Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3
Počet bodů:
Příklad 1. Náhodně rozesadíme n studentů a n studentek do řady s 2n místy. Jaká je pravděpodobnost, že
osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe?
Řešení. Všech možností rozesazení je (2n)!, možností, kdy osoby stejného pohlaví nesedí vedle sebe je 2(n!)2
(buď všichni hoši sedí na sudých místech a dívky na lichých – nezávisle můžeme permutovat n hochů a n
dívek, celkem dle pravidla součinu (n!)2
možností, nebo všechny dívky na sudých a hoši na lichých místech,
opět (n!)2
možností). Hledaná pravděpodobnost je tedy
2(n!)2
(2n)!
2
Příklad 2. Jednou denně někdy mezi osmou hodinou ranní a osmou hodinnou večerní vyjíždí náhodně
autobus z Koločavy do Užhorodu. Jednou denně ve stejném časovém rozmezí jezdí jiný autobus náhodně
opačným směrem. Cesta tam trvá čtyři hodiny, zpět též čtyři hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že se autobusy
potkají, jezdí-li po stejné trase?
Řešení. Pravděpodobnostní prostor je čtverec 12 × 12, autobusy vyjíždějící v čase x, resp y se potkají
právě když |x − y| ≤ 4. Tato nerovnost vymezuje v daném čtverci oblast „příznivých jevů . Obsah zbylé
části spočítáme přímo jednodušeji, neboť je sjednocením dvou pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků o
odvěsnách 8, tedy je roven 64, obsah části odpovídající „příznivým jevům je tedy 80, celkem je hledaná
pravděpodobnost
80
144
=
5
9
2
Příklad 3. Buď dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF (vrcholy jsou označeny v kladném smyslu) se středem
v bodě [1, 0] a vrcholem A = [0, 2] Určete souřadnice vrcholu C.
Řešení. Souřadnice vrcholu C získáme otočením bodu A okolo středu S šestiúhelníka o 120◦
v kladném
smyslu:
C =
cos(120◦
) − sin(120◦
)
sin(120◦
) cos(120◦
)
(C − S) + S =
−1
2 −
√
3
2√
3
2 −1
2
−1
2
+ [1, 0] = [
3
2
−
√
3, −1 −
√
3
2
]
2
1