\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin -3mm
\headsep 0mm
\headheight 3mm
\textheight 235mm
\textwidth 165mm
\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\footskip 10mm

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\coL}{co\mbox{$-$}L}
\newcommand{\move}{\rightarrow}

\newcommand{\zadani}[2]{
{\large
\noindent {\bf IB102 -- úkol #1 \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval(a):\hspace{7cm}UČO:\\
\noindent Skupina:
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}


%%% ZDE NAPISTE SVOJE JMENO, UCO A SKUPINU
\newcommand{\reseni}[2]{
{\large
\noindent {\bf  IB102 -- úkol #1 -- řešení \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval: James Bond \hspace{4.2cm}UČO: 007\ \ \\
\noindent Skupina: MI6
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}



\begin{document}

%%% ZMENTE \zadani NA \reseni
\zadani{4, příklad 2}{15.\,10.\,2012}
\noindent
\textbf{1. [1 bod]} Rozhodněte a zdůvodněte, zda platí toto tvrzení: \medskip
\\
Existuje abeceda $\Sigma$ a regulární jazyky $L_1$, $L_2$ nad $\Sigma$ takové, že 
$\sim_{L_1} \, \neq \, \sim_{L_2}$ a zároveň 
$\sim_{L_1}$ je pravá kongruence taková, že $L_2$ je sjednocením některých tříd rozkladu $\Sigma^*$ podle $\sim_{L_1}$.

\bigskip
\noindent
(\emph{Pozn.:} Pokud bude Vaše odpověď "ano, platí", uveďte zcela konkrétní
příklad abecedy $\Sigma$, jazyků $L_1, L_2$ a prefixových ekvivalencí
$\sim_{L_1},\sim_{L_2}$. Pokud bude Vaše odpověď "ne, neplatí",
pokuste se zdůvodnit, proč to neplatí pro žádnou abecedu $\Sigma$, jazyky
$L_1, L_2$ a prefixové ekvivalence $\sim_{L_1},\sim_{L_2}$).

\bigskip
\noindent
\textbf{Bonus: [+1 bod]} Uvažte zároveň, že platí následující dodatečná podmínka: jazyky $L_1$ a $L_2$ jsou nesrovnatelné (tedy $L_1 \nsubseteq L_2 \land L_2 \nsubseteq L_1$). Rozhodněte a zdůvodněte i tento případ.

\bigskip
\bigskip
\noindent
%%% SEM PISTE SVE RESENI

\end{document}
