Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy MB101 – 9. demonstrovaná cvičení Lineární procesy Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23.11. 2010 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Určete matici rotace o 90◦ v kladném smyslu kolem přímky (t, t, t), t ∈ R v R3. Dále určete matici tohoto zobrazení v bázi ((1, 1, 0), (1, 0, −1), (0, 1, 0)). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Určete matici rotace o 90◦ v kladném smyslu kolem přímky (t, t, t), t ∈ R v R3. Dále určete matici tohoto zobrazení v bázi ((1, 1, 0), (1, 0, −1), (0, 1, 0)). Řešení.   1/3 1/3 − √ 3/3 1/3 + √ 3/3 1/3 + √ 3/3 1/3 1/3 − √ 3/3 1/3 − √ 3/3 1/3 + √ 3/3 1/3   2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice   8 0 6 −3 2 −3 −9 0 −7   . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice   8 0 6 −3 2 −3 −9 0 −7   . Řešení. vlastní hodnota 2 dvojnásobná, přísluší ji prostor (0, 1, 0), (−1, 0, 1) , vlastní hodnotě −1, odpovídá vlastní vektor (−2, 1, 3). 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Určete nějakou bázi vektorového prostoru antisymetrických reálných čtvercových matic typu 4 × 4. Uvažte standardní skalární součin v této bázi a pomocí tohoto součinu vyjádřete velikost matice     0 3 1 0 −3 0 1 2 −1 −1 0 2 0 −2 −2 0     . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete jedinou posloupnost vyhovující rekurentní rovnici xn+2 = xn+1 − xn + 2n s počátečními podmínkami x1 = 1, x2 = 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete jedinou posloupnost vyhovující rekurentní rovnici xn+2 = xn+1 − xn + 2n s počátečními podmínkami x1 = 1, x2 = 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete jedinou posloupnost vyhovující rekurentní rovnici xn+3 = 3xn+2 + 4xn+1 − 12xn + 12 s počátečními podmínkami x0 = 2, x1 = −1, x2 = 7. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Uvažujme následující model bujení byrokracie: každý úředník působí na svém místě 30 let. V každé desetiletce ve svém úřadě vytvoří úředník jedno nové úřednické místo. Žádné úřednické místo nezaniká. Popište, jak bude růst úřednický aparát (poroste asymptoticky jako jistá geometrická řada). Na jakém poměru se ustálí poměr počtu nových, středně starých a starých míst?