Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3 4
Počet bodů:
Příklad 1.
a) Definujte pojem tranzitivní relace. Udejte příklad relace na tříprvkové množině, která není tranzitivní.
(2b)
b) Ze všech binárních relací na n-prvkové množině náhodně vybereme jednu. Jaká je pravděpodobnost,
že bude reflexivní? (4b)
Řešení.
b) 2n2−n
2n2 = 1
2n
2
Příklad 2. Nalezněte vlastní vektory a vlastní čísla matice


1
2
5
2 −5
2
5
2
1
2 −5
2
0 0 −2

 .
Řešení. a = −2, vlastní vektory příslušné vlastní hodnotě −2 jsou pak generované vektory (1, 0, 1), (0, 1, 1),
vlastní hodnotě 3 odpovídá vektor (1, 1, 0). 2
Příklad 3. V R3
je dán čtyřstěn ABCD, kde A = [4, 0, 2], B = [−2, −3, 1], C = [1, −1, −3], D = [2, 4, −2].
a) Určete jeho objem. (nápověda: jak se má objem čtyřstěnu k objemu rovnoběžnostěnu určenému třemi
hranami čtyřstěnu vycházejícími z jednoho bodu?) (3b)
b) Rozhodněte, zda leží bod X = [0, −3, 0] uvnitř tohoto čtyřstěnu. (3b)
Řešení.
a) 124
6
b) Daný bod uvnitř daného čtyřstěnu neleží. Koeficienty odpovídající afinní kombinace jsou 1/4, 1/2, 1/2,
−1/4. Lze též odvodit pouze úvahami o poloze bodu X vzhledem k ose y.
2
Příklad 4. Určete jedinou posloupnost vyhovující vztahu xn+2 = 2xn + 1 a x1 = 4, x2 = 1.
Řešení. Lze rozděx2k+1 = 5 · 2k−1
− 1, x2k = 2k
− 1. 2
1