\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin -3mm
\headsep 0mm
\headheight 3mm
\textheight 235mm
\textwidth 165mm
\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\footskip 10mm

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\coL}{co\mbox{$-$}L}
\newcommand{\move}{\rightarrow}

\newcommand{\zadani}[2]{
{\large
\noindent {\bf IB102 -- úkol #1 \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval(a):\hspace{7cm}UČO:\\
\noindent Skupina:
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}


%%% ZDE NAPISTE SVOJE JMENO, UCO A SKUPINU
\newcommand{\reseni}[2]{
{\large
\noindent {\bf  IB102 -- úkol #1 -- řešení \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval: James Bond \hspace{4.2cm}UČO: 007\ \ \\
\noindent Skupina: MI6
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}



\begin{document}

%%% ZMENTE \zadani NA \reseni
\zadani{4, příklad 1}{15.\,10.\,2012}
\noindent
\textbf{1. [3 body]} 
Uvažte následující čtyři relace:
\begin{center}
  \begin{tabular}{rcl}
    $u \, R_1 \, v$ & $\Longleftrightarrow$
    & délka slova $u$ i délka slova $v$ je nejméně 10 
    (tj.~$|u| \geq 10$ a $|v| \geq 10$)\\[.7ex]
    $u \, R_2 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
    & délka slova $u$ a délka slova $v$ se liší nejvýše o 1 
    (tj.~$\big||u| - |v|\big| \leq 1$)\\[.7ex]
    $u \, R_3 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
    & $\#_a(u) = \#_a(v)$ \\[.7ex]
    $u \, R_4 \, v$ & $\Longleftrightarrow$ 
    & $\big(u=v\big)$ $\vee$ $\big(|u|=|v|=2n$ pro nějaké $n\geq 1$ a zároveň \\ &&  $n$-tý znak slova 
    $u$ se shoduje s $n$-tým znakem slova $v\big)$.\\
  \end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item[a)] Zjistěte, které z uvedených relací \textbf{nejsou reflexivní} a dokažte to o nich.
\item[b)] Zjistěte, které z uvedených relací \textbf{nejsou tranzitivní} a dokažte to o nich. 
\item[c)] Zjistěte, které z uvedených relací \textbf{nejsou pravou
    kongruencí} a dokažte to o nich. U relací, které jsou pravou
  kongruencí určete jejich index.
\end{enumerate}
%%% SEM PISTE SVE RESENI

\end{document}
