Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy MB101 – 9. demonstrovaná cvičení Vlastní vektory a čísla Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16.11. 2010 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Uvažme vektorový prostor mnohočlenů jedné neznámé stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty. V tomto prostoru uvažme bázi 1, x, x2. Napište matici zobrazení derivace v této bázi a také v bázi 1 + x2, x, x + x2. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Uvažme vektorový prostor mnohočlenů jedné neznámé stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty. V tomto prostoru uvažme bázi 1, x, x2. Napište matici zobrazení derivace v této bázi a také v bázi 1 + x2, x, x + x2. Řešení.   0 1 0 0 0 2 0 0 0  , Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Uvažme vektorový prostor mnohočlenů jedné neznámé stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty. V tomto prostoru uvažme bázi 1, x, x2. Napište matici zobrazení derivace v této bázi a také v bázi 1 + x2, x, x + x2. Řešení.   0 1 0 0 0 2 0 0 0  ,   0 1 1 2 1 3 0 −1 −1  . 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Uvažte vektorový prostor posloupností, které vyhovují rekurentní rovnici xn = xn−1 + xn−2. Fibonacciho posloupnost Fn je jednou z těchto posloupností, která navíc splňuje počáteční podmínky F0 = 0, F1 = 1. V bázi dané posloupnostmi xn = Fn a yn = Fn+1 vyjádřete souřadnice posloupnosti zn = Fn+6. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Uvažte vektorový prostor posloupností, které vyhovují rekurentní rovnici xn = xn−1 + xn−2. Fibonacciho posloupnost Fn je jednou z těchto posloupností, která navíc splňuje počáteční podmínky F0 = 0, F1 = 1. V bázi dané posloupnostmi xn = Fn a yn = Fn+1 vyjádřete souřadnice posloupnosti zn = Fn+6. Řešení. (5, 8). 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Uvažme komplexní čísla jako reálný vektorový prostor a za jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici následujících lineárních zobrazení: a) konjugace, b) násobení číslem (2 + i). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 − i), (1 + i). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Uvažme komplexní čísla jako reálný vektorový prostor a za jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici následujících lineárních zobrazení: a) konjugace, b) násobení číslem (2 + i). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 − i), (1 + i). Řešení. 1 0 0 −1 , Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Uvažme komplexní čísla jako reálný vektorový prostor a za jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici následujících lineárních zobrazení: a) konjugace, b) násobení číslem (2 + i). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 − i), (1 + i). Řešení. 1 0 0 −1 , 2 −1 1 2 , Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Uvažme komplexní čísla jako reálný vektorový prostor a za jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici následujících lineárních zobrazení: a) konjugace, b) násobení číslem (2 + i). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 − i), (1 + i). Řešení. 1 0 0 −1 , 2 −1 1 2 , 0 1 1 0 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Uvažme komplexní čísla jako reálný vektorový prostor a za jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici následujících lineárních zobrazení: a) konjugace, b) násobení číslem (2 + i). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 − i), (1 + i). Řešení. 1 0 0 −1 , 2 −1 1 2 , 0 1 1 0 2 −1 1 2 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice 1 2 2 1 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice 1 2 2 1   1 3 −1 3 −4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 1 3 7 3   Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice  1 2 −1 2 7 2 0 1 1 −1 2 −1 2 7 2   Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete matici projekce podle osy t(2, 1, 1) do roviny generované vektory (1, 0, 1), (−1, 1, 0)