Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3 4
Počet bodů:
Příklad 1. Kolika způsoby můžeme rozdělit 8 pomerančů, 9 banánů a 10 jablek mezi Pepíka, Aničku a
Lucinku tak, aby každé dítě dostalo alespoň jeden kus od každého druhu ovoce?
Řešení. 7
2
8
2
9
2 . 2
Příklad 2.
a) Definujte pojem antisymetrické relace. Udejte příklad relace na tříprvkové množině, která je antisymetrická.
(2b)
b) Ze všech binárních relací na n-prvkové množině náhodně vybereme jednu. Jaká je pravděpodobnost,
že bude symetrická? (4b)
Řešení. 2(n
2)+n
2n2 = 1
2(n
2)
. 2
Příklad 3. Je dána soustava
x + 2y + bz = 1
x − y + 2z = 1
3x − y = 1,
pro reálné proměnné x, y, z. Určete parametr b tak, aby soustava měla nekonečně mnoho řešení. Pro vypočtený
parametr b tato řešení určete.
Řešení. Podmínka na to, aby determinant matice soustavy byl nulový (nutná podmínka pro existenci
nekonečně mnoha řešení) dává b = −7. Pro toto b však soustava nemá žádné řešení. Hledané b tedy neexistuje.
2
Příklad 4. Určete příčku mimoběžek
p := [4, 4, 2] + t(2, 1, 2)
q := [2, −3, 0] + s(1, −1, −1),
procházející bodem [1, 1, 1]. Příčkou rozumíme úsečku PQ, kde P ∈ p, Q ∈ q.
Řešení. P = [2, 3, 0], Q = [2, −3, 0]. 2
1