP,(vl2)) = pä^expí ' ' 'ii s^Kmsl y kBT [v12J Arrhenius D. T. Gillespie. Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions. In Journal of Physical Chemistry, volume 81, No. 25, pages 2340-2381. 1977. Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí Hazardní funkce pro všechny typy reakcí Hazardní funkci pro reakci R; budeme značit Xi{X)-Předpokládáme, že každé reakci R; je přiřazena frekvenční konstanta c-,. Tabulka níže uvádí hazardní funkci pro všechny typy uvažovaných reakcí: R 0 -> * Xi(X) = Q R Sj —> * Xi(X) = q ■ Nj R sp + sq —> * Xi(X) = ci -Np-Nq R 2Sj -> * Xi{x) - d. N^ri] stochastický zákon zachování hmoty Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí Hazardní funkce pro všechny typy reakcí Reakce vyššího řádu typicky nejsou uvažovány, neboř jsou fakticky složeny z něěkolika elementárních reakcí (1. a 2. řádu). V případě nutnosti lze modelovat homopolymerizaci: R K-Sj X/PO {Nj-K)\K\ Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí Stochastický proces jako Markovův řetězec spojitého času • stochastický proces {X(ŕ)|ŕ G M+} • spojitý čas pobytu ve stavu • jaká je doba do nejbližší události (změny stavu)? • nutno najít vhodný statistický model charakterizující "čekací" dobu W mezi změnami stavů • v teorii pravděpodobnosti je vhodným modelem exponenciální rozložení • W ~ Exp(A) • j ... průměrná čekací doba • s takto modelovaným chováním v čase dostáváme specifický stochastický proces: tzv. Markovův řetězec ve spojitém čase Modelování dynamiky KlNETIKA enzymu Transkripční regulace Exponenciální rozloženi pokud: 6c(x) X ~ Exp(A) ÍAe"Ax, x > 0, 0, jinak. Pro distribuční funkci dostáváme: 6fM Střední hodnota: 0, x < 0. 1 - e~Ax, x > 0. E(X) - J Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Exponenciální rozložení Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Spojitý Markovův řetězec Exp(aE) • průměrná čekací doba ve stavu Surf je 3 minuty, což je W = é nod =>- as = 20 • aw = 7.5 • Q!£ = 15 Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Exponenciální rozložení Vlastnosti minima exponenciálních distribucí Uvažme Xi, ...,X„ nezávislé náhodné proměnné t.ž. V/.X/ ~ Exp(\j). Pro minimální exponenciální rozložení min{Xi,X„} platí: Pr{m/n{Xi, ...,Xn} > x} = Pr{Xi > x n X2 > x n ... n Xn > x} n n = JJPr{X/ > x} = Yl e-x'x = e-x^=iA; /=1 i=l Pro parametr minimálního rozložení platí: Pr{Xfc = m/n{Xi,...,Xn}} Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Simulace Cíl: X(0) ->* X{tmax) • simulovat vývoj stochastického procesu z X(0) do X(tmax), kde tmax je požadovaný čas simulace PostuP: X(t)^X(t + r) • provedení vždy právě jedné reakce v intervalu (ŕ, t + t] • provedení reakce je okamžitý jev (trvá nulový čas) • ve stavu X(t) = (A/i,Nn) je doba r do provedení reakce R-, G R simulována rozložením: r ~ Exp(Xi(X(t))) • jaká je doba do nejbližší další (libovolné) reakce? Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B B (o) Modelování dynamiky Kinetika enzymu Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU Transkripční Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B B (ohM:) DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPČNÍ Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPČNÍ Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPČNÍ Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B A B Modelování dynamiky Kinetika enzymu Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad I Uvažujme reakci: A —> B • hazardní funkce uvažována x{Na, Nb) = 1 • Na Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Simulace X(t)^X(t + r) r ~ Exp(Xi(X(t))) • průměrná doba do nejbližší další události R; je x.(X(t)) • jaká je průměrná doba do nejbližší další (libovolné) události? • z množiny {77 | 77 ~ Exp(x,-(X(r)))} hledáme minimální rozložení - min\r\, ...,rm} • exponenciální rozložení je uzavřené vůči minimu: min{Tl, ...,rm} ~ ExpQX 1 X/(*(0)) • průměrná doba do nejbližší další reakce je ^m x-(x(t))) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Simulace X(t)^X(t + r) m min{Tl,...,Tm} ~ Exp(^2xi{X{t))) i=l • průměrná doba do nejbližší další reakce je ^y> x-(x(t))) • z teorie pravděpodobnosti (vlastnosti exp. rozložení) plyne pro pravděpodobnost výběru minimální proměnné: Pr{Ti = minin, ...rm}} = =-fYfi.\\\ • jedná se přímo o pravděpodobnost provedení reakce R; v okamžiku ŕ + r • touto pravděpodobností lze simulovat výběr /-té reakce • po výběru reakce R; k provedení realizujeme efekt reakce M(j) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Monte Carlo simulace SSA Gillespiho přímá metoda 1. inicializace X(0) 2. výpočet Xi{X{t)) V/ € {1,m} v aktuálním stavu X(t) 3. výpočet Y,?=iXi(X{t)) 4- simulace doby t do následující události - sampluj t e Exp(x{X(t))) aktualizace t :— t + t 6. výběr reakce /?,- s pravděpodobností Yl""'^xix\t)) 7. X(t) :=XT + M(j) 8. pokud t < Tmax, iteruj (2) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad II Ri Xi(A/i,/V2) = ci • A/i R2 S2^ X2{N1,N2) = c2-N2 Rs S1 + S2 X3{N1,N2) = c3 • Ni- N2 Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Nástroj Dizzy • nástroj pro simulaci dynamiky sítí chemických reakcí • obsahuje stochastické i deterministické solvery • stochastické solvery jsou robustní • mimo přímý Gillespiho algoritmus zahrnuje další varianty stochastické simulace • vhodný zejména pro stochastickou simulaci http://magnet.systemsbiology.net/software/Dizzy/ Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Nástroj COPASI • nástroj pro simulaci dynamiky sítí chemických reakcí • obsahuje deterministické i stochastické solvery • deterministické solvery jsou robustní • stochastické solvery nestabilní, experimentální implementace • vhodný zejména pro deterministickou simulaci • stochastickou variantu lze zvolit v případě potřeby porovnání *\A (ilulJd 1 = II B || S 1 Ele Tools Hele 1 Pl ■ +- ,/£ssk [ Concentrators -j | i Mode 3-Tas ks i MultipleTesk 3-Outqut \jjljrmjy COPASI Version 4.4 (Build 26) The use of this software irdicates tho aoooptanoa oF vjew |_icense ťie at:ached license. -1 http://www.copasi.org Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Obsah Transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelování kinetiky enzymů Modelování dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten S + E^ES^P + E Stechiometrickou matici uvažujeme pro indexaci Si = S, S2 = E, S3 = ES, S4 = P: "-1 -1 0 " -1 1 1 1 -1 -1 0 o 1 _ Závislosti mezi reakcemi: dep{R1,R2),dep{R1,R3) Modelování dynamiky Kinetika enzymu Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten S + E^ES^P + E Uvažujeme stav X = (#S, #E, #ES, #P): Ri S + E -> ES Xi{X) = c1-#E-#S R2 ES -> S + E X2(X) = c2 • #ES Rs ES -> P + E X3(X) = c3 • #ES Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten s + ec^es^p + e Ve stochastickém frameworku nelze přímo aplikovat kvazi-stabilní abstrakci. Lze však uplatnit redukci dimenzionality (taje uplatnitelná v deterministickém i stochastickém modelu): M -1-1 0 ' -111 1 -1 -1 0 0 1 Mezi proměnnými jsou následující lineární závislosti: #E + #ES = #E0 #S + #ES + #P = #S0 kde #Sq a #Eq jsou iniciální počty molekul. Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten s + e ^ ES Matici M lze tedy redukovat: <=3 P + E -1 -1 0 0 0 1 a redukované substance vyjádřit algebraicky: #ES = #S0 - #S - #P #E = #E0 - #ES = #E0 - #S0 + #S + #P Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten s + f ^ ES C2 C3 P + E Po redukci dimenzionality uvažujeme stav X = (#S,#F) Ri S + E -> ES Xi W = ex • (#E0 - #S0 + #S + #P) • #S ES -> S + E X2(X) = c2 • (#S0 - #S - #P) Rs ES -> P + E X3(X) = c3 • (#S0 - #S - #P) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Obsah Transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelování kinetiky enzymů Modelování dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Interakce při expresi genů v prokaryotické buňce Sigma protein recognizes promoter Core RNA polymerase DNA complementary strand Watson ■ DNA coding strand Crick JBIII to I3' 15' i\TTAATCATCGAACTAGfŤÄŤÄffŤKGTACG(J -35 box -10 box mRNA start Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů o--0 07^-g-—°--^0 rel g • spojitý model na úrovni regulační (Hillovy kinetiky) • zachycení transkripce (i translace) • lze modelovat pomocí zákona o aktivním působení hmoty • jak modelovat stochasticky? Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů Ri ■ g ~ g + r R2 : r — > r + P R3 : r — R4 : P - • zachycení tvorby transkriptu a proteinu reakční kinetikou • zjednodušení reálné situace • g je konstantní => g(0) ■ c, určuje výkon transkripce • výkon translace determinován aktuálním množství RNA Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů rs2 g R2: P -> • g je konstantní => g(0) ■ cy určuje výkon transkripce Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů R2: P -> • g je konstantní => g(0) ■ c-, určuje výkon transkripce Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů - Simulace nn 1 nn In LmiiiIII 11 iiiuum^ • nastavení simulace: g(0) = 5, P(0) = 0; c\ = 0.1, c2 = 0.01 • rozložení v bodě ŕ = 600 pro 2000 simulací Modelování dynamiky Transkripční regulace KlNETIKA ENZYMU Model exprese genů - negativní autoregulace re 2 g Ri: P + g^gP R2: gP^g+P Rs-- g^g + P R4: P -> Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů - negativní autoregulace g gP re10 l Ri R2 R3 Ra P + g^gP gP^g + P g^g + P P -> Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model negativní autoregulace - Simulace í n 1 i i I .1 Mhi. 1 2 3 4 5 67 8 910 11 1213 14 • nastavení simulace: g(0) = 5, P(0) = 0, gP{0) = 0; Ci = C2 = 1, C3 = 0.1, C4 = 0.01 • rozložení v bodě t = 400 pro 2000 simulací Modelování dynamiky Kinetika enzymů Transkripční Model exprese genů - pozitivní autoregulace Ri- P + g^gP R2: gP^g + P R3: gP^gP + P RA: P^ Modelováni' dynamiky Kinetika enzymů Transkripční Model exprese genů - pozitivní autoregulace re10 gP R2 R3 R4 P + g^gP gP^g + P gP^gP + P P -> Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model pozitivní autoregulace - Simulace 1 lli- „lil li li ÚL i lil li lil ■...............................iMiBll lllllll ii|iiii|.T1..T t.......................Tn nTrTTirmimrTmrTTiTrmrmimrTmrTTiTTTi' ľ 4 '5 8 l'J ľ14 i!j js 252224 2<5 28 s 32 34 !>j 184042444348505254 5658S'j'62íJ4GGi5,87072747í: 1 3 5 7 9 1113J51"Jíi21 23 25 ľ72E'31 33 35 37 5;414345474-;i:iri35557ív;i,;i'53'55676971737577 • nastavení simulace: g(0) = 5, P(0) = 0, gP(0) = 0; Ci = C2 = 1, C3 = 0.1, C4 = 0.01 • rozložení v bodě ŕ = 1000 pro 2000 simulací