Matematika drsné a svižné Martin Panák, Jan Slovák a „autorský kolektív" Projekt netradiční základní učebnice matematiky pro studenty přírodních věd, informatiky, ekonomie apod., přibližující podstatnou část matematiky v rozsahu čtyř semestrálních přednášek. Text by měl být dokončen a vydán v roce 2013. Práce na učebnici jsou podpořeny projektem Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ. 1.07/2.2.00/15.0203) sociální fond V ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ i ii Obsah Obsah Kapitola 1. Rozcvička 1. Čísla a funkce 2. Kombinatorické veličiny 3. Diferenční rovnice 4. Pravděpodobnost 5. Geometrie v rovině 6. Relace a zobrazení Kapitola 2. Elementární lineárni algebra 1. Vektory a matice 2. Determinanty 3. Vektorové prostory a lineárni zobrazení 4. Vlastnosti lineárních zobrazení Kapitola 3. Linární modely a maticový počet 1. Lineárni procesy 2. Diferenční rovnice 3. Iterované lineárni procesy 4. Více maticového počtu 5. Rozklady matic a pseudoinverze Kapitola 4. Analytická geometrie 1. Afmní a euklideovská geometrie 2. Geometrie kvadratických forem 3. Projektivní geometrie 5 Kapitola 1. 5 5 A. Čísla a funkce 5 10 B. Kombinatorika 10 14 C. Diferenční rovnice 14 18 D. Pravděpodobnost 18 27 E. Geometrie v rovině 28 41 F. Zobrazení a relace 41 ^ G. Doplňující příklady k celé kapitole 47 73 Kapitola 2. Elementární lineárni algebra 73 85 A. Soustavy lineárních rovnic 73 94 B. Manipulace s maticemi 79 113 C. Permutace 84 D. Determinanty 86 131 E. Soustavy lineárních rovnic podruhé 88 ^ F. Vektorové prostory 95 138 G. Lineární závislost a nezávislost, báze 97 H. Lineární zobrazení 103 I. Báze a skalární součiny 110 1 if\ J. Vlastní čísla a vlastní vektory 115 199 K. Doplňující příklady k celé kapitole 122 199 Kapitola 3. 131 221 A. Procesy s lineárními omezeními 131 229 B. Rekurentní rovnice 139 C. Populační modely 147 D. Markovovy procesy 158 E. Unitární prostory 175 F. Rozklady matic 179 G. Doplňující příklady k celé kapitole 185 Kapitola 4. Analytická geometrie 199 A. Afinní geometrie 199 B. Eukleidovská geometrie 208 C. Geometrie kvadratických forem 223 D. Doplňující příklady k celé kapitole 239 iii iv Předmluva Příprava této učebnice byla motivována přednáškami pro informatické obory na Masarykově univerzitě, kde je celý program založen na precizním matematickém přístupu. Chtěli jsme proto rychle, ale zároveň pořádně, pokrýt zhruba tolik matematických metod, jako je obvyklé u větších kurzů v klasických technických oborech opřených o matematické metody. Zároveň jsme ale nechtěli rezignovat na úplný a matematicky korektní výklad. Chtěli jsme vedle sebe vyložit i obtížnější partie matematiky a spoustu elementárních i obtížnějších konkrétních příkladů, jak s uvedenými postupy ve skutečnosti pracovat. Nechtěli jsme přitom za čtenáře řešit, v jakém pořadí a kolik „teorie" či „praxe" pročítat. Z těchto podnětů vznikl dvousloupcový formát s oddělenými teoretickými úvahami a praktickými postupy, který kopíruje i skutečné rozdělení výkladu na přednáškách na „teoretické přednášky" a „demonstrovaná cvičení". Snažíme se tím vyjít vstříc jak čtenářům, kteří si napřed chtějí procvičit postupy při řešení úloh a teprve pak přemýšlet, proč a jak algoritmy fungují, tak těm druhým, kteří si napřed chtějí dělat jasno o tom proč a jak věci fungují a pak případně zkouší počítat příklady. Zároveň tím snad zbavujeme čtenáře stresu, že by měl přečíst úplně vše. Naopak, měl by mít radost z brouzdání textem a prožitku objevování vlastní cestičky. Text se přitom v obou svých částech snaží prezentovat standardní výklad matematiky s akcentem na smysl a obsah představovaných matematických metod. Řešené úlohy procvičují základní pojmy, ale zároveň se snažíme dávat co nej lepší příklady užití matematických modelů. Teoretický text je prezentován dosti kompaktním způsobem, mnoho prostoru je ponecháno pro dořešení podrobností čtenáři. Uváděné příklady se snaží pokrýt celou škálu složitosti, od banálních až po perličky ke skutečnému přemýšlení. Studenti navíc řešili a odevzdávali každý týden zadávané příklady. Čtenářům bychom rádi pomohli: • přesně formulovat definice základních pojmů a dokazovat jednoduchá matematická tvrzení, • vnímat obsah i přibližně formulovaných závislostí, vlastností a výhledů použití matematických nástrojů, • vstřebat návody na užívání matematických modelů a osvojit si jejich využití. K těmto ambiciózním cílům nelze dojít lehce a pro většinu lidí to znamená hledat si vlastní cestu s tápáním různými směry (s potřebným překonáváním odporu či nechutě). I proto je celý výklad strukturován tak, aby se pojmy a postupy vždy několikrát vracely s postupně rostoucí složitostí a šíří diskuse. Jsme si vědomi, že se tento postup může jevit jako chaotický. Domníváme se ale, že dává mnohem lepší šanci na pochopení u těch, kteří vytrvají. Vstup do matematiky je skoro pro každého obtížný — pokud už „víme", nechce se nám přemýšlet, pokud „nevíme", je to ještě horší. Jediný spolehlivý postup pro orientaci v matematice je hledat porozumnění v mnoha pokusech a to, pokud možno, při četbě v různých zdrojích. Určitě nepovažujeme tento text za dostatečný jediný zdroj pro každého. Doufáme, že může být dobrým začátkem a případně i dlouhodobým pomocníkem, zvláště pro ty, kdo se k jednotlivým částem budou znovu a znovu vracet. Pro ulehčení vícekolového přístupu ke čtení je text doprovázen emotivně laděnými ikonkami, které snad nejen oživí obvyklou strohou strukturu matematického textu, ale naznačí čtenáři, kde by složitější text měl být čten pozorněji, ale určitě ne přeskakován, případně kde by bylo možná lépe náročné pasáže přinejmenším napoprvé vůbec nečíst. 1 Volba jednotlivých ikonek samozřejmě odráží hlavně pocity autorů. Přesto by postupně mohly být dobrým vodítkem pro čtenáře. Sloupec zaměřený na výklad teorie (užší sloupec) a sloupec zaměřující se na příkadovou část jsou přitom značeny odlišnými sadami ikonek. Co se týče sloupce teorie používáme ikonky varující před pracností/složitostí/náročností, např. Další označují ne úplně pohodovou zdlouhavost práce a potřebu trpělivosti či nadhledu, jako jsou tyto A konečně máme také ikonky vyjadřující pohodu nebo radost ze hry, třeba následující Co se týče příkladového sloupce, tak používáme ikonky pro základní příklady, které by čtenář rozhodně měl být schopen zvládnout a pokračovat ve čtení až po jejich vyřešení, ikonky pro obtížnější příklady se zajímavým obratem, či praktickou aplikací, konečně ikonky značí velmi obtížný příklad, resp. poslední z nich indikuje, že při řešení příkladu je vhodné použít výpočetní software. Snažili jsme se sloupce s příklady sepsat tak, aby byly čitelné prakticky víceméně samostatně. Bez ambicí pohrát si s hlubšími důvody, proč uváděné postupy fungují (nebo s prostým cílem „projít s písemkou"), by mělo skoro stačit probírat se jen příklady. Definice pojmů či popisy jejich vlastností používaných při řešení příkladů jsou v teoretickém sloupci zpravidla vyznačeny, aby o ně bylo možno snadno pohledem zavadit. Souvislost řešených příkladů s paralelně studovanou teorií je přitom spíše volná, snažili jsme ale ulehčit přeskakování „z teorie do praxe a zpět" co nejvíce. Obsahově je celá učebnice ovlivněna představou, že pro praktické využití jsou velmi podstatné metody tzv. diskrétní matematiky, zatímco tzv. spojité modely jsou matematicky dobře uchopitelná přiblížení veskrze diskrétního světa kolem nás. Počítat koneckonců stejně umíme vždy jen s konečně mnoha racionálními čísly naráz. Bez spojité matematiky si lze ale těžko dobře představit koncepty jako konvergence procesu k limitnímu stavu nebo robustnost výpočtu. Bylo by bez ní také obtížné pracovat s odhady chyb při numerických procesech. Všechna témata a velmi podstatnou část textu jsme v létech 2005 - 2012 ověřovali při výuce studentů informatiky a později i matematiky na Masarykově univerzitě. Paralelně jsme přitom vytvořili také podklady pro praktické semináře matematického modelování a numerických metod. V nich se studenti věnují skutečnému využití výpočtových nástrojů a modelů. 2 Závěrem stručně shrneme obsah celé učebnice. Samozřejmě předpokládáme, že si každý čtenář, případně přednášející, vybere témata a jejich pořadí. Pokusíme se proto zároveň vymezit bloky, se kterými lze takto nezávisle zacházet. Úvodní motivační kapitola se snaží ilustrovat několik přístupů k matematickému popisu problémů. Začínáme nejjednoduššími funkcemi (základní kombinatorické vzorce). Pak naznačujeme, jak pracovat se závislostmi zadanými pomocí okamžitých změn (jednoduché diferenční rovnice), užití kombinatoriky a množinové algebry diskutujeme prostřednictvím konečné klasické pravděpodobnosti. Předvádíme maticový počet pro jednoduché úlohy rovinné geometrie (práce s pojmem pozice a transformace) a závěrem vše trochu zformalizujeme {relace, uspořádní, ekvivalence). Nenechte se zde uvrhnout do chaotického zmatku rychlým střídáním témat — cílem je nashromáždit něco málo netriviálních námětů k přemýšlení a hledání jejich souvislostí i použití, ještě než zabředneme do úrovně problémů a teorií složitějších. Ke všem tématům této úvodní kapitoly se časem vrátíme. Další dvě kapitoly jsou věnovány základům počtu, který umožňuje práci s vícerozměrnými daty i grafikou. Jde o postupy tzv. lineární algebry, které jsou základem a konečným výpočetním nástrojem pro většinu matematických modelů. Nejprve probíráme jednoduché postupy pro práci s vektory a maticemi, třetí kapitola je pak věnována aplikacím maticového počtu v různých lineárních modelech (systémy lineárních rovnic, lineární procesy, lineární diferenční rovnice, Markovovy procesy, lineární regrese). Čtvrtá kapitola pak ilustruje použití maticového počtu v geometrických úlohách. Dozvíme se něco málo o afinní, euklidovské a projektivní geometrii. V tomto okamžiku přerušíme diskusi diskrétních modelů a přejdeme ke spojitým. Chceme co nejnázorněji ukázat, že základní ideje, jak s funkcemi pracovat, bývají jednoduché. Stručně řečeno, velmi jednoduché úvahy spojené s popisem okamžitých změn sledovaných veličin umožňují dělat závěry pro jejich celkové chování. Složitosti se pojí skoro výhradně se zvládnutím rozumně velké třídy funkcí, pro které mají naše postupy být použitelné. Začínáme proto kapitolou, kde diskutujeme jaké funkce potřebujeme pro nelineární modely. Po polynomech a splajnech postupně diskutujeme pojmy spojitosti, limity posloupností a funkcí a derivace funkcí, připomeneme všechny základní elementární funkce a závěrem se seznámíme s mocninnými řadami. Tím je připravena půda pro klasický diferenciální a integrální počet. Ten prezentujeme v kapitole šesté s důrazem na co nejpřímočařejší pochopení souvislostí limitních procesů, integračních procesů a aproximací. Sedmá kapitola se věnuje náznakům aplikací a snaží se co nejvíce připomínat analogie k postupům jednoduché lineární algebry. Místo lineárních zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory tak pracujeme s lineárními operacemi mezi vektorovými prostory funkcí, definovanými buď integrálními nebo diferenciálními operátory. Zatímco diskusi diferenciální rovnic necháváme na později, zde studujeme nejprve aproximace funkcí s pomocí vzdálenosti definované integrálem (tzv. Fourierovy řady). Pak se věnujeme souvislostem s některými integrálními operátory (např. konvoluce) a integrálními transformacemi (zejména Fourirerova transformace). Po cestě si neodpustíme ilustraci obecného principu, že spojité modely jsou zpravidla ideovým podkladem a zároveň dobrou aproximací pro modely diskrétní. Poslouží nám k tomu stručné nahlédnutí na problematiky tzv. waveletů a diskrétní Fourierovy transformace. V osmé kapitole pokračujeme v našem stručném nastínění analytických spojitých metod, tentokrát pro modely s mnoha proměnnými. Nejprve rozšime základní postupy a výsledky týkající se derivací nafunkce více proměnných, včetně funkcí zadaných implicitně a tzv. vázaných extrémů. Hned poté rozšíříme teorii integrování o tzv. násobné integrály. Poté se věnujeme stručně modelům opřeným o známou změnu našich objektů, tj. diferenciálním rovnicím a malinko naznačíme obdobné problémy variační. Závěrem této kapitoly se pak stručně věnujeme numerickým přiblížením a odhadům. Devátá kapitola je věnována popisné statistice, matematické pravděpododobnosti a matematické statistice. Seznámíme se s pojmy pravděpodobnostní prostor, hustota pravděpodobnosti, normální rozdělení, střední hodnota, medián, kvantil, rozptyl, příklady diskrétních a spojitých rozdělení a budeme se náznakem věnovat statistickému zpracování dat, tj. výběrovým statistikým a jejich spolehlivosti. V další kapitole zamíříme zpět do světa diskrétních metod. Zabýváme se v ní základními pojmy a poznatky teorie grafů a jejich využitím v praktických problémech (např. prohledávání do šířky a 3 hloubky, minimální pokrývající kostry, toky v sítích, hry popisované stromy). Závěrem se budeme zajímat o vytvořující funkce. Poslední kapitola se zabývá nejprve obecnými algebraickými strukturami s důrazem na elementární poznatky z teorie grup, okruhů polynomů. Zmíníme i něco málo aplikací v kódování. Dále se věnujeme úvodu do teorie čísel a vybrané aplikace, včetně šifrování informace. Pořádné poděkování všem zúčastněným, kteří nebudou přímo v autorském kolektivu, studentům apod. 11. 11. 2013, kolektiv autorů 4 KAPITOLA 1 Rozcvička „ hodnota, změna, poloha " — co to je a jak to uchopit? Cílem první kapitoly je uvést čtenáře do fascinujícího světa matematického myšlení. Vybíráme si k tomu co nej-konkrétnější příklady modelování reálných situací pomocí abstraktních objektů a souvislostí. Zároveň projdeme několik témat a postupů, ke kterým se postupně budeme vracet a v závěru kapitoly se budeme chvíli věnovat samotnému jazyku matematiky (se kterým budeme jinak zacházet spíše intuitivně). O co jednodušší jsou východiska a objekty, se kterými zde budeme pracovat, o to složitější je pochopit do důsledku jemnosti použitých nástrojů a postupů. Většinou je možné proniknout k podstatě věcí teprve v jejich souvislostech. Proto je také představujeme hned z několika pohledů zároveň. Přecházení od tématu k tématu se možná bude zdát jako zmatečné, ale to se jistě postupně spraví při našich návratech k jednotlivým úvahám a pojmům v pozdějších kapitolách. Název kapitoly lze chápat i jako nabádání k trpělivosti. I nejjednodušší úlohy a úvahy budou snadné jen pro ty, kteří už podobné řešili. K postupnému poznání a ovládnutí matematického myšlení vede jen pozvolná a spletitá cesta. Začneme s tím nejjednodušším: obyčejnými čísly. A. Čísla a funkce S přirozenými, celými, racionálními a reálnými čísly již počítat umíme. Zamyslíme se, proč racionální čísla nestačí (byť v počítači s jinými doopravdy počítat neumíme) a připomeneme si tzv. čísla komplexní (protože ani s reálnými čísly si při výpočtech nevystačíme). 1. Čísla a funkce Lidé odjakživa chtějí mít jasno „kolik" něčeho je, pří-pádně „za kolik" to je, „jak dlouho" něco ^'^W^^^s trv^ aP°d- Výsledkem takových úvah je ' mĚlf' - většinou nějaké „číslo". Za číslo přitom ^^^^W považujeme něco, co umíme sčítat a násobit a splňuje to obvyklé zákonitosti, ať už všechny nebo jen některé. Například výsledek sčítání nezávisí na pořadí, v jakém čísla sčítáme, máme k dispozici číslo nula, které přičtením výsledek nezmění, číslo jedna, kterým můžeme násobit, aniž bychom změnili výsledek, apod. Nejjednodušším příkladem jsou tzv. čísla přirozená, budeme je značit N = {0, 1, 2, 3, ...}. Všimněme si, že jsme mezi přirozená čísla vzali i nulu, jak je obvyklé zvláště v informatice. Počítat „jedna, dvě, tři, ..." se učí děti už ve školce. O něco později se setkáváme s čísly celými Z = {..., —2, — 1, 0, 1, 2, ...} a nakonec si zvykneme na 1.1. Najděte nějaké reálné číslo, které není racionální. Řešení. Jedna z mnoha možných odpovědí je *J2. Již staří Řekové věděli, že předepíšeme-li plochu čtverce a1 = 2, pak nelze najít racionální a, které by předpisu vyhovovalo. Proč? Víme, že každé přirozené číslo n lze jednoznačným způsobem vyjádřit jako součin n = p^1 ■ pr^ ... prkk, až na pořadí v součinu, kde p\, ..., Pk jsou po dvou různá prvočísla. Pokud by tedy platilo (p/q)2 = 2 pro přirozená čísla p a q, pak tedy p1 = 2q2. Na levé straně máme v rozkladu na prvočísla 2r se sudým r (případně r = 0), na pravé straně ale bude vždy mocnina dvojky lichá. To je spor s naším tvrzením a tedy předpoklad nemůže platit a žádné racionální číslo nemůže mít za svoji druhou mocninu dvojku. □ 5 A. ČÍSLA A FUNKCE 1. ČÍSLA A FUNKCE 1.2. Poznámka. Lze dokonce dokázat, že odmocnina přirozeného stupně z přirozeného čísla je buď přirozená, nebo není racionální (viz G 1.3. Najděte řešení rovnice x2 = b pro libovolné reálné číslo b. Řešení. Víme, že tato rovnice má vždy řešení x v oboru reálných čísel, pokud je b nezáporné. Jestliže je b = —1, pak ale zjevně takové reálné x existovat nemůže. Musíme proto najít větší obor čísel, ve kterém už řešení existovat bude. K reálným číslům nejprve přidáme nové číslo i, tzv. imaginární jednotku a zkusíme dodefinovat sčítání a násobení tak, abychom i nadále zajistili obvyklé chování čísel, jak je shrnuto v odstavci 1.1. Jistě musíme umět nové číslo i násobit reálnými čísly a výsledky sčítat s jakýmikoliv reálnými čísly. Nutně proto musíme v novém číselném oboru komplexních čísel C pracovat s formálními výrazy z = a + i b. Aby byly splněny vlatnosti asociativity a distributivity, zavedeme sčítání tak, že se nezávisle sčítají reálné složky a imaginární složky. Stejně tak chceme násobení tak, jak by se násobily dvojčleny reálných čísel s jediným dodatečným pravidlem i2 = — 1, tj. (a + i b) + (c + i d) = {a + c) + i (b + d), (a + i b) ■ (c + i d) = (ac — bd) + i (bc + ad). □ Reálnému číslu a říkáme reálná složka komplexního čila z, reálnému číslu b pak imaginární složka komplexního čísla z, píšeme Re(z) = a, Im(z) = b. 1.4. Ověřte, že skutečně platí všechny vlastnosti (KG1-4), (01-4) a (P) skalárů z 1.1. Řešení. Nulou je číslo O + z O, jedničkou číslo 1 + i O, obě tato čísla pro jednoduchost opět píšeme jako O a 1. Všechny vlastnosti se ověří přímočarým výpočtem. □ Komplexní číslo je dáno dvojicí reálných čísel, jde tedy o bod v reálné rovině M2. 1.5. Ukažte, že vzdálenost komplexního čísla z = a +i b od počátku (značíme ji \z\) je dána výrazem zž, kde ž komplexně sdružené číslo a — i b. Řešení. Součin zž = (a2 + b2) + i (-ab + ba) = a2 + b2 je vždy reálné číslo a dává nám skutečně kvadrát vzdálenosti čísla z od počátku 0. Platí tedy \z\2 = zž- □ desetinná čísla a víme, co znamená 1.19-násobek ceny díky 19% dani z přidané hodnoty. 1.1. Vlastnosti čísel. Abychom mohli s čísly pracovat opravdu, musíme se jejich definici a vlastnostem věnovat pořádněji. V matematice se těm základním tvrzením o vlastnostech objektů, jejichž platnost předpokládáme, aniž bychom se zabývali jejich dokazovaním, říká axiomy. Vhodná volba axiomů předurčuje jak dosah z nich vycházející teorie, tak její použitelnost v matematických modelech skutečnosti. Uveďme si teď základní vlastnosti operací sčítání a násobení pro naše počty s čísly, která píšeme jako písmena a, b, c, .... Obě tyto operace fungují tak, že vezmeme dvě čísla a, b a. aplikací sčítání nebo násobení dostaneme výsledné hodnoty a + b a a ■ b. _ j Vlastnosti skalárů Vlastnosti sčítání: (KG1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechna a, b, c (KG2) a + b = b + a, pro všechna a, b (KG3) existuje 0 taková, že pro všechna a platí a + 0 = a (KG4) pro všechna a existuje b takové, že a + b = 0 Vlastnostem (KG1) - (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Jsou to po řadě asociativita, komutativita, existence neutrálního prvku (říkáme u sčítání také nulového prvku), existence inverzního prvku (říkáme u sčítání také opačného prvku k a a značíme ho —a). Vlastnosti násobení: (01) (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, b, c (02) a ■ b = b ■ a, pro všechny a, b (03) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a (04) a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c, pro všechny a, b, c. Vlastnosti (01)-(04) se postupně nazývají asociativita, komutativita, existence jednotkového prvku a distributivita sčítání vůči násobení. Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Další vlastnosti násobení: (P) pro každé a ^ O existuje b takové, že a ■ b = 1. (01) je-li a ■ b = O, potom buď a = O nebo b = 0. Vlastnost (P) se nazývá existence inverzního prvku vzhledem k násobení (tento prvek se pak značí a-1) a vlastnost (01) říká, že neexistují „dělitelé nuly". 6 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Vlastnosti těchto operací sčítání a násobení budeme soustavně využívat, aniž bychom museli přesně vědět, s jakými objekty skutečně pracujeme. Tak se dostaneme k obecným matematickým ná-strojům, je však vždy dobré mít představu o typických příkladech. Celá čísla Z jsou dobrým příkladem komutativní grupy, přirozená čísla nikoliv, protože nesplňují (KG4) (a případně neobsahují neutrální prvek, pokud někdo nulu do N nezahrnuje). Když komutativní okruh navíc splňuje i vlastnost (P), hovoříme o poli (často také o komutativním tělese). Poslední uvedená vlastnost (Ol) je automaticky splněna, pokud platí (P). Opačně to ovšem neplatí a tak říkáme, že vlastnost (Ol) je slabší než (P). Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje (Ol). Hovoříme v takovém případě o oboru integrity. Všimněme si, že množina všech nenulových prvků v poli společně s operací násobení splňuje (Ol), (02), (03), (P), a je proto také komutativní grupa. Jen se místo sčítání mluví o násobení. Jako příklad můžeme vzít všechna nenulová reálná čísla. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími (ne nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Budeme pro ně vesměs užívat malá latinská písmena ze začátku nebo konce abecedy. Všechny vlastnosti (KG1)-(KG4), (01)-(04), (P), (01) z našich úvah je třeba brát jako axiomatickou definici příslušných matematických pojmů. Pro naše potřeby bude stačit si průběžně uvědomovat, že při dalších diskusích budeme důsledně používat pouze tyto vlastnosti skalárů a že i naše výsledky proto budou platné pro všechny objekty s těmito vlastnostmi. V tomto je pravá síla matematických teorií - nejsou platné jen pro konkrétní řešený příklad. Naopak, při rozumné výstavbě mají vždy univerzální použití. Budeme se snažit tento aspekt zdůrazňovat, přestože naše ambice mohou být v rámci daného rozsahu učebnice jen velice skromné. 1.2. Existence skalárů. K tomu, aby ale skutečně bylo možné budovat matematickou teorii, je třeba ověřit, že takové objekty mohou existovat. Pro pořádek si proto budeme postupně ukazovat, jak je možné zkonstruovat základní číselné obory. Pro konstrukci přirozených čísel začneme s předpokladem, že víme, co jsou to množiny. Prázdnou množinu si označíme 0 a definujeme (1.1) neboli O := 0, n + í:=nU{n} 1.6. Poznámka. Vzdálenost \z\ nazýváme též absolutní hodnotou komplexního čísla z. 1.7. Goniometrický tvar komplexního čísla. Nejprve uvažme komplexní čísla tvaru z = cos cp + i sin cp, kde cp je reálný parametr udávající úhel mezi reálnou přímkou a spojnicí z s počátkem (měřený v kladném smyslu). Tato čísla popisují právě všechny body na jednotkové kružnici v komplexní rovině. Každé nenulové číslo z pak lze právě jedním způsobem napsat jako z = |z|(cos

/T3- Je tedy cp = arcsin(3/yi3) = arccos(2/Vl3) = 53, 3°. Celkem Zl + i cos arccos + i sin í arcsin '13// V W13, Převod komplexního čísla z goniometrického do algebraického je ještě jednodušší: Z2 3 373 - + i--. 2 2 O:=0, 1 }, 2 := {O, 1}, ...,n + 1 := {O, 1, ...,n] □ 7 A. ČÍSLA A FUNKCE 1. ČÍSLA A FUNKCE 1.10. Vyjádřete z = cos 0 + cos f + i sin f v goniometrickém tvaru. Řešení. Pro vyjádření čísla z v goniometrickém tvaru, potřebujeme zjistit jeho absolutní hodnotu a argument. Nejprve určeme absolutní hodnotu: |z| = y(cosO + cosf)2 + sin2^ = y(l + i)2+(^)2 = 73. Nyní pro argument (p platí: cos

/3) ^28 - 84/73 1 +------= 1,247, 6 3 9 B. KOMBINATORIKA 2. KOMBINATORICKÉ VELIČINY obdobně pro ostatní dva kořeny (přibližně —0, 445 a —1, 802). Jak jsme předeslali, vidíme, že i když se ve vzorcích pro kořeny vyskytují komplexní čísla, tak výsledek je reálný. □ 6. Kombinatorika V této kapitole si budeme hrát s přirozenými čísly, která budou popisovat různé nedělitelné předměty nacházející se v našem životním prostoru a budeme se zabývat tím, jak spočítat počet jejich uspořádání, přeuspořádání, výběrů a tak podobně. Ve velké většině takovýchto problémů lze vystačit se „selským rozumem". Stačí vhodně používat pravidel součtu a součinu, která si ukážeme na následujících příkladech: 1.15. Maminka chce Jeníkovi a Mařence rozdělit pět hrušek a šest jablek. Kolika způsoby to může udělat? (Hrušky mezi sebou považujeme za nerozlišitelné, stejně tak jablka. Připouštíme, že některé z dětí nic nedostane.) Řešení. Pět hrušek samostatně může maminka rozdělit šesti způsoby. (Rozdělení je určeno tím, kolik hrušek dá Jeníkovi, zbytek připadne Mařence.) Šest jablek pak nezávisle sedmi způsoby. Podle pravidla součinu pak obě ovoce současně může rozdělit 6 • 7 = 42 způsoby. □ 1.16. Určete počet čtyřciferných čísel, která začínají cifrou 1 a nekončí cifrou 2, nebo končí cifrou 2 a nezačínají cifrou 1. Řešení. Množina uvažovaných čísel je složená ze dvou disjunktních množin, totiž čísel, která začínají cifrou 1 a nekončí cifrou 2 (první množina) a čísel, která nezačínají cifrou 1 a končí cifrou 2. Celkový počet popsaných čísel dostaneme podle pravidla součtu tak, že sečteme počty čísel v těchto dvou množinách. V první z těchto množin máme čísla tvaru „1XXY", kde X je libovolná cifra a F je libovolná číslice mimo dvojky. Můžeme tedy provést deset voleb druhé cifry, nezávisle na tom můžeme provést deset voleb třetí cifry a opět nezávisle devět voleb poslední cifry. Tyto tři nezávislé volby jednoznačně určují dané číslo a podle pravidla součinu máme tedy 10 • 10-9 = 900 takových čísel. Obdobně ve druhé skupině máme 8 • 10 • 10 = 800 čísel (na první cifru máme pouze osm možností, neboť číslo nemůže začínat nulou a jedničku máme zakázánu). Celkem podle pravidla součtu je 900 + 800 = 1700 uvažovaných čísel. □ 1.17. Určete počet způsobů, jak lze na šachovnici (8x8 polí) postavit bílou a černou věž tak, aby se neohrožovaly (nebyly ve stejném řádku ani sloupci). korektní definice pojmu či operace neznamená, že úkony s nimi spojené jsou efektivně vykonavatelné. Právě k tomu budeme postupně rozvíjet celé teorie, abychom praktické nástroje získávali. Co se týče přirozených čísel, od školky je umíme sčítat zpaměti a rychle (pokud jsou malá), pro větší známe ze základní školy algoritmus písemného sčítání a s velkými si poradí počítače (pokud nejsou příliš velká). 2. Kombinatorické veličiny Typickým „kombinatorickým" problémem je napočítat, kolika různými způsoby se může něco stát. Např. kolika způsoby lze vybrat v samoobsluze dva různé sendviče z dané nabídky? Myslíme si přitom, že jsou všechny sendviče v regálu po dvou různé nebo rozlišujeme jen různé typy sendvičů? Připouštíme pak, že si také můžeme vzít dva stejné? Nepřeberně takových otázek máme u karetních a jiných her. Při řešení konrétních problémů většinou používáme buď tzv. „pravidlo součinu", když v navzájem nezávislých úkonech kombinujeme každý výsledek s každým, nebo „pravido součtu", když sčítáme počty pro různé neslučitelné možnosti. Prakticky to uvidíme v mnoha příkladech. 1.5. Permutace. Jestliže z množiny n předmětů vytváříme nějaké pořadí jejich prvků, máme pro volbu prvního prvku n možností, další je volen z n — 1 možností atd., až nám nakonec zbude jediný poslední prvek. Zjevně tedy je na dané konečné množině S s n prvky právě n! různých pořadí. Procesu uspořádávání prvků množiny S říkáme permutace prvků množiny S. Výsledkem permutace je pak vždy nějaké pořadí prvků. Jestliže si předem prvky v S očíslujeme, tj. ztotožníme si 5 s množinou S = {\, ... ,n)n přirozených čísel, pak permutace odpovídají možným pořadím čísel od jedné do n. Máme tedy příklad jednoduché matematické věty a naši předchozí diskusi je možné považovat za její důkaz: | Počet permutací | Tvrzení. Počet p (n) různých pořadí na konečné množině s n prvky je dán známou funkcí faktoriál: (1.2) p{n) = n\ 1 1.6. Kombinace a variace. Dalším jednoduchým příkladem hodnoty určené vzorcem jsou tzv. kombinační čísla, která vyjadřují, kolika způsoby lze vybrat k různých rozlišitelných předmětů z množiny n předmětů. Zjevně máme n(n - \) ■ ■ ■ (n - k + \) možných výsledků postupného výběru našich k prvků, přitom ale stejnou výslednou &-tici dostaneme v k\ různých pořadích. Pokud nám záleží i na pořadí vybrané &-tice prvků, hovoříme o variaci k—tého stupně. 10 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Jak jsme si právě ověřili, počet kombinací a variací udávají následující vzorce, které také nejsou pro výpočet moc efektivní při velikých kun, protože obsahují výrazy pro fak-toriály. I Kombinace a variace Tvrzení. Pro počet c(n,k) kombinací k-tého stupně z n prvků, kde 0 < k < n, platí (1.3) , IN (n\ n(n-\)...(n-k + \) n\ cín, k) = =- =-. \k) k(k- l)...l (n-k)\k\ Pro počet v(n,k) variací platí (1.4) v(n,k)=n(n-l)---(n-k + l) pro všechny 0 < k < n (a nula jinak). Kombinační číslo čteme „n nad k" a nazýváme ho také někdy binomickým číslem. Tento název čísla dostala od tzv. binomického rozvoje, tj. roznásobení n-té mocniny dvo-jčlenu. Počítáme-li totiž (a + b)n, bude koeficient u mocniny akb"~k pro každé 0 < k < n roven právě počtu možností, jak vybrat &-tici z n závorek v součinu (ty, kde bereme do výsledku a). Platí proto (1.5) (a+b)"=J2 k=0 a všimněme si, že pro odvození jsme potřebovali pouze distri-butivitu, komutativitu a asociativitu násobení a sčítání. Formule (1.5) proto platí v každém komutativním okruhu. Jako další jednoduchou ukázku, jak vypadá matematický důkaz si odvoďme několik jednoduchých tvrzení o kombinačních číslech. Pro zjednodušení formulací definujme = 0, kdykoliv je buď k < 0 nebo k > n. 1.7. Tvrzení. Pro všechna přirozená čísla k a n platí a) G) = L-k) (2) K) = G) + Ui) (3) ELo G) =2" (4) n=o*G)=»2"-1- Důkaz. První tvrzení je zjevné přímo z formule (1.3). Jestliže vyčíslíme pravou stranu z tvrzení (2), dostáváme + + k J \k + lj k\(n-k)\ (k + l)!(n - k - 1)! _ (k + l)n\ + (n- k)n\ (k + l)\(n-k)\ (72 + 1)! (k + l)!(n - k)\ což je ale levá strana tohoto tvrzení. Řešení. Nejprve umístíme např. bílou věž. Pro ni máme na výběr z 82 polí. Ve druhém kroku umístíme věž černou. Nyní máme „k dispozici" 7 2 polí. Podle pravidla součinu je výsledek 82 • 72 = 3 136. □ V následujících příkladech už budeme při řešení používat pojmů kombinace, permutace, variace (případně s opakováním), které jsme definovali. 1.18. Během schůze má vystoupit 8 řečníků. Stanovte počet všech pořadí, v nichž dva předem určení řečníci nevystupují ihned po sobě. Řešení. Označme si zmíněné dva řečníky jako osoby A a B. Pokud hned po vystoupení osoby A následuje vystoupení osoby B, můžeme na to nahlížet jako na projev jediného řečníka. Počet všech pořadí, v nichž vystupuje B ihned po A, je tedy roven počtu všech permutací ze sedmi prvků. Stejný je pochopitelně také počet všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po B. Neboť počet všech možných pořadí 8 řečníků je 8!, číslo 81 — 2-7! udává hledaný počet pořadí. □ 1.19. Kolik existuje přesmyček slova PROBLÉM takových, že v nich a) písmena B a R stojí vedle sebe, b) písmena B a R nestojí vedle sebe. Řešení, a) Dvojici písmen B a R můžeme považovat za jedno nedělitelné dvojpísmeno. Celkem tedy máme k dispozici šest různých písmen a šestipísmených slov složených z různých písmen je 6!. V našem případě však tento počet musíme ještě vynásobit dvěma, neboť naše dvojpísmeno může bít jak BR tak RB. Celkem dostáváme 2-6! různých přesmyček. b) 7! — 2 • 6! (doplněk části a) do počtu všech sedmipísmenných slov složených z různých písmen. □ 1.20. Kolika způsoby může sportovec umístit 10 různých pohárů do 5 polic, jestliže se na každou polici vejde všech 10 pohárů? Řešení. K pohárům přidáme 4 navzájem nerozlišitelné předměty, kupř. tužky. Počet všech různých pořadí pohárů a tužek je zřejmě 14!/4! (tužky jsou nerozlišitelné). Každé umístění pohárů do polic ovšem odpovídá právě jednomu seřazení pohárů a tužek. Stačí třeba říci, že poháry před první tužkou v pořadí dáme do první police (při zachování pořadí), poháry před druhou tužkou do druhé police atd. To znamená, že číslo 14!/4! je výsledkem. □ 1.21. Určete počet čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. 11 B. KOMBINATORIKA 2. KOMBINATORICKÉ VELIČINY Řešení. Dvě různé cifry použité na zápis můžeme vybrat (j0) způsoby, ze dvou vybraných cifer můžeme sestavit 24 — 2 různých čtyřciferných čísel (dvojku odečítáme za dvě čísla složená pouze z jedné cifry). Celkem máme (j0) (24—2) = 630 čísel. Nyní jsme ale započítali i čísla začínající nulou. Těch je (j)(23 — 1) = 63. Celkově dostáváme 630 - 63 = 567 čísel. □ 1.22. Určete počet sudých čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. Řešení. Obdobně jako v předchozím příkladu se nejprve nebudeme ohlížet na cifru nula. Dostaneme tak (j)(24 — 2) + 5 • 5(23 — 1) čísel (nejprve počítáme čísla pouze ze sudých cifer, druhý sčítanec udává počet sudých čtyřciferných čísel složených ze sudé a liché cifry). Opět musíme odečíst čísla začínající nulou, těch je (23 — 1)4 + (22 — 1)5. Hledaný počet cifer tak je 75N (24 - 2) + 5 • 5(2J - 1) - (2J - 1)4 - (2Z - 1)5 = 272. □ 1.23. Na koncertě je 730 lidí. Mají někteří z nich stejné iniciály? (Neuvažujeme háčky ani čárky) Řešení. Písmen v abecedě (včetně CH) je 27. Počet všech možných iniciálu je tedy 272 = 729. Proto aspoň 2 lidé budou mít stejné iniciály. □ 1.24. Noví hráči se sejdou v jednom volejbalovém týmu (6 lidí). Kolikrát si při seznamování (každý s každým) podají ruce? Kolikrát si hráči podají ruce se soupeřem po odehrání zápasu? Řešení. Seznamuje se každá dvojice z šesti hráčů. Počet podání rukou je teda roven kombinaci C(2, 6) = © = 15. Po zápase si každý z šesti hráčů podá ruku šestkrát (s každým z šesti soupeřů). Počet je teda dohromady 62 = 36. □ 1.25. Jak se může rozesadit pět osob v pětimístném autě, když jen dva z nich mají řidičský průkaz? Jak se může rozesadit 20 cestujících a dva řidiči v 25-místném minibuse? Řešení. Na místě řidiče máme dvě možnosti a na zbylých místech už je pořadí libovolné, tzn. pro spolujezdce 4 možnosti, pro další místo 3, pak 2 a 1. Celkově 2.4! = 48 možností. Podobně v minibuse máme dvě možnosti na místě řidiče a druhý řidič plus cestující mohou na zbylých 24 místech sedět libovolně. Nejprve vybereme místa, která budou obsazená, tj. (^J) a na těchto místech může být 21! různých pořadí. Dohromady máme 2.(^)21! = ^ možností. □ Tvrzení (3) dokážeme tzv. matematickou indukcí. Tento typ důkazu je vhodný právě pro tvrzení, která říkají, že něco má platit pro všechna přiro-U zená čísla n. Matematická indukce se skládá ze dvou kroků. V prvním se tvrzení dokáže pro n = 0 (popřípadě n = 1 nebo další hodnoty n). V druhém, tzv. indukčním, kroku předpokládáme, že tvrzení platí pro nějaké n (a všechny předešlé hodnoty), a za pomoci tohoto předpokladu dokážeme, že tvrzení platí i pro n + 1. Dohromady z toho pak vyvodíme, že tvrzení platí pro všechna přirozená n. Tvrzení (3) zjevně platí pro n = 0, protože Q = 1 = 2°. (Stejně tak je přímo vidět i pro n = 1.) Předpokládejme, že platí pro nějaké n a spočtěme příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) i (3). Dostaneme n + l e k=0 n + 1 n \ In k - 1 j + U n + l e k=0 n /x n + l , 2" +2" = 2"+1. Všimněme si, že vzorec (3) udává počet všech podmnožin rc-prvkové množiny, neboť (^) je počet všech jejích ^-prvkových podmnožin. Všimněme si také, že tvrzení (3) plyne přímo z (1.5) volbou a = b = 1. Tvrzení (4) dokážeme opět matematickou indukcí, podobně jako (3). Zjevně platí pro n = 0, čímž je hotov první krok. Indukční předoklad říká, že (4) platí pro něj aké n. Spočtěme nyní příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) a indukčního předpokladu. Dostaneme n + l e* k=0 n + 1 n + l n \ In k - 1) + \k e* k=0 n , x n+l , x e; +e<: +e<: k=0 v 7 k=0 v 7 k=0 v 2" +n2n~l +n2n~l = (n + 1)2" Tím je proveden indukční krok, a tvrzení je dokázáno pro všechna přirozená n. □ Druhá vlastnost z našeho tvrzení umožňuje sestavit všechna kombinační čísla do tzv. Pascalova trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou bezprostředně nad ním ležících sousedů: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 1 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 12 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Všimněme si, že v jednotlivých řádcích máme právě koeficienty u jednotlivých mocnin z výrazu (1.5), např. poslední uvedený řádek říká (a + by = ď + 5ďb + \0ďbl + lOťb5 + 5ab4 + b . 1.8. Výběr s opakováním. Pořadí n prvků, z nichž mezi některými nerozlišujeme, nazýváme permutace s opakovaním. Nechť je mezi n danými prvky p\ prvků prvního druhu, p2 prvků druhého druhu, ..., Pk prvků /c-tého druhu, p\ + p2 + ■ ■ ■ + Pk = n, potom počet pořadí těchto prvků s opakováním budeme značit P(pi,...,pk). Podobně jako u permutací a kombinací bez opakování, pro výběr prvního z nich máme n možností, pro další n — 1 a tak dále, až po poslední, který zbude. Přitom ale za stejná považujeme pořadí nerozlišitelných objektů. Těch je pro každou skupinku o p{ objektech právě p{!, takže zřejmě platí I Permutace s opakováním P(pi Pk) P\\--- Pk]- Volný výběr k prvků z n možností, včetně pořadí, nazýváme variace k-tého stupně s opakováním, jejich počet budeme značit V(n,k). Volný výběr v tomto případě znamená, že předpokládáme, že stále máme pro výběr stejně možností, např. díky tomu, že vybrané prvky před dalším výběrem vracíme nebo třeba házíme pořád stejnou kostkou. Zřejmě platí ' Variace s opakováním V(n,k) =nk Pokud nás výběr zajímá bez zohlednění pořadí, hovoříme o kombinacích s opakováním a pro jejich počet píšeme C(n, k). Zde se na první pohled nezdá tak jednoduché, jak výsledný počet zjistit. Důkaz následující věty je pro matematiku typický - podaří se nám nový problém převést na problém jiný, který jsme už dříve zvládli. V našem případě je to převedení na problém standardních kombinací bez opakování: ' Kombinace s opakováním Věta. Počet kombinací s opakováním k-té třídy z n prvků je pro všechny k > 0 a n > 1 C(n,k) n+k-1 Důkaz. Důkaz je opřen o trik (jednoduchý, jakmile ho \. pochopíme). Uvedeme dva různé postupy. 1.26. Kolika způsoby lze do tří různých obálek rozmístit pět shodných stokorun a pět shodných tisícikorun tak, aby žádná nezůstala prázdná? Řešení. Nejdříve zjistíme všechna rozmístění bez podmínky neprázd-nosti. Těch je podle pravidla součinu (rozmísťujeme nezávisle stokoruny a tisícikoruny) C(3, 5)2 = Q2. Odečteme postupně rozmístění, kdy je právě jedna obálka prázdná, a poté kdy jsou dvě obálky prázdné. Celkem C(3, 5)2- 3(C(2, 5)2 - 2) -3 = Q 2-3(62 - 2) -3 = 336. □ 1.27. Určete počet různých vět, které vzniknou přesmyčkami v jednotlivých slovech věty „Skokan na koks" (vzniklé věty ani slova nemusejí dávat smysl). Řešení. Určíme nejprve počty přesmyček jednotlivých slov. Ze slova „skokan" dostaneme 6!/2 různých přesmyček (permutace s opakováním P(l, 1, 1, 1, 2)), obdobně ze slova „na" dvě a ze slova „koks" 4!/2. Celkem podle pravidla součinu (6!/2) • 2 • (4!/2) = 8640. □ 1.28. Kolik existuje různých přesmyček slova „krakatit" takových, že mezi písmeny „k" je právě jedno jiné písmeno. Řešení. V uvažovaných přesmyčkách je šest možností, jak umístit skupinu dvou „k". Fixujeme-li pevně místa pro dvě písmena „k", pak ostatní písmena můžeme rozmístit na zbylých šest míst libovolně, tedy P(l, 1, 2, 2) způsoby. Celkem podle pravidla součinu je hledaný počet 6 • 61 6-P(l,1,2,2) 2-2 1080. □ 1.29. Kolika způsoby můžeme do pěti různých důlků vybrat po jedné kouli, vybíráme-li ze čtyř bílých, čtyř modrých a tří červených koulí? Řešení. Nejprve řešme úlohu v případě, že bychom měli k dispozici alespoň pět koulí od každé barvy. V tomto případě se jedná o volný výběr pěti prvků ze tří možností, tedy o variace s opakováním (viz ). Máme V(3, 5) = 35. Nyní odečteme ty výběry, ve kterých se vyskytují buď pouze koule stejné barvy (takové výběry jsou tři), nebo právě čtyři koule červené (takových výběrů je 2 • 5 = 10; nejprve vybereme barvu koule, která nebude červená - dvě možnosti - a poté důlek, ve kterém bude - pět možností). Celkem tedy máme 35 - 3 - 10 = 230 možných výběrů. □ C. DIFERENČNÍ ROVNICE 3. DIFERENČNÍ ROVNICE 1.30. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní, že žádné dva z trojice týmů Zbrojovka Brno, Baník Ostrava a Sigma Olomouc spolu v tabulce „nesousedí"?(Ligu hraje 16 mužstev.) Řešení. První způsob. Hledaný počet spočítáme podle principu in-kluze a exkluze tak, že od počtu všech možných tabulek odečteme počet tabulek, ve kterých sousedí některá dvojice z uvedených tří týmů a přičteme počet těch tabulek, ve kterých sousedí všechny tři týmy. Hledaný počet tedy je '3N 16! 2! • 15! + 3! • 14! = 13599813427200. Jiné řešení. Zmíněné tři týmy budeme považovat za „oddělovače". Zbylých třináct týmů musíme rozdělit tak, aby mezi libovolnými dvěma oddělovači byl alespoň jeden tým. Navíc zbylé týmy můžeme mezi sebou nezávisle permutovat a rovněžtak oddělovače. Celkem tedy dostáváme '14^ • 13! • 3! = 13599813427200 možností. □ 1.31. Pro libovolné pevné n e N určete počet všech řešení rovnice x\ + x2 H-----h xk = n v množině nezáporných, kladných celých čísel. Řešení. Každé řešení (ri, ..., rk), X!/=i ri = n můžeme jednoznačně zašifrovat jako posloupnost jedniček a nul, ve které napíšeme nejprve r\ jedniček, pak nulu, pak r2 jedniček, nulu a tak dále. Posloupnost bude celkem obsahovat n jedniček a k — 1 nul. Každá taková posloupnost navíc zřejmě určuje nějaké řešení dané rovnice. Je tedy řešení tolik, kolik je posloupností, tedy □ C. Diferenční rovnice Diferenční rovnice (jinak řečeno též rekurentní vztahy) jsou vztahy mezi členy nějaké posloupnosti, přičemž následující člen je dán pomocí členů předchozích. Vyřešit diferenční rovnici pak znamená najít explicitní vzorec pro n-tý (libovolný) člen dané posloupnosti. Rekurentní vztah nám totiž po zadání několika prvních členů posloupnosti zadává n-tý člen přímo pouze pomocí postupného vyčíslení všech předchozích členů. Pokud je následující člen posloupnosti určen pouze předchozím členem, hovoříme o diferenčních rovnicích prvního řádu. S nimi se Představme si nejprve, že taháme postupně karty z balíku n různých karet a abychom mohli případně některou z nich vytáhnout vícekrát, přidáme si k balíku ještě k — 1 různých žolíků (alespoň jednou určitě chceme jednu z původních karet). Řekněme, že postupně vytáhneme r původních karet a s žolíků, tj. r + s = k. Zdá se, že bychom měli vymyslet postup, jak z těch s žolíků poznat, které karty nám zastupují. Ve skutečnosti nám ale stačí diskuse počtů možností takových voleb. K tomu můžeme použít matematickou indukci a předpokládat, že dokazovaná věta platí pro menší argumenty než jsou nuk. Skutečně, potřebujeme obsáhnout kombinace s-té třídy s opakováním z pouze r původních karet, což dává (r+k~r~1) = c71)' c°ž Je právě počet kombinací 5-tého stupně (bez opakování) ze všech žolíků. Tím je věta dokázána. Druhý přístup (bez matematické indukce): Na množině S = {ai, a„}, ze které vybíráme kombinace, si zafixujeme uvedené pořadí prvků a pro naše volby prvků z 5 si připravíme n přihrádek, do kterých si již předem dáme v námi zvoleném pořadí po právě jednom prvku z S. Jednotlivé volby xt e S přidáváme do přihrádky, která již tento prvek obsahuje. Nyní si uvědomme, že pro rozpoznání původní kombinace nám stačí vědět, kolik je prvků v jednotlivých přihrádkách. Například, a I bbb I cc I d ******* vypovídá o volbě b, b, c z množiny S = {a, b, c, d}. V obecném případě výběru k prvků z n možných tedy máme řetězec n + k znaků a počet C(n, k) je roven počtu možných umístění přihrádek | mezi jednotlivé znaky. To odpovídá výběru n — 1 pozic z n + k — 1 možných. Protože je 'n+k-l\ í n+k-í \ (n+k-ť k )~\n+k-l-k)~ \ n-1 je věta dokázána i podruhé. □ 3. Diferenční rovnice V předchozích odstavcích jsme viděli vzorce, které zadávaly hodnotu skalární funkce definované na přirozených číslech (faktoriál) nebo dvojicích čísel (binomická čísla) pomocí předcházejících hodnot. Zatímco v odstavci 1.5 jsou kombinační čísla definována přímo spočítatelným výrazem, lze rozumět vztahům v 1.8 také tak, že místo hodnoty naší funkce zadáváme její změnu při odpovídající změně nezávislé proměnné. Takto se skutečně velice často postupuje při matematické formulaci modelů, které popisují reálné sys-v-^i>// témy v ekonomice, biologii apod. My si tu povšimneme jen několika jednoduchých případů a budeme se k této tématice postupně vracet. 14 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.9. Lineární diferenční rovnice prvního řádu. Obecnou diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme výraz f (n + 1) = F (n, f (n)), kde F je známá skalární funkce závislá na dvojicích přirozených čísel. Známe-li „počáteční" hodnotu /(O), můžeme spočítat /(l) = F(0, /(O)), poté f (2) = F(\, /(l)) atd. Tímto postupným způsobem můžeme tedy nakonec spočítat hodnotu f (jí) pro libovolné n e N. Všimněme si, že tato úvaha je podobná konstrukci přirozených čísel z prázdné množiny nebo principu matematické indukce. Jako příklad může sloužit definiční formule pro faktoriál, tj- (n + 1)! = (n + 1) -n\ Vidíme, že skutečně vztah pro f(n + \) závisí na n i na hodnotě f (jí). Dalším obzvlášť jednoduchým příkladem je f (jí) = C pro nějaký pevný skalár C a všechna n a tzv. lineární diferenční rovnice (1.6) f(n + í) = a ■ f(n) + b, kde a ^ 0, a b jsou známé skaláry. Takovou diferenční rovnici umíme snadno řešit, je-li b = 0. Pak se totiž jedná o dobře známou rekurentní definici geometrické posloupnosti a platí f(\) = af(0), f(2)=af(\)=a2f(0) atd. Máme tedy pro všechna n f (n) = anf(0). To je např. vztah pro tzv. Malthusiánský model populačního růstu, který vychází z představy, že za zvolený časový interval vzroste populace s konstantní úměrou a vůči předchozímu stavu. Dokážeme si obecný výsledek pro rovnice prvního řádu, které se podobají lineárním, ale připouští proměnné koeficienty a a b, (1.7) f(n + 1) =a„- f(n) +bn. Nejdříve se ale zamysleme, co mohou takové rovnice popisovat. Lineární diferenční rovnici (1.6) můžeme pěkně interpretovat jako matematický model pro spoření nebo splácení úvěru s pevnou úrokovou mírou a a pevnou splátkou b (tyto dva případy se liší pouze znaménkem u parametru b). S proměnnými parametry dostáváme obdobný model, ovšem s proměnlivými j ak úroky, tak splátkami. Můžeme si představit třeba n jako počet měsíců, L. vfe" an bude vyjadřovat úrokovou míru v měsíci n, - b„ příslušnou splátku v měsíci n. můžeme v životě opravdu setkat, například, pokud si chceme zjistit dobu splácení nějaké půjčky při pevné měsíční splátce, nebo naopak chceme zjistit výši měsíční splátky, zadáme-li si dobu, za kterou chceme půjčku splatit. 1.32. Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? Řešení. Označme S Mirkovu měsíční splátku. Předpokládejme, že při „koupi" auta Mirek zaplatí jednu měsíční splátku a pak po měsíci vždy další. Částku, kterou bude Mirek dlužit po uplynutí k měsíců označme dk. Cenu auta označme C a měsíční úrok u (je tedy u = ^jy)- Po prvním měsíci bude Mirek dlužit di = C — S + u (C — S). (Na počátku Mirek splatí jednu splátku, zbytek dluhu se pak úročí). Obecně po uplynutí &-tého měsíce dluží Mirek (1.1) dk = 4_i - S + «4-1- Podle vztahu (1.9) je dk dáno následovně -* 1\ .. í(l+u)k+l (1 +ufC q-l Splacení po třech letech se rovná podmínce d36 váme (i + uý6u 0, odkud dostá- (1.2) C (1 + m)37 - 1 8857. □ Všimněme si, že rekurentní vztah (1.1) můžeme použít na náš příklad pouze tak dlouho, dokud budou všechna y(n) kladná, tj. dokud bude Mirek skutečně něco dlužit. 1.33. Uvažujme situaci z předchozího příkladu. Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby chtěl měsíčně splácet 5000 Kč? Řešení. Při označení q = 1, 005, C = 300000 nám podmínka dk = 0 dává vztah Cu — S jehož logaritmováním obdržíme ln S - ln(5 - Cu) k =- mg 15 C. DIFERENČNÍ ROVNICE 3. DIFERENČNÍ ROVNICE což pro S = 5000 dává přibližně £ = 71,5, tedy splácení půjčky by trvalo 72 měsíců, tj. šest let (poslední splátka by nebyla plných 5 000 Kč). □ 1.34. Určete posloupnost {yn}%Li, která vyhovuje následujícímu rekurentnímu vztahu y„+i = — + 1, n > 1, yi = 1. Lineární rekurentní vtahy se mohou vyskytnout například v geometrických problémech: 1.35. Na kolik nejvýše oblastí může dělit rovinu n přímek? Řešení. Označme hledaný počet oblastí pn. Pokud v rovině nemáme dánu žádnou přímku, je celá rovina jedinou oblastí, je tedy p0 = 1. Pokud je v rovině dáno n přímek, tak přidáním n + 1 přibude nejvýše (n + 1) oblastí: oblastí přibude právě tolik, kolika (původními) oblastmi bude přímka procházet (každou takovou oblast rozdělí na dvě části, jedna oblast tedy přibude). Přidaná přímka může mít nejvýše n různých průsečíků s n přímkami, které už v rovnině byly. Část přímky mezi libovolnými dvěma sousedními průsečíky prochází právě jednou oblastí, celkem může přidaná přímka procházet nejvýše n+1 oblastmi, tedy může přibýt maximálně n + 1 oblastí, navíc v rovině bylo před přidáním (n + 1)-ní přímky nejvýše pn oblastí (tak j sme číslo pn totiž definovali). Celkem dostáváme rekurentní vztah pn+i = pn+(n + 1), Neděste se zdánlivě složitého sčítání a násobení v následujícím výsledku. Jde o typický příklad technického matematického tvrzení, kdy těžké je „uhodnout", jak zní. Naopak důkaz je už pak jen docela snadné cvičení na základní vlastnosti skalárů a matematickou indukci. Skutečně zajímavé jsou teprve důsledky, viz 1.11 níže. Ve formulaci používáme vedle obvyklých znaků pro součet také obdobné znaky pro součin ]~[. V dalším budeme vždy používat také konvenci, že pokud u součtu je množina uvedených indexů prázdná, pak je součet nula, zatímco u součinu je ve stejném případě výsledek jedna. 1.10. Tvrzení. Obecné řešení diferenční rovnice (1.7) prvního řádu s počáteční podmínkou f(0) = y q je dáno vztahem /n-l n—2 / n — l (1.8) f(n) \i=0 / j=0 \i=j+l Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Zjevně tvrzení platí pro n = 1, kdy se jedná právě o definiční vztah /(l) = a0y0 + b0. Předpokládáme-li, že tvrzení platí pro nějaké pevně zvolené n, můžeme snadno spočíst: /n-l n—2 I n—l f(n + 1) = an I í Y\ a, \ yo + XI I Yi Qi bJ + b"~ \\i=o I j=o \i=j+l ) + K (n \ n—l / n \ n^po+j2 \ n ai)bJ+b«> i=0 I 7=0 \i=j+l ) jak se přímo vidí roznásobením výrazů. □ Opět si všimněme, že jsme pro důkaz nepotřebovali o použitých skalárech nic víc než vlastnosti komutativního okruhu. 1.11. Důsledek. Obecné řešení lineární diferenční rovnice (1.6) s a ^ 1 a počáteční podmínkou f(0) = y$je (1.9) 1 - a" f(n) = a"y0 +--b. 1 — a Důkaz. Dosazením konstantních hodnot za at a bt do obecného vzorce (1.8) dostáváme f(n)=any{)+b(l+Yjan-j-l\ Pro vyčíslení součtu součinů v druhém sčítanci si je třeba všimnout, že se jedná o výrazy (1 + a + • • • + a"~l)b. Součet této geometrické řady spočteme ze vztahu 1 — a" = (1 — a)(\ +« + ••• + a"~l) a dostaneme právě požadovaný výsledek. □ 16 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA tady to asi není šikovné — příklady na zbytkové třídy snad budou v druhém sloupci už dříve, nejlépe by bylo i z tohoto udělat příklad a odtud to přesunout (nebo úplně vypustit) Všimněme si, že pro výpočet součtu geometrické řady jsme potřebovali existenci inverze pro nenulové skaláry. To bychom nad celými čísly neuměli. Poslední výsledek tedy platí pro pole skalárů a můžeme jej bez problému použít pro lineární diferenční rovnice, kde koeficienty a, b a počáteční podmínka /(O) = y q jsou racionální, reálné nebo komplexní, ale také nad okruhem zbytkových tříd 1,k s prvočíselným k (zbytkové třídy budeme definovat v odstavci 1.41). Pozoruhodné je, že ve skutečnosti vzorec (1.9) platí i s celočíselnými koeficienty a počáteční podmínkou. Pak totiž předem víme, že všechny f (jí) budou také celočíselné, a celá čísla jsou podmnožinou v číslech racionálních. Musí proto nutně náš vzorec dávat ta správná celočíselná řešení. Při pozornějším pohledu na důkaz je zřejmé, žel —a" je vždy dělitelné 1 — a, takže nás poslední pozorování nemělo překvapit. Nicméně je vidět, že třeba nad skaláry ze Z4 a třeba a = 3 už neuspějeme, protože pak 1 — a = 2 je dělitelem nuly. 1.12. Nelineární příklad. Vraťme se na chvíli k rovnici prvního řádu (1.6), kterou jsme použili na velice primitivní model populačního růstu závisející přímo úměrně na okamžité velikosti populace p. Na první pohled je zřejmé, že takový model vede při úměře a > 1 k příliš rychlému a hlavně neomezenému růstu. Realističtější model bude mít takto úměrnou změnu populace Ap(n) = p(n + 1) — p(n) jen při malých hodnotách p, tj. Ap/p ~ r > 0. Pokud tedy budeme chtít nechat růst populaci o 5% za období při malém p, budeme r volit 0, 05. Při určité limitní hodnotě p = K > 0 ale naopak už populace neroste a při ještě větších už klesá (třeba protože zdroje pro její obživu jsou omezené, jedinci ve veliké populaci si navzájem překáží apod.). Předpokládejme, že právě hodnoty yn = Ap(n)/p(n) se v závislosti na p(n) mění lineárně. Graficky si tedy tuto závislost můžeme představit jako přímku v rovině proměnných p a y, která prochází body [0, r] (tj. při p = 0 máme y = r) a [K, 0] (což dává druhou podmínku, že při p = K se populace nemění). Položíme proto r y = -—p + r. Dosazením yn za y a p (n) za p dostáváme p(n + 1) - p(n) ze kterého získáme explicitní formuli pro pn buď pomocí vzorce 1.10 nebo přímo: p(n) K p (n) + r, tj. roznásobením dostáváme diferenční rovnici prvního řádu (kde hodnota p(n) vystupuje v první i v druhé mocnině) (1.10) p(n + l) = p(n)(\- ^p(n)+r). K i = \ pn = pn-i + n = pn_2 + (n-l)+n = pn-3 + (n - 2) + (n - 1) + n = n (n + 1) n2 + n + 2 + 2 = 2 □ Rekurentní vztahy mohou mít i složitější podobu než je rekurze prvního řádu. Uveďme si příklady kombinatorických úloh, při jejichž řešení se můžeme rekurze s výhodou využít. 1.36. Kolik existuje slov délky 12 složených pouze z písmen A a B, které neobsahují skupinu BBB7 Řešení. Nechť an značí počet slov délky n složených pouze z písmen A, B, neobsahujících skupinu BBB. Pak pro an (n > 3) platí rekurentní vztah neboť slova délky n splňující danou podmínku musí končit buď na A, nebo na AB, nebo na ABB. Slov končících na A je právě a„_i (před posledním A může být libovolné slovo délky n — 1 splňující danou podmínku. Obdobně pro zbylé dvě skupiny. Dále snadno vyčíslíme «1=2, a2 = 4, a3 =7. Postupným dopočítáním a12 = 1705. Též bychom mohli odvodit explicitní vzorec pro n-tý člen takto zadané posloupnosti, dle uvedené teorie. Charakteristický polynom dané rekurentní rovnice je x3 —x2 — x — 1 s jedním reálným a dalšími dvěma komplexními kořeny, které můžeme vyjádřit pomocí vztahů (1.13). □ 1.37. Skóre basketbalového utkání mezi týmy Česka a Ruska vy-šnělo po první čtvtině 12 : 9 pro ruský tým. Kolika způsoby se mohlo vyvíjet skóre? Řešení. Označíme-li P{k,i) počet způsobů, kterými se mohlo vyvíjet skóre basketbalového utkání, které skončilo k : l, tak pro k,l > 3 platí rekurentní vztah: (k,l) P(k-3,l) + P(k-2,l) + P(k-\,l) + P(k,l-\) + (Způsoby, kterými se mohlo vyvíjet utkání s vyslediým skóre k : l rozdělíme na šest po dvou disjunktních podmnožin podle toho, které 17 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST družstvo vstřelilo koš a za kolik bodů (1, 2, či 3).) Ze symetrie úlohy zřejmě platí P(k,i) = P(i,k)- Dále pro k > 3 platí: P(k,2) = P(k-3,2) + P(k-2,2) + P(k-1,2) + P(k,l) + P(k,0), P(k,l) = P(k-3,l) + P(k-2,l) + P(k-l,l) + P(k,0), P(k,0) = P(k-3,0) + P(k-2,0) + ^(i-1,0). což spolu s počátečními podmínkami f(0,o) = l,P(i,o) = ^(3,0) = 4, -P(l,l) = 2, -P(2,l) = ^"(1,1) + P(0,l) + ^(2,0) ^(0,2) + ^(i,2) + ^(2,1) + ^(2,0) = 14, dává p(l29) = 497178513. 1> -f(2,0) — 2, = 5, P(2,2) = □ Poznámka. Vidíme, že rekurentní vztah v tomto příkladu má složitější formu, než kterou jsme se zabývali v teorii a tudíž neumíme vyčíslit libovolné číslo P(k,i) explicitně, nýbrž pouze postupným výpočtem od počátečních členů. Takové rovnice nazýváme parciální diferenční rovnice, protože členy posloupnosti jsou značeny dvěma nezávislými proměnnými (k, ľ). O lineárních rekurentních formulích (diferenčních rovnicích) vyšších řádů s konstantími koeficienty si povíme více v kapitole 3. D. Pravděpodobnost Uveďme si několik jednoduchých příkladů na klasickou pravděpodobnost, kdy zkoumáme nějaký pokus, který má konečně mnoho možných výsledků („všechny případy") a nás zajímá, kdy výsledek pokusu bude náležet nějaké podmnožině možných výsledků („příznivé případy"). Hledaná pravděpodobnost je pak rovna poměru počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Klasickou pravděpodobnost můžeme použít tam, kde předpokládáme (víme), že každý z možných výsledků má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane (například při hodech kostkou). 1.38. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šestibokou kostkou padne číslo větší než 4? Řešení. Všech možných výsledků je šest (tvoří množinu {1,2,3,4,5,6}), příznivé možnosti jsou dvě ({5,6}). Hledaná pravděpodobnost je tedy 2/6 = 1/3. □ 1.39. Ze skupiny osmi mužů a čtyř žen náhodně vybereme skupinu pěti lidí. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň tři ženy? Řešení. Pravděpodobnost spočítáme jako podíl počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Příznivé případy rozdělíme podle toho, kolik je v náhodně vybrané skupině mužů: mohou v ní být buď dva, Zkuste si promyslet nebo vyzkoušet chování tohoto modelu pro různé hodnoty r a K. Na obrázku je průběh hodnot pro parametry r = 0, 05 (tj. pě-•4^Lz^_ tiprocentní nárůst v ideálním stavu), K = 100 (tj. zdroje limitují hodnotu na 100 jedinců) a p(0) jsou dva jedinci. HbjnbÁihÍM/'iuoí r to í" 50 po 1So Zoo Všimněme si, že počáteční přibližně exponenciální růst se skutečně později zlomí a hodnota se postupně blíží kýženému limitu 100 jedinců. Pro p blízké jedné a K daleko větší než r bude pravá strana rovnice (1.10) přibližně p(n)(\ +r), tzn. chování je obdobné Malthusiánskému modelu. Naopak při p přibližně K bude pravá strana přibližně p(n). Pro větší počáteční hodnoty p než K budou hodnoty klesat, pro menší než K růst, takže systém bude zpravidla postupně oscilovat kolem hodnoty K. 4. Pravděpodobnost Teď se podíváme na jiný obvyklý případ skalárních K> . hodnot funkcí - sledované hodnoty často nejsou známy ani explicitně vzorcem, ani implicitně nějakým popisem. Jsou ■((Jl'ľ'f výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. 1.13. Co je pravděpodobnost? Jako jednoduchý příklad může sloužit obvyklé házení kostkou se šesti stěnami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pokud popisujeme matematický model takového házení „poctivou" kostkou, budeme očekávat a tudíž i předepisovat, že každá ze stran padá stejně často. Slovy to vyjadřujeme „každá předem vybraná stěna padne s pravděpodobností Pokud ale si třeba sami nožíkem vyrobíme takovou kostku z kusu dřeva, je jisté, že skutečné relativní četnosti výsledků nebudou stejné. Pak můžeme z velikého počtu pokusů usoudit na relativní četnosti jednotlivých výsledků hodů a tyto ustanovit jako pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Nicméně při sebevětším počtu pokusů nemůžeme vyloučit možnost, že se náhodou povedla velice nepravděpodobná kombinace výsledků a že jsme proto náš matematický model skutečnosti pro naši kostku nevybrali dobře. 18 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA V dalším budeme pracovat s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti v nejjednoduším přiblížení. To, do jaké míry je takový popis adekvátni pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku. To ale neznamená, že by se takovým přemýšlením neměli zabývat matematikové (nejspíše ve spolupráci s jinými experty). Později se vrátíme k pravděpodobnosti coby teorii popisující chování nahodilých procesů nebo i plně determinovaných dějů, kde ovšem neznáme přesně všechny určující parametry. Matematická statistika pak umožňuje posuzovat, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou, resp. umožňuje určit parametry modelu tak, aby docházelo k co nejlepší shodě s pozorováním a zároveň umí odhadnout míru spolehlivosti zvoleného modelu. K matematické pravděpodobnosti i statistice ovšem budeme potřebovat dosti rozsáhlý matematický aparát, který budeme mezitím několik semestrů budovat. Na příkladu naší neumělé kostky si to můžeme představit tak, že v teorii pravděpodobnosti budeme pracovat s parametry pí pro pravděpodobnost jednotlivých hodnot stran a budeme požadovat pouze aby všechny tyto pravděpodobnosti byly nezáporné a jejich součet byl Pl + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1. Při volbě konkrétních hodnot pí pro konkrétní kostku pak v matematické statistice budeme schopni odhadnout s jakou spolehlivostí tento model naší kostce odpovídá. Naším skromným cílem je teď pouze naznačit, jak abstraktně zachytit pravděpodobnostní úvahy ve formalizovaných matematických objektech. Následující odstavce tak budou ve své podstatě ■i— pouhými cvičeními v jednoduchých operacích nad množinami a jednoduché kombinatorice (tj. výpočtech počtu možností, jak mohou být splněny dané podmínky kladené na konečné množiny prvků). 1.14. Náhodné jevy. Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Q všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Q konečná množina s prvky a>\, ..., a>„, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina Acíí představuje možný jev. Systém podmnožin A základního prostoru se nazývá jevové pole, jestliže • Q e A (tj. základní prostor, je jevem), • je-li A, B e A, pak A \ B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl), • jsou-li A, B e A, pak AU B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení). nebo jeden muž. Skupinek o pěti lidech s jedním mužem je osm (záleží pouze na výběru muže, ženy v ní musí být všechny), skupinek se dvěma muži je potom c(8, 2) • c(4, 3) = (!|) • (3) (vybereme dva muže z osmi a nezávisle na tom tři ženy ze čtyř, tyto dva výběry můžeme nezávisle kombinovat a podle pravidla součinu dostáváme uvedený počet skupin). Všech možných skupin o pěti lidech pak můžeme se-5 j. Hledaná pravděpodobnost je tedy 8 + Ô© (5) □ Uveďme si příklad, při jehož řešení není vhodné používat klasické pravděpodobnosti: 1.40. Jaká je pravděpodobnost toho, že čtenář této úlohy vyhraje příští týden alespoň milión dolarů v loterii? Řešení. Takováto formulace úlohy je neúplná, neposkytuje dostatek údajů. Předveďme „chybné" řešení Základní prostor všech možný jevů je dvouprvkový: buď vyhraje nebo nevyhraje. Příznivý jev je jeden (vyhraje), hledaná pravděpodobnost je tedy 1 /2 (a to je zjevně špatná odpověď). □ Poznámka. V předchozím příkladě je porušena základní podmínka použití klasické pravděpodobnosti, totiž to, že každý z elementárních jevů má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane. 1.41. Do řady v kině o 2n místech je náhodně rozmístěno n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? Řešení. Všech možných rozmístění lidí v řadě je (2n)\, rozmístění splňujících podmínky je 2(n\)2: máme dvě možnosti výběru pozice mužů, tedy i žen - buď všichni muži budou sedět na lichých místech (a tedy ženy na sudých), nebo všchni muži na sudých (a tedy ženy na lichých místech); na nich jsou pak muži i ženy rozmístěny libovolně. Výsledná pravděpodobnost je tedy 2(n\)2 p(n) = ——, p{2) = 0, 33, p(5) = 0, 0079, p(8) = 0, 00016. (2n)\ □ 1.42. Do výtahu osmipatrové budovy nastoupilo 5 osob. Každá z nich vystoupí se stejnou pravděpodobností v libovolném poschodí. Jaká je pravděpodobnost, že vystoupí i) všichni v šestém poschodí, ii) všichni ve stejném poschodí, iii) každý v jiném poschodí? 19 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST Řešení. Základní prostor všech možných jevů je prostor všech možných způsobů vystoupení 5 osob z výtahu. Těch je 85. V prvním případě je jediná příznivá možnost vystoupení, hledaná pravděpodobnost je tedy ^, ve druhém případě máme osm možností, hledaná pravděpodobnost je tedy ^ a konečně ve třetím je počet příznivých případů dán pětiprvkovou variací z osmi prvků (z osmi pater vybíráme pět, ve kterých se vystoupí a dále kteří lidé vystoupí ve vybraných poschodích), celkem je hledaná pravděpodobnost ve třetím případě rovna (viz 1.6 a 1.8) v(5, 8) V(5, 8) = 0, 2050781250. □ 1.43. Náhodně vybereme celé kladné číslo menší než 105. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0, 1,5a zároveň bude dělitelné číslem 5? Řešení. Čísel spňujích danou podmínku je 2 • 34 — 1 (kromě poslední cifry máme na každý řád na výběr ze tří cifer, případné číslice 0 na začátku slova nepíšeme. Všech celých kladných čísel menších než 105 je 105 — 1, podle klasické pravděpodobnosti dostáváme, že hledaná n o 4_ 1 pravděpodobnost je ■ □ 1.44. Ze sáčku s pěti bílými a pěti červenými koulemi náhodně vytáhneme tři (koule do sáčku nevracíme). Jaká je pravděpodobnost, že dvě budou bílé a jedna červená? Řešení. Rozdělme uvažovaný jev na sjednocení tří disjunktních jevů: podle toho, kolikátou vytáhneme červenou kouli. Pravděpodobnosti, že vytáhneme koule přesně ve zvoleném pořadí jsou: j'f'f'í'f'S' \. f • \. Celkem^. Jiné řešení. Uvažme počet všech možných trojic vytažených koulí (koule jsou mezi sebou rozlišitelné), tedy (g0). Trojic, které obsahují právě dvě bílé koule je potom Q • (j) (dvě bílé koule můžeme vytáhnout (j) způsoby, k nim pak červenou pěti způsoby). □ 1.45. Z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých koulí, náhodně vytahujeme koule (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, že pátá vytažená koule bude černá? Řešení. Spočítáme dokonce obecnější úlohu. Totiž pravděpodobnost toho, že z-tá vytažená koule bude černá, je stejná pro všechna i, 1 < i < 16. Můžeme si totiž představit, že vytáhneme postupně všechny koule. Každá taková posloupnost vytažených koulí (od první vytažené 20 Zjevně je i komplement Ac = Q\A jevu A jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů je opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A,Bcí2 platí A \ (£2 \ B) = A n B. Slovy se tak dá jevové pole charakterizovat jako systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A e A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k .4). Pro naše házení kostkou je Q = {1,2, 3, 4, 5, 6} a jevové poleje tvořeno všemi podmnožinami množiny Q. Např. náhodný jev {1, 3, 5} pak interpretujeme jako „padne liché číslo". Něco málo terminologie, která by měla dále připomínat souvislosti s popisem skutečných modelů: • celý základní prostor Q se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina 0 e A se nazývá nemožný jev, • jednoprvkové podmnožiny {&>} c £2 se nazývají elementární jevy, • společné nastoupení jevů AÍ7 i e /, odpovídá jevu níe/A;-, nastoupení alespoň jednoho zjevů A;-, i e /, odpovídá jevu U;e/A;, • A, B e A jsou neslučitelné jevy, je-li A n B = 0, • jev A má za důsledek jev B, když A c B, Přestavte si příklady všech uvedených pojmů pro jevový prostor popisující házení kostkou nebo obdobně pro házení mincí! KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.15. Definice. Pravděpodobnostní prostor je trojice (Q, A, P), kde A je jevové pole podmnožin (konečného) základního prostoru Q, na kterém je definována skalární funkce P : A -» M s následujícími vlastnostmi: • P je nezáporná, tj. P (A) > 0 pro všechny jevy A, • P je aditivní, tj. P (A U B) = P (A) + f (S), kdykoliv je A, B e AaAf) B = 0, • pravděpodobnost jistého jevu je 1, tj. P (Q) = 1. Funkci f nazýváme pravděpodobností na jevovém poli A Zjevně je okamžitým důsledkem našich definic řada prostých ale užitečných tvrzení. Např. pro všechny jevy platí P(AC) = 1 - P (A). Dále můžeme matematickou indukcí snadno rozšířit aditiv-nost na jakýkoliv konečný počet vzájemně neslučitelných jevů Ai c íí, i E /, tj. P(Ui6/A/) = iel kdykoliv A;- n Aj = 0, pro všechna i ^ j, i, j e /. 1.16. Definice. Nechť Q je konečný základní prostor a ne- chť jevové pole A je právě systém všech podmnožin v £2. Klasická pravděpodobnost je pravděpodobnostní prostor (Q, A, P) s pravděpodobnostní funkcí P : A -» 1 kde | A\ značí počet prvků množiny A e A \A\ P(A) = —, IS2I Zjevně takto zadaná funkce skutečně definuje pravděpodobnost, ověřte si samostatně všechny požadované axiomy. Sčítání pravděpodobností. U neslučitelných jevů je sčítání pravděpodobností pro výskyt alespoň jednoho z nich přímo požadováno v základní definici pravděpodobnosti. Obecně je sčítání pravděpodobností pro výskyty jevů složité. Problém totiž je, že pokud jsou jevy slučitelné, částečně máme v součtu pravděpodobností započteny příznivé výskyty vícekrát. Nejjednodušší je si nejprve představit situci se dvěma slučitelnými jevy A, B. Uvažme nejprve klasickou pravděpodobnost, kde jde vlastně o počítání prvků v podmnožinách. Pravděpodobnost výskytu alespoň jednoho z nich, tj. pravděpodobnost jejich sjednocení, je dána vztahem (1.11) P (A UB) = P(A) + P(B) - P(A n B) protože ty prvky, které patří do množiny A i B, jsme nejprve započetli dvakrát a tak je musíme jednou odečíst. Tentýž výsledek dostaneme i pro obecnou pravděpodobnost P na nějakém jevovém poli. Protože A n B a A \ B jsou nezávislé jevy, P (A) = P(A \B) + P(A n B), koule po poslední), složená z pěti bílých, pěti červených a šesti černých koulí, má stejnou pravděpodobnost vytažení a pro výpočet hledané pravděpodobnosti můžeme opět použít model klasické pravděpodobnosti. Zmíněných posloupností je P(5, 5, 6) = 5]^l5] ■ Počet posloupností, kde na z-tém místě je černá koule, zbytek libovolný, je tolik, kolik je libovolých posloupností pěti bílých, pěti červených a pěti černých koulí, tedy P(5, 5, 5) = Celkem tedy je hledaná pravděpodobnost f(5,5,5) _ ^ _ 3 P(5,5,6) 161 «" 6!5!5! □ Vraťme se k házení kostkou a zkusme popsat jevy ze základního prostoru Q vznikající při házení tak dlouho, dokud nepadne šestka, ne však více než stokrát. Pro jeden hod samostatně je základním prostorem šest čísel od jedné do šesti a jde o klasickou pravděpodobnost. Pro celé série našich hodů bude základní prostor daleko větší - bude to množina konečných posloupností čísel od jedné do šestky, které buď končí šestkou, mají nejvýše 100 členů a všechna předchozí čísla jsou menší než šest, nebo jde o 100 čísel od jedné do pěti. Jevem A může být např. podmnožina „házení končí druhým pokusem". Všechny příznivé elementární jevy pak jsou [1,6], [2,6], [3,6], [4,6], [5,6]. Ze známé klasické pravděpodobnosti pro jednotlivé hody umíme odvodit pravděpodobnosti našich jevů v Q. Není to ale jistě klasická pravděpodobnost. Tak pro diskutovaný jev chceme popsat, s jakou pravděpodobností nepadne šestka při prvém hodu a zároveň padne při druhém. Vnucuje se řešení 5 1 _ 5 6 ' 6 ~ 36' protože v prvém hodu padne s pravděpodobností 1 — ^ jiné číslo než šest a druhý hod, ve kterém naopak požadujeme šestku, je zcela nezávislý na prvním. Samozřejmě toto není poměr počtu příznivých výsledků k velikosti celého stavového prostoru! Obecněji můžeme říci, že po právě 1 < k < 100 hodech pokus skončí s pravděpodobností (f)*-1 • \- Ze všech možností je tedy nej-pravděpodobnější, že skončí již napoprvé. Jiný příklad, j ak z házení kostkou dostat různě pravděpodobné jevy je pozorovat součty při hodu více kostkami. Uvažujme takto: při hodu jednou kostkou je každý výsledek stejně pravděpodobný s pravděpodobností Při hodu dvěmi kostkami je každý předem zvolený výsledek (a, b), tj. dvojice přirozených čísel od jedné do šesti (včetně P (A) 21 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST pořadí), stejně pravděpodobný s pravděpodobností ^. Pokud se budeme ptát po dvou pětkách, je tedy pravděpodobnost poloviční než u dvou různých hodnot bez uvedení pořadí. Pro jednotlivé možné součty uvedené v horním řádku nám vychází počet možností v řádku dolním: Součet 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Počet 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Podobně vyjde pravděpodobnost ^ jednotlivých výsledků hodu třemi kostkami, včetně určeného pořadí. Pokud se budeme ptát na pravděpodobnost výsledného součtu při hodu více kostkami, musíme pouze určit, kolik je možností, jak daného součtu dosáhnout a příslušné pravděpodobnosti sečíst. 1.46. Princip inkluze a exkluze. Sekretářka má rozeslat šest dopisů šesti různým lidem. Dopisy pro různé adresáty vkládá do obálek s adresami náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden člověk dostane dopis určený pro něj? Řešení. Spočítejme pravděpodobnost jevu opačného, tedy toho, že ani jeden člověk neobdrží správný dopis. Stavový prostor všech možných jevů odpovídá všem možným pořadím pěti prvků (obálek). Označíme-li jak obálky tak dopisy čísly od jedné do šesti, tak všechny příznivé jevy (tedy žádný dopis nepřijde do obálky se stejným číslem) odpovídají takovým pořadím šesti prvků, kdy i-tý prvek není na /-tém místě (/ = 1, ..., 6), tzv. pořadím bez pevného bodu. Jejich počet spočítáme pomocí principu inkluze a exkluze. Označíme-li Mt množinu permutací s pevným bodem / (permutace v Mt ale mohou mít i jiné pevné podobně pro B, ale také máme P (A UB) = P(A \B) + P(B \A) + P(A n B). Dosazením za pravděpodobnosti množinových rozdílů dostáváme opět vztah (1.11). Následující věta je přímým promítnutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší ko-m, nečné pravděpodobnosti a říká, jakým způsobem vícenásobné započítávání výsledků kompenzovat v obecném případě. Jde patrně o dobrý příklad matematického tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. Na obrázku je situace znázorněna pro tři množiny A, B, C a pro klasickou pravděpodobnost. Jednoduše šrafované oblasti v prostém součtu máme dvakrát, dvojitě šrafované třikrát. Pak ty jednoduše šrafované jednou odečteme, přitom ty dvojitě šrafované opět třikrát odečteme, proto je tam nakonec ještě jednou započteme. Obecně, díky aditivní vlastnosti pravděpodobnosti, si můžeme představit, že každý jev rozložíme na elementární (tj. jednobodové) jevy, jakkoliv ve skutečnosti nemusí jednoprvkové podmnožiny do uvažovaného jevového pole patřit. Pak je pravděpodobnost každého jevu dána součtem pravděpodobností jednotlivých elementárních jevů do něj patřících a můžeme při vyjádření pravděpodobnosti nastoupení alespoň jednoho z jevů takto: sečteme všechny pravděpodobnosti výsledků pro všechna A; zvlášť, pak ovšem musíme odečíst ty, které tam jsou započteny dvakrát (tj. prvky v průnicích dvou). Teď si ovšem dovolujeme odečíst příliš mnoho tam, kde ve skutečnosti byly prvky třikrát, tj. korigujeme přičtením pravděpodobností ze třetího členu, atd. Věta. Buďte A\, ..., A^ e A libovolné jevy na základním prostoru £2 s jevovým polem A Pak platí k k-l k p(uf=1Ať) = p(Ai) - E E P(Ai n Aj> i — l i — l j—i-\-l k-2 k-l k + E E E PiAtnAjHAt) í'=1 j=i+l t=j+\ + (-i)i-1F(A1nA2n...fi4). 22 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Důkaz. Aby se výše naznačený postup stal důkazem, je zapotřebí si ujasnit, že skutečně všechny korekce, tak jak jsou popsány, jsou skutečně s koeficienty jedna. Místo toho můžeme snáze dát dohromady formálnější důkaz matematickou indukcí přes počet k jevů, jejichž pravděpodobnosti sčítáme. Zkuste si průběžně porovnávat oba postupy, mělo by to vést k vyjasnění, co to znamená „dokázat" a co „porozumět". Pro k = 1 tvrzení zjevně platí, vztah pro k = 2 je totožný s rovností (1.11) a tu jsme pro obecné pravděpodobnostní funkce již dokázali také. Předpokládejme tedy, že věta platí pro všechny počty množin až do pevně zvoleného k > 1. Nyní můžeme pracovat v indukčním kroku se vztahem pro k + 1 jevů, když sjednocení prvních k jevů bereme jako A ve vzorci (1.11) výše, zatímco zbývající jev hraje roli B: P(uř+1Ai) = P((uř=1Ai)UAJt+1) = é(w+1 e ^n-n^)) 7=1 1<í'i < — 0, potom P(A1 n A2) = P(A2)P(A1\A2) = P(Al)P(A2\Al). Všechna tato čísla vyjadřují pravděpodobnost toho, že nastanou oba jevy A\ i A2, jenom jinými způsoby. Například v posledním případě nejprve sledujeme, zda nastane první jev. Potom za předpokladu, že ten první nastal, sledujeme zda nastane i ten druhý. Podobně, pro tři jevy A\, A2, A3 splňující P(Ai n A2 n A3) > 0, dostaneme P(Al n A2 n A3) = JP(A1)JP(A2|A1)JP(A3|A1 n A2). Slovy to lze opět popsat tak, že pravděpodobnost výskytu všech tří jevů zároveň můžeme spočítat tak, že se nejprve zabýváme výskytem pouze prvního z nich, potom druhého za předpokladu, že první už nastal a naposledy třetího za předpokladu, že oba předešlé jevy již nastaly. Máme-li obecný počet k jevů A\, ..., Ak splňujících P(A\ n • • • n Ak) > 0, pak věta říká následující: P(Alf). ■ .f)Ak) = P(Al)P(A2\Al). ■ ■P(Ak\Alr\- ■ -nA^). jeho hra skončila neúspěchem, musel by prohrát osmkrát v řadě. Pravděpodobnost prohry při jedné sázce je 19/37', pravděpodbnost prohry v osmi po sobě následujících (nezávislých) sázkách je tedy (19/37)8. Pravděpodobnost, že v těchto osmi hrách vyhraje 10 Kč (při daném postupu) je tedy 1 — (19/37)8. Na to, aby vyhrál 2500 Kč, potřebuje 255 krát vyhrát po desetikoruně. Tedy opět podle pravidla součinu je pravděpodobnost výhry 1 0, 29. Tedy pravděpodobnost výhry je nižší, než kdyby vsadil rovnou vše na jednu barvu. □ 1.49. Samostatně si můžete vyzkoušet spočítat předchozí příklad za předpokladu, že Aleš sází stejnou metodou jako v předchozím příkladě, končí však až v okamžiku, kdy nemá žádné peníze (pokud nemá na vsazení dvojnásobku částky prohrané v předchozí sázce, ale má ještě nějaké peníze, začíná sázet znovu od 10 Kč). Nyní si procvičme tzv. „podmíněnou" pravděpodobnost (viz (1.20)). 1.50. Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, víme-li, že ani na jedné z kostek nepadlo číslo 2? Řešení. Označme jako B jev, že ani na jedné kostce nepadne dvojka, jev „padne součet 7" označme jako A. Množinu všech možných výsledků budeme značit opět jako Q. Pak PiADB) \Ar)B\ P(A\B) P(B) \b\ iqi 1*1 Číslo 7 může padnout čtyřmi různými způsoby, pokud nepadne dvojka, tedy |A n B\ = 4, \B\ = 5 ■ 5 = 25, tedy P(A\B) = —. 25 Všimněme si, že P(A) = \, tedy jevy A a S jsou závislé. □ 1.51. Michal má dvě poštovní schránky, jednu na gmail.com a jednu na seznam.cz. Uživatelské jméno má stejné na obou serverech, hesla různá (ale nepamatuje si, které heslo má na kterém serveru). Při zadávání hesla při přístupu do schránky se splete s pravděpodobností 5% (tj. jestliže chce napsat zadat jemu známé slovo jako heslo, tak jej s pravděpodobností 95% skutečně správně na klávesnici zadá). Michal zadal na serveru seznam.cz jméno a heslo a server mu oznámil, že něco není vpořádku. Jaká je pravděpodobnost, že chtěl zadat správné heslo, ale pouze se „překlepnul" při zadávání? (Předpokládáme, že uživatelské jméno zadá vždy bez chyby.) 25 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST Řešení. Označme A jev, že Michal fyzicky zadal na serveru seznam.cz špatné heslo. Tento jev je sjednocením dvou disjunktních jevů: A\ : chtěl zadat správné heslo a přepsal se, A2 : chtěl zadat špatné heslo (to z gmail.com) a buď se přepsal nebo ne. Hledáme tedy podmíněnou pravděpodobnost P(Ai\A), ta je podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost rovna: P(Ai|A) = —-- =-—— =-—-, P(A) P{AXUA2) P{AX) + P{A2) potřebujeme tedy určit pravděpodobnosti P(A\) a P(A2). Jev A\ je konjunkcí (průnikem) dvou nezávislých jevů: Michal chtěl zadat správné heslo a Michal se při zadávání přepsal. Dle zadání je pravděpodobnost prvního z nich 1/2, druhého 1/20, celkem P(A\) = \ ■ ^ = -jj (pravděpodobnosti násobíme, protože se jedná o nezávislé jevy). Dále je ze zadání P(A2) = \. Celkem P(A) = P(Ai) + P(A2) = jň + \ = & můžeme vyčíslit: P(Al\A) P (A) ± 1 40 _ 1 ?! ~ 21' 40 □ Metodu geometrické pravděpodobnosti můžeme použít v případě, že daný základní prostor sestává z nekonečně mnoha elementárních jevů, které dohromady vyplňují nějakou oblast na přímce, rovnině, prostoru (u které umíme určit její délku, obsah, objem, ...). Předpokládáme, že pravděpodobnost toho, že nastane elementární jev z určité podoblasti je rovna poměru její velikosti (délce, obsahu, ...) k velikosti celého základního prostoru. 1.52. Z Těšína vyjíždí vlaky co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z tohoto směru přijíždějí také každé půl hodiny. Předpokládejme, že vlaky se mezi těmito dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychostí 72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se míjejí někde na trase. Nevyspalý hazardér Jarek si vybere jeden z těchto vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné než zmíněné vlaky na trati nejezdí.) Řešení. Vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy. Prostor všech možností je tedy interval (0, 1800 s), prostor „příznivých" možností je potom interval délky 7, 5 s ležící někde uvnitř předchozí úsečky. Pravděpodobnost uražení hlavy je tedy 7, 5/1800 = 0, 004. □ Skutečně, dle předpokladu jsou i pravděpodobnosti všech průniků, které jsou brány ve výrazu za hypotézy, nenulové. Pokrácením čitatelů a jmenovatelů získáme i napravo právě pravděpodobnost jevu odpovídajícího průniku všech uvažovaných jevů. 1.21. Geometrická pravděpodobnost. V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu M2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu Q se známým obsahem vol Q (symbol „vol" je od anglického „volume", tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A c £2 a za jevové pole A bereme nějaký vhodný systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v Q, kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vybereme dvě hodnoty a < b v intervalu [0, 1] C M. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní „jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina?". Volba čísel a, b je volbou libovolného bodu [a, b] ve vnitřku trojúhelníku Q s hraničními vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (viz obrázek). Úlohu si můžeme představit jako popis problému, kdy se hodně unavený účastník večírku nad ránem pokouší dvěma řezy rozdělit párek na tři díly pro sebe a své dva kamarády. Jaká je pravděpodobnost, že se na někoho dostane aspoň půlka? Odpověďje docela jednoduchá: Podobně jako u klasické pravděpodobnosti definujeme pravděpodobnostní funkci P : A -» M vztahem vol A P (A) =-, vol £2 26 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA kde A jsou podmnožiny v rovině, které odpovídají námi vybraným jevům. Potřebujeme tedy znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + j, tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, j], [0, 1], [j, 1]. Evidentně dostáváme P(A) = \. Zkuste si samostatně odpovědět na otázku „pro jakou požadovanou minimální délku intervalu (a, b) dostaneme pravděpodobnost jedna polovina?". 1.22. Metody Monte Carlo. Jednou z účinných výpočet-„ nich metod přibližných hodnot je naopak simulace "ul%> známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní r\ájW četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. if^ známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě jv = 3, 1415..., která vyjadřuje poměr obsahu kruhu a druhé mocniny jeho poloměru. (Tady si také povšimněme východiska, které jsme nedokázali - proč by měl být obsah kruhu roven konstantnímu násobku druhé mocniny poloměru? Matematicky to budeme umět ukázat, až zvládneme tzv. integrování. Experimentálně si to ale můžeme ověřit níže uvedeným postupem s různými velikostmi strany čtverce.) Pokud zvolíme za Q jednotkový čtverec a za A průnik Q a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol A = \n. Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost bodu [a, b] (určeného vygenerovanou dvojicí a, b) od počátku menší než jedna, tj. a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo \it. Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo. 5. Geometrie v rovině V posledních odstavcích jsme intuitivně používali elementární pojmy z geometrie reálné roviny. Teď JA budeme podrobněji zkoumat, jak se vypořádá-igsl^ä vat s potřebou popisovat „polohu v rovině", resp. dávat do souvislostí polohy různých bodů roviny. Nástrojem k tomu budou opět zobrazení, tentokrát to ale budou velice speciální pravidla přiřazující dvojicím hodnot (x, y) dvojice (w,z) = F(x, y). Zároveň půjde o předzvěst úvah z oblasti matematiky, které se říká lineární algebra a kterou se budeme podrobně zabývat v dalších třech kapitolách. 1.23. Vektorový prostor M2. Podívejme se na „rovinu" jakožto na množinu dvojic reálných čísel (x, y) e M2. Budeme jim říkat vektory v M2. Pro takové vektory umíme definovat sčítání „po složkách", tj. pro vektory u = (x, y) a 1.53. Jednou denně někdy mezi osmou hodinou ranní a osmou hodin-nou večerní vyjíždí náhodně autobus z Koločavy do Užhorodu. Jednou denně ve stejném časovém rozmezí jezdí jiný autobus náhodně opačným směrem. Cesta tam trvá pět hodin, zpět též pět hodin. Jaká je pravděpodobnost, že se autobusy potkají, jezdí-li po stejné trase? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 12 x 12, Označíme -li doby odjezdu obou autobusů x, resp. y, pak se tyto na trase potkají právě když \x — y\ < 5. Tato nerovnost vymezuje v daném čtverci oblast „příznivých jevů". Obsah zbylé části spočítáme přímo jednodušeji, neboť je sjednocením dvou pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků o odvěsnách délky 7, tedy je roven 49, obsah části odpovídající „příznivým jevům" je tedy 144 — 49 = 95, celkem je hledaná pravděpodobnost p = = 0, 66. KOLOCAVA - IAZHOWP □ 1.54. Dvoumetrová tyč je náhodně roSěléríá^ňfi fřniíly. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý. Řešení. Náhodné rozdělení tyče na tři díly je dáno dvěma body řezu, čísly x ny (nejprve tyč rozřízneme ve vzdálenosti x od počátku, nehýbeme s ní a dále ji rozřízneme ve vzdálenosti y od počátku). Pravděpodobnostní prostor je tedy čtverec C o straně 2 m. Umístíme-li čtverec C tak, aby dvě jeho strany ležely na kartézských osách v rovině, tak podmínka, že alespoň jeden díl má být nejvýše 20 cm dlouhý, nám vymezuje ve čtverci následující oblast O: O = {(x, y) e C| (x < 20) v (x > 180) v (y < 20) v (y > 180) V (\x - y\) < 20}. Jak snadno nahlédneme, zaujímá takto vymezená oblast ^ obsahu čtverce. iJL 27 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE □ E. Geometrie v rovině Vraťme se na chvíli ke komplexním číslům. Komplexní rovnina je totiž „normální" rovina, kde ovšem máme dáno něco navíc: 1.55. Interpretujte násobení imaginární jednotkou a vzetí komplexně sdruženého čísla jako geometrickou transformaci v rovině. Řešení. Imaginární jednotka i odpovídá bodu (0, 1) a všimněme si, že vynásobení jakéhokoliv čísla z = a + i b imaginární jednotkou dává výsledek i ■ (a + i b) = —b + i a což je v interpertaci v rovině otočení bodu z o pravý úhel v kladném smyslu, tj. proti směru hodinových ručiček. Přiřazení komplexně sdruženého čísla je symetrie podle osy reálných čísel: z = (a + i b) h-> (a — i b) = z- Nyní jeden známý, ale velmi pěkný příklad. □ 1.56. Určete součet úhlů, které v rovině M2 svírají s osou x postupně vektory (1, 1), (2, 1) a (3, 1) Řešení. Uvážíme-li rovinu M2 jakožto Gaussovu rovinu komplexních čísel, tak uvedené vektory odpovídají komplexním číslům 1 + i, 2 + i a 3 + i a máme najít součet jejich argumentů, tedy podle Moivrovy věty argument jejich součinu. Jejich součin je (1 + i) (2 + i) (3 + i) = (1 + 3/)(3 + 0 = 10i, tedy ryze imaginární číslo s argumentem jt/2 a tedy hledaný součet je roven právě jt/2. □ 1.57. Napište obecnou rovnici přímky p : x = 2 t e R. t, y = 1 + 3í, Řešení. Vektor (—1, 3) je směrovým vektorem přímky p. Proto vektor (3, 1) je jejím normálovým vektorem a obecná rovnice přímky p má tvar 3x + y + c = 0 pro jisté c e M. Tuto konstantu c určíme dosazením x = 2, y = 1 (přímka p prochází bodem [2, 1] daným volbou t = 0). Získáváme tak c = — 7 a následně výsledek 3x + y — 7 = 0. □ v = (x', y) klademe u + v = (x + x',y + y'). Protože pro jednotlivé složky platí všechny vlastnosti komutativní grupy, evidentně budou tyto vlastnosti platit i pro naše nové sčítání vektorů. Zejména tedy máme tzv. nulový vektor 0 = (0, 0), jehož přičtením k jakémukoliv vektoru v dostaneme opět vektor v. Záměrně teď používáme tentýž symbol 0 pro vektor i jeho skalární složky — z kontextu je vždy jasné, jakou „nulu" máme kdy na mysli. Dále definujeme násobení vektorů a skalárů tak, že pro aelat) = (i,)i)el2 klademe a ■ v = (ax, ay). Zpravidla budeme znak • vynechávat a pouhé zřetězení znaků a v bude označovat skalární násobek vektoru. Přímo se ověří další vlastnosti pro násobení skaláry a, b a sčítání vektorů u, v, např. a (u + v) = a u+a v, (a+b)u = a u+bu, a(b u) = (ab)u, kde opět používáme stejný znak plus pro sčítání vektorů i skalárů. Tyto operace si můžeme dobře představit, jestliže uvažujeme vektory v jako šipky začínající v počátku 0 = [0, 0] a končící v bodě [x, y] v rovině. Takové šipky pak můžeme přikládat jednu za druhou a to přesně odpovídá sčítání vektorů. Násobení skalárem a pak odpovídá natažení dané šipky na a-násobek. Nyní můžeme udělat podstatný krok: jestliže si zapamatujeme dva významné vektory e\ = (1, 0) a ej_ = (0, 1), pak každý jiný vektor dostaneme jako u = (x, y) = xe\ + ye2. Výrazu napravo říkáme lineární kombinace vektorů e\ a e2. Dvojici vektorů e = (e\, e2) říkáme báze vektorového prostoru M2. Jestliže si ale vybereme jiné dva vektory u, v, které nejsou jeden násobek druhého, tj. jinou bázi v M2, budeme moci udělat totéž. Lineární kombinace w = x u + y v nám 28 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA pro všechny různé dvojice (x, y) dá právě všechny vektory w v rovině. Nakonec můžeme nahlížet vektory jako naše šipky v abstraktní poloze, tj. zapomeneme na ztotožnění bodů v rovině s dvojicemi čísel. Jenom budou naše šipky všechny „upoutány" v bodě 0, který i— je zároveň nulovým vektorem. Zůstanou nám operace sčítání a násobení skaláry a teprve volbou báze e\, e2 ztotožníme naši rovinu šipek s R2. 1.24. Afinní rovina. Když si pevně vyvolíme nějaký vektor u e R2, můžeme jej přičítat (tj. coby šipku přikládat) k libovolnému bodu P = [x, y]. Máme tak tedy s pevným vektorem definované posunutí, které každý bod roviny P zobrazí na P + u. ^ .P- Zkusme teď úplně zapomenout na souřadnice a vnímat celou rovinu jako množinu, na které fungují naše posunutí. Takovou množinu A = R2 si můžeme představit z pohledu pozorovatele, který sedí v některém pevně zvoleném místě (můžeme mu říkat třeba bod O = [x0, y0] e R2). Předpokládejme, že ji vnímá jako nekonečnou desku bez jakýchkoliv zvolených měřítek a popisů a jenom ví, co to znamená posunout se o libovolný násobek nějakého vektoru u e M2. Takové rovině budeme říkat „afinní rovina". Aby mohl vidět kolem sebe „dvojice reálných čísel", musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne „bod [1, 0]" a jiný bod E2, kterému začne říkat „bod [0, 1]". Jinými slovy, zvolí si bázi e\ = (1, 0), e2 = (0, 1) mezi vektory posunutí. Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí „a-krát ve směru e\" a pak ,,^-krát ve směru e2" a takovému bodu bude říkat „bod [a, b]". Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít b-kiát ve směru e2 a pak teprve ve směru e\. To, co jsme popsali, se nazývá volba (afinního) souřadného systému v rovině, bod O je jeho počátkem, a obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí čísel [a,b], kterou také budeme psát jako posunutí P — O. Budeme dále pracovat v pevně zvolených souřadnicích, tj. s dvojicemi reálných čísel, ale pro lepší orientaci budeme 1.58. Je dána přímka p : [2,0] + f (3, 2), t € R. Určete její obecnou rovnici a nalezněte průnik s přímkou q : [-1,2]+5(1,3), s e R. Řešení. Souřadnice bodů na přímce jsou dány dle daného parametrického zadání jako x = 2 + 3t a y = 0 + 2t. Vyloučením parametru t ze soustavy těchto dvou rovnic dostáváme obecnou rovnici přímky p: 2x - 3y - 4 = 0. Průnik s přímkou q získáme dosazením parametrického vyjádření bodů přímky q, tedy x = —1+say = 2 + 3s, do obecné rovnice přímky p: 2(-l+5)-3(2 + 3í)-4 = 0, odkud s = —12/7 a dosazením do parametrického vyjádření přímky q dostáváme souřadnice průsečíku P: 19 22 [- 7 7 □ 1.59. Stanovte průsečík přímek p : x + y - 4 = 0, q : x = -\ +2t, y = 2 +t, t e R. Řešení. Nejdříve poznamenejme, že směrovým vektorem přímky p jewp = (1,-1) (libovolný nenulový vektor kolmý k vektoru (1,1) z obecné rovnice přímky) a směrovým vektorem přímky q je uq = (2, 1). To, že vektor up není násobkem vektoru uq, pak zaručuje, že se přímky protínají (přímky nejsou rovnoběžné). Bod [x, y] je hledaným průsečíkem, právě když jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky p a současně existuje reálné číslo t, pro které x = -1 + 2t, y = 2 + t. Dosadíme-li odsud do obecné rovnice p, obdržíme (-l+2ř)+ (2 + ř)-4 = 0. Této rovnici vyhovuje právě t = 1, což dává průsečík se souřadnicemi x = 1, y = 3. □ 1.60. Najděte obecnou rovnici přímky p, jež prochází bodem [2,3] a je rovnoběžná s přímkou x — 3y + 2 = 0, a parametrickou rovnici přímky q procházející body [1, 3] a [—2, 1]. Řešení. Každá přímka rovnoběžná s přímkou x —3y+2 = Oje zadána rovnicí x - 3y + c = 0 pro nějaké ceM. Přímka p prochází bodem [2, 3]. Musí tedy platit 29 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE 2 - 3 • 3 + c = 0, tj. c = 7. Pro přímku q lze ihned uvést její parametrické vyjádření q : [1, 3] + t (1 - (-2), 3 - 1) = [1, 3] + t (3, 2), t € □ 1.61. Zjistěte, zda některé z přímek pi : 2x + 3v — 4 = 0, /?2 : x — y + 3 = 0, pj, : —2x + 2v = p4 : — x — | v + 2 = 0, /?5 : x = 2 + t, y = — 2 — t, í e (ne)jsou totožné. Řešení. Je vidět, že -2-(-x ■ y + 2) = 2x + 3 y - 4. Obecné rovnice pi a p4 tudíž zadávají stejnou přímku. Normálový vektor přímky p\ je (2, 3), pro přímku p2 je (1, —1), pro p3 je (—2, 2) a pro p5 je (1, 1) (kolmý vektor k vektoru (1, —1)). Přímky p2 a p3 jsou rovnoběžné (normálový vektor jedné je násobkem normálového vektoru druhé). Další dvojice rovnoběžných přímek neexistují. Neboť soustava x - y + 3 = 0, -2x + 2v + 6 = 0 zjevně nemá řešení, přímky p\ a p4 tvoří jedinou dvojici totožných přímek. □ 1.62. Určete přímku p, která je kolmá k přímce q : 6x— 7 v+13 = 0 a která prochází bodem [—6, 7]. Řešení. Protože normálový vektor přímky q je směrový vektor přímky p, můžeme bezprostředně napsat výsledek p : x + 6ř, y = 1 - It, t € □ 1.63. Udejte příklad čísel a, b e M, pro něž je vektor u normálovým vektorem přímky AS, je-li A = [1, 2], B = [2b, b], u = (a — b, 3). Řešení. Směrovým vektorem přímky AS je (2b — 1, b — 2) (tento vektor je vždy nenulový), a proto jejím normálovým vektorem je (2 — b,2b — 1). Položíme-li 2-b = a-b, 2b -1=3, dostáváme a = b = 2. □ vektory zapisovat s kulatými závorkami místo hranatých u souřadnic bodů v afinní rovině. t./ir- 1.25. Přímky v rovině. Když se náš pozorovatel umí posouvat o libovolný násobek pevného vektoru, pak také ví, co je to přímka. Je to podmnožina p c A v rovině taková, že exis-^ tují bod O a nenulový vektor v takové, že O t ■ v, t e p = {P e A; P Popišme si P = P (t) e p ve zvolených souřadnicích s volbou v = (a, P): x(t) = x0 + a ■ t, y(t) = y0 + f} ■ t. Protože vektor v = (a, P) je nenulový, musí být aspoň jedno z čísel a, p různé od nuly. Když pro určitost předpokládáme, že třeba a pak vyloučíme t z parametrického vyjádření pro x a v a jednoduchým výpočtem dostaneme -Px + ay = -Px0 + ay0. To je obecná rovnice přímky (1.13) ax + by = c, se známým vztahem dvojice čísel (a, b) = (~P, a) a směrového vektoru přímky v = (a, P) (1.14) aa + bp = 0. 1 TCv#a>= ^ 30 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Výraz nalevo v rovnici přímky (1.13) můžeme vidět jako skalární funkci F závislou na bodech v rovině a s hodnotami v M, samu rovnici pak jako požadavek na její hodnotu. Časem uvidíme, že vektor (a, b) je v tomto případě právě směrem, ve kterém F nejrychleji roste. Proto bude směr kolmý na (a, b) právě tím směrem, ve kterém zůstává naše funkce F konstantní. Konstanta c pak určuje, kterou ze všech rovnoběžných přímek rovnice určuje. Mějme nyní dvě přímky p a q a ptejme se po jejich průniku pC\q. Ten bude popsán jako bod, splňující obě rovnice přímek současně. Pišme je takto (1.15) ax + by = r cx + dy = s. Opět můžeme levou stranu vnímat jako přiřazení, které každé dvojici souřadnic [x, y] bodů P v rovině přiřadí vektor hodnot dvou skalárních funkcí F\ a Fj_ daných levými stranami jednotlivých rovnic (1.15). Můžeme tedy naše rovnice napsat jako jediný vztah F (v) = w, kde F je přiřazení, které vektor v popisující polohu obecného bodu v rovině (v našich souřadnicích) zobrazí na vektor zadaný levou stranou rovnic, a požadujeme, aby se toto zobrazení strefilo do předem zadané hodnoty w = (r, s). 1.26. Lineární zobrazení a matice. Přiřazení F, se kterými jsme pracovali při popisu průniku přímek, mají jednu velice podstatnou společnou vlastnost: respektují operace sčítání a násobení s vektory a skaláry, tj. respektují lineární kombinace: F (a ■ v + b ■ w) = a ■ F (v) + b ■ F(w) pro všechny a, b e M, v, w e M2. Říkáme, že F je lineárni zobrazení z M2 do M2, a píšeme F : M2 -» M2. Slovy lze podmínku také vyjádřit tak, že lineární kombinace vektorů se zobrazuje na tutéž lineární kombinaci jejich obrazů, tj. lineární zobrazení jsou ta zobrazení, která zachovávají lineární kombinace. Se stejným chováním jsme se setkali i v rovnici (1.13) pro přímku, kde šlo o lineární zobrazení F : ť -> R a jeho předepsanou hodnotu c. To je také důvodem, proč jsou hodnoty zobrazení z = F(x, y) na obrázku vyobrazeny jako rovina v M3. Stručně budeme zapisovat taková zobrazení pomocí tzv. matic a jejich násobení. Maticí rozumíme obdélníkové schéma skalárů, např. a b c d nebo v hovoříme o (čtvercové) matici A a (sloupcovém) vektoru v. Jejich násobení definujeme takto: A ■ v a b c d ax + by cx + dy 1.64. Určete vzájemnou polohu přímek p, q v rovině, jestliže je p : 2x — y — 5 = 0, q : x +2y — 5 = 0. Pokud se jedná o různoběžky, nalezněte souřadnice jejich průsečíku. Řešení. Z obecných rovnic přímek p, q známe jejich normálové vektory (2, —1), (1, 2). Přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li normálový vektor jedné násobkem normálového vektoru druhé, což zřejmě pro přímky p, q splněno není. Jde tedy o různoběžky. Průsečík nalezneme vyřešením soustavy 2x - y - 5 = 0, x + 2y - 5 = 0. Když z první rovnice vyjádříme y = 2x — 5 a dosadíme za y do druhé, získáme x + 2(2x - 5) - 5 = 0, tj. x = 3. Poté snadno určíme y = 2 • 3 — 5 = 1. Přímky se tak protínají v bodě [3, 1]. □ 1.65. Uvažujme rovinu M2 se standardní soustavou souřadnic. Z počátku [0, 0] je vyslán laserový paprsek ve směru (3, 1). Dopadne na zrcadlovou přímku p danou parametricky jako p : [4,3] + ř(-2, 1) a poté se odrazí (úhel dopadu je shodný s úhlem odrazu). V jakém bodě dopadne odražený paprsek na přímku q, danou parametricky jako q : [7,-10] +f (-1,6)? Řešení. Směr paprsku svírá s přímkou p úhel 45°, odražený paprsek tedy bude kolmý na dopadající, jeho směrový vektor bude (1, — 3) (Pozor na orientaci! Daný směrový vektor můžeme též získat například zrcadlením (osovou symetrií) podle kolmého vektoru k přímce p.) Paprsek dopadne v bodě [6, 2], odražený paprsek tedy bude mít rovnici [6, 2] +ř(l, -3), t > 0. Průnik přímky dané odraženým paprskem s přímkou q je bod [4, 8], což je mimo polopřímku, která je daná odraženým paprskem (ř = —2). Odražený paprsek tedy přímku q neprotne. □ Poznámka. Odraz paprsku v třírozměrném prostoru je studován v příkladu 3.53. 1.66. Z bodu [—2, 0] vyrazila v pravé poledne konstantní rychlostí 1 ms"1 ve směru (3, 2) úsečka délky 1. Rovněž v poledne vyrazila z bodu [5, —2] druhá úsečka délky 1 ve směru (—1, 1), ovšem dvojnásobnou rychlostí. Srazí se? 31 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE Řešení. Přímky, po kterých se pohybují dané úsečky, můžeme popsat parametrickým vyjádřením: p : [-2,0]+r(3,2), q : [5,-2]+5(-l,l). Obecná rovnice přímky p je 2x - 3y + 4 = 0. Dosazením parametrického vyjádření přímky q získáme průsečík P = [1,2]. Nyní se snažme zvolit jediný parametr t pro obě úsečky tak, aby nám odpovídající bod na přímkách p, resp. q, popisoval polohu počátku první, resp. druhé, úsečky v čase t. V čase 0 je první úsečka v bodě [—2, 0], druhá v bodě [5, —2]. Za čas t sekund urazí první úsečka t jednotek délky ve směru (3, 2) druhá pak 2t jednotek délky ve směru (—1, 1). Odpovídající parametrizace jsou tedy p : [-2,0] + -S=(3,2), V13 [5, -2] + řV2(-l, 1). Počátek první úsečky dorazí do bodu [1, 2] v čase t\ = V13 s, počátek druhé úsečky v čase t = 2~j2 s, tedy více než o půl vteřiny dříve. Tedy v době, kdy dorazí do průsečíku P počátek první úsečky, bude již konec druhé úsečky pryč a úsečky se tak nesrazí. □ 1.67. Rovinný fotbalista vystřelí míč z bodu F = [1, 0] ve směru (3, 4) na bránu (úsečku) ohraničenou body A = [23, 36] a B = [26, 30]. Směřuje míč do brány? Řešení. Vzhledem k tomu, že se situace odehrává v prvním kvadrantu, stačí uvažovat směrnice vektorů FA, (3,4), FB. Tvoří-li (v tomto pořadí) buďrostoucí nebo klesající posloupnost, míč směřuje na bránu. Tato posloupnost je 36/22, 4/3, 30/25, což je klesající posloupnost, míč tedy směřuje do brány. □ 1.68. Upravte (A — B)T ■ 2C ■ u, přičemž -°2 % -U ?)• í A-B (A-B)1 Řešení. Dosazením -2 5 -1 1 a násobením matic dostáváme -2 -1 -2 -1 5 1 2C (A -B)1 -2C-U 1 4 -4\ (3 8 10/12 8 10 -52 64 Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obr-držíme jako výsledek opět čtvercovou matici. Neumíme násobit vektor v zprava maticí A protože nám nevychází počty skalárů na řádcích v s počty skalárů ve sloupcích A. Umíme však napsat vektor w do řádku skalárů (tzv. transponovaný vektor) wT = (a b) a ten zprava našimi maticemi A nebo vektory v již násobit umíme. Snadno ověříme tzv. asociativitu násobení (propočítejte pro obecné matice A, B a vektor v detailně): (A • B) ■ v = A ■ (B ■ v). Místo vektoru v můžeme samozřejmě psát i libovolnou matici C správného rozměru. Stejně snadno je vidět i distributi-vita A • (S + C) = A • B + A • C, neplatí však komutativita a existují „dělitelé nuly". Např. 0 1W0 0 0 0/AO 1 0 1 0 0 0 0W0 1 0 1 /' v 0 o o o o o Zejména vidíme, že násobení vektorů pevnou maticí zadává linerání zobrazení, a naopak, pomocí hodnot lineárního zobrazení F na dvou pevných vektorech báze už dostaneme celé příslušné zobrazení. Body v rovině jsou tedy obecně vzory hodnot lineárních zobrazení F roviny do roviny, přímky jsou obecně vzory hodnot lineárních zobrazení z roviny do reálné přímky M. S maticemi a vektory umíme rovnice pro přímky a body psát w A • v Samozřejmě, ve zvláštních situacích tomu tak být nemusí. Tak třeba průnikem dvou stejných přímek je opět sama přímka (a vzorem vhodné hodnoty pro takové lineární zobrazení bude celá přímka), nulové zobrazení má za vzor nuly celou rovinu. V prvém případě to poznáme tak, že jsou nalevo v rovnicích (1.15) stejné výrazy až na skalární násobek (nebo jinak řečeno, řádky matice A jsou stejné až na skalární násobek). V takovém případě buď nebude v průniku příslušných přímek žádný bod (rovnoběžné různé přímky) nebo tam budou všechny body přímky (stejné přímky). Tuto podmínku může vyjádřit tak, že poměry a/c nb/d musí být stejné, neboli (1.16) ad — bc = 0. □ Všimněme si, že toto vyjádření už zahrnuje i případy, kdy c nebo d je nulové. 32 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.27. Determinant matice. Výrazu nalevo v (1.16) říkáme determinant matice A a píšeme pro něj det A ad — bc. Naši diskusi teď můžeme vyjádřit takto: Tvrzení. Determinant je skalární funkce det A definovaná na všech maticích A a rovnice A-v = u je jednoznačně řešitelná, právě když je det A / O. Zkuste promyslet, že pro tuto úvahu bylo podstatné, že - fÄtó PracuJeme s polem skalárů. Například nad ce-^ " "' lými čísly obecně neplatí. Když prostě spočteme řešení rovnic s celočíselnými koeficienty (tj. matice A má pouze celočíselné vstupy), tak toto řešení celočíselné být nemusí. 1.28. Afinní zobrazení. Podíváme se, jak maticová symbolika umožňuje pracovat s jednoduchými zobrazeními v afinní rovině. Viděli jsme, že násobením maticí je dáno linerání zobrazení. Posunutí v afinní rovině M2 o pevný vektor ř maticové formě také snadno zapsat: h» P + t + (r, s) e M umíme v r \ (x + r s) \y+s Jestliže k výsledku lineárního zobrazení ještě dovolíme přičíst pevný vektor t = (r, s), pak naše zobrazení bude mít tvar \-> A • v + t ax + by + r cx + dy + s Takto j sou popsána právě všechna tzv. afinní zobrazení roviny do sebe. Taková zobrazení nám umožní přepočítávání souřadnic vzniklých různými volbami počátků a bází směrů pro posunutí. Co se stane, když náš pozorovatel z odstavce 1.23 bude tutéž rovinu shlížet z jiného bodu nebo si aspoň vybere jiné body Ei, £2? Zkuste si promyslet, že na úrovni souřadnic to skutečně bude právě změna realizovaná pomocí afinního zobrazení. Časem budeme vidět obecné důvody, proč tomu tak je ve všech dimenzích. 1.69. Uvedte příklad matic A a B, pro něž (a) (A + B)-(A-B)^ A- A-B-B; (b) (A + B) ■ (A + B) £ A ■ A + 2A ■ B + B ■ B. Řešení. Připomeňme, že uvažujeme dvojrozměrné (čtvercové) matice A a B. Pro libovolné matice A a S ovšem platí (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - A ■ B + B ■ A - B ■ B. Identitu (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - B ■ B tak dostaneme, právě když je —A ■ B + B ■ A nulovou maticí, tj. právě když matice A a. B komutují. Příkladem hledaných matic jsou tedy právě ty dvojice matic, které nekomutují (matice součinu se při záměně pořadí násobených matic změní). Můžeme např. zvolit A 3N 1 2 3 4 B 2 1 neboť při této volbě je A ■ B - 5 \ . _ /13 20^ v20 13J' V5 * Analogicky pro každou dvojici matic A, B platí (A + B)-(A + B) = A-A + A-B + B- A + B-B. To znamená, že (A + B)-(A + B) = A-A + A-B + A-B + B-B je splněno tehdy a jenom tehdy, když AB = B A. Ve druhém případě jsou tak hledané dvojice matic A, B zcela totožné s případem prvním. □ 1.70. Rozhodněte, zda jsou zobrazení F, G : zeními ^x\ ( Ix — 3y . y / \—2x + 5y zadaná přiřa- „ jx\ (2x+2y-A\ (;:,,v.) '(., 9v,3.)- lineární. Řešení. Pro libovolný vektor (x, y)T eť můžeme vyjádřit G y i \ 3 7 -3\/x yjJ v~2 5 / \yJ' \\y '2 2 \ (x A -9J' Odtud vyplývá, že obě zobrazení jsou afinní. Připomeňme, že afinní zobrazení je lineární, právě když se nulový vektor zobrazí sám na sebe. Neboť W-(o). «(©)-(?, zobrazení F je lineární, zobrazení G nikoli. □ 33 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE 1.71. Buď dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF (vrcholy jsou označeny pořade v kladném smyslu) se středem v bodě S = [1,0] a vrcholem A = [0, 2]. Určete souřadnice vrcholu C. Řešení. Souřadnice vrcholu C získáme otočením bodu A okolo středu S šestiúhelníka o 120° v kladném smyslu: 'cos(120o) - sin(120°)N C sin(120°) (A + [1,0] = [- S) + S .3 73, -1 □ 1.72. Určete úhel, který svírají vektory (a) u = (-3, -2), v = (-2, 3); (b) u = (2,6), v = (-3, -9). Řešení. Hledaný úhel

, w), kde si pro určitost za P volíme počátek a posunutím se obsah stejně nemění. Ze zadání je vidět, že hledaná hodnota je polovinou plochy rovnoběžníku nataženého na vektory v a w a snadno se spočte (pomocí známého vzorečku: základna krát příslušná výška) nebo prostě vidí z obrázku, že nutně platí vol A(i> + v', w) = vol A(i>, w) + vol A(i/, w) vol A(av, w) = a vol A(v, w). obscik/\~ 1[z.oÍsaU£? UNEATJTA V AZ.GMEMU Stejné oh>&aktQ^- <*.+ b vr :::4s^rz::rs 'i o Nakonec ještě přidáme k našemu zadání požadavek vol A(v, w) = — vol A(w, v), který odpovídá představě, že opatříme plochu znaménkem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory (tj. jestli se na ni díváme shora nebo zespodu). [-1, 0], [25, 1], [24, 2]; [-1, 0], [29, 0], [25, 1]. Jejich obsahy jsou po řadě 24, 89/2, 27/2 a 15, což dává výsledek 24+ 44 i+ 13 i+ 15 = 97. □ 1.87. Určete obsah trojúhelníka A2A3An, kde A0Ai ... Au jsou vrcholy pravidelného dvanáctiúhelníka vepsaného do kružnice o poloměru 1. Řešení. Vrcholy dvanáctiúhelníka můžeme ztotožnit s dvanáctými odmocninami z čísla 1 v komplexní rovině. Zvolíme-li navíc A0 = 1, pak můžeme psát Ak = cos(2&7r/12) + i sin(2^7r/12). Pro vrcholy zkoumaného trojúhelníka máme: A2 = cos(7r/3) + / sin(7r/3) = 1/2 + z'V3/2, A3 = cos(7r/2) + i sin(7r/2) = i, An = cos(—it/6) + i sin(—jt/6) = V3/2 — i/2, neboli souřadnice těchto bodů v komplexní rovnině jsou A2 = [1/2, V3/2], A3 = [0,1], Au = [V3/2, -I]. Podle vzorce pro obsah trojúhelníka je potom hledaný obsah S roven S 1 A2 1 2 A3 -An ~ 2 2 2 2 2 3 2 73 Vzhledem ke kladnosti předchozího determinantu jsme mohli z estetických důvodů vynechat jeho absolutní hodnotu. □ 1.88. Které strany čtyřúhelníku zadaného vrcholy [—2, —2], [1, 4], [3, 3] a [2, 1] jsou viditelné z pozice bodu [3, 7t — 2]? Řešení. Jedná se o modelovou úlohu na viditelnost stran konvexního mnohoúhelníku v rovině. V prvním kroku uspořádáme vrcholy tak, aby jejich pořadí odpovídalo směru proti pohybu hodinových ručiček. Když jako první vrchol zvolíme např. A = [—2, —2], je další pořadí B = [2, 1], C = [3, 3], D = [1, 4]. Uvažujme nejprve stranu AB. Ta společně s bodem X = [3, 7t — 2] zadává matici -2-3 2-3 -2 - (tt - 2) 1 - (tt - 2), tak, že její první sloupec je rozdílem A — X a druhý sloupec je B — X. To, zdaje vidět z bodu [3, 7t — 2], pak určuje znaménko determinantu -2-3 -2 - (tt - 2) 1 2-3 -(n-2) -5 -Tt ■1 ti -5 ■ (3 -tc) - (-1X-77-) < 0. Záporná hodnota znamená, že strana je vidět. Doplňme, že nezáleží na tom, zda uvažujeme rozdíly A — X a B — X, nebo X — A a X — B. Kdybychom však zaměnili pořadí sloupců, příslušná strana by byla vidět právě tehdy, když by byl determinant kladný. Pro stranu BC analogicky obdržíme 39 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE -1 0 3 — Tt 5 — Tt 0 -2 5 — Tt 6 — 7T -2 -5 - 7T —7T 2- 3 3-3 1 - (jľ - 2) 3 - (tt - 2) -1-(5-tt)-0<0. Tato strana je tudíž vidět. Zbývají strany CD a D A. Pro ně dostávame po řadě 3- 3 1-3 3 - (tt - 2) 4 - (tt - 2) 0 - (-2) • (5 - Tt) > 0, 1-3 -2-3 4 - (tt - 2) -2-(ic -2) -2- (-Tt) - (-5) • (6-tt) > 0. Z bodu X jsou tedy vidět právě strany určené dvojicemi vrcholů [-2, -2], [2, 1] a [2, 1], [3, 3]. □ 1.89. Uvedte strany pětiúhelníku s vrcholy v bodech [—2, —2], [-2,2], [1,4], [3,1] a [2,-11/6], které je možné vidět z bodu [300, 1]. Řešení. Pro zjednodušení zápisů „tradičně" položme A = [—2, —2], B = [2, —11/6], C = [3,1], Z) = [1,4], £" = [-2,2]. Strany SC a CD jsou zjevně z pozice bodu [300, 1] viditelné; naopak strany DE a EA být vidět nemohou. Pro stranu AB raději určeme -2 - 300 2 - 300 302- (-^) - (-298) • (-3) < 0. _2-l —£-1 6 Odsud plyne, že tato strana je z bodu [300, 1] vidět. □ 1.90. Viditelnost stran trojúhelníka. Je dán trojúhelník s vrcholy A = [5, 6], B = [7, 8], C = [5, 8]. Určete, které jeho strany je vidět z bodu P = [0, 1]. Řešení. Uspořádáme vrcholy v kladném smyslu, tedy proti směru hodinových ručiček: [5, 6], [7, 8], [5, 8]. Pomocí příslušných determinantů určíme, je-li bod [0, 1] „nalevo" či „napravo" od jednotlivých stran trojúhelníka uvažovaných jako orientované úsečky, > 0, = 0. Z nulovosti posledního determinantu vidíme, že body [0, 1], [5, 6] a [7, 8] leží na přímce, stranu AB tedy nevidíme. Stranu BC rovněž tak nevidíme, na rozdíl od strany AC, pro kterou je příslušný determinant záporný. □ 1.91. Určete, které strany čtyřúhelníka s vrcholy A = [95, 99], B = [130, 106], C = [40, 60], D = [130, 120]. jsou viditelné z bodu [2, 0]. B - P 1 7 C - P 5 7 A - P 5 5 B - P 7 7 C - P 5 7 A - P — 5 5 < Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) i—> det A splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vektor umíme vyjádřit pomocí dvou bázových vektorů e\ = (1,0) a «2 = (0,1) a díky linearitě je tedy každá možnost pro vol A jednoznačně určena už vyčíslením na těchto vektorech. Protože ale pro obsah, stejně jako pro determinant, je zjevně vol A(ei, ei) = vol A(e2, e2) = 0 (kvůli požadované antisymetrii), je nutně každá taková skalární funkce jednoznačně zadána hodnotou na jediné dvojici argumentů (ei,e2). Jsou si tedy všechny možnosti rovny až na skalární násobek. Ten umíme určit požadavkem 1 vol A( „ entovaný obsah nám dává do rukou elegantní nástroj "tíí3> pro určování pozice bodu vůči orientovaným úseč-kám. Orientovanou úsečkou rozumíme dva body v ro-íf^ vině M2 s určeným pořadím. Můžeme si ji představit jako šipku od prvého k druhému bodu. Taková orientovaná úsečka nám rozděluje rovinu na dvě poloroviny, říkejme jim „levou" a „pravou". Pro daný bod chceme poznat, jestli je v té levé nebo pravé. Takové úlohy často potkáváme v počítačové grafice při řešení viditelnosti objektů. Pro zjednodušení si zde jen představme, že úsečku „je vidět" z bodů napravo a není vidět z těch nalevo (což odpovídá představě, že objekt ohraničený orientovanými hranami proti směru hodinových ručiček má nalevo od nich svůj vnitřek, přes který tedy není hranu vidět). Máme-li dán nějaký bod C, spočtěme orientovanou plochu příslušného trojúhelníku zadaného vektory A — C a B — C. Pokud jsme s bodem C nalevo od úsečky, pak při obvyklé kladné orientaci proti směru hodinových ruček bude vektor A — C dříve než ten druhý a proto výsledná plocha (tj. hodnota determinantu matice jejímiž sloupci jsou tyto dva 40 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA vektory) bude kladná. Naopak, při opačné poloze bude výsledkem záporná hodnota determinantu a podle záporné hodnoty determinantu zjistíme, že je náš bod od úsečky napravo. Uvedený jednoduchý postup je skutečně často využíván pro testování polohy při standardních úlohách v 2D grafice. 6. Relace a zobrazení V této závěrečné části úvodní motivační kapitoly se vrátíme k formálnímu popisu matematických struktur, budeme se je ale průběžně snažit ilustrovat na již známých příkladech. Zároveň můžeme tuto část brát jako cvičení ve formálním přístupu k objektům a konceptům matematiky. 1.36. Relace mezi množinami. Nejprve potřebujeme definovat kartézský součin A x B dvou množin A a B. Je to množina všech uspořádaných dvojic (a, b) takových, že a e A a b e B. Binární relací mezi množinami A a. B pak rozumíme libovolnou podmnožinu R kartézského součinu A x B. Často píšeme a ~R b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) e R, tj. že body a e A a b e B jsou v relaci R. Definičním oborem relace je podmnožina Z) c A, D = {a e A; 3b e B, (a, b) e R}. Slovy vyjádřené, je to množina prvků a z množiny A takových, že existuje prvek b z množiny B tak, že (a, b) patří do relace R. Stručněji, jsou to takové prvky z A, které mají obraz v B. Podobně oborem hodnot relace je podmnožina I c B, I = {b e B;3a e A, (a, b) e i?}, to znamená takové prvky v B, které mají vzor v A. Speciálním případem relace mezi množinami je zobrazení z množiny A do množiny B. Je to přilož: "i. pad, kdy pro každý prvek definičního oboru relace existuje právě jeden prvek z oboru hodnot, který je s ním v relaci. Nám známým případem zobrazení jsou všechny skalární funkce, kde oborem hodnot zobrazení je množina skalárů, třeba celých nebo reálných čísel. Pro zobrazení zpravidla používáme značení, které jsme také u skalárních f uncí zavedli. Píšeme /:DCA^/CS, f (a) = b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) patří do relace, a říkáme, že b je hodnotou zobrazení / v bodě a. Dále říkáme, že / je • zobrazení množiny A do množiny B, jestliže je D = A, • zobrazení množiny A na množinu B, jestliže je D = A a I = B, často také surjektivní zobrazení • prosté (často také injektivní zobrazení), jestliže je D = A a pro každé bel existuje právě jeden vzor a e A, f (a) = b. Vyjádření zobrazení / : A -» B jakožto relace /cAxS, f = {(a, f (a)); a e A} známe také pod názvem graf zobrazení f. Řešení. Nejprve je třeba určit strany čtyřúhelníka („správné" pořadí vrcholů): ACBD. Po spočítání příslušných determinantů jako v předchozích příkladech zjistíme, že je vidět pouze strana CB. □ F. Zobrazení a relace 1.92. Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace ekvivalence: i) M = {/ : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(0). ii) M = {/ : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(l). iii) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže se neprotínají. iv) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže jsou rovnoběžné. v) M = N, kde (m ~ n), pokud S(m) + S(n) = 20, přičemž S(n) značí ciferný součet čísla n. vi) M = N, kde (m ~ n), pokud C(m) = C(n), kde C(n) = S(n), pokud je ciferný součet S(n) menší než 10, jinak definujeme C(n) = C(S(n)) (je tedy vždy C(n) < 10). Řešení. i) Ano. Ověříme tři vlastnosti ekvivalence: i) Reflexivita: pro libovolnou reálnou funkci / je /(O) = /(O). ii) Symetrie: jestliže platí /(O) = g(0), pak i g(0) = /(O). iii) Tranzitivita: jestliže platí /(O) = g(0) a g(0) = h(0), pak platí i /(O) = A(0). ii) Ne. Definovaná relace není reflexivní, např pro funkci sin máme sin 0 ^ sin 1 a není ani tranzitivní. iii) Ne. Relace opět není reflexivní (každá přímka protíná sama sebe) ani tranzitivní. iv) Ano. Třídy ekvivalence pak tvoří množinu neorientovaných směrů v rovině. v) Ne. Relace není reflexivní. 5(1) + 5(1) = 2. vi) Ano. □ 1.93. Máme množinu {3,4,5,6,7}. Napište explicitně relaci i) a dělí b ii) a dělí b nebo b dělí a iii) a a b jsou soudělná 1.94. Nechť je na R2 definována relace R tak, že ((a, b), (c, d)) e R pro libovolná a, b, c, d e R, právě když b = d. Zjistěte, zda se jedná 41 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ o relaci ekvivalence. Pokud jde o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje. Řešení. Z ((a, b), (a, b)) e R pro všechna a, b e M plyne, že relace je reflexivní. Stejně snadno vidíme, že relace je symetrická, neboť v rovnosti (druhých složek) můžeme zaměnit levou a pravou stranu. Jeli ((a, b), (c, d)) e R a ((c, d), (e, f)) e R, tj. platí-li b = dad = f, lehce dostáváme splnění tranzitivní podmínky ((a, b), (e, f)) e R, tj. b = f. Relace R je relací ekvivalence, kdy body roviny jsou spolu v relaci, právě když mají stejnou druhou souřadnici (přímka jimi zadaná je kolmá na osu y). Příslušný rozklad proto rozdělí rovinu na přímky rovnoběžné s osou x. □ 1.95. Určete, kolik různých binárních relací lze zavést mezi množinou X a množinou všech jejích podmnožin, má-li množina X právě 3 prvky. Řešení. Nejprve si uvědomme, že množina všech podmnožin X má 23 = 8 prvků, a tudíž její kartézský součin s množinou X má 8 • 3 = 24 prvků. Uvažovanými binárními relacemi jsou právě podmnožiny tohoto kartézského součinu, kterých je celkem 224. □ 1.96. Uvedte definiční obor D a obor hodnot / relace R = {(a, v), (b, x), (c, x), (c, u), (d, v), (/, y)} mezi množinami A = {a, b, c, d, e, f) a B = {x, y, u, v, w}. Je relace R zobrazení? Řešení. Přímo z definice definičního oboru a oboru hodnot relace dostáváme D = {a, b, c, d, f} C A, I = {x, y,u, v} C B. Nejedná se o zobrazení, protože (c, x), (c, u) e R, t), c e D má dva obrazy. □ 1.97. O každé z následujících relací na množině {a, b, c, d} rozhodněte, zda se jedná o relaci uspořádání (příp. zda se jedná o úplné uspořádání): Ra = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, c), (b, d)}, Rh = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, a), (a, d)}, Rc = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (b, d)}, Rd = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}, Re = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c,d)}. 1.37. Skládám relací a funkcí. U zobrazení je jasná koncepce, jak se skládají. Máme-li dvě zobrazení / :A^-8a g : B -> C, pak jejich složení g o f : A -> C je definováno (g o f)(a) = g(f(a)). Ve značení používaném pro relace totéž můžeme zapsat jako /cAxS, / = {(a, f (a)); a e A} g^BxC, g = {(b, g(b))\ b e B} gof^AxC, gof = {(a,g(f(a)))-aeA}. Zcela obdobně definujeme skládání relací, v předchozích vztazích jen doplníme existenční kvantifikátory, tj. musíme uvažovat všechny „vzory" a "jh\k všechny „obrazy". Uvažme relace R c A x B, ^3%^- 5 c S x C. Potom S o Ä c A x C, S o R = {(a, c); 3b e B, (a, b) e R, (b, c) e 5}. Zvláštním případem relace je identické zobrazení iáA = {(a, a) e A x A; a e A] na množině A. Je neutrální vzhledem ke skládání s každou relací s definičním oborem nebo oborem hodnot A. 42 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Pro každou relaci i? c A x S definujeme inverzní relaci R-1 = {(b, a); (a, b) € R} C B x A. Pozor, u zobrazení, je stejný pojem užíván ve specifičtější situaci. Samozřejmě, že existuje pro každé zobrazení jeho in-vezní relace, ta však nemusí být zobrazením. Zcela logicky proto hovoříme o existenci inverzního zobrazení, pokud každý prvek b e B je obrazem pro právě jeden vzor v A. V takovém případě je samozřejmě inverzní zobrazení právě inverzní relací. Všimněme si, že složením zobrazení a jeho inverzního zobrazení (pokud obě existují) vždy vznikne identické obražení, u obecných relací tomu tak být nemusí. 1.38. Relace na množině. V případě A = B hovoříme o relaci na množině A. Říkáme, že relace R je: • reflexivní, pokud idA c R, tj. (a, a) e R pro všechny a e A, • symetrická, pokud R~ľ = R, tj. pokud (a, b) e R, pak i (b, a) e R, • antisymetrická, pokud R~ľr\R c idA, tj. pokud (a, b) e R a zároveň (b, a) e R, pak a = b, • tranzitivní, pokud R o R c i?, tj. pokud z (a, b) e R a. (b, c) e R vyplývá i (a, c) e R. Relace se nazývá ekvivalence, pokud je současně refle- 5. Řešení. Ostatních k — 3 závodníků můžeme seřadit (k — 3)! způsoby. Pro uvažované tři kamarády pak máme k — 2 míst (začátek, konec a k — 4 mezer), na které je můžeme rozmístit v (k — 2, 3) způsoby. Podle (kombinatorického) pravidla součinu je tak výsledek (* - 3)! • (k - 2) ■ (k - 3) • (k - 4) = (k - 2)! ■ (k - 3) ■ (k - 4). □ 1.123. Turnaje se zúčastní 32 lidí. Podle požadavků organizátorů se musí libovolným způsobem rozdělit do čtyř skupin tak, aby první skupina měla 10 účastníků, druhá 8, třetí také 8 a poslední čtvrtá potom 6. Kolika způsoby se mohou takto rozdělit? Řešení. Můžeme si představit, že z 32 účastníků vytvoříme řadu, kdy prvních 10 utvoří první skupinu, dalších 8 druhou atd. Celkem můžeme účastníky seřadit 32! způsoby. Uvědomme si ovšem, že na 48 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA rozdělení do skupin nemá vliv, když zaměníme pořadí osob, které patří do stejné skupiny. Proto je počet navzájem různých rozdělení roven P (10, 8, 8, 6) - 321 10!-8!-8!-6! " □ 1.124. Je potřeba ubytovat 9 osob v jednom čtyřlůžkovém, jednom třílůžkovém a jednom dvoulůžkovém pokoji. Zjistěte, kolika způsoby to lze provést. Řešení. Jestliže např. hostům ve čtyřlůžkovém pokoji, přiřadíme číslici 1, v třílůžkovém pokoji číslici 2 a v dvoulůžkovém číslici 3, pak vytváříme permutace s opakováním ze tří prvků 1, 2, 3, v nichž jednička se vyskytuje čtyřikrát, dvojka třikrát a trojka dvakrát. Příslušný počet permutací je P(4,3,2) = ^ = 1260. □ 1.125. Určete počet způsobů, jak lze rozdělit mezi tři osoby A, S a C 33 různých mincí tak, aby osoby A a S měly dohromady právě dvakrát více mincí, než má osoba C. v /33\ Řešení. Ze zadání vyplývá, že osoba C má obdržet 11 mincí. To lze provést (nj způsoby. Každou ze zbývajících 22 mincí může získat osoba A nebo B, což dává 222 možností. Z (kombinatorického) pravidla součinu plyne výsledek Q • 222. □ 1.126. Kolika způsoby můžete mezi 4 chlapce rozdělit 40 stejných kuliček? Řešení. Přidejme ke 40 kuličkám troje zápalky. Poskládáme-li kuličky a zápalky do řady, rozdělí zápalky kuličky na 4 úseky. Náhodně seřaďme chlapce. Dáme-li prvnímu chlapci všechny kuličky z prvního úseku, druhému chlapci všechny kuličky z druhého úseku atd., je již vidět, že všech rozdělení je právě (433) = 12 341. □ 1.127. Podle kvality dělíme výrobky do skupin I, 77, 7/7, IV. Zjistěte počet všech možných rozdělení 9 výrobků do těchto skupin, která se liší počtem výrobků v jednotlivých skupinách. Řešení. Zapisujeme-li přímo uvažované devítičlenné skupiny z prvků I, II, III, IV, vytváříme kombinace s opakováním deváté třídy ze čtyř prvků. Počet takových kombinací je (12) = 220. □ 1.128. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní pouze, že alespoň jeden z týmů z dvojice Ostrava, Olomouc je v tabulce za týmem Brna (ligu hraje 16 mužstev). Řešení. Nejprve určíme tři místa, na kterých se umístily celky Brna, Olomouce a Ostravy. Ty lze vybrat c(3, 16) = (g6) způsoby. Z šesti možných pořadí zmíněných tří týmů na vybraných třech místech vyhovují podmínce ze zadání čtyři. Pro libovolné pořadí těchto týmů na libovolně vybraných třech místech pak můžeme nezávisle volit pořadí zbylých 13 týmů na ostatních místech tabulky. Podle pravidla součinu je tedy hledaný počet tabulek roven '16^ . • 4 • 13! = 13948526592000. 3 □ 49 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.129. Kolik je možných uspořádání (v řadě) na fotce volejbalového týmu (6 hráčů), když i) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe ii) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe a uprostřed iii) Gouald a Kamil nechtějí stát vedle sebe Řešení. i) Goualda a Bambu můžeme v tomto případě počítat za jednoho, rozlišíme jen jak stojí vzájemně. Máme 2.5! = 240 pořadí. ii) Tady je to podobnéjen pozice Goualda a Bamby je pevně daná. Dostáváme 2.4! = 48 možností. iii) Nejjednodušší je asi odečíst případy, kdy stojí vedle sebe (viz (i)) od všech pořadí. Dostaneme 6! - 2.5! = 720 - 240 = 480. □ 1.130. Házení mincí. Šestkrát hodíme mincí. i) Kolik je všech různých posloupností panna, orel ii) Kolik je takových, že padnou právě čtyři panny. iii) Kolik je takových, že padnou aspoň dvě panny. 1.131. Kolik existuje přesmyček slova BAZILIKA takových, že se v nich střídají souhlásky a samohlásky? Řešení. Protože souhlásky i samohlásky jsou v daném slově čtyři, tak se v každé takové pře-smyčce střídají pravidelně souhlásky a samohlásky. Slovo tedy může být typu BABABABA nebo ABABABAB. Na daných čtyřech místech můžeme pak samohlásky permutovat mezi sebou (P0(2, 2) = 2j^y způsoby) a nezávisle na tom i souhlásky (4! způsoby). Hledaný počet je pak dle pravidla součinu 2 • 4! • ^ = 288. □ 1.132. Kolika způsoby lze rozdělit 9 děvčat a 6 chlapců do dvou skupin tak, aby každá skupina obsahovala alespoň dva chlapce? Řešení. Rozdělíme zvlášť děvčata a chlapce: 29(25 — 7) = 12800. □ 1.133. Materiál je tvořen pěti vrstvami, každá z nich má vlákna v jednom z daných šesti směrů. Kolik takových materiálů existuje? Kolik je jich takových, že dvě sousední vrstvy nemají vlákna ve stejném směru? Řešení. 65 a6-55. □ 1.134. Pro libovolné pevné n e N určete počet všech řešení rovnice x\ + x2 H-----h xk = n v množině nezáporných, kladných celých čísel. Řešení. Hledáme-li řešení v oboru kladných celých čísel, tak si všimněme, že přirozená čísla x\, ... xk jsou řešením dané rovnice, právě když jsou celá nezáporná čísla y,■ = x,■ — 1, i = 1, ..., k, řešením rovnice yi + yi H-----\-yk = n-k. 50 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Těch je podle 1.31 (^}). □ 1.135. Na kružnici stojí n pevností (n > 3), očíslovaných po řadě čísly í,..., n. V jeden okamžik v, každá vystřelí na jednu ze dvou sousedních (pevnost 1 sousedí s pevností n). Označme P (n) '% počet možných výsledku střelby (za výsledek střelby považujeme množinu čísel právě těch vO7 pevností, které byly při střelbě zasaženy, nerozlišujeme přitom mezi jedním a dvěma zásahy). Dokažte, že P(n) a P(n + 1) jsou nesoudělná. Řešení. Označíme-li zasažené pevnosti černým kolečkem a nezasažené bílým, úloha je ekvivalentní úloze určit počet všech možných obarvení n koleček, umístěných na kružnici, černou a bílou barvou tak, aby nebyla žádná dvě bílá kolečka „objedno". Pro lichá n je tento počet roven počtu K(n) obarvení černou a bílou barvou tak, aby žádná dvě bílá kolečka nestála vedle sebe (přečíslujeme pevnosti tak, že začneme u kolečka 1 a číslujeme popořadě vzestupně po lichých číslech a poté vzestupně po sudých). V případě sudého n je tento počet roven K(n/2)2, kvadrátu počtu obarvení n/2 koleček na obvodu kruhu tak, aby žádná dvě bílá nestála vedle sebe (barvíme nezávisle kolečka na lichých a na sudých pozicích). Pro K(n) snadno odvodíme rekurentní formuli K(n) = K(n — 1) + K(n — 2). Navíc snadno spočteme, že K(2) = 3, K(3) = 4, K(4) = 7, tedy K(2) = F(4) - F(0), K(3) = F(5) - F(l), K(4) = F(6) — F(2) a indukcí snadno dokážeme K(n) = F(n + 2) — F(n — 2), kde F(n) značí n-tý člen Fibonacciho posloupnosti (F(0) = 0, F(l) = F(2) = 1). Navíc protože (K(2), K(3)) = 1, máme pro n > 3 obdobně jako u Fibonacciho posloupnosti (K(n), K(n - 1)) = (K(n) - K(n - 1), K(n - 1)) = = (K(n - 2), K(n-l)) = --- = 1. Ukážeme nyní, že pro každé sudé n = 2a je P(n) = K(a)2 nesoudělné jak s ř(« | 1) = K(2a + 1), tak s P(n — 1) = K(2a — 1). K tomu stačí následující: pro a > 2 je totiž (K(a), K(2a + 1)) = (K(a), F(2)K(2a) + F(l)K(2a - 1)) = = (K(a), F(3)K(2a - 1) + F(2)K(2a -2) = ... = (K(a), F(a + l)K(a + 1) + F(a)K(a)) = = (K(a), F(a + 1)) = (F(a + 2) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a +2) - F(a + 1) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a - 1), F(a + 1)) = (F(a - 1), F (a)) = 1 (K(a), K(2a - 1)) = (K(a), F(2)K(2a - 2) + F(l)K(2a - 3)) = = (K(a), F(3)K(2a - 3) + F(2)K(2a - 4)) = = • • • = (K(a), F(a)K(a) + F(a - l)K(a - 1)) = = (K(a), F(a - 1)) = (F(a + 2) - F (a - 2), F (a - 1)) = = (F(a + 2) - F (a), F(a - 1)) = = (F(a + 2) - F(a + 1), F (a - 1)) = (F(a), F(a - 1)) = 1. Tím je tvrzení dokázáno. □ 51 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.136. Kolik peněz naspořím na stavebním spoření za pět let, vkládám-li 3000 Kč měsíčně (vždy k 1. v měsíci), vklad je úročen roční úrokovou mírou 3% (úročení probíhá jednou za rok) a od státu obdržím ročně příspěvek 1500 Kč (státní příspěvek se připisuje vždy až 1. května následujícího roku)? Řešení. Označme množství naspořených peněz po n-tém roce jako x„. Potom dostáváme (pro n > 2) následující rekurentní formuli (navíc předpokládáme, že každý měsíc je přesně dvanáctina roku) c„+i = 1, 03(x„) + 36000 + 1500+ 0. 03-300o(l + ii + ... + !) + úroky z vkladů za aktuální rok + 0,03•^•1500 •-v-' úrok ze státního příspěvku připsaného v aktuálním roce = l,03(x„) + 38115. Tedy x„ = 38115 J](l, 03)'' + (1, 03)"-1jci + 1500, n-2 i=0 přičemž xx = 36000 + 0, 03 • 3000 (l + n + • • • + n) = 36585, celkem x5 = 38115 ( (1'q3q3 1 ) + (L 03)4 • 36585 + 1500 = 202136. □ 1.137. Poznámka. Ve skutečnosti úročení probíhá podle počtu dní, které jsou peníze na účtu. Obstarejte si skutečný výpis ze stavebního spoření, zjistěte si jeho úročení a zkuste si spočítat připsané úroky za rok. Porovnejte je se skutečně připsanou sumou. Počítejte tak dlouho, dokud sumy nebudou souhlasit... 1.138. Na kolik maximálně částí dělí rovinu n kružnic? Řešení. Pro maximální počet pn oblastí, na které dělí rovinu kružnice odvodíme rekurentní vzorec pn+1 = pn+2n. Všimněme si totiž, že (n + l)-ní kružnice protíná n předchozích maximálně v 2n průsečících (a tato situace skutečně může nastat). 52 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Navíc zřejmě p\ = 2. Pro počet pn tedy dostávame p„ = pn-i + 2(n - 1) = p„_2 + 2(n - 2) + 2(n - 1) «-i Pi + 2i = n2 — n + 2. i=\ □ 1.139. Na kolik nejvýše částí dělí třírozměrný prostor n rovin? Řešení. Označme hledaný počet r„. Vidíme, že r0 = 1. Podobně jako příkladu (1.35) uvažujme, že máme v prostoru n rovin, přidejme jednu další a ptejme se, kolik nejvýše částí prostoru přibude. Opět to bude přesně tolik, kolika původními částmi prostoru přidaná rovina prochází. Kolik to může být? Počet částí prostoru, kterými (n + l)-ní rovina prochází je roven počtu částí, na které je přidaná (n + l)-ní rovina rozdělena průsečnicemi s n rovinami, které v prostoru již byly rozmístěny. Těchto částí však může být podle předchozího příkladu nejvýše 1 /2 • (n2 + n + 2), dostáváme tak rekurentní formuli n2 + n + 2 fn + l = f n H--Z-• Danou rovnici opět můžeme vyřešit přímo: (n - l)2 + (n - 1) + 2 n7 rn = r„_i H---- = r„_i H-- n +2 rn-2 + (n - l)2 - (n - 1) + 2 r„-2 + y + 2 (n " l)2 + n +2 r„-3 + y + n- (n - I)1 + n (n — Y) 2 2 (n - 3)2 n 2 2 + 1 + 1 = (n - 1) (n-2) + + 1 + 1 + 1 = Y n \ n n n(n + l)(2n + 1) n (n + 1) 1 H-----:--1" n 12 «3 + + 5 53 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ kde jsme použili známého vztahu n(n + í)(2n + 1) e'2 „•2 i=\ který lze snadno dokázat matematickou indukcí. □ 1.140. Na kolik maximálně částí dělí trojrozměrný prostor n koulí? 1.141. Na kolik částí dělí prostor n navzájem různých rovin, které všechny prochází jedním daným bodem? Řešení. Pro hledaný počet xn odvodíme rekurentní formuli x„ = x„_! + 2(n - 1), dále x\ = 2, tedy x„ = n(n — 1) + 2. □ 1.142. Z balíčku 52 karet náhodně vybereme 16 karet. Vyjádřete pravděpodobnost, že vybereme právě 10 červených a 6 černých karet. Řešení. Nejdříve si uvědomme, že nemusíme zohledňovat pořadí výběru karet. (Ve výsledném zlomku bychom uspořádané výběry získali tak, že bychom číslem 16! vynásobili čitatele i jmenovatele.) Počet všech možných (neuspořádaných) výběrů 16 karet z 52 je (^). Podobně je počet všech 10) a 6 karet z 26 pak (6 j. Neboť vybíráme nezávisle na sobě 10 karet z 26 červených a 6 karet z 26 černých, užití (kombinatorického) pravidla součinu dává výsledek 0, 118. □ 1.143. V urně je 7 bílých, 6 žlutých a 5 modrých koulí. Vylosujeme (bez vracení) 3 koule. Určete pravděpodobnost, že právě 2 jsou bílé. Řešení. Celkem máme (7+3+5) způsobů, jak lze vybrat 3 koule. Vylosovat právě 2 bílé umožňuje q výběrů bílých a současně (y) výběrů zbylé (třetí) koule. Podle pravidla součinu je tak počet způsobů, jak lze vylosovat právě 2 bílé, roven q • . Odsud již plyne výsledek ^ = 0, 283. □ 54 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.144. Z karetní hry o 108 kartách (2 x 52 + 4 žolíci) bez vracení vybereme 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna z nich je eso nebo žolík? Řešení. Lehce můžeme určit pravděpodobnost opačného (komplementárního) jevu znamenajícího, že ve vybrané čtveřici není žádná z 12 uvažovaných karet (8 es a 4 žolíků). Tato pravděpodobnost je dána poměrem počtu výběrů 4 karet z 96 a počtu výběrů 4 karet ze 108, tj. je rovna (946) f^)- Opačný jev má tudíž pravděpodobnost ŕ6) 1-^= 0, 380. □ 1.145. Při házení kostkou padla jedenáctkrát po sobě čtyřka. Uvedlte pravděpodobnost, že padne podvanácté. Řešení. Předchozí výsledky (podle našich předpokladů) nijak neovlivňují, co padne na kostce při dalších hodech. Proto je hledaná pravděpodobnost 1 /6. □ 1.146. Z balíčku 32 karet náhodně vypadne 6 karet. Jaká je pravděpodobnost, že jsou všechny téže barvy? Řešení. K tomu, abychom získali výsledek ±Ě = 1,234- 10"4, stačí nejprve zvolit jednu ze 4 barev a uvědomit si, že existuje (j!) způsobů, jak vybrat 6 karet z 8 této barvy. □ 1.147. Tři hráči dostanou po 10 kartách a 2 zbudou (z balíčku připraveného na mariáš nebo prší -32 karet, z toho 4 esa). Je pravděpodobnější, že někdo dostane listovou sedmu, osmu a devítku, nebo to, že zbyla dvě esa? Řešení. Protože pravděpodobnost, že nějaký z hráčů dostane uvedené tři karty, je rovna hodnotě zatímco pravděpodobnost, že zbudou dvě esa, je rovna číslu ©' je pravděpodobnější, že nějaký z hráčů dostal zmíněné tři karty. Poznamenejme, že dokázat nerovnost Mí) ^ÉL Q (?) lze úpravou obou jejích stran, kdy opakovaným krácením (po vyjádření kombinačních čísel dle definice) lehce dostaneme 6 > 1. □ 1.148. Hodíme n kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že mezi čísly, která padnou, nebudou hodnoty 1, 3 a 6? Řešení. Úlohu můžeme přeformulovat tak, že n-krát po sobě hodíme 1 kostkou. Pravděpodobnost, že při prvním hodu nepadne 1, 3 nebo 6, je 1/2. Pravděpodobnost, že při prvním a druhém hodu nepadne 1, 3 ani 6, je zjevně 1/4 (výsledek prvního hodu neovlivňuje výsledek druhého). Vzhledem k tomu, že jev určený výsledkem jistého hodu a jakýkoli jev určený výsledkem jiného hodu jsou vždy (stochasticky) nezávislé, hledaná pravděpodobnost je 1 /2". □ 55 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.149. Dva přátelé střílejí nezávisle na sobě do jednoho terče, každý po jednom výstřelu. Pravděpodobnost zásahu terče pro prvního je 0, 4, pro druhého je 0, 3. Nalezněte pravděpodobnost P jevu, že po střelbě bude v terči právě jeden zásah. Řešení. Výsledek stanovíme tak, že sečteme pravděpodobnosti těchto dvou neslučitelných jevů: trefil se první střelec a druhý nikoli; první střelec minul, zatímco druhý terč zasáhl. Při nezávislosti jevů (která se zachovává také tehdy, když uvažujeme komplementy některých z jevů) je pravděpodobnost společného nastoupení dána součinem pravděpodobností jednotlivých jevů. Užitím toho dostáváme p = 0, 4 • (1 - 0, 3) + (1 - 0, 4) • 0, 3 = 0, 46. □ 1.150. Dvanáctkrát po sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padnou tři líce? Řešení. Uvážíme-li, že při opakovaní téhož pokusu jsou jednotlivé výsledky nezávislé, a označíme-li pro i € {1,..., 12} jako A;- jev „při /-tém hodu padly tři líce", určujeme P (U A^j = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(A12)). Pro každé / e {1, ..., 12} je však P(A;) = 1/8, neboť na každé ze tří mincí padne líc s pravděpodobností 1/2 nezávisle na tom, zda na ostatním mincích padl líc, příp. rub. Nyní již můžeme napsat výsledek □ 1.151. V jisté zemi mají parlament, ve kterém zasedá 200 poslanců. Dvě hlavní politické strany, které v zemi existují, si při „volbách" házejí o každý poslanecký mandát zvlášť mincí. Každá z těchto stran má přidělenu jednu stranu mince. Té straně, jejíž strana mince padne, náleží mandát, o který se právě losovalo. Jaká je pravděpodobnost, že každá ze stran získá 100 mandátů? (mince je „poctivá") Řešení. Všech možných výsledků losování (uvažovaných jako dvousetčlenné posloupnosti rubů a líců) je 2200. Pokud každá strana získá právě sto mandátů, je ve vylosované posloupnosti právě sto líců a sto rubů. Takových posloupností je (2[J[J) (taková posloupnost je jednoznačně určená výběrem sto členů z dvou set možných, na kterých budou např. líce). Celkem je hledaná pravděpodobnost (2W\ 200! V100/ _ 1001100! 0, 056. 2200 2200 □ 1.152. Sedm Čechů a pět Angličanů náhodně rozdělíme na dvě (neprázdné) skupiny. Jaká je pravděpodobnost, že v jedna ze skupin bude tvořena pouze Čechy? Řešení. Všech možností je 212 — 1. Jestliže jsou v jedné skupině pouze Češi, znamená to, že všichni Angličané jsou v jedné skupině (buď v první nebo druhé). Zbývá rozdělit Čechy na dvě neprázdné skupiny, to můžeme 27 — 1 způsoby. Na závěr ještě přičíst rozdělení, kdy jsou skupiny podle národností. 2 • (27 - 1) + 1 212- 1 56 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA □ 1.153. Z deseti karet, z nichž právě jedna je eso, namátkou vybereme kartu a vrátíme ji zpět. Kolikrát takový výběr musíme provést, aby pravděpodobnost, že aspoň jednou vybereme eso, byla větší než 0, 9? Řešení. Označme A;- jev „při /-tém výběru bylo vytaženo eso". Neboť jednotlivé jevy A;- jsou (stochasticky) nezávislé, víme, že P (ů Ať) = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(An)) pro každé n e N. Připomeňme, že hledáme n e N takové, aby platilo P \\J Aij = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2))... (1 - P(An)) > 0, 9. Zřejmě je f(A;) = 1/10 pro libovolné / e N. Proto stačí vyřešit nerovnici !-(&)"> 0,9, ze které lze vyjádřit n > !oga n „, kde a > 1. loga 0.9 Vyčíslením potom zjistíme, že daný pokus musíme provést alespoň dvaadvacetkrát. □ 1.154. Texas holďem. Nyní spočítejme několik jednoduchých úloh týkajících se populární karetní hry Texas holďem, jejíž pravidla zde nebudeme uvádět (pokud je čtenář nezná, snadno je dohledá na internetu). Jaká je pravděpodobnost, že i) jako startovní kominaci dostanu dvojici stejných symbolů? ii) ve své startovní dvojici karet budu mít eso? iii) na konci budu mít jednu z šesti nejlepších kombinací karet? iv) vyhraji, pokud držím v ruce eso a trojku (libovolné barvy), na flopu je eso a dve dvojky a na turnu je třetí trojka a všechny tyto čtyři karty mají různou barvu? (poslední karta river ještě není otočena) Řešení. i) Počet různých symbolů je 13 a jsou vždy čtyři (pro každou barvu jeden). Proto je počet dvojic se stejnými symboly 13(2) = 78. Počet všech možných dvojic je (1324) = 1326. Pravděpodobnost stejných symbolů je tedy jj = 0, 06. ii) Jedna karta je eso, to jsou čtyři možnosti a druhá je libovolná, to je 51 možností. Dvojice s oběma esama, kterých je (2) = 6 jsme ale takto započítali dvakrát. Dostáváme tedy 4.51 — 6 = 198 dvojic a pravděpodobnost je = 0, 15. iii) Spočítáme pravděpodobnosti jednotlivých nejlepších kombinací: ROYAL FLUSH: Takové kobinace jsou zřejmě jen čtyři - pro každou barvu jedna. Všech kombinací pěti karet je (552) = 2598960. Pravděpodobnost je tak rovna asi 1, 5.10-6. Hodně malá :) STRAIGHT FLUSH: Postupka, která končí nejvyšší kartou v rozmezí 6 až K, tj. 8 možností pro každou barvu. Dostáváme 259382960 = 1, 2.10-5. POKER: Čtyři stejné symboly - 13 možností (pro každý symbol jedna). Pátá karta může být libovolná, to znamená 48 možností. Odtud: ž§^< = 2' 4-10"4- FULL HOUSE: Tři stejné symboly 13 (3) = 52 možností a k tomu dva stejné symboly je 57 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 12(2) = 72 možností. Pravděpodobnost je 2598960 = 1> 4.10 3- J = 5148 možností a pravděpodobnost fcV3^ 2598960 = 2-10"3- STRAIGHT: Nejvyšší katrta postupky je v rozmezí 6 až A, tj. 9 možností. Barva každé karty je pak libovolná, tj. dohromady 9.45 = 9216 možností. Zde jsme ale započítali jak straight flush, tak i royal flush. Ty je potřeba odečíst. Pro zjištění pravděpodobnosti nějaké z šesti nejlepších kombinací to ale ani nemusíme dělat, jen první dvě kombinace nezapočteme. Celkově tedy dostáváme pravděpodobnost zhruba 3, 5.10"3 + 2.10"3 + 1, 4.10"3 + 2, 4.10"4 = 7, 14.10"3. iv) Evidentně je situace hodně dobrá a proto bude lepší spočítat nepříznivé situace, tj. kdy bude mít soupeř lepší kombinaci. Já mám v tuto chvíli full house ze dvou es a tří dvojek. Jediná kombinace, která by mmě mohla porazit v tuto chvíli je buď full house ze tří es a dvou dvojek nebo dvojkový poker. To znamená, že soupeř by určitě musel držet eso nebo poslední dvojku. Pokud drží dvojku a libovolnou jinou kartu, pak určitě vyhraje bez ohledu na kartu na riveru. Kolik je možností pro tuto kartu ke dvojce? 3 + 4 + -- -+ 4 + 2 = 45 (jednu trojku a dvě esa už mít v ruce nemůže). Včech zbylých kombinací je (426) = 1035 a pravděpodobnost takové prohry je tak 0,043. Pokud drží v ruce eso, pak se může stát následující. Pokud drží (zbylá) dvě esa, tak opět vyhraje, pokud na riveru nepřijde dvojka - pak by byl split poker. Pravděpodobnost (podmíněná) mé prohry je tedy .|| = 10~3. pokud drží soupeř v ruce eso a nějakou jinou kartu, než 2 a A, tak následuje remíza bez ohledu na river. Celková pravděpodobnost výhry je tak skoro 96 %. □ 1.155. Volejbalový tým (s liberem, tj. celkem sedm osob) sedí po zápase v hospodě a popíjí zasloužené pivo. Je ale málo kríglů a proto hospodský používá pořád těch sedm samých. Jaká je pravděpodobnost, že příště i) právě jeden nedostane ten svůj, ze kterého pil ii) nikdo nedostane ten svůj iii) právě tři dostanou ten svůj. Řešení. i) Pokud šest lidí dostne ten svůj, tak zákonitě i ten šestý, pravděpodobnost je tedy nulová. ii) Nechť M je množina všech uspořádání a jev A; je uspořádání, kdy z-tý hráč dostane svůj krígl. Chceme spočítat \M — U;■Al|. Dostáváme 7! YÍí=o = 1854. A pravděpodobnost ie 1854 - M - 0 37 J 5040 280 ' iii) Vybereme, kteří tři dostanou ten svůj - Q = 35 možností. Zbylí čtyři musí dostat jiné než svoje. To je opět vzorec z minulého bodu, konkrétně jde o 4! Ylt=o ^~T\~ = 9 možností. Máme tedy dohromady 9 • 35 = 315 možností a pravděpodobnost je = jt. □ 1.156. Kolika způsoby lze rozestavit n shodných věží na šachovnici n x n tak, aby bylo každé neobsazené pole ohrožováno některou z věží? 58 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Řešení. Daná rozestavení jsou sjednocením dvou množin: množiny rozestavení, kdy je alespoň v jednom řádku jedna věž (tedy v každém řádku právě jedna; tato množina má n" prvků - v každém řádku vybereme nezávisle jedno pole pro věž) a množiny rozestavení, kdy je v každém sloupci alespoň (tedy právě) jedna věž (stejnou úvahou jako u první množiny má tato množina rovněž n" prvků). Průnik těchto množin pak má n! prvků (místa pro věže vybíráme postupně od prvního řádku - tam máme n možností, ve druhém pak již pouze n — 1 možností-jeden sloupec je již obsazen,...). Podle principu inkluze a exkluze je počet hledaných rozestavení: 2n" - n\. □ 1.157. Zjistěte pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padla alespoň na jedné kostce čtyřka, jestliže padl součet 7. Řešení. Příklad řešíme pomocí klasické pravděpodobnosti, kdy podmínku interpretujeme jako zúžení pravděpodobnostního prostoru. Ten má vzhledem k podmínce tedy 6 prvků, z čehož právě 2 jsou příznivé vyšetřovanému jevu. Správná odpověďje 2/6 = 1/3. □ 1.158. Hodíme dvěma kostkami. Určete podmíněnou pravděpodobnost, že na první kostce padla pětka za podmínky, že padl součet 9. Na základě tohoto výsledku rozhodněte o nezávislosti jevů „na první kostce padla pětka" a „padl součet 9". Řešení. Označíme-li jev „na první kostce padla pětka" jako A a jev „padl součet 9" jako H, pak platí P(A\H) = ^ = f = i. 36 Uvědomme si, že součet 9 můžeme získat tak, že na první kostce padne 3 a na druhé 6, na první 4 a na druhé 5, na první 5 a na druhé 4 nebo na první 6 a na druhé 3. Z těchto čtyř (stejně pravděpodobných) výsledků jevu A vyhovuje právě jeden. Protože pravděpodobnost jevu A je očividně 1/6 / 1/4, nejsou uvedené jevy nezávislé. □ 1.159. Mějme balíček 32 karet. Vytáhneme-li dvakrát po jedné kartě, nalezněte pravděpodobnost, že druhá tažená karta bude eso, když první kartu vrátíme, a také tehdy, když ji do balíčku nevrátíme (druhou kartu potom vybíráme z balíčku 31 karet). Řešení. Pokud kartu do balíčku vrátíme, zjevně opakujeme pokus, který má 32 možných (stejně pravděpodobných) výsledků, přičemž právě 4 z nich vyhovují námi uvažovanému jevu. Vidíme, že tomto případě je hledaná pravděpodobnost 1/8. Ve druhém případě, kdy první kartu do balíčku nevrátíme, je ovšem hledaná pravděpodobnost stejná. Postačuje např. uvážit, že při vytažení postupně všech karet je pravděpodobnost vytažení esa jako první karty totožná s pravděpodobností, že druhá vytažená karta bude eso. Pochopitelně bylo možné využít toho, že máme zavedenu podmíněnou pravděpodobnost. Tak bychom mohli obdržet _± _L _1_ 21 _4_ _ 1 32 ' 31 32 ' 31 ~~ 8- □ 59 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.160. Uvažujme rodiny se dvěma dětmi a pro jednoduchost předpokládejme, že všechny možnosti v množině Q = {kk, kh, hk, hh}, kde k značí „kluk" a h znamená „holka" při zohlednění stáří dětí, jsou stejně pravděpodobné. Zaveďme náhodné jevy H\ - rodina má kluka, A\ - rodina má 2 kluky. Vypočtěte P (Ai\Hx). Podobně uvažujme rodiny se třemi dětmi, kdy je £2 = {klek, kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk, hhh}. Jestliže H2 - rodina má kluka i holku, A2 - rodina má nejvýše jednu holku, rozhodněte o nezávislosti náhodných jevů A2 a H2. Řešení. Uvážením, které ze čtyř prvků množiny Q (ne)vyhovují jevu A\, resp. H\, lehce získáváme P(A I H -\ — p(AinHi) — P(M) _ i _ i r — P(Hl) — P(Hl) — 3 — 3- Dále máme zjistit, zda platí P (A2 DH2) = P (A2) ■ P (H2). Opět si stačí pouze uvědomit, že jevu A2 vyhovují právě prvky kkk, kkh, khk, hkk množiny Q, jevu H2 prvky kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk a jevu A2 n H2 prvky kkh, khk, hkk. Odtud plyne P (A2 n H2) = f = I ■ I = P (A2) ■ P (H2), což znamená, že jevy A2 a H2 jsou nezávislé. □ 1.161. Pětkrát jsme hodili mincí. Pokud padl líc, dali jsme do klobouku bílou kuličku. Když padl rub, dali jsme do téhož klobouku kuličku černou. Vyjádřete pravděpodobnost, že v klobouku je více černých kuliček než bílých, je-li v klobouku alespoň jedna černá kulička. Řešení. Zaveďme jevy A - v klobouku je víc černých kuliček než bílých, H - v klobouku je aspoň jedna černá kulička. Chceme stanovit P(A\H). Uvědomme si, že pravděpodobnost P (Hc) opačného jevu k jevu //je 2~5 a že pravděpodobnost jevu A je stejná jako pravděpodobnost P (Ac) jevu opačného (v klobouku je víc bílých kuliček). Nutně tedy P(H) = 1 - 2"5, P (A) = 1/2. Dále je P (A n H) = P (A), neboť jev H obsahuje jev A (jev A má za důsledek jev H). Celkem jsme obdrželi r(.A\ti)- p{H) _ 5_31. □ 1.162. V osudí je 9 červených a 7 bílých koulí. Postupně vytáhneme 3 koule (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že první dvě budou červené a třetí bílá. Řešení. Příklad budeme řešit pomocí věty o násobení pravděpodobností. Nejprve požadujeme vytažení červené koule, což se podaří s pravděpodobností 9/16. Pokud byla poprvé vytažena červená koule, při druhém tahu vytáhneme znovu červenou kouli s pravděpodobností 8/15 (v osudí je 15 koulí, z toho 8 červených). Konečně, pokud byla dvakrát vytažena červená koule, pravděpodobnost, že potom bude vytažena bílá, je 7/14 (v osudí je 7 bílých koulí a 7 červených koulí). Celkem dostáváme 60 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA JL . JL . -7_ = o 15 16 15 14 u' J- □ 1.163. V osudí je 10 koulí, a to 5 černých a 5 bílých. Postupně budeme losovat po jedné kouli, přičemž vytaženou kouli nevrátíme zpět. Stanovte pravděpodobnost, že nejprve vytáhneme bílou, poté černou, pak bílou a v posledním čtvrtém tahu opět bílou kouli. Řešení. Použijeme větu o násobení pravděpodobností. V prvním tahu vytáhneme bílou kouli s pravděpodobností 5/10, poté černou s pravděpodobností 5/9, následně bílou s pravděpodobností 4/8 a na závěr bílou s pravděpodobností 3/7. Dohromady to dává _5_ 5 4 3 _ _5_ 10 ' 9 ' 8 ' 7 ~~ 84- □ 1.164. Z balíčku 32 karet náhodně vybereme šestkrát po sobě po jedné kartě, a to bez vracení. Spočtěte pravděpodobnost, že první král bude vybrán až při šestém výběru. Řešení. Podle věty o násobení pravděpodobností je výsledek 28 27 26 25 24 J_ ^_ r> 0790 32 ' 31 ' 30 ' 29 ' 28 ' 27 ~~ U' u/z->- □ 1.165. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel menších než 1 bude menší než 3/7? Řešení. Je vidět, že jde o jednoduchý příklad na geometrickou pravděpodobnost, kdy jako základní prostor Q se nabízí čtverec s vrcholy [0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1] (volíme dvě čísla mezi 0 a 1). Zajímá nás pravděpodobnost jevu udávajícího, že pro náhodně zvolený bod [x, y] v tomto čtverci bude platit x + y < 3/7; tj. pravděpodobnost toho, že zvolený bod se bude nacházet uvnitř trojúhelníku A s vrcholy [0, 0], [3/7, 0], [0, 3/7]. Nyní již snadno vyčíslíme P(A\ — — (^) /2 _ 2. ^ ' vol Q 1 98 • □ 1.166. Nechť je náhodně rozlomena tyč na tři části. Stanovte pravděpodobnost, že délka druhé (prostřední) části bude větší než dvě třetiny délky tyče před jejím rozlomením. Řešení. Nejprve si označme délku uvažované tyče jako d. Rozlomení tyče ve dvou místech je dáno volbou bodů, kde ji zlomíme. Označme jako x bod, ve kterém je první (např. blíže nějakému předmětu) zlom, a jako x + y bod, ve kterém je druhý zlom. To nám říká, že za základní prostor lze považovat množinu {[jc, y]; x e (0, d), y e (0, d — x)}, tj. trojúhelník s vrcholy v bodech [0, 0], [d, 0], [0, d]. Délka prostřední části je dána hodnotou y. Požadavek ze zadaní lze nyní zapsat v jednoduchém tvaru y > 2d/3, což odpovídá trojúhelníku s vrcholy [0, 2d/3], [d/3, 2d/3], [0, d]. Obsahy uvažovaných pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků jsou d2/2 a (d/3)2/2, a proto je hledaná pravděpodobnost 61 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 2 □ 1.167. Tyč o délce 2 m je náhodně rozřezána na tři části. Nalezněte pravděpodobnost jevu, že třetí část měří méně než 1, 5 m. Řešení. Tento příklad je na užití geometrické pravděpodobnosti, kdy hledáme pravděpodobnost toho, že součet délek prvních dvou částí je větší než čtvrtina délky tyče. Určeme pravděpodobnost opačného jevu, tj. pravděpodobnost, když budou náhodně (a nezávisle na sobě) zvolena dvě místa, ve kterých bude tyč rozřezána, že budou obě v první čtvrtině tyče. Pravděpodobnost tohoto jevu je 1/42, neboť pravděpodobnost výběru místa v první čtvrtině tyče je zřejmě 1/4 a tento výběr se (nezávisle) jednou opakuje. Pravděpodobnost hledaného (opačného) jevu je tak 15/16. □ 1.168. Mirek a Marek chodí na obědy do univerzitní menzy. Menza má otevřeno od llh do 14h. Každý z nich stráví na obědě půl hodiny a dobu příchodu (mezi llh a 14h) si vybírá náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se na obědě v daný den potkají, sedávají-li oba u stejného stolu? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 3x3. Označíme-li x dobu příchodu Mirka a y dobu příchodu Marka, tak tito se potkají, právě když \x — y\ < 1/2. Tato nerovnost vymezuje ve čtverci možných událostí oblast, jejíž obsah je roven 11 /36 obsahu čtverce. Tomuto zlomku je tedy rovna i hledaná pravděpodobnost. □ 1.169. Z Brna vyrazí náhodně někdy mezi polednem a čtvrtou hodinou odpolední Honza autem do Prahy a opačným směrem někdy ve stejném intervalu autem Martin. Oba si dávají půl hodiny pauzu v motorestu v polovině cesty (přístupném pro oba směry). Jaká je pravděpodobnost, že se tam potkají, jezdí-li Honza rychlostí 150 km/h a Martin 100 km/h? (Vzdálenost Brno-Praha je 200 km) Řešení. Označíme-li dobu odjezdu Martina x a dobu odjezdu Honzy y a pro menší výskyt zlomků v následujících výpočtech zvolíme za jednotku deset minut, tak stavovým prostorem bude čtverec 24 x 24. Doba příjezdu Martina do motorestu je x + 6, do příjezdu Honzy x +4. Stejně jako v předchozím příkladu to, že se v motorestu potkají, je ekvivalentní tomu, že doby jejich příjezdu se neliší o více než o půl hodiny, tedy | (x + 6) — (y + 4) | < 3. Tato podmínka nám pak ve stavovém čtverci vymezuje oblast o obsahu 242 — |(232 + 192) (viz obr.) a hledaná pravděpodobnost je 2f[ P = (232 + 192 ) 242 □ 62 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.170. Mirek vyjede náhodně mezi desátou hodinou dopolední a osmou hodinou večerní z Brna do Prahy. Marek vyjede náhodně ve stejném intervalu z Prahy do Brna. Oběma trvá cesta 2 hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že se po cestě potkají (jezdí po stejné trase)? Řešení. Řešíme naprosto analogicky jako v předchozím příkladě. Prostor všech možných jevů je čtverec lOx 10, Mirek, vyjíždějícív čase x, potká Marka, vyjíždějícího v čase v právě když \x—y\ < 2. Hledaná pravděpodobnost je p = = ^ = 0,36. 1.171. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že ze vzniklých dílů půjde sestavit trojúhelník. Řešení. Rozdělení tyče je dáno stejně jako v předchozím příkladě body řezu x a. y a jevovým prostorem je opět čtverec 2x2. Aby z částí bylo možno sestavit trojúhelník, musejí jejich délky splňovat tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek libovolných dvou částí musí být větší než délka třetí části. Vzhledem k tomu, že součet délek je roven 2 m, je tato podmínka ekvivalentní podmínce, že každá s částí musí být menší než 1 m. To pomocí řezů x a v vyjádříme tak, že nesmí platit současně x < la. y < 1 nebo současně x > la v > 1 (odpovídá podmínkám, že krajní díly tyče jsou menší než 1), navíc \x — y\ < 1 (prostřední díl musí být menší nezjedná). Tyto podmínky splňuje vyšrafovaná oblast na obrázku a jak snadno nahlédneme, její obsah je 1 /4. 0 1o □ □ 63 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.172. Je rovnice (a) (b) (c) jednoznačně řešitelná (má právě 1 řešení)? Řešení. Soustava lineárních rovnic je jednoznačně řešitelná právě tehdy, když je nenulový determinant matice určené koeficienty na levé straně soustavy. Zejména tedy absolutní členy rovnic (čísla na pravé straně) neovlivňují jednoznačnost řešení soustavy. Musíme tedy ve variantách (a) a (b) dostat stejnou odpověď. Protože 4 -73 4xi - V3x2 = 3, Xi - 2VŤX2 = -2 4X! - V3x2 = 16, Xi - 2VŤ"x2 = -7 4X! + 2x2 = 7, —2xi *2 = -3 1 -2V7 4- (-2v7) - (-73-l) ^0, = 4-(-l)-(2-(-2))=0, -2 -1 mají soustavy ve variantách (a) a (b) právě 1 řešení a poslední soustava nikoliv. Vynásobíme-li druhou rovnici v (c) číslem —2, vidíme, že tato soustava nemá řešení. □ 1.173. Vypočítejte obsah S čtyřúhelníku zadaného vrcholy [0,-2], [-1,1], [1,5], [1,-1]. Řešení. Při obvyklém označení vrcholů A = [0,-2], S = [1,-1], C = [1,5], D = [-1,1] a neméně obvyklém rozdělení čtyřúhelníku na trojúhelníky ABC nACD s obsahy S\ a 52, dostáváme S = Si + S2 1-0 1-0 -1+2 5 + 2 + 5 1-0 5 + 2 -1-0 1+2 (7 - 1) + i (3 + 7) 1 1 5 + 1 1 5 2 10 13 2 -3 -5 □ 1.174. Určete obsah čtyřúhelníka ABCD s vrcholy A = [1, 0], B = [11, 13], C = [2, 5] a D = [-2, -5]. Řešení. Čtyřúhelník rozdělíme na dva trojúhelníky ABC a ACD. Jejich obsahy pak spočítáme pomocí patřičných determinantů, viz 1.34, 47 T" □ 1.175. Spočítejte obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech [5, 5], [6, 8] a [6, 9]. Řešení. Přestože takový rovnoběžník není zadán jednoznačně (není uveden čtvrtý vrchol), trojúhelník s vrcholy [5, 5], [6, 8] a [6, 9] musí být nutně polovinou každého rovnoběžníku s těmito třemi vrcholy (jedna ze stran trojúhelníku se stane úhlopříčkou rovnoběžníku). Proto je hledaný obsah vždy roven determinantu ri — ^ ri — ^ 1 1 1.4-1-3 = 1. 6-5 6-5 1 1 8-5 9-5 3 4 □ 64 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.176. Určete počet relací na množině {1, 2, 3, 4}, které jsou současně symetrické i tranzitivní. Řešení. Relace uvedených vlastností je relací ekvivalence na nějaké podmnožině množiny {1, 2, 3, 4}. 1.177. Určete počet relací uspořádání na tříprvkové množině. 1.178. Určete počet relací uspořádání na množině {1, 2, 3, 4} takových, že prvky 1 a 2 jsou nesrovnatelné (tedy neplatí 1 < 2 ani 2 < 1, kde < je označení uvažované relace uspořádání). 1.179. Určete počet surjektivních zobrazení / množiny {1,2, 3, 4, 5} na množinu {1,2,3} takových, Řešení. Každé takové zobrazení je jednoznačně dáno obrazem prvků {1, 3, 4, 5}, těchto zobrazení je tedy přesně tolik, kolik je zobrazení surjektivních zobrazení množiny {1, 3, 4, 5} na množinu {1, 2, 3}, 1.180. Výčtem prvků zadejte S o i?, je-li R = {(2, 4), (4, 4), (4, 5)} C N x N, S = {(3, 1), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 4)} c N x N. Řešení. Uvážením všech výběrů dvou uspořádaných dvojic (2, 4), (4,1); (2, 4), (4, 4); (4, 4), (4,1); (4, 4), (4, 4) splňujících, že druhá složka první uspořádané dvojice, která je prvkem i?, je rovna první složce druhé uspořádané dvojice, která je prvkem 5, dostáváme Celkem 1 + 4 • 1 + (4) ■ 2 + (4) ■ 5 + 15 = 52. □ že/(l) = /(2). tedy 36, jak víme z předchozího příkladu. □ SoR = {(2, 1), (2,4), (4, 1), (4,4)}. □ 1.181. Nechť je dána binární relace R = {(0,4), (-3,0), (5, ji), (5, 2), (0,2)} mezi množinami A = Z a B = M.. Vyjádřete R 1 a. R o R 1. Řešení. Ihned vidíme, že R-1 = {(4, 0), (0, -3), (it, 5), (2, 5), (2, 0)}. Odtud pak dále RoR-1 = {(4, 4), (0, 0), (77-, Jí), (2, 2), (4, 2), (tt, 2), (2, tt), (2, 4)}. □ 1.182. Rozhodněte, zdaje relace R určená podmínkou Řešení. V prvním případě relace R tranzitivní je, protože platí Ve druhém případě relace R tranzitivní není. Stačí např. uvážit, že 65 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ (4, 2), (2, 1) e i?, (4,1) g R- □ 1.183. Najděte všechny relace na M = {1, 2}, které nejsou antisymetrické. Které z nich jsou tranzitivní? Řešení. Hledané relace, jež nejsou antisymetrické, jsou čtyři. Jsou to právě ty podmnožiny {1,2} x {1, 2}, které obsahují prvky (1, 2), (2, 1) (jinak nemůže být podmínka antisymetrie porušena). Ztěch-to čtyř je tranzitivní pouze jediná relace {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = M x M, protože nezahrnutí dvojic (1, 1) a (2, 2) do tranzitivní relace by znamenalo, že nemůže obsahovat 1.184. Existuje relace ekvivalence, která je současně relací uspořádání, na množině všech přímek v rovině? Řešení. Relace ekvivalence (příp. relace uspořádání) musí být reflexivní, a proto každá přímka musí být v relaci sama se sebou. Dále požadujeme, aby hledaná relace byla symetrická (ekvivalence) a zároveň antisymetrická (uspořádání). To dává, že přímka může být v relaci pouze sama se sebou. Zavedeme-li ovšem relaci tak, že dvě přímky jsou v relaci právě tehdy, když jsou totožné, dostaneme „velmi přirozenou" relaci ekvivalence i relaci uspořádání. Stačí si uvědomit, že je triviálně tranzitivní. Hledanou relací je právě identické zobrazení množiny všech přímek v rovině. □ 1.185. Určete, zda je relace R = {(k,l) e Z x Z; \ k\>\l\] na množině Z ekvivalence, uspořádání. Řešení. Relace R není ekvivalencí: není symetrická (kupř. (6, 2) e R, (2, 6) ^ R); není uspořádáním: není antisymetrická (mj. (2, —2) e R, (—2, 2) e R). □ 1.186. Ukažte, že průnik libovolných relací ekvivalence na libovolně dané množině X je rovněž relace ekvivalence a že sjednocení dvou relací uspořádání na X nemusí být relace uspořádání. Řešení. Postupně uvidíme, že průnik relací ekvivalence je reflexivní, symetrický a tranzitivní. Všechny relace ekvivalence na X musí obsahovat dvojici (x, x) pro každé x e X, a proto ji musí obsahovat také daný průnik. Pokud v průniku ekvivalencí je prvek (x, y), musí v něm být rovněž prvek (y, x) (stačí využít toho, že každá ekvivalence je symetrická). To, že do průniku ekvivalencí náleží prvky (x, y) a (y, z), znamená, že se jedná o prvky každé z ekvivalencí. Z tranzitivnosti všech jednotlivých ekvivalencí již vyplývá, že do průniku náleží také prvek (x, z). Zvolíme-li X = {1, 2} a relace uspořádání zároveň (1, 2) a (2, 1). □ Ri = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)}, R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1)} na X, dostáváme relaci /ř1U/ř2 = {(l,l),(2,2),(l,2),(2, 1)}, která zřejmě není antisymetrická, a tedy ani uspořádáním. □ 66 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.187. Na množině M = {1, 2, ..., 19, 20} je zavedena relace ekvivalence ~ tak, že a ~ b pro libovolná a, b e M právě tehdy, když první cifry čísel a, b jsou stejné. Sestrojte rozklad daný touto ekvivalencí. Řešení. Dvě čísla z množiny M jsou ve stejné třídě ekvivalence, právě když jsou spolu v relaci (první cifra je stejná). Rozklad jí určený se tedy skládá z množin {1, 10, 11, ..., 18, 19}, {2, 20}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}. □ 1.188. Je dán rozklad se dvěma třídami {b, c), {a, d, e} množiny X = {a, b, c, d, e}. Napište relaci ekvivalence R na množině X příslušnou tomuto rozkladu. Řešení. Ekvivalence R je určena tím, že v relaci jsou spolu ty prvky, které jsou ve stejné třídě rozkladu, a to v obou pořadích (R musí být symetrická) a každý sám se sebou (R musí být reflexivní). Proto R obsahuje právě (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (b, c), (c, b), (a, d), (a, e), (d, a), (d, e), (e, a), (e, d). □ 1.189. Na následujících třech obrázkách jsou ikony spojeny čarami tak, jak by je možná přiřadili lidé v různých částech světa. Určete, zda jde o zobrazení, zdaje injektivní, surjektivní nebo bijektivní. Řešení. V prvním případě jde o zobrazení, které je surjektivní, ale není injektivní, protože had i pavouk jsou označeni jako jedovatí. Druhý případ není zobrazení ale jen relace, protože pes je určen jako domácí zvíře i na jídlo. V třetím případě máme opět zobrazení. Tentokrát není ani injektivní, ani surjektivní. □ 67 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.190. Mějme množinu {a, b, c, d] a na ní relaci {(a, a), (b,b), (a,b), (b,c), (c,b)}. Jaké členy je potřeba minimálně doplnit do této relace, aby to byla ekvivalence? Řešení. Postupně projdeme všechny tři vlastnosti, které definují ekvivalenci. Za prvé je to reflexivita. Musíme tedy doplnit dvojice {(c, c), (d, d)}. Za druhé symetrie -musíme doplnit (b, a) a za třetí musíme udělat tzv. tranzitivní obal. Protože je a v relaci s b a b v relaci s c, musí být i a v relaci s c. Nakonec tedy potřebujeme přidat (a, c) a (c, a). □ 1.191. Uvažme množinu čísel, které mají pět cifer ve dvojkovém zápisu a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jejich ciferný součet má stejnou paritu. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. Dostáváme dvě třídy ekvivalence (o osmi členech): [10000] = {10000, 10011, 10101, 10110, 11001, 11010, 11100, 11111} odpovídá množině {16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31} a [10001] = {10001, 10010, 10100, 11000, 10111, 11011, 11101, 11110} odpovídá množině {17, 18, 20, 24, 23, 27, 29, 30}. □ 1.192. Uvažme množinu čísel, které mají tři cifry ve trojkové soustavě a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když v této soustavě i) začínají stejným dvojčíslím. ii) končí stejným dvojčíslím. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. i) Dostáváme šest tříprvkových tříd [100] = {100, 101, 102} odpovídá {9, 10, 11} [110] = {110, 111, 112} odpovídá {12, 13, 14} [120] = {120, 121, 122} odpovídá {15, 16, 17} [200] = {200, 201, 202} odpovídá {18, 19, 20} [210] = {210, 211, 212} odpovídá {21, 22, 23} [220] = {220, 221, 222} odpovídá {24, 25, 26} ii) V tomto případě máme devět dvouprvkových tříd [100] = {100, 200} odpovídá {9, 18} [101] = {101, 201} odpovídá {10, 19} 68 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA [102] = {102, 202} odpovídá {11, 20} [110] = {110, 210} odpovídá {12, 21} [111] = {111, 211} odpovídá {13, 22} [112] = {112, 212} odpovídá {14, 23} [120] = {120, 220} odpovídá {15, 24} [121] = {121, 221} odpovídá {16, 25} [122] = {122, 222} odpovídá {17, 26} □ 1.193. Pro jaký maximální definiční obor D a obor hodnot H je zobrazení bijektivní a jaká je v tom případě inverzní funkce? i) X H» X4 ii) X H» X3 iii) X H» —l-r Řešení. i) D = [0, oo) a H = [0, oo) nebo také D = (—oo, 0] a H = [0, oo). Inverzní funkce je ii) D = H = M a inverze je x h-» ^fx. iii) Z) = M \ {-1} a # = M \ {0}. Inverzní funkce je x^ \ -\. □ 1.194. Uvažme relaci nalxl. Bod je v relaci, pokud pro něj platí (x - l)2 + (y + l)2 = 1 Můžeme body popsat pomocí funkce y = f (x)? Nakreslete obrázek bodů v relaci. Řešení. Nemůžeme, protože např. y = — 1 má dva vzory: x = 0 a x = 2. Body leží na kružnici se středem v bodě (1, —1) s poloměrem 1. □ 1.195. Nechť pro libovolná celá čísla k, l platí (k,l) e R právě tehdy, když je číslo 4k — 41 celočíselným násobkem 7. Je takto zavedená relace R ekvivalence, uspořádání? Řešení. Uvědomme si, že dvě celá čísla jsou spolu v relaci R, právě když dávají stejný zbytek po dělení 7. Jde tedy o příklad tzv. zbytkové třídy celých čísel. Proto víme, že relace R je relací ekvivalence. Její symetrie (např. (3, 10), (10, 3) e R, 3 ^ 10) pak implikuje, že se nejedná o uspořádání. □ 69 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.196. Nechť je na množině N = {3,4, 5,...,n,n + l, ...} definována relace R tak, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jsou nesoudělná (tedy neobsahuje-li prvočíselný rozklad uvažovaných dvou čísel ani jedno stejné prvočíslo). Zjistěte, zda je tato relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní. Řešení. Pro dvojici stejných čísel platí, že (n,n) £ R. Nejedná se tedy o reflexivní relaci. Být „soudělný" nebo „nesoudělný" pro dvojici čísel z N \e zřejmě vlastnost neuspořádané dvojice - nezávisí na uvedeném pořadí uvažovaných čísel, a proto je relace R symetrická. Ze symetrie relace R plyne, že není antisymetrická (např. (3, 5) e Ä, 3 ^ 5). Neboť je R symetrická a (n, n) £ R pro libovolné číslo n e N, volba dvou různých čísel, která jsou spolu v této relaci, dává, že R není tranzitivní. □ 70 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Řešení cvičení 1.34. y„ = 2(§)" - 2. 1.93. i) (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (3, 6) ověřte, že jde o relaci uspořádání ii) opět (i, i) pro i — 1,..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3) ověřte, že jde o relaci ekvivalence iii) (í, 0 pro i — 1,..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4) ověřte, že nejde o relaci ekvivalence, protože není splněna tranzitivita. 1.104. Tři různé Hasseovy diagramy vyhovujících uspořádání. Celkem 5! + 5! + 5!/4 = 270. 7.775. a) 1-3-2/+ Ai = -24- 2i, 1 • (-3) - Si2 4- 6i + Ai = 5 4- 10«, 1 4- 2i, JA2 + (-3)2 = 5, = fŠĽ = i . (_3) + 8ř-2 + 6i _ 4i25 = _ li + 2 L Z2 \Z2\ 25 25 b) 2 + i,2i 2,\,} = ~2L 1.130. i) 26 = 64 ii) 0 = 15 iii) Žádná panna je jedna možnost (q) = 1, jedna panna (j) = 6 možností. Posloupností s nejvýše jednou pannou je teda jen 7 a proto posloupností, kde jsou aspoň dvě panny je 64 — 7 = 57. 1.140. Maximální počet yn částí, na které rozdělí n kružnic rovinu, je yn — y„-\ + 2(n — 1), yi = 2, tedy y„ = n2 - n + 2. Pro maximální počet pn částí, na které potom rozdělí n koulí prostor, pak dostáváme rekurentní vztah pn+i = p„ + y„, pi = 2, tedy celkem p„ = |(n2 - 3n 4- 8). 7.777. 19. 7.778. 87. 71 KAPITOLA 2 Elementární lineární algebra neumíte ještě počítat se skaláry? — zkusme to rovnou s maticemi... Mé V minulé kapitole jsme se snad rozehřáli s relativně jednoduchými úlohami, k jejichž řešení nebylo potřeba složitých nástrojů. Vystačili jsme si přitom se sčítáním a násobením skalárů. V této a dalších kapitolách se postupně budeme věnovat jednotlivým tématům souvisleji. Hned tři kapitoly budou věnovány nástrojům pro práci s daty, kdy operace spočívají v obzvlášť jednoduchých úkonech se skaláry, jen je těch skalárů povíce naráz. Hovoříme o „lineárních objektech" a „lineární algebře". Jakkoliv to teď může vypadat jako hodně speciální nástroj, uvidíme později, že složitější objekty a závislosti stejně studujeme hlavně pomocí jejich „lineárních přiblížení". V této kapitole budeme pracovat přímo s konečnými po-, E = (Su) = 1, se vkk jednotková matice. Takto definovaným číslům <5;J se říkává Kroneckerovo delta. Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice, je tam tedy definována operace násobení, jejíž vlastnosti jsou velice podobné jako u skalárů: Tvrzení. Na množině všech čtvercových matic dimenze n nad libovolným okruhem skalárů K je definována operace násobení s následujícími vlast-feéi^ nosti okruhů (viz 1.3): (1) Platí asociativita násobení (Ol). (2) Jednotková matice E = (Si j) je jednotkovým prvkem pro násobení dle (03). (3) Platí distributivita sčítání a násobení (04). Obecně však neplatí axiomy (02) ani (Ol). Čtvercové matice pro n > 1 proto netvoří obor integrity, zejména tedy nejsou ani (nekomutativním) tělesem. Důkaz. Asociativita násobení - (Ol): Protože skaláry jsou asociativní, distributivní i komutativní, můžeme pro tři matice A = (au) typu m/n, B = (bjk) typu n/p a C = (cu) typu p Iq spočíst A ■ B = •./>*). B ■ C = (j>*-c«). (A • B) ■ C = ( J2( <*ij-bjk)-cu ) = í 5ľ aiihik -Ckl )' A ■ (B ■ C) = í aii ■ (J2 bJk -cki) j = ( aij -bjk -Ckl j ■ j k S ^j,k S Pokud ještě nahradíme t = —Is, obdržíme výsledek v jednoduchém tvaru (x\, x2, x3) = (lis, s, —7s) , s ěR. □ 2.4. Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic 3x\ -\- 3x3 — 5x4 = —8, X\ — X2 -\- X3 — X4 = —2xi — x2 ~\~ 4x3 — 2x4 = 2xi -\- x2 — X3 — X4 = Řešení. Soustavě rovnic odpovídá rozšířená matice -2, 0, -3. / 3 1 -2 V 2 0 -1 -1 1 3 1 4 -1 "3/ Záměnou pořadí řádků (rovnic) potom obdržíme matici / 1 2 ■1 1 1 ■1 ■1 4 3 V 3 0 kterou převedeme na schodovitý tvar: -2 \ -3 0 / 1 -1 1 -1 -2 ^ / 1 -1 1 -1 -2 \ 2 1 -1 -1 -3 0 3 -3 1 1 -2 -1 4 -2 0 0 -3 6 -4 -4 v 3 0 3 -5 -* ) \o 3 0 -2 ~2) / 1 -1 1 -1 -2 \ (1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 -3 -3 0 0 3 -3 -3 0 3 -3 "3 y/ \° 0 0 0 0 / Soustava bude mít nekonečně mnoho řešení, neboť dostáváme tři rovnice pro čtyři neznámé, které mají právě jedno řešení pro každou volbu proměnné x4 e M. Neznámou x4 proto nahradíme parametrem t e M a od maticového zápisu přejdeme zpět k rovnicím X\ — x2 -\- X3 — t = —2, 3x2 — 3x3 + t = 1, 3x3 - 3ř = -3. Z poslední rovnice máme X3 = t — 1. Dosazení za X3 do druhé rovnice potom dává 1 3x2 - 3ř + 3 + t = 1, tj. x2 (2t - 2) Konečně podle první rovnice je 1 xi - - (2t - 2) + t 1 Xi Í(2<-5). Množinu řešení můžeme tudíž zapsat (pro t = 3s) ve tvaru í,2s-2- 3 3 (X\, X2, X3, X4) 2s 3s — 1, 3s s e 77 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE Nyní se vraťme k rozšířené matici naší soustavy a upravujme ji dále užitím řádkových transformací tak, aby (při schodovitém tvaru) první nenulové číslo každého řádku (tzv. pivot) bylo právě číslo 1 a aby všechna ostatní čísla v jeho sloupci byla 0. Platí /1 -1 1 -1 -2 \ ( 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 1 -1 1/3 1/3 0 0 3 -3 -3 0 0 1 -1 -1 \o 0 0 0 o ) V 0 0 0 0 o ) /1 -1 0 0 -1 /1 0 0 -2/3 -5/3 \ 0 1 0 - -2/3 -2/3 0 1 0 -2/3 -2/3 0 0 1 -1 -1 0 0 1 -1 -1 \0 0 0 0 0 ) \0 0 0 0 0 přičemž nejdříve jsme vynásobili druhý a třetí řádek číslem 1/3, pak přičetli třetí řádek ke druhému a jeho (—1)násobek k prvnímu a na závěr přičetli druhý řádek k prvnímu. Z poslední matice snadno dostáváme výsledek + t t e AA /-5/3\ x2 = -2/3 x3 —1 W V o / Volné proměnné jsou totiž ty, jejichž sloupce neobsahují žádného pi-vota (v našem případě neobsahuje pivota čtvrtý sloupec, je tedy volná čtvrtá proměnná, tj. používáme ji jako parametr). □ /2/3\ 2/3 1 V 1 / 2.5. Určete řešení systému rovnic 3*i + 3*3 X\ — *2 ~r" *3 — 2*i — *2 + 4*3 2*1 -|- *2 — *3 5*4 *4 2*4 *4 -2, 0, -3. Řešení. Uvědomme si, že soustava rovnic v tomto příkladu se od soustavy z předešlého příkladu liší pouze v hodnotě 8 (místo — 8) na pravé straně první rovnice. Provedeme-li totožné řádkové úpravy jako v minulém příkladu, obdržíme / 3 0 3 -5 8 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 1 -1 1 -1 -2 2 1 -1 -1 -3 — 2 -1 4 -2 0 -2 -1 4 -2 0 v 2 1 -1 -1 V 3 0 3 -5 8 / ( 1 _1 1 1 "2 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 3 -3 0 0 3 -3 -3 ^ 0 0 3 3 13 / \0 0 0 0 i6; kde poslední úpravou bylo odečtení třetího řádku od čtvrtého. Ze čtvrté rovnice 0=16 vyplývá, že soustava nemá řešení. Vyzdvihněme, že při úpravě na schodovitý tvar obdržíme rovnici 0 = a pro nějaké a ^ 0 (tj. nulový řádek na levé straně a nenulové číslo za svislou čarou) právě tehdy, když soustava nemá řešení. □ Všimněme si, že jsme při výpočtu vycházeli z toho, že je jedno v jakém pořadí uvedené součty a součiny provádíme, tj. využívali jsme podstatně našich vlastností skalárů. Velmi snadno vidíme, že násobení jednotkovou maticí má skutečně vlastnost jednotkového prvku: (\ 0 ••• 0\ 0 1 ••• 0 (c A ■ E \o o V a stejně pro násobení E zleva. Zbývá ukázat distributivitu násobení a sčítání. Opět díky distributivitě skalárů snadno spočteme pro matice A = (útý) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cjk) typu n/p, D = (du) typu p/q A-(B + C) + cjk) [J2aij(bj (J2a'JbJk) + (e W) I = A ■ B + A ■ C v j j (B + C)D = \ Y^(bjk +cjk)dk ^ k (J^bjkdu) + (J^Cjkdu) | = B ■ D + C ■ D. Jak jsme již viděli v 1.26, dvě matice dimenze 2 nemusí komutovat: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (02) i (Ol). Pro matice typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože je mají samy skaláry. Pro větší matice získáme protipříklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat a doplníme nulami. (Ověřte si sami!) □ V důkazu jsme vlastně pracovali s maticemi obecnějšího typu, dokázali jsme tedy příslušné vlastnosti obecněji: ^ Asociativita a distributivita násobení matic Důsledek. Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C A ■ (B + C) = A ■ B + A ■ C, kdykoliv jsou všechny uvedené operace definovány. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. 78 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.6. Inverzní matice. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a-x = b umíme vyjádřit x = a~l - b, 1__kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět i s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když A ■ B = B ■ A = E. Píšeme pak B = A~l a z definice je samozřejmé, že obě matice musí mít být čtvercové se stejnou dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice nebo také regulární čtvercová matice. V následujících odstavcích mimo jiné odvodíme, že B je inverzní k A, jakmile platí jedna z požadovaných identit (tj. druhá je pak důsledkem). Pokud A-1 aB"1 existují, pak existuje i inverze k součinu A • B (2.1) (A • B)~l = B~l ■ A~l. Je totiž, díky právě dokázané asociativitě násobení, (S_1 • A-1) • (A • B) (A • B) ■ (B~l ■ A-1) : : B~l ■ (A-1 ■ A) ■ B = E A-(B- B~l) ■ A-1 = E. Protože s maticemi umíme počítat podobně jako se ska-láry, jen mají složitější chování, může nám existence inverzní matice skutečně hodně pomoci s ■ V---" řešením systémů lineárních rovnic: Jestliže vy-jádříme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic A • x a jestliže existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A-1 a dostaneme A-1 • u = A-1 ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. A-1 • u je hledané řešení. Naopak rozepsáním podmínky A • A ~1 = E pro neznámé skaláry v hledané matici A-1 dostaneme n systémů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně a různými vektory napravo. 2.7. Ekvivalentní úpravy matic. Zkusme se praktičtěji zorientovat v předchozí úvaze o systémech rovnic a jejich maticích. Samozřejmě nás nalezení inverzní matice stojí jisté úsilí - větší než přímé vyřešení rovnice. Podstatné však je, že pokud máme mnohokrát za sebou řešit systémy se stejnou maticí A ale různými pravými stranami u, pak se nám nalezení A-1 opravdu hodně vyplatí. Další příklady na systémy lineárních rovnic naleznete na straně 122 B. Manipulace s maticemi V této podkapitole budeme pracovat pouze s maticemi, abychom si osvojili jejich vlastnosti. 2.6. Násobení matic. Provedlte násobení matic a zkontrolujte si výsledek. Všimněte si, že proto, abychom mohli dvě íatice násobit je nutná a postačující podmínka, aby měla první matice stejně sloupců, jako druhá řádků. Počet řádků výsledné matice je pak dán počtem řádků první matice, počet sloupců je roven počtu sloupců druhé matice. 12 7 12), Poznámka.Body i) a ii) v předchozím příkladu ukazují, že násobení čtvercových matic není komutativní, v bodě iii) vidíme, že pokud můžeme násobit obdélníkové matice, tak pouze v jednom ze dvou možných pořadí. V bodech iv) a v) si pak všimněme, že (A-B)T = AT BT. 2.7. Vypočítejte A5 a A-3, je-li li 2 -1 1 -1 2 -1 0 0 1 2.8. Nechť je 4 0 -5\ / A = 2 7 15 , u 7 13/ \ Lze matici A převést na matici B pomocí elementárních řádkových transformací (pak říkáme, že jsou řádkově ekvivalentní)? Řešení. Obě matice jsou zřejmě řádkově ekvivalentní s trojrozměrnou jednotkovou maticí. Snadno se vidí, že řádková ekvivalence na 79 B. MANIPULACE S MATICEMI 1. VEKTORY A MATICE množině všech matic daných rozměrů je relací ekvivalence. Matice A a B jsou tudíž řádkově ekvivalentní. □ 2.9. Nalezněte nějakou matici B, pro kterou je matice C = B ■ A ve schodovitém tvaru, kde /3 -1 3 2\ 5-323 1-3-5 0 \1 -5 1 4/ Řešení. Budeme-li matici A postupně násobit zleva elementárními maticemi (uvažte, jakým řádkovým úpravám toto násobení matic odpovídá) /O 0 1 0\ / ' 1 0 0 0\ Ei = 0 1 1 0 0 0 0 0 -5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 v \ v 0 0 0 v (i 0 0 o^ /1 0 0 0\ E3 = 0 -3 1 0 0 1 0 0 , E4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 \o 0 0 V-7 0 0 v (\ 0 0 0^ (l 0 0 0\ E5 = 0 0 1/3 0 0 1 0 0 , £6 = 0 0 1 -2 0 1 0 0 0 0 h v> 0 0 v (\ 0 0 0\ /l 0 0 0\ E1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 , £s = 0 0 1/4 0 0 1 0 0 -4 0 v 0 0 v obdržíme B = EsEtE6E5E4Ei,E2Ei /O o 0 1/12 1 0\ 1 -2/3 -4/3 -5/12 0 1/3 0 -1/3 1/ C /l -3 0 1 0 0 Vo o -5 0 \ 9/4 1/4 0 0 0 0 / □ a, 2.10. Komplexní čísla jako matice. Uvažme množinu matic . a b b a H a násobení matic a dále ukažte, že přiřazení / : C 7íW^b \—b a f(M ■ N) = f(M) ■ f(N) (na levých stranác rovností se jedná o sčítání a násobení matic, na pravých o sčítání a násobení komplexních čísel). Na množinu C spolu s násobením a sčítáním matic lze tedy Všimněte si, že C je uzavřená na tle ukažte, že přiřazení / : C -> C, \-> a + bi splňuje f(M + N) = f(M) + f(N) i Z hlediska řešení systémů rovnic A ■ x = m je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory u, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Zkusme se teď zamyslet nad možnostmi, jak zjednodušovat matici A tak, abychom se k řešení blížili. Začneme jednoduchými manipulacemi s řádky rovnic, které řešení ovlivňovat nebudou, a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám u čtvercové matice podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Pokud při našem postupu nějaké řádky úplně vypadnou (při úpravách se vynulují), bude to také dávat další přímé informace o řešení. Naše jednoduché úpravy jsou: -[ Elementární řádkové transformace j, • záměna dvou řádků, • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem, • přičtení řádku k jinému řádku. Těmto operacím říkáme elementární řádkové transformace. Je zjevné, že odpovídající operace na úrovni rovnic v systému skutečně nemohou změnit množinu všech jeho řešení, pokud je náš okruh oborem integrity. Analogicky, elementární sloupcové transformace matic jsou • záměna dvou sloupců, • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem, • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postup je algoritmický a většinou se mu říká Gaussova eliminace proměnných. Gaussova eliminace proměnných |m Tvrzení. Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar: • Je-li aik = 0 pro všechna k = 1, ..., j, potom a^ = 0 pro všechna k > /, • je-li ci(i-\)j první nenulový prvek na (i — \)-ním řádku, pak cii j = 0. 1 DŮKAZ. takto ŕ 0 0 Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá \ 0 0 aXj 0 &2k a\n ajjy 0 aip 80 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus, kterým se postupně, řádek za řádkem, blížíme k výslednému schodovitému tvaru: Algoritmus Gaussovy eliminace (1) Případnou záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to 7-tý sloupec. (2) Pro / = 2, ..., vynásobením prvního řádku prvkem atj, /-tého řádku prvkem a\} a odečtením vynulujeme prvek ciij na /-tém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro dosud neupravený zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. Tím je tvrzení dokázáno □ Uvedený postup je skutečně právě obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Zcela analogickým postupem definujeme sloupcově schodovitý tvar matic a záměnou řádkových na sloupcové transformace obdržíme algoritmus převádějící matici na takový tvar. Poznámka. Gaussovu eliminaci jsme zformulovali pro J' ,. obecné skaláry z nějakého okruhu. Zdá se být přirozené, že ve schodovitém tvaru ještě vynáso - 1 bením vhodnými skaláry dosáhneme jednotkových 5 koeficientů na výsledné nenulové „diagonále" nad nulami v matici a dopočítáme řešení. To ale pro obecné skaláry nepůjde, představte si třeba celá čísla Z. Pro řešení systémů rovnic nemá ale vůbec uvedený postup rozumný smysl, když jsou mezi skaláry dělitelé nuly. Promyslete si pečlivě rozdíl mezi K = Z, K = M a případně Z2 nebo Z4. 2.8. Matice elementárních transformací. V dalším budeme už pracovat jen s polem skalárů K, každý nenulový skalár tedy má inverzní prvek. Všimněme si, že elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: (1) Přehození /-tého a 7-tého řádku (resp. sloupce) /l 0 o '•. \ 1/ nahlížet jako na těleso C komplexních čísel. Zobrazení / se pak nazývá izomorfismem (těles). Je tedy například ,9 í což odpovídá tomu, že (3 + 5/) • (8 — 9/) = 69 — 13/. 3 5 -5 3 69 13 -13 69 2.11. Vyřešte maticové rovnice 1 3 3 8 ■X, 1 2 3 4 X 2 ■ 1 3 3 8 X, Řešení. Zjevně neznámé X\ a X2 musejí být matice 2x2 (aby uvažované součiny matic existovaly a výsledkem byla matice 2x2). Položme M x2 = h b? di) \c2 d2/ a roznásobme matice v první zadané rovnici. Má platit ai + 3c 1 bx + 3 □ 2.14. Vypočítejte inverzní matici k matici /l 0 -2> A =12 -2 1 \5 -5 2 2.15. Nalezněte inverzní matici k matici /8 3 0 0 0\ 5 2 0 0 0 0 0-100 0 0 0 1 2 \0 0 0 3 5/ A~l = P = Q k matici A. Zejména se tedy v okamžiku nalezení matice P s vlastností P ■ A = E už nemusíme s žádnými dalšími výpočty namáhat, protože víme, že již jistě jde o inverzní matici. Prakticky tedy můžeme postupovat takto: výpočet inverzní matice | Vedle sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E, matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar, potom tzv. zpětnou eliminací na diagonální matici a v té násobíme řádky inverzními prvky z K. Tytéž úpravy postupně prováděné s E vedou právě k hledané matici A-1. Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. 2.11. Lineární závislost a hodnost. V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali / se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombinace. V abstraktním pojetí se k 2.16. Zjistěte, zda existuje inverzní matice k matici /ll 1 1 \ 11-11 1-1 1 -1 V -i-i i/ Pokud ano, určete tuto matici C-1. , přičemž i je imaginární jednotka; 2.18. Napište inverzní matici k n x n matici (n > 1) (2-n 1 ••• 1 1 \ 1 2-n 1 V i 1 2-n 1 1 2-n) 83 C. PERMUTACE 1. VEKTORY A MATICE C. Permutace Abychom mohli definovat stěžejní pojem kalkulu matic, totiž determinant, je nutné se věnovat permutacím (bijekcím na konečné množině), zejména pak jejich paritě. Pro zápis permutací (tj. bijektivních zobrazení na dané konečné množině) budeme používat tzv. dvouřádkový zápis, (viz 2.14) V prvním řádku uvedeme všechny prvky uvažované množiny, libovolný sloupeček je pak tvořen dvojicí vzor, obraz (v dané permutaci). Protože permutace je bijekce, je druhý řádek vskutku permutací (pořadím) řádku prvního, v souladu s názvoslovím používaným v kombinatorice. 2.19. Rozložte permutaci 123456789 316789542 Na součin transpozic. Řešení. Nejprve rozložíme permutaci na součin nezávislých cyklů: začneme s prvním prvkem (jedničkou) a ve druhém řádku odečteme, na jaký prvek se v dané permutaci zobrazuje. Je to trojka. Nyní se podíváme na sloupeček začínající trojkou a odečteme z něj, že se zobrazuje na šestku, atd. Pokračujeme tak dlouho, dokud se nám nějaký prvek nezobrazí na počáteční prvek (v tomto případě jedničku). Dostáváme následující posloupnost prvků, které se na sebe v dané permutaci zobrazují: 1 i—> 3 i—> 6 i—> 9 i—> 2 i—> 1. Zobrazení, které zobrazuje prvky výše uvedeným způsobem je tzv. cyklus (viz 2.16), který zapisujeme (1, 3, 6, 9, 2). Nyní vezmeme prvek, který není obsažený v získaném cyklu a opakujeme s ním postup jako z jedničkou. Dostáváme cyklus (4, 7, 5, 8). Z postupu vyplývá, že musí být nezávislý na prvním. Každý prvek z dané množiny ({1, 2, ..., 9}) se již vyskytuje v některém z cyklů, můžeme tedy psát: a = (l,3,6,9,2)o(4,7,5,8). Pro cykly je rozklad na permutace jednoduchý. Je totiž (1, 3, 6, 9, 2) = (1, 3)o(3, 6)o(6, 9)o(9, 2) = (1, 3)(3, 6)(6, 9)(9, 2). Celkem dostáváme: a = (1, 3)(3, 6)(6, 9)(9, 2)(4, 7)(7, 5)(5, 8). □ Poznámka. Upozorněme, že operace o je skládání zobrazení, je nutné tedy zobrazení ve složení provádět „odzadu" tak, jak jsme u skládání operacím s vektory vrátíme za chvíli v 2.24, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a^-) typu m/n rozumíme výraz c\uh H-----h ckui kde c i jsou skaláry, u j = (a n- a m) jsou řádky (nebo (a amj) jsou sloupce) matice A. Jestliže existuje lineární kombinace daných řádků s alespoň jedním nenulovým skalárním koeficientem, jejímž výsledkem je nulový řádek, říkáme, že jsou tyto řádky lineárně závislé. V opačném případě, tj. když jedinou možností jak získat nulový řádek je vynásobení výhradně nulovými skaláry, jsou tyto řádky lineárně nezávislé. Obdobně definujeme lineárně závislé a nezávislé sloupce matice. Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme teď J' „ intepretovat tak, že počet výsledných nenulových „schodů" v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven počtu lineárně nezávislých řádků matice, resp. počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Označme Eh matici z věty 2.9 s h jedničkami na diagonále a předpokládejme, že dvěma různými postupy dostaneme různá h' < h. Pak ovšem podle našeho postupu budou existovat také invertibilní matice P a. Q takové, že P-Eh,-Q = Eh. V součinu ■ Q bude více nulových řádků ve spodní části matice, než kolik má být jedniček v Eh a přitom se k nim máme dostat už jen řádkovými transformacemi. Zvýšit počet lineárně nezávislých řádků ale pomocí elementárních řdáko-vých transformací nelze. Proto je počet jedniček v matici P ■ A ■ Q ve větě 2.9 nezávislý na volbě našeho postupu eliminace a je roven jak počtu lineárně nezávislých řádků v A, tak počtu lineárně nezávislých sloupců v A. Tomuto číslu říkáme hodnost matice a značíme je h (A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Věta. Nechť A je matice typum/n nadpolem skalárů K. Matice A má stejný počet h( A) Unárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. Algoristmus pro výpočet inverzních matic také říká, že čtvercová matice A dimenze m má inverzi, právě když je její hodnost rovna počtu řádků m. 2.12. Matice jako zobrazení. Zcela stejně, jak jsme s maticemi pracovali v geometrii roviny, viz 1.29, můžeme každou čtvercovou matici A interpretovat jako zobrazení A : x A ■ x. Díky distributivitě násobení matic je zřejmé, jak jsou zobrazovány lineární kombinace vektorů takovými zobrazeními: A • (a x + b y) = a (A • x) + b (A • y). 84 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA tady byla ještě ukázka matic rotací - patrně budou v příkladech, tak jsou tady vyprocentované Přímo z definice je také vidět (díky asociativitě násobení matic), že skládání zobrazení odpovídá násobení matic v daném pořadí. Invertibilní matice tedy odpovídají bijektivním zobrazením. Z tohoto pohledu je velice zajímavá věta 2.9. Můžeme ji číst tak, že hodnost matice určuje, jak velký je obraz celého W v tomto zobrazení. Skutečně, je-li A = P ■ Ek ■ Q s maticí Ek s k jedničkami jako v 2.9, pak invertibilní Q napřed jen bijektivně „zamíchá" n-rozměrné vektory v W, matice Ek pak „zkopíruje" prvních k souřadnic a vynuluje n — k zbývajících. Tento „^-rozměrný" obraz už pak následně násobení invertibilní P nemůže zvětšit. 2.13. Řešení systémů lineárních rovnic. K pojmům dimenze, lineární nezávislost apod. se vrátíme ve třetí části této kapitoly. Již teď si ale můžeme povšimnout, co právě dovozené výsledky říkají o řešení systému lineárních rovnic. Jestliže budeme uvažovat matici systému rovnic a přidáme k ní ještě sloupec požadovaných hodnot, hovoříme o rozšířené matici systému. Postup, který jsme předvedli odpovídá postupné eliminaci proměnných v rovnicích a vyškrtání lineárně závislých rovnic (ty jsou prostě důsledkem ostatních). Dovodili jsme tedy kompletní informaci o velikosti množiny řešení systému lineárních rovnic v závislosti na hodnosti matice systému. Pokud nám při přechodu na řádkově schodovitý tvar zůstane v rozšířené matici více nenulových řádků než v matici systému, pak žádné řešení nemůže existovat (prostě se daným lineárním zobrazením do požadované hodnoty vůbec netrefíme). Pokud je hodnost obou matic stejná, pak nám při zpětném dopočtu řešení zůstane právě tolik volných parametrů, kolik je rozdíl mezi počtem proměnných n a hodností h (A). 2. Determinanty V páté části první kapitoly jsme viděli (viz 1.27), že pro čtvercové matice dimenze 2 nad reálnými čísly existuje skalární funkce det, která matici přiřadí nenulové číslo, právě když existuje její inverze. Neříkali jsme to sice stejnými slovy, ale snadno si to ověříte (viz odstavce počínaje 1.26 a vzorec (1.16)). Determinant byl užitečný i jinak, viz odstavce 1.33 a 1.34, kde jsme si volnou úvahou odvodili, že obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a že je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. Nyní uvidíme, že podobně lze postupovat v každé konečné dimenzi. V této části budeme pracovat s libovolnými skaláry K a maticemi nad těmito skaláry. Naše výsledky o determinantech tedy budou vesměs platit pro všechny komutativní okruhy, zejména tedy třeba pro celočíslené matice. zobrazení zvyklí. Aplikaci daného složení transpozic kupříkladu na prvek 2 můžeme postupně zapsat: [(1, 3)(3, 6)(6, 9)(9, 2)](2) = [(1, 3)(3, 6)(6, 9)]((9, 2)(2)) = [(1,3)(3,6)(6, 9)](9) = [(1,3)(3,6)](6) = (1,3)(3) = 1, tedy vskutku zobrazuje dané zobrazení prvek 2 na prvek 1 (je to totiž pouzejinak zapsaný cyklus (1, 3, 6, 9, 2). Vzápisu skládání permutací však znak „o" často vypouštíme a hovoříme o součinu permutací. Při zápisu cyklu zapisujeme pouze prvky, na kterých cyklus (tj. zobrazení) netriviálně působí (tj. zobrazuje je jinam, než na sebe sama). Pevné body cyklu naopak v jeho notaci neuvádíme. Je tudíž nutné vědět, na které množině daný cyklus uvažujeme (většinou zřejmé z kontextu). Cyklus (4, 7, 5, 8) z předchozího příkladu, označme tento cyklus jako c, je tedy zobrazení (permutace), které by ve dvojřádkovém zápisu mělo tvar 123456789 123786549 Pokud tedy má již původní permutace nějaké pevné body, tak se v rozkladu na cykly neobjevují. Dále si všimněme, že zápis (1, 2, 3) zadává stejný cyklus jako (2, 3, 1) či (3, 1, 2). Cyklus (1, 3, 2) je však již jiné zobrazení. 2.20. Určete paritu následujících permutací: er 123456789 316789542 1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 5 3 Řešení. Z předchozího příkladu víme, že a = (1, 3) (3, 6) (6, 9) (9, 2) (4, 7) (7, 5) (5, 8). Její parita je dána paritou počtu transpozic v jejím rozkladu (ta je narozdíl od počtu transpozic v libovolném rozkladu dané permutace stejná). Transpozic jev rozkladu sedm, permutace je tudíž lichá. Bez znalosti rozkladu a na traspozice, bychom mohli spočítat počet dvojic (a, b) c {1, 2, ..., 9} x {1, 2, ..., 9}, které jsou v inverzi vůči a (viz 2.15: procházíme postupně druhý řádek zápisu permutace a pro každé číslo přičteme počet čísel, která jsou menší než ono číslo a která stojí v řádku za ním. Není těžké si rozmyslet, že počet inverzí v dané permutaci je právě počet dvojic čísel „větší před menším" v druhém řádku. Pro a počítáme (procházíme druhý řádek): za trojkou je jednička i dvojka, tedy přičítáme 2, za jedničkou není pochopitelně žádné menší číslo, přičítáme 0, za šestkou je pětka, čtyřka a dvojka, tedy přičítáme 3, stejně tak za sedmičku, osmičku i devítku, za pětku přičítáme 2, za čtyřku 1 a dvojku nic. Celkem máme 17 inverzí, permutace je tedy vskutku lichá. 85 D. DETERMINANTY 2. DETERMINANTY Obdobně můžeme rozložit r buď na součin transpozic (pomoci rozkladu na nezávislé cykly): r = (1, 2, 4)(3, 6) = (1, 2)(2, 4)(3, 6), nebo zjistíme počet inverzí vr: 1+2 + 3 + 0+1 = 7. Tak jako tak zjišťujeme, že r je rovněž lichá permutace. □ D. Determinanty Ověřte si nejprve na následujícím příkladu, že umíte počítat determinanty matic 2 x 2 a 3 x 3 (pomoci Saarusova pravidla): 1 2 2 1 2.21. Určete determinanty matic: 2.22. Spočítejte determinant matice (\ 3 5 6\ 12 2 2 1112 \0 1 2 1/ Řešení. Začneme rozvíjet podle prvního sloupce, kde máme nejvíce (jednu) nul. Postupně dostáváme 13 5 6 12 2 2 1112 0 12 1 Podle Saarusova pravidla □ 2.23. Nalezněte všechny hodnoty argumentu « takové, že 2 2 2 3 5 6 3 5 6 1 • 1 1 2 - 1 • 1 1 2 + 1 • 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 -2 _ 2 + 6 = 2. « 1 0 « 0 1 0 0 1 1 « 0 Pro komplexní « uvedie buď jeho algebraický nebo goniometrický tvar. Řešení. Spočítáme determinant rozvinutím podle prvního sloupce ma- tice: D a 1 0 « 0 1 0 0 1 1 « 0 1 « 0 2.14. Definice determinantu. Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X, viz 1.7. Je-li X = {1, 2, ...,«}, lze permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: 1 2 ... n vct(1) or(2) ... or(n) Prvek x e X se nazývá samodružným bodem permutace er, je-li a(x) = x. Permutace a taková, že existují právě dva různé prvky x, y e X s a(x) = y, zatímco všechna ostatní z e X jsou samodružná, se nazývá transpozice, značíme ji (x,y). Samozřejmě pro takovou transpozici platí také a (y) = x, odtud název. V dimenzi 2 byl vzorec pro determinant jednoduchý -vezmeme všechny možné součiny dvou prvků, *'__po jednom z každého sloupce a řádku matice, opatříme je znaménkem tak, aby při přehození dvou sloupců došlo ke změně celkového znaménka, a výrazy všechny (tj. oba) sečteme: det A = ad — bc. Obecně, uvažujme čtvercové matice A = («ý) dimenze n nad K. Vzorec pro determinant matice A bude také poskládaný ze všech možných součinů prvků z jednotlivých řádků a sloupců: | Definice determinantu |_ Determinant matice A je skalár det A vztahem |A| definovaný n a ^2 sgn(or)útlfr(1) • a2a(2) tre£„ kde £„ je množina všech možných permutací na {1, znaménko sgn pro každou permutaci a ještě musíme popsat Každý z výrazů Sgn((t)fll a (b). Permutace er se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (_i)P°cetinverzi a značíme ji sgn(er). Tolik tedy definice znamének našich členů determintu. Chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení o permutacích už je jasně vidět, že Saarusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Věta. Na množině X = {1,2, ... ,n} je právě n\ různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací. Každá transpozice mění paritu. Důkaz. Pro jednoprvkové a dvouprvkové X tvrzení samozřejmě platí. Budeme postupovat indukcí přes dimenzi. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s n — 1 prvky a uvažme permutaci er(l) = a\, ..., a(n) = an. Podle indukčního předpokladu všechny permutace, které mají na posledním místě an, dostaneme z tohoto pořadí postupným prováděním transpozic. Přitom jich bude (n — 1)!. V posledním z nich prohodíme a (n) — &n zä některý z prvků, který dosud nebyl na posledním místě, a znovu uspořádáme všechny permutace s tímto vybraným prvkem na posledním místě do posloupnosti s požadovanými vlastnostmi. Po n-násobné aplikaci tohoto postupu získáme n(n — 1) =«! zaručeně různých permutací, tzn. všechny, právě předepsaným způsobem. Všimněme si, že poslední věta dokazovaného tvrzení se nezdá příliš důležitá pro jeho využití. Je však velice důležitou částí postupu v našem důkazu indukcí přes počet prvků v X. Zbývá tvrzení věty o paritách. Uvažme pořadí («1, ai+\, ..., an), ve kterém je r inverzí. Pak zjevně je v pořadí («1, ..., ai+\, a.i, ..., a„) buď r — 1 nebo r + 1 inverzí. Každou transpozici (a;, o,-) lze přitom získat postupným provedením (j — i) + (j — i — \) = 20 — 0 — 1 transpozic sousedních prvků. Proto se provedením libovolné transpozice parita permutace změní. Navíc již víme, že všechny permutace lze získat prováděním transpozic. □ Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2, ...,«} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každé konečné množině X = {1, ...,«} s « prvky, n > 1, je právě jn \ sudých a ^n \ lichých permutací. dále rozvíjíme podle posledního řádku: D = a ■ (—a) a 1 1 a 2/ 2 -a (a 1)- Celkem dostáváme následující podmínku pro a: a — a + \ = 0. a2, pak máme t2 — t + 1 s kořeny t\ = l+í2^ = l-iV3 Substitucí t cos(7t/3) + i sin(7r/3), t\ cos(7t/3) — i sin(7r/3) cos(—jt/3) + i sin(—jt/3), odkud snadno určíme čtyři možné hodnoty parametru a: a\ = cos(jt/6) + ism(jt/6) = ~j3/2 + i/2, a2 = cos(77r/6) + i sin(77r/6) = — V3/2 — i/2, a3 = cos(—it/6) + i sin(—jt/6) = V3/2 — i/2, a4 = cos(57r/6) + i sin(57r/6) = -V3/2 + //2. □ 2.24. Vandermondův determinant. Dokažte vzorec pro tzv. Vander-mondův determinant, tj. determinant Vandermondovy matice: V„ 1 1 .. 1 a\ a2 .. an 2 2 af a2 .. • an ,«-1 a2 Y[ (aj -at), l i. a na pravé straně rovnosti je součin všech rozdílů Řešení. Ukážeme opravdu nádherný důkaz indukcí, nad nímž srdce matematika zaplesá. Pro n = 2 vztah triviálně platí. Nechť tedy platí pro determinant matice určené čísly ai, ..., ak a dokážeme, že platí i pro výpočet determinantu Vandermondovy matice určenou čísly a\, ..., ak+i. Uvažme determinant Vk+i jako polynom P v proměnné ak+i. Z definice determinantu vyplývá, že tento polynom bude stupně k v této proměnné a navíc čísla a\,...,ak budou jeho kořeny: nahradíme-li totiž ve Vandermondově matici Vk+i poslední sloupec tvořený mocninami čísla ak+i libovolným z předchozích sloupců tvořeným mocninami čísla a{, tak hodnota tohoto pozměněného determinantu je vlastně hodnotou Vandermondova determinantu (jakožto polynomu v proměnné ak+\) v bodě Tato je ovšem nulová, neboť determinant z matice se dvěma shodnými, tedy lineárně závislými, sloupci je nulový. To znamená, že a{ je kořenem P. Nalezli jsme tedy k kořenů polynomu stupně k, tudíž všechny jeho kořeny a P musí být tvaru P = C(ak+\ — a\)(ak+\ — a2) ■ ■ ■ (ak+i — ak), kde C je nějaká konstanta, resp. vedoucí koeficient polynomu P. Uvážíme-li však výpočet determinantu Vk+\ pomocí rozvoje podle posledního sloupce, tak vidíme, že C = Vk, což už dokazuje vzorec pro Vk+\. □ Jiné řešení, (viz Návody a řešení cvičení) 87 E. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY 2.25. Zjistěte, zdaje matice /3 4 \2 2 1 2 3 2 4 2 \ -4 1 8/ invertibilní. Řešení. Matice je invertibilní (existuje k ní inverzní matice) právě tehdy, když ji lze pomocí řádkových transformací převést na jednotkovou matici. To je ekvivalentní např. s tím, že má nenulový determinant. Ten spočítáme pomocí Laplaceovy věty (2.32) například rozvojem podle prvního řádku: 1 2 4 1 2 -4 4 2 -4 4 1 -4 3 • 2 4 1 -2- -2 4 1 + (-!)• -2 2 1 3 -4 8 2 -4 8 2 3 8 3-90 4 1 2 -2 2 4 2 3-4 -2 • 180+ (-!)• 110- 2 • (-100) = 0, tedy daná matice není invertibilní. □ E. Soustavy lineárních rovnic podruhé Se soustavami lineárních rovnic jsme se již setkali na začátku kapitoly. Nyní se budeme věnovat této problematice podrobněji. Zkusme nejprve využít výpočtu inverzní matice k řešení systému lineárních soustav rovnic. 2.26. Účastníci zájezdu. Dvoudenního autobusového zájezdu se zúčastnilo 45 osob. První den se platilo vstupné na rozhlednu 30 Kč za dospělého, 16 Kč za dítě a 24 Kč za seniora, celkem 1116 Kč. Druhý den se platilo vstupné do botanické zahrady 40 Kč za dospělého, 24 Kč za dítě a 34 Kč za seniora, celkem 1 542 Kč. Kolik bylo mezi výletníky dospělých, dětí a seniorů? Řešení. Zaveďme proměnné x udávající „počet dospělých"; y udávající „počet dětí"; z udávající „počet seniorů". Zájezdu se zúčastnilo 45 osob, a proto Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace a, r] : X -» X platí a proto také sgn(er o rj) = sgn(er) • sgn(/j) sgn(or ) = sgn(o-). 2.16. Rozklad permutace na cykly. Dobrým nástrojem pro praktickou práci s permutacemi je jejich rozklad na tzv. cykly. __j Cykly | 1 Permutace a na množině X = {\, ...,«} se nazývá cyklus délky k, jestliže je možné najít prvky ai, ..., ak e X, 2 < k < n, takové, že er(a;) = ai+\, i = 1, — 1, za- tímco a (ak) = a\ a ostatní prvky v X jsou pro a samodružné. Cykly délky dva jsou právě transpozice. Každá permutace je složením cyklů. Cykly sudé délky mají paritu — 1, cykly liché délky mají j^^^^^^^^^J Poslední tvrzení musíme ještě dokázat. Jestliže definujeme pro danou permutaci a relaci R tak, že dva prvky x, y e X jsou v relaci právě když or(x) = y pro nějakou iteraci permutace er, pak zjevně jde o relaci ekvivalence (ověřte si podrobně!). Protože je X konečná množina, musí pro nějaké i být al(x) = x. Jestliže zvolíme jednu třídu ekvivalence {x, a(x), ..., al~1(x)} c X a ostatní prvky definujeme jako samodružné, dostáváme cyklus. Evidentně je pak celá původní permutace X složením všech těchto cyklů pro jednotlivé třídy naší ekvivalence a je jedno v jakém pořadí cykly skládáme. Pro určení parity si nyní stačí povšimnout, že cykly sudé délky lze napsat jako lichý počet transpozic, proto mají paritu — 1. Obdobně cyklus liché délky dostaneme ze sudého počtu transpozic a proto mají paritu 1. 2.17. Jednoduché vlastnosti determinantu. Poznání vlast- ností permutací a jejich parit z předchozích odstavců nám teď umožní rychle odvodit základní vlastnosti determinantů. Pro každou matici A = (útý) typu m/n nad definujeme matici transponovanou k A. Jde o = (a -■) s prvky a[- = a p , která je typu n/m. Čtvercová matice A s vlastností A = AT se nazývá symetrická. Jestliže platí A = —AT, pak se A nazývá antisy-metrická. Jednoduché vlastnosti determinantů skaláry z I matici AT x + y + z 45. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a^) platí následu-jícíc tvrzení: (1) \AT\ = \A\ (2) Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak \A\=0. 88 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA (3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = -\B\. (4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem íieK, pak \B\ = a \A\. (5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru a^ = + by a všechny ostatní řádky v maticích A, B = (bij), C = (c i j) jsou stejné, pak \A\ = \B\ + \C\. (6) Determinant \A\ se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku A lineární kombinaci ostatních řádků. Důkaz. (1) Členy determinantů \A\ a \A | jsou v bijektivní korespondenci. Členu sgn(or)útMi) • a2a{2) ■ ■ ■ ana(n) přitom v AT odpovídá člen (na pořadí skalárů v součinu totiž nezáleží) = Sgn((T)a1(r-l(1) •fl2fr-1(2) •••an\í—» - determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)-(6) této věty přeformulovat i pro přičítání lineárních kombinací ostatních sloupců k vybranému. To můžeme hned použít pro odvození následujícího vzorce pro přímý výpočet řešení systémů lineárních rovnic: j Crammerovo pravidlo i Uvažme systém n Unárních rovnic pro n proměn- | ných s maticí sytému A = a sloupcem hodnot b = (b\, ..., b„), tj. v maticovém zápisu řešíme rovnici A ■ x = b. Jestliže existuje inverze A~l, pak jsou jednotlivé komponenty jediného řešení* = (*i, ...,*„) dány vztahem xi = \Ai\\A\-\ kde matice A; vznikne z matice systému A výměnou /-tého sloupce za sloupec hodnot b. mm^mmmmmmJi Skutečně, jak jsme viděli, inverze k matici systému existuje právě tehdy, když má systém jediné řešení. Jestliže tedy takové řešení * máme, můžeme za sloupec b dosadit do matice Ai příslušnou kombinaci sloupců matice A, tj. hodnoty bi = a.i\X\+- ■ ■+ainxn. Pak ale odečtením*;--násobků všech ostatních sloupců zůstane v /-tém sloupci pouze *;-násobek původního sloupce z A. Číslo *; tedy můžeme vytknout před determinant a získáme rovnost | A, \ \ A \ ~1 = *; | A11A | ~1 = *;, což je požadované tvrzení. Dále si všimněme, že vlastnosti (3)-(5) z předchozí věty říkají, že determinant jakožto zobrazení, které n vektorům dimenze n (řádkům nebo sloupcům matice) přiřadí skalár, je antisymetrické zobrazení lineární v každém svém argumentu, přesně jako jsme podle analogie z dimenze 2 požadovali. 90 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.19. Další vlastnosti determinantu. Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme také, že když uvážíme zobrazení x h-» A ■ x zadané čtvercovou maticí A na 1", pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x\, ... xn a jejich obrazy A ■ x\, ..., A ■ xn. Protože skládání zobrazení x A • x h-» B ■ (A- x) odpovídá násobení matic, je snad docela pochopitelná tzv. Cauchyova věta: _J Cauchyova věta | Věta. Nechť A = (a^), B = (bij) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak \A ■ B\ = \A\ ■ \B\. Všimněme si, že z Cauchyovy věty a z reprezentace elementárních rakových transformací pomocí násobení vhodnými maticemi (viz 2.8), okamžitě vyplývají tvrzení (2), (3) a (6) z Věty 2.17. My teď tuto větu odvodíme ryze algebraicky už proto, že \A předchozí odvolávka na geometrický argument těžko může fungovat pro libovolné skaláry. Základním nástrojem je tzv. rozvoj determinantu podle jednoho nebo více řádků či sloupců. Budeme proto potřebovat něco málo technické přípravy. Čtenář, který by snad tolik abstrakce nestrávil může tyto pasáže přeskočit a vstřebat pouze znění Laplaceovy věty a jejich důsledků. 2.20. Minory matice. Při úvahách o maticích a jejich vlastnostech budeme často pracovat jen s jejich WL JLY/ částmi. Budeme si proto muset zavést několik pojmů. j submatice a minory | Nechť A = (atj) je matice typu m/n a 1 < i\ < ... < h < rn, 1 < ji < ... < ji < n jsou pevně zvolená přirozená čísla. Pak matici / «/, M = at "■liji \aik.h ahh "■ihjl / typu k/l nazýváme submaticí matice A určenou řádky í'i, ..., /t a sloupci ji, ..., ji. Zbývajícími (m — k) řádky a (n — l) sloupci je určena matice M* typu (m — k)/(n — i), která se nazývá doplňková submatice k M v A. Při k = l je definován \M\, který nazýváme subdeterminant nebo minor řádu k matice A. Je-li m = n, pak při k = i je i M* čtvercová a \M*\ se nazývá doplněk minoru \M\, nebo doplňkový minor k submatici M v matici A. Skalár -----Nt+j'H-----. |^*| se nazývá algebraický doplněk k minoru \M\. U soustav ve variantách (b), (c) si stačí povšimnout, že je (4,2, -12) = -2(-2, -1,6). V případě (b) tak sečtení první rovnice s dvojnásobkem třetí dává 0 = 8 - soustava nemá řešení; v případě (c) je třetí rovnice násobkem první - soustava má zřejmě nekonečně mnoho řešení. □ 2.30. Najděte (libovolný) lineární systém, jehož množina řešení je právě {(ŕ + 1, 2t, 3t, 4í); t e R}. Řešení. Takovým systémem je např. 2x\ — X2 = 2, 2X2 — X4 = 0, 4X3 — 3X4 0. Těmto rovnicím totiž uvedené řešení vyhovuje pro každé t e M a vektory (2,-1,0,0), (0,2,0,-1), (0,0,4,-3) zadávající levé strany rovnic jsou zřejmě lineárně nezávislé (množina řešení obsahuje jeden parametr). 2.31. Stanovte hodnost matice □ /1 -3 0 1 \ 1 -2 2 -4 1 -1 0 1 \-2 -1 1 -v Poté stanovte počet řešení systému lineárních rovnic + X! -3xi Xi *2 - 2x2 + 2x2 - 4x2 a také všechna řešení systému + -3xi X! *2 - 2x2 + 2x2 + x3 - *3 + X3 + X3 - *3 + + 4X2 + x3 2x4 X4 X4 2X4 2x4 X4 X4 2x4 4, 5, 1, 3 0, 0, o, o a systému X! X! X! -2xi 3x2 2x2 ~i~ 2x3 *2 X2 + X3 1, -4, 1, -2. Řešení. Protože je det A = —10, tedy nenulový, jsou sloupce matice A lineárně nezávislé, a tudíž se její hodnost rovná jejímu rozměru. První z uvedených třech systémů je zadán rozšířenou maticí / 1 1 1 -2 4 \ -3 -2 -1 -1 5 0 2 0 1 1 v 1 -4 1 -2 3 ) 91 E. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY Ovšem levá strana je právě AT s determinantem \AJ \A\ ŕ 0. Existuje tedy matice (Ar) a soustava má právě 1 řešení (jci, x2, x3, x4)T = (AT)~l ■ (4, 5, 1, 3)T . Druhý ze systémů má totožnou levou stranu (určenou maticí AT) s prvním. Protože absolutní členy na pravé straně lineárních systémů neovlivňují počet řešení a protože každý homogenní systém má nulové řešení, dostáváme jako jediné řešení druhého systému uspořádanou čtveřici (jci, x2, x3, x4) = (0,0, 0, 0). Třetí systém má rozšířenou matici / 1 -3 0 1 \ 1 -2 2 -4 1 -1 0 1 v -2 -1 1 "2/ což je matice A (pouze poslední sloupec je uveden za svislou čarou). Pokud budeme tuto matici upravovat na schodovitý tvar, musíme obdržet řádek ( 0 0 0 | a ) , kde a # 0. Víme totiž, že sloupec na pravé straně není lineární kombinací sloupců na levé straně (hodnost matice je 4). Tento systém nemá řešení. □ 2.32. Nechť je dáno Najděte taková reálná čísla bi,b2,b3, aby systém lineárních rovnic A ■ x = b měl: (a) nekonečně mnoho řešení; (b) právě jedno řešení; (c) žádné řešení; (d) právě 4 řešení. Řešení. Pro čtenáře jistě nebude problém najít odpovídající hodnoty v případech a) a c) (stačí volit b\ = b2 + b3 v případě a) a naopak b\ b2 + b3 v případě c)). Povšimneme si dále, že \A\ = 0, soustava tak má buď nekonečně mnoho, nebo žádné řešení. Obecně tvoří množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic vektorový prostor, varianta d) je proto apriori vyloučena. Varianta b) je možná pouze pro regulární matici soustavy (jediným řešením je pak nulový vektor). □ Submatice tvořené prvními k řádky a sloupci se nazývají vedoucí hlavní submatice, jejich determinanty vedoucí hlavní minory matice A. Zvolíme-li k po sobě jdoucích řádků a sloupců, počínaje /-tým řádkem, hovoříme o hlavních sub-maticích, resp. hlavních minorech. Při speciální volbě k = £ = 1, m = n říkáme příslušnému doplňkovému minoru algebraický doplněk Atj prvku aij matice A. 2.21. Laplaceův rozvoj determinantu. Pokud je \M\ \^ hlavní minor matice A řádu k, pak přímo z % definice determinantu je vidět, že každý z jednotlivých k\(n — k)\ sčítanců v součinu \M\ s jeho algebraickým doplňkem je členem determinantu \A\. Obecně, uvažme submatici M, tj. čtvercovou matici, určenou řádky i\ < i2 <••• Uvažme nejprve následující matici H di- menze 2n (používáme tzv. blokovou symboliku, tj. píšeme matici jakoby složenou ze (sub)matic A, B atd.) H A 0 -E B Mi an\ -1 \0 o b -1 o n 0 \ o 'In Jnn/ Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme právě \H\ = \A\ ■ \B\. Nyní budeme k posledním n sloupcům postupně přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom obdrželi matici s nulami v pravém dolním rohu. Dostaneme K Mi an\ -1 a\n C\\ 0 o Cln\ 0 V o -1 o ... o / Prvky submatice nahoře vpravo přitom musí splňovat Cij = anbij + ai2b2j H-----h ainbnj neboli jde právě o prvky součinu A • B a \ K\ = \H\. Přitom rozvojem podle posledních n sloupců dostáváme \K\ = (-1)"+1+-+2"|A-£| = (-l)2n(n+1)-|A-S| = \A-B\. Tím je Cauchyova věta bezezbytku dokázána. /O 72 73 76 2 2 73 -2 0 2 75 273 \3 3 73 -3 2.34. Určete všechna řešení systému 3x 0 \ -75 -73 o / 2.35. Vyřešte x2 + x4 = 1, 1 — 2x2 - 3x3 + 4x4 = - 2, 1 + x2 - x3 + x4 = 2, 1 x3 1. 3x — 5y + 2u + 4z = 2, 5x + 7y — Au - 6z = 3, Ix - 4y + + 3z = 2.36. Rozhodněte o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic 1, 3xi + 3x2 2xi + 3x2 2xi — 3x2 3xi — 2x2 + x3 - *3 + x3 + x3 4, třech proměnných x\, x2, x3. 2.37. Stanovte počet řešení 2 soustav 5 lineárních rovnic kde A • x = (1,2, 3, 4,5)y, X — (X\, X2, x3) AT - x (L L L L 1) , '3 1 7 5 0^ 0 0 0 0 1 k2 1 4 3 0; 2.38. Určete řešení soustavy lineárních rovnic ax\ + 4x2 +2 x3 = 0, 2xi + 3x2 — x3 = 0, v závislosti na parametru a el. 2.39. V závislosti na hodnotě parametru a e M. rozhodněte o počtu řešení soustavy /4 1 4 a \ /xA / 2 \ 2 3 6 3 2 5 V6 -1 2 "8/ *2 X3 \x4J 5 3 v-v 2.40. Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic tří proměnných, jejíž množinou řešení je (a) {(0, 0, 0)}; (b) {(0,1,0), (0,0,0), (1,1,0)}; 93 E. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ (c) {(jc, 1,0); x e M}; (d) {(x,y,2y); x,y elj. 2.41. Řešte soustavu lineárních rovnic v závislosti na reálných parametrech a, b. x + 2y + bz = a x - y + 2z = 1 3x-y = 1. 2.42. Nalezněte matici algebraicky adjungovanou a matici inverzní k matici /l 0 0\ 4 0 \0 7 0 8/ Řešení. Adjungovaná matice je A* (An Au A2i A22 A3i A32 \A4i A42 kde Aij je algebraický doplněk prvku atj matice A, tedy součin čísla (— a determinantu trojrozměrné matice vzniklé z A vynecháním z-tého řádku a 7-tého sloupce. Platí Ai3 A23 A33 A43 A24 A34 A44 3 0 4 0 0 4 Au = 0 6 0 = -24, An = - 5 6 0 = 0,.. 7 0 8 0 0 8 1 0 0 1 0 2 A43 = 0 3 4 = 0, A44 = 0 3 0 = -12 5 0 0 5 0 6 Dosazením získáme /-24 0 20 0 \ 7" /-24 0 8 0 \ A* = 0 -32 0 28 0 -32 0 16 8 0 -4 0 20 0 -4 0 ^ 0 16 0 -12) 28 0 -12,1 Inverzní matici A" _1 určíme ze vztahu A 1 = \A\~ 1 • A*. Determi- nant matice A je (rozvojem podle prvního řádku) roven 1 0 2 0 0 3 0 4 5 0 6 0 0 7 0 8 3 0 4 0 3 4 0 6 0 + 2 5 0 0 7 0 8 0 7 8 16. Dostáváme tedy / -3/2 0 1/2 0 \ 0 -2 0 1 5/4 0 -1/4 0 v 0 7/4 0 -3/4/ 2.23. Determinant a inverzní matice. Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A • A-1 = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy |A| invertibilní skalár a díky Cauchyově větě platí |A_11 = |A|_1. My však nyní kombinací Laplaceovy věty a Cauchyho věty umíme říci víc. j Vzorec pro inverzní matici |_ (aij) dimenze A u jsou alge- Pro libovolnou čtvercovou matici A n definujeme matici A* = («*), kde a*. braické doplňky k prvkům a jí v A. Matici A* nazýváme algebraicky adjungovaná matice k matici A. Věta. Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem skalárů K platí (2.2) AA* = A*A = \A\ • E. Zejména tedy (1) A~l existuje jako matice nad okruhem skalárů K, právě když \A\~l existuje v K. (2) Pokud existuje A~l, pak platí A~l = \A\~ A*. 1 Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A-1 vyplývá invertibilita |A| e K. Pro libovolnou čtvercovou matici A spočteme přímým výpočtem A ■ A* = (o,), kde n n Cíj = ^2aika'kj = ^aikAjk. Pokud i = j je to právě Laplaceův rozvoj \A\ podle z-tého řádku. Pokud i 7^ j jde o rozvoj determinantu matice v níž je z-tý a j-tý řádek stejný a proto je q7 = 0. Odtud plyne A • A* = |A| • E a dokázali jsme rovnost (2.2). Předpokládejme navíc, že |A| je invertibilní skalár. Jestliže zopakujeme předešlý výpočet pro A* • A, obdržíme \A\~lA* ■ A = E. Proto náš výpočet skutečně dává inverzní matici A, jak je tvrzeno ve větě. □ Jako přímý důsledek této věty můžeme znovu ověřit Cra-mmerovo pravidlo pro řešení systémů lineárních rovnic, viz 2.18. Skutečně, pro řešení systému A ■ x = b stačí důsledně přečíst v rovnosti x = A~l ■ b = \A\~lA* -b poslední výraz jako Laplaceův rozvoj determinantu matice Ai vzniklé výměnou /-tého sloupce v A za sloupec hodnot 3. Vektorové prostory a lineární zobrazení 2.24. Abstraktní vektorové prostory. Vraťme se teď na chvilku k systémům m lineárních rovnic pro n proměnných z 2.3 a předpokládejme navíc, že jde o homogenní systém rovnic A - x = 0, tj. 94 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA an Xi /0> □ \am\ . . . amnJ \xn J \®/ Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je zřejmé, že součet dvou řešení x = (x\, ..., x„) a y = (yi, ..., y„) splňuje A-(x+y) = A- x+ A- y = 0 a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a-x. Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v K", viz 2.1. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a ,rozměr" tohoto prostoru je dán rozdílem počtu proměnných a hodností matice A. Můžeme tedy snadno mít při řešení 1000 souřadnic a jen jeden nebo dva volné parametry. Celý prostor řešení se pak bude chovat jako rovina nebo přímka, jak jsme je poznali již v 1.25 na straně 30. Už v odstavci 1.9 jsme ale potkali ještě zajímavější příklad prostoru všech řešení homogenní lineární diferenční rovnice (prvního řádu). Všechna řešení jsme dostali z jednoho pomocí násobení skaláry a jsou tedy také uzavřená na součty a skalární násobky. Tyto „vektory" řešení ovšem jsou nekonečné posloupnosti čísel, přestože intuitivně očekáváme, že „rozměr" celého prostoru řešení by měl být jedna. Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho dimenze: ' Definice vektorového prostoru rozu- Vektorovým prostorem V nad polem skalárů mime množinu, na které jsou definovány • operace sčítání splňující axiomy (KG1)-(KG4) z odstavce 1.1 na straně 6, • násobení skaláry, pro které platí axiomy (V1)-(V4) z odstavce 2.1 na straně 74. Připomeňme také naši jednoduchou konvenci ohledně značení: skaláry budou zpravidla označovány znaky z počátku abecedy, tj. a, b, c, ..., zatímco pro vektory budeme užívat znaky z konce, u, v, w, x, y, z. Přitom ještě navíc většinou x, y, z budou opravdu n-tice skalárů. Pro úplnost výčtu, písmena z prostředka, např. i, j, k, i budou nejčastěji označovat indexy výrazů. Abychom se trochu pocvičili ve formálním postupu, ověříme jednoduché vlastnosti vektorů, SSiLJLY/ které pro rc-tice skalárů byly samozřejmé, nicméně teďje musíme odvodit z axiomů. 2.25. Tvrzení. Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme a,b,ai e K, vektory u, v, u j e V. Potom (1) a ■ u = 0, právě když a = 0 nebo u = 0, (2) (—1) • u = —u, (3) a ■ (u — v) = a ■ u — a ■ v, 2.43. Najděte algebraicky adjungovanou matici F*, je-li (a p 0\ F = ly S 0 , a, p, y, S e R. \0 0 l) 2.44. Vypočítejte algebraicky adjungované matice k maticím /3 -2 0 -l\ (a) 0 1 V° 2 2 -2 -3 1 2 1 -2 (b) 1 + i 2i 3-2i 6 přičemž i označuje imaginárni jednotku. F. Vektorové prostory Vlastnosti vektorového prostoru, kterých jsme si všimli u roviny či třírozměrného prostoru, ve kterém žijeme, má celá řada jiných množin. Ukažme si to na příkladech. 2.45. Vektorový prostor ano či ne? Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými prostory nad tělesem reálných čísel: i) Množina řešení soustavy x\ + x2 H-----h x98 + x99 + xioo xl + x2 + ' ' ' + x9& + x99 xl + x2 + - - - + X9S X\ + X2 =100xi, =99xi, =98xi, =2xi. ii) Množina řešení rovnice x\ + x2 + - - - + x\m = 0 iii) Množina řešení rovnice xi + 2x2 + 3x3 + • • • + lOOxioo = 1. iv) Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností. (Reálnou, resp. komplexní posloupností rozumíme zobrazení / : N -> M, resp. / : N -> C. O obrazu čísla n pak hovoříme jako o n-tém členu posloupnosti, většinou jej označujeme dolním indexem, např. an.) v) Množina řešení homogenní diferenční rovnice. vi) Množina řešení nehomogenní diferenční rovnice. vii) {/ : R -+ M|/(l) = f (2) = c, c e R} Řešení. 95 F. VEKTOROVÉ PROSTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ i) Ano. Jsou to všechny reálné násobky vektoru (1,1,1...,1), 1-,-' 100 jedniček tedy vektorový prostor dimenze 1 (viz dále (2.29)). ii) Ano. Jedná se o prostor dimenze 99 (odpovídá počtu volných parametrů řešení). Obecně je tvoří množina řešení libovolné homogenní soustavy lineárních rovnic vektorový prostor. iii) Ne. Např. dvojnásobek řešení x\ = 1, x,■ = 0, i = 2, ... 100 není řešením dané rovnice. Množina řešení však tvoří tzv. afinní prostor (viz (??)). iv) Ano. Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností tvoří zřejmě reálný, resp. komplexní, vektorový prostor. Sčítání posloupností a násobení posloupnosti skalárem je totiž definováno člen po členu, kde se jedná o vektorový prostor reálných, resp. komplexních, čísel. v) Ano. Abychom ukázali, že množina posloupností vyhovujících dané diferenční homogenní rovnici tvoří vektorový prostor, stačí ukázat, že je uzavřená vzhledem ke sčítání i násobení reálným číslem (neboť se jedná o podmnožinu vektorového prostoru) mějme posloupnosti (x7)^0 a (v7)°^0 vyhovující stejné homogenní diferenční rovnici, tedy anxn+k + an-\xn+k-\ + ' ' ' + a0xk = 0 anyn+k + an-iyn+k-i + ■ ■ ■ + flOÄ = 0. Sečtením těchto rovnic dostaneme a„(xn+k + yn+k) + an-i(xn+k-i + y„+k-\) H-----h a0(xk + yk) = 0, tedy i posloupnost (xj + v7)°^0, vyhovuje stejné diferenční rovnici. Rovněž tak pokud posloupnost (x7)°^0 vyhovuje dané rovnici, tak i posloupnost (uxj)^0 , kde ueK. vi) Ne. Součet dvou řešení nehomogenní rovnice anxn+k + a„-ixn+k-i + • • • + aoxk = c a„y„+k + a-n-iyn+k-i H-----h a0yk = c, c e R - {0} vyhovuje rovnici an(xn+k + yn+k) + an-i(xn+k-i + yn+k-i) + • • • + a0(xk + yk) = 2c, zejména pak nevyhovuje původní nehomogenní rovnici. Množina řešení však tvoří afmní prostor, viz 4.1. vii) Je to vektorový prostor právě, když c = 0. Vezme-li dvě funkce / a g z dané množiny, pak (f+g)( 1) = (f+g)(2) = f(\) + g(\) = 2c. Má-li funkce f + g být prvkem dané množiny, musí být (/ + g)(l) = c, tedy 2c = c, tedy c = 0. (4) (a — b) ■ u = a ■ u — b ■ u, (5) (YH=1 a,-) • (E7=i ui) = Eľ=i £7=iai' u>- Důkaz. Můžeme rozepsat (a + 0) • u a ■ u + 0 • u = a ■ u což podle axiomu (KG4) zaručuje 0 • u = 0. Nyní u + (-1) • u (V= (1 + (-1)) • u = 0 • u = 0 a odtud —u = (— 1) • u. Dále (V2, V3) a ■ (u + (— 1) • v) = a ■ u + (—a) ■ v = a ■ u — a ■ v, což dokazuje (3). Platí (V2.V3) (a — b) ■ u = a ■ u + (—b) ■ u = a ■ u — b ■ u a tím je ověřeno (4). Vztah (5) plyne indukcí z (V2) a (VI). Zbývá(1): a-0 = a-(u—u) = a -u—a -u = 0, což spolu s prvním tvrzením tohoto důkazu ukazuje jednu implikaci. K opačné implikaci poprvé potřebujeme axiom pole pro skaláry a axiom (V4) pro vektorové prostory: je-li p-u=0a.p^0, pak u = 1 • u = (p~l ■ p) ■ u = p~l -0 = 0. □ 2.26. Lineární (ne)závislost. V odstavci 2.11 jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: j Lineární kombinace a nezávislost j» Výrazy tvaru ci\ ■ v\ + • • • + ak ■ vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\, ..., vk e V. Konečnou posloupnost vektorů v\, ..., vk nazveme lineárně nezávislou, jestliže jediná jejich nulová lineární kombinace je ta s nulovými koeficienty, tj. jestliže pro skaláry a\, ... ,ak e K platí at ■ vi H-----h ak ■ vk = 0 a2 ak = 0. Je zjevné, že v nezávislé posloupnosti vektorů jsou všechny po dvou různé a nenulové. Množina vektorů M c V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá, jestliže každá konečná /c-tice vektorů v\, ..., vk e M je lineárně nezávislá. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. Přímo z definice vyplývá, že neprázdná podmnožina M xr^x vektorů ve vektorovém prostoru nad polem ska-%'•--'■) lárů K je závislá právě, když je jeden z je-/^Jj^Tv jích vektorů vyjádřitelný jako konečná lineární -^yr^t^-^— kombinace pomocí ostatních vektorů v M. Skutečně, alespoň jeden koeficient v příslušné nulové lineární kombinaci musí být nenulový a protože jsme nad polem skalárů, můžeme jím podělit a vyjádřit tak u něj stojící vektor pomocí ostatních. Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je samozřejmě také lineárně nezávislá (požadujeme stejné podmínky na méně vektorů). Stejně snadno vidíme, že M c V 96 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. 2.27. Generátory a podprostory. Podmnožina M c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va, b € K, Vi;, w € M, a ■ v + b ■ w € M. Rozeberme si hned několik příkladů: Prostor m-tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0, 1) e R2 lineárně nezávislé, protože z a ■ (1,0) + b ■ (0, 1) = (0,0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1,0), (V2, 0) e R2 jsou lineárně závislé nad R, protože ~J2 ■ (1,0) = (V2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! Nad R tedy tyto dva vektory „generují" jednorozměrný podprostor, zatímco nad Q je „větší". Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Mm[x]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení / : R -» R a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: (/ + g)(x) = f(x) + g(x), (a ■ f)(x) = a ■ f(x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor R^ [x] a Mm[x] c M„[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Podprostory jsou také např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy, tj. polynomy splňující f(-x) = ±f(x). Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení R -» R nebo všech zobrazení M -» V libovolné pevně zvolené množiny M do vektorového prostoru V. Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje fpouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostoru opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: " Nechť Wi, i e /, jsou vektorové podprostory ve V, a, b e K, u, v e níe/W;-. Pak pro všechny i e /, a ■ u + b ■ v e W,■, to ale znamená, že a ■ u + b ■ v e níe/ W,■. Zejména je tedy podprostorem průnik (M) všech podprostoru W C V, které obsahují předem danou množinu vektorů M c V. Říkáme, že množina M generuje podprostor (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostoru (M). Zformulujme opět několik jednoduchých tvrzení o generování podprostoru: Tvrzení. Pro každou neprázdnou podmnožinu M C V platí (1) (M) = {ai •«! + ••• + ak ■ uk; k e N, at e K, u j e m, j = 1,...,*}; (2) M = (M), právě když M je vektorový podprostor; (3) jestliže N C M, pak (N) C (M) je vektorový podprostor. □ 2.46. Zjistěte, zda je množina Ux ={(Xl,x2,x3) sR3; |jci| = \x2\ = \x3\] podprostorem vektorového prostoru M3 a množina U2 = {ax2 + c; a, c e R} podprostorem prostoru polynomů stupně nejvýše 2. Řešení. Množina U\ není vektorovým (pod)prostorem. Vidíme např., zeje (1,1,1) + (-1,1,1) = (0,2,2) £ ř/i. Množina U2 ovšem podprostor tvoří (nabízí se přirozené ztotožnění s R2), protože {a\x2 + ci) + {a2x2 + c2) = (a\ + a2) x2 + (ci + c2), k ■ (ax2 + c) = (ka) x2 + kc pro všechna čísla a\, c\, a2, c2, a, c, k e R. □ 2.47. Je množina V = {(1, x); x e R} s operacemi © : V x V -> V, (1, y) © (1, z) = (1, z + y) pravšechna O : R x V -> V, z O (1, y) = (1, y ■ z) pro všechna vektorovým prostorem? G. Lineární závislost a nezávislost, báze 2.48. Výpočtem determinantu vhodné matice rozhodněte o lineárni nezávislosti vektorů (1,2, 3, 1), (1,0, —1, 1), (2, 1, —1, 3) a (0, 0, 3, 2). Řešení. Protože 12 3 1 10-11 2 1-13 0 0 3 2 uvedené vektory jsou lineárně nezávislé. 10 ^0, □ 2.49. Nechťjsou dány libovolné lineárně nezávislé vektory u, v, w, z ve vektorovém prostoru V. Rozhodněte, zda jsou ve V lineárně závislé, či nezávislé, vektory u — 2v, 3u + w — z, u — 4v + w + 2z, 4v + 8u> + 4z. 97 G. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI Řešení. Uvažované vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jsou lineárně nezávislé vektory (1,-2,0,0), (3,0,1,-1), (1, -4, 1, 2), (0, 4, 8, 4) v M4. Je však 1-200 3 0 1-1 1-412 0 4 8 4 -36 ^0, tudíž jsou uvažované vektory lineárně nezávislé. □ 2.50. Určete všechny konstanty a e M takové, aby polynomy ax2 + x +2, —2x2 + ax + 3 a x2 + 2x + a byly lineárně závislé (ve vektorovém prostoru P3[x], polynomů jedné proměnné stupně nejvýše 3 nad reálnými čísly). Řešení. V bázi 1, x, x2 jsou souřadnice zadaných vektorů (polynomů) následující: (a, 1, 2), (—2, a, 3), (1, 2, a). Polynomy budou lineárně závislé, právě když bude mít matice, jejíž řádky jsou tvořeny souřadnicemi zadaných vektorů menší hodnost, než je počet vektorů, v tomto případě tedy hodnost dvě a menší. V případě čtvercové matice nižší hodnost než je počet řádkuje ekvivalentní nulovosti determinantu dané matice. Podmíka na a tedy zní a 1 —2 a 1 2 tj. a bude kořenem polynomu a3 -úloha má tři řešení a\ = — 1, a2,3 = 0, 5 = (a + l)(a2 1±V21 5), tj. □ 2.51. Vektory (1,2,1), (-1,1,0), (0,1,1) jsou lineárně nezávislé, a proto společně tvoří bázi M3. (v bázi je nutné zadat i jejich pořadí). Každý trojrozměrný vektor je tak nějakou jejich lineární kombinací. Jakou jejich lineární kombinací je vektor (1, 1, 1), nebo-li jaké jsou souřadnice vektoru (1, 1, 1) v bázi dané zmíněnými vektory? Řešení. Hledáme a, b, c e M. taková, aby a(l, 2, 1) + b(—l, 1, 0) + c(0, 1,1) = (1,1, 1). Rovnost musí platit v každé souřadnici, dostáváme tak soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých: a — b 2a + b + c a + c jejíž vyřešením získáme a = \,b = "2' C 2 , je tedy (1, 1, 1) = \ ■ (1, 2, 1) - i • (-1, 1, 0) + l- ■ (0, 1, 1), Podprostor (0) generovaný prázdnou podmnožinou je triviální podprostor {0} C V. Důkaz. (1) Množina všech lineárních kombinací a\U\ + • • • + akuk na pravé straně (1) je jistě vektorový podprostor a samozřejmě obsahuje M. Naopak, každá z jednotlivých lineárních kombinací nutně musí být v (M) a první tvrzení je dokázáno. Tvrzení (2) vyplývá okamžitě z (1) a z definice vektorového podprostoru a obdobně je z prvního tvrzení zřejmé i tvrzení třetí. Konečně, nejmenší vektorový podprostor je {0}, protože prázdnou množinu obsahují všechny podprostory a každý z nich obsahuje vektor 0. □ 2.28. Součty podprostoru. Když už máme představu o generátorech a jimi vytvářených podprostorech, měli bychom rozumět i možnostem, jak něko-'•^tzz. lik podprostoru může vytvářet celý vektorový prostor V. j Součty podprostoru | Nechť Vi, i e I, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U;e/V,), nazýváme součtem podprostoru V,. Značíme e/ V,. Zejména pro konečný počet podprostoru V\, ..., Vk C V píšeme Vl + ... + vk = (VlUV2U---UVk). Vidíme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostoru můžeme vyjádřitjako lineární kombinaci vektorů zpod-prostorů V/. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostoru a pro konečný součet k podprostoru tak dostáváme Vi + V2 + ■ ■ ■ + Vjt = {vi + ■ ■ ■ + vk; Vi e Vi, i = 1, ..., k). Součet W = V\ + ■ ■ ■ + Vk C V se nazývá přímý součet podprostoru, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. V, n V j = {0} pro všechny i ^ j. Ukážeme, že v takovém případě lze každý vektor w e W napsat právě jedním způsobem jako součet w = vi H-----\- vk, kde V{ e V,. Skutečně, pokud by tento vektor šlo zároveň vyjádřit, jako w = v[ + ■ ■ ■ + v'k, potom 0 = w - w = (vi - v[) H-----\- (vk - v'k). Pokud bude vt — v\ první nenulový člen na pravé straně, pak tento vektor z V, umíme vyjádřit pomocí vektorů z ostatních podprostoru. To je ale ve sporu s předpokladem, že V, má se všemi ostatními nulový průnik. Jedinou možností tedy je, že všechny vektory na pravé straně jsou nulové a tedy je rozklad w jednoznačný. Pro přímé součty podprostoru píšeme W = Vi © • • • © Vk V,. 98 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.29. Báze. Nyní máme vše připravené pro pochopení minimálních množin generátorů tak, jak j sme se s nimi vypořádali v rovině M2. báze vektorových prostorů [ Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, počet prvků báze nazýváme dimenzí V. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněroz-měrný. Píšeme dim V = k, k e N, případně k = oo. Abychom s takovou definicí dimenze mohli být spokojeni, potřebujeme vědět, že různé báze téhož prostoru budou mít vždy stejný počet prvků. To skutečně brzy dokážeme. Všimněme si hned, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je „prázdnou" bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi k -rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako /c-tici v = (vi ..., vu) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných pod-prostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Zjevně, je-li {v\, ..., vn) bazí V, je celý prostor V přímým součtem jednorozměrných podprostorů V = (Vl) (vn). Okamžitým důsledkem výše odvozené jednoznačnosti rozkladu jakéhokoliv vektoru ve V do komponent v přímém součtu dává jednoznačné vyjádření w xivi H-----\-x„v„ a dovoluje nám tedy po volbě báze opět vidět vektory jako n-tice skalárů. K tomuto pohledu se vrátíme v zápětí v odstavci 2.33, jak jen dokončíme diskusi existence bazí a součtů podprostorů v obecné poloze. 2.30. Věta. Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze koenčněroz-měrného prostoru V má přitom stejný počet prvků. Důkaz. První tvrzení ukážeme snadno indukcí přes ji ,. počet generátorů k. Jedině nulový podprostor nepotřebuje žádný generátor a tedy umíme vybrat prázdnou bázi. Naopak, i?S ' nulový vektor vybrat nesmíme (generátory by byly lineárně závislé) a nic jiného už v podprostorů není. Abychom měli indukční krok přirozenější, probereme ještě přímo případ k = 1. Máme V = ({v}) a v ^ 0, protože {v} je lineárně nezávislá množina vektorů. Pak je ovšem {v} zároveň báze vektorového prostoru V. Předpokládejme, že tvrzení platí pro k = n, a uvažme V = (i>i, ..., vn+i). Jsou-li v\, ..., vn+i lineárně nezávislé, neboli souřadnice vektoru (1, 1, 1) vbázi ((1, 2, 1), (—1, 1,0), (0, 1, 1)) jsou (i,-i, i). □ 2.52. Vyjádřete vektor (5, 1, 11) jako lineární kombinaci vektorů (3, 2, 2), (2, 3, 1), (1,1, 3), tj. nalezněte čísla p, q,r e M, pro která je (5, 1, 11) = p (3, 2, 2) + q (2, 3, 1) + r (1, 1, 3). 2.53. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2 + x + 1. Řešení. Protože kořeny daného polynomu jsou — \ + í^y a~{~~ máme určit souřadnice (a, b) vektoru 2 + i v bázi (—^ + i^, — \ — í^y). Tato reálná čísla a, b jsou jednoznačně určena požadavkem 1 VŠ 1 V3 a ■ (---h i—) + b ■ (---i-) =2 +i. 2 2 2 2 Rozepsáním rovnosti zvlášť pro reálnou a imaginární složku dostáváme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: 1 1 --a--b = 2 2 2 73 V3, -a--b = 1. 2 2 Jejím vyřešením získáme a = —2 + b = —2 — hledané sou- řadnice tedy jsou (—2 + —2 — -^). □ 2.54. Poznámka. Jak pozorný čtenář jistě postřehl, úloha není zadána jednoznačně, nemáme totiž zadáno pořadí kořenů polynomu, tudíž ani pořadí bázových vektorů. Výsledek je tedy dán až na záměnu souřadnic. Dále se na tomto místě vyjádřeme k tzv. „usměrňování" zlomků, tedy odstraňování odmocnin z jejich jmenovatele. Autoři nemají vyhraněný názor, zda by se usměrňovat mělo, či ne (Je hezčí nebo ^?)-V některých případech však je usměrňování nežádoucí: ze zlomku -|= V 35 okamžitě odečteme, že jeho hodnota je o něco málo větší než 1 (neboť 735 je jen o málo menší než 6), kdežto z usměrněného zlomku 6v^ nevidíme na první pohled nic. 35 2.55. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2 — x + 1. 2.56. Pro jaké hodnoty parametrů a,b, c e M jsou vektory (1, \,a, 1), (l,b, 1, 1), (c, 1,1,1) lineárně závislé? 2.57. Nechť je dán vektorový prostor V a nějaká jeho báze složená z vektorů u, v, w, z. Zjistěte, zda jsou vektory u — 3v + z, v — 5w — z, 3w — lz, u — w + z 99 G. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI lineárně (ne)závislé. 2.58. Doplňte vektory 1 — x2 + x3, 1 + x2 + x3, 1 — x — x3 na bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 3. 2.59. Tvoří matice 'l 0 1 -2, 0 1 V- -l)' V 3 OJ' \0 3 bázi vektorového prostoru čtvercových dvourozměrných matic? Řešení. Uvedené čtyři matice jsou jako vektory v prostoru 2x2 matic lineárně nezávislé. Vyplývá to z toho, že matice / 1 1 -5 1 \ 4 0-2 0 3 0 -2-10 3 / je tzv. regulární, což je mimochodem ekvivalentní livovolnému z ná-sledujích tvrzení: její hodnost je rovna rozměru; ze z ní pomocí řádkových elementárních transformací obdržet jednotkovou matici; existuje k ní matice inverzní; má nenulový determinant, roven 116; jí zadaná homogenní soustava lineárních rovnic má pouze nulové řešení; každý nehomogenní lineární systém s levou stranou určenou touto maticí má právě jedno řešení; obor hodnot lineárního zobrazení, jež zadává, je vektorový prostor dimenze 4; toto zobrazení je injektivní). □ 2.60. V R3 jsou dány podprostory U a V generované po řadě vektory (1, 1, -3), (1, 2, 2) a (1,1,-1), (1, 2, 1), (1, 3, 3). Nalezněte průnik těchto podprostorů. Řešení. Podprostor V má dimenzi pouze 2 (nejedná se tedy o celý prostor M3), neboť 0 a neboť libovolná dvojice z uvažovaných třech vektorů je očividně lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že také podprostor U má dimenzi 2. Současně je 1 1 -1 1 1 1 1 2 1 = 1 2 3 1 3 3 -1 1 3 1 1 1 2 -3 2 1 1 -1 2^0, a proto vektor (1, 1, — 1) nemůže náležet do podprostorů U. Průnikem rovin procházejících počátkem (dvojrozměrných podprostorů) v trojrozměrném prostoru musí být alespoň přímka. V našem případu je jím právě přímka (podprostory nejsou totožné). Určili jsme dimenzi průniku - je jednodimenzionální. Všimneme-li si, že 1 •(!, 1, -3)+2- (1,2,2) = (3,5, 1) = 1 • (1, 1, -1) +2 • (1,2, 1), pak tvoří bázi. V opačném případě existuje index i takový, že vt =a1v1-\-----h flí-iť/-! + ai+1vi+1 H-----h an+1vn+1. Pak ovšem V = (v\, ..., vi+\, ..., vn+\) a již umíme vybrat bázi (podle indukčního předpokladu). Zbývá ověřit, že báze mají vždy stejný počet prvků. Uvažujme bázi (v\, ... ,vn) prostoru V a libovolný nenulový vektor u = cl\V\ + ■ ■ ■ + a„v„ e V s clí 0 pro jisté i. Pak Ví = —{u-(aiV]_-\-----\-cii-\Vi-\ +ai+ivi+i -\-----\-a„v„)) Cli a proto také (u,v\, ..., vi+\, ..., v„) = V. Ověříme, že je to opět báze: Kdyby přidáním u k lineárně nezávislým vektorům v\, ..., , vi+\, ..., vn vznikly lineárně závislé vektory, pak by u bylo jejich lineární kombinací. To by znamenalo V = (vi,..., Vi-i, vi+i, ...,v„), což není možné. Takže jsme dokázali, že pro libovolný nenulový vektor u e V existuje i, 1 < i < n, takové, že (u, v\, ..., Vi-i, vi+\, ..., v„) je opět báze V. Dále budeme místo jednoho vektoru u uvažovat lineárně nezávislou množinu u\, ..., uk a budeme postupně přidávat u i, ii2, ..., vždy výměnou za vhodné t>; podle předchozího postupu. Musíme přitom ověřit, že takové t>; vždy bude existovat (tj. že se nebudou vektory u vyměňovat vzájemně). Předpokládejme tedy, že již máme umístěné u\, ... ,ii£. Pak se ui+i jistě vyjádří jako lineární kombinace těchto vektorů a zbylých Vj. Pokud by pouze koeficienty u«i,...,«ť byly nenulové, znamenalo by to, že již samy vektory u\, ..., uí+i byly lineárně závislé, což je ve sporu s našimi předpoklady. Pro každé k < n tak po k krocích získáme bázi ve které z původní báze došlo k výměně k vektorů za nové. Pokud by k > n, pak již v n-tém kroku obdržíme bázi vybranou z nových vektorů u{, což znamená, že tyto nemohou být lineárně nezávislé. Zejména tedy není možné, aby dvě báze měly různý počet prvků. □ Ve skutečnosti jsme dokázali silnější tvrzení, tzv. Steinit-zovu větu o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi v a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů vt, po jejichž záměně za zadané nové vektory opět dostaneme bázi. 2.31. Důsledky Steinitzovy věty o výměně. Díky možnosti volně volit a vyměňovat bázové vektory můžeme okamžitě dovodit pěkné (a intuitivně snad také očekávané) vlastnosti bazí vektorových prostorů: Tvrzení. (1) Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na volbě báze. 100 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA (2) Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. (3) Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny. (4) Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů. Malinko složitější, ale nyní snadno zvládnutelná, je situace kolem dimenzí podprostorů a jejich součtů: Důsledek. Nechť W,W\,W2 C V jsou podprostory v prostoru V konečné dimenze. Pak platí (1) dim W < dim V, (2) V = W, právě když dim V = dim W, (3) dim Wi + dim W2 = dim(Wi + W2) + dim(Wi n W2). Důkaz. Zbývá dokázat pouze poslední tvrzení. To je zřejmé, pokud je dimenze jednoho z prostorů nulová. Předpokládejme tedy dim W\ = r > 1, dim W2 = s > 1 a nechť (wi ..., wt) je báze Wi n W2 (nebo prázdná množina, pokud je průnik triviální). Podle Steinitzovy věty o výměně lze tuto bázi průniku doplnit na bázi (wi, ... ,wt, ut+i ..., ur) pro W\ a na bázi (wi ..., wt, vt+i, ..., vs) pro W2. Vektory Wi, Wt, Ut+l , ..., ur, vt+í ...,vs jistě generují W\ + W2. Ukážeme, že jsou přitom lineárně nezávislé. Nechť tedy a\Wi + Pak nutně + atwt + bt+iUt+i + ... ----\-brur +ct+ivt+i + + csvs = 0. - (ct+i ■ vt+i H-----h cs ■ vs) = = a\ ■ w\ + • • • + at ■ wt + bt+\ ■ ut+\ + • • • + br ■ ur musí patřit do W2 n W\. To ale má za následek, že bt+i =■■■ = br = 0, protože tak jsem doplňovali naše báze. Pak ovšem i at ■ wi H-----h at ■ wt + ct+i ■ vt+í H-----h cs ■ vs = 0 a, protože příslušné vektory tvoří bázi W2, jsou všechny koeficienty nulové. Tvrzení (3) nyní vyplývá z přímého přepočítání generátorů. □ 2.32. Příklady. (1) K" má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bazí je např. «-tice vektorů ((1,0, ...,0), (0, 1,...,0)...,(0, ...,0, 1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v K". Všimněme si, že případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor K" jen konečný počet k" prvků. (2) C jako vektorový prostor nad M má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a i. dostáváme vyjádření hledaného průniku ve tvaru množiny všech skalárních násobků vektoru (3, 5, 1) (jedná se o přímku procházející počátkem s tímto směrovým vektorem). □ 2.61. Stanovte vektorový podprostor (prostoru M4) generovaný vektory m = (-1, 3, -2, 1), u2 = (2, -1,-1, 2), u3 = (-4, 7, -3, 0), u4 = (1, 5, —5, 4). vybráním nějaké maximální množiny lineárně nezávislých vektorů w; (tj. vybráním báze). Řešení. Sepíšeme vektory w; do sloupců matice a obdrženou matici upravíme pomocí řádkových elementárních transformací. Takto získáme (-1 2 3 -1 -2 -1 V 1 2 (X 2 0 1 0 1 \o o 1 \ /l o -1 5/4 -1 1 0 o / 5 -5 4/ 4 \ IX X 3 \-2 2 2 -1 -1 0 -5/ 0 0 1 -1 0 0 0 \o o o 4 \ IX 0 5/4 -1/4 0 / 2 4 -4 -7 7 3 -3 2 0\ -X 0 4\ 5 -7 3 / 0 1 0 0 0 1 \0 0 0 0/ Odtud vyplývá, že lineárně nezávislejšou právě vektory U i, U2, u4, tj. právě ty vektory odpovídající sloupcům, které obsahují první nenulové číslo nějakého řádku. Navíc odsud plyne (viz třetí sloupec) 2 • (-1, 3, -2, 1) - (2, -1,-1,2) = (-4, 7, -3, 0). □ 2.62. Ve vektorovém prostoru M4 jsou dány trojrozměrné podprostory U = {ui, u2, h3), V = (Vi,V2,V3), přičemž (\\ (\\ (1 ^ ( 1 \ 1 1 0 1 -1 U\ = 1 , u2 = 0 1 , vx = -1 1 vv V) v) V" V t>3 = (1, —1, —1, \)T. Určete dimenzi a libovolnou bázi podprostorů U n V. Řešení. Do podprostorů U n V náleží právě ty vektory, které je možné obdržet jako lineární kombinaci vektorů w; a také jako lineární kombinaci vektorů t>;. Hledáme tedy čísla x\, x2, x3, y\, y2, ^ e I taková, aby platilo Xi /1\ 1 1 w + x2 /1\ (1\ ( 1 ^ ( 1 ^ ( 1 ^ 1 0 1 -1 -1 0 + x3 1 = yx -1 + y2 1 + v3 -1 v) w v-V K1) 101 G. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI tj. hledáme řešení soustavy xx + x2 + x3 = vi + y2 + v3, xi + x2 = yi - y2 - v3, Xi + X3 = -Vi + V2 - V3, x2 + X3 = -Vi - y2 + v3. Při maticovém zápisu této homogenní soustavy (a při zachování pořadí proměnných) je 1 1 /lil —1 -1 110-1 1 10 11 \0 1 1 1 /l 1 1 0 1 1 o o \0 0 1 /l 1 1 o o 0 110 0 0 0 10-2 \0 0 0 1 1 Dostáváme tak řešení 1\ V /l 1 0 o o -1 1 1 -1 0 1 ■ 1 -1 2 0 1 0 2 1 ■1 1 -1 1 2 1 -1\ -1 2 !/ 0\ -2 -2 /I 1 1 0 111 0 0 10 yo o o i /i o o o 0 10 0 0 0 10 \0 0 0 1 1 -1 1 -1\ 2 2 "V -1\ -1 -2 2 \ 0 -2 xi = — 2t, x2 = —2s, x3 = 2s + 2t, yi = — s — t, y2 = s, y3 t, s e M. Odtud dosazením získáváme obecný vektor průniku X\ + x2 X\ + x3 / 0 \ -2t - 2s 2s v 2t ) Vidíme, že /0\ /0\ -1 -1 1 ' 0 w dim u n v = 2, u n v □ 2.63. Uvedte nějakou bázi podprostoru H(!íMn)-(n vektorového prostoru reálných matic 3x2. Tuto bázi doplňte na bázi celého prostoru. Řešení. Připomeňme, že bázi podprostoru tvoří množina lineárně nezávislých vektorů, které generují uvažovaný podprostor. Protože '\ 2\ /0 1\ /-l 0^ 1 I 3 4 +2 2 3 = 1 2 ,5 6/ \4 5/ \ 3 4> + 3 'o r 2 3 .4 5, -2 -r o 1 2 3 (3) Km[x], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi m + 1, bazí je např. posloupnost 1, x, x2, ..., x™. Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi 00, umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): 1, x, x2, .... (4) Vektorový prostor M nad Q má dimenzi 00 a nemá spočetnou bázi. (5) Vektorový prostor všech zobrazení / : M -> M má také dimenzi 00 a nemá spočetnou bázi. 2.33. Souřadnice vektorů. Jestliže pevně zvolíme bázi (t>i, ..., vn) konečněrozměrného prostoru V, pak můžeme každý vektor w e V vyjádřit jako jtOfe lineární kombinaci v = a\V\ + ■ ■ ■ + anvn. Jftir*i^*?-i-~ Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: w = a\Vi + • • • + anvn = b\V\ + • • • + bnvn. Potom ale 0 = (cii - b]) ■ vi H-----\-(a„ - b„) ■ v„ a proto cit = bi pro všechna i = 1. Dospěli jsme proto k závěru: V konečněrozměrném vektorovém prostoru lze každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor w e V ve zvolené bázi v = (vi, ..., v„) se nazývají souřadnice vektoru w v této bázi. Kdykoliv budeme mluvit o souřadnicích (a\, ..., an) vektoru w, které vyjadřujeme jako posloupnost, musíme mít pevně zvolenu i posloupnost bázových vektorů y_ = (v\, ..., vn). Jakkoliv jsme tedy báze zavedli jako minimální množiny generátorů, ve skutečnosti s nimi budeme pracovat jako s posloupnostmi (tedy s uspořádanými množinami, kde je pevně zadáno pořadí bázových prvků). j přiřazení souřadnic vektorům j. Přiřazení, které vektoru u = a\V\ + ■ ■ ■ + anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi y_, budeme značit stejným symbolem v : V -> K". Má tyto vlastnosti: (1) v_(u + w) = v(u) + v(w); Vm, w e V, (2) v(a ■ u) = a ■ v(u); Va e I, V« e V. Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná nekonečněrozměrného) prostoru V. Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale ještě můžeme definovat zobrazení M : V -> KM (tj. souřadnice vektoru jsou zobrazení z M do I). 102 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Uvedené vlastnosti přiřazení souřadnic jsme viděli už dříve u zobrazení, kterým jsme v geometrii roviny říkali lineární (zachovávaly naši lineární strukturu v rovině). Než se budeme věnovat podrobněji závislosti souřadnic na volbě báze, podíváme se obecněji na pojem linearity zobrazení. 2.34. Lineární zobrazení. Pro jakékoliv vektorové prostory (konečné i nekonečné dimenze), definujeme „linearitu" zobrazení mezi prostory obdobně, jako jsme to viděli již v rovině M2: Definice lineárních zobrazení Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení / : V -» W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: (1) f(u + v) = f(u) + f(v), Vu,veV (2) f(a ■ u) = a ■ f(u), Va ěK,¥uě V. Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení matic: \x \-> A • x s maticí typu m /n nad K. Obraz Im/ := f (V) C W je vždy vektorový podpro-stor, protože lineární kombinace obrazů /(«/) je obrazem lineární kombinace vektorů u{ se stejnými koeficienty. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker/ := /_1({0}) C V, protože lineární kombinace nulových obrazů bude vždy zase nulovým vektorem. Podprostor Ker / se nazývá jádro lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfis-mus. Podobně jako u abstraktní definice vektorových prostorů, opět je třeba ověřit zdánlivě samozřejmá tvrzení vyplývající z axiomů: Tvrzení. Nechť f : V -» W je lineární zobrazení mezi libovolnými vektorovými prostory nad týmž polem skalárů K. Pro všechny vektory u, u\, ..., uk e V, a skaláry a\, ..., ak e K platí: (1) /(O) = 0, (2) f(-u) = -f(u), (3) f(ax - Mi H-----Yak-uk)=ax- f{ux) H-----\-ak- f(uk), (4) pro každý vektorový podprostor V\ C V je jeho obraz f{V\) vektorový podprostor ve W, (5) pro každý podprostor W\ C W je množina f~l{W\) = {v e V; f (v) e W\] vektorový podprostor ve V. Důkaz. Počítáme s využitím axiomů a definic a již dokázaných výsledků (dohledejte si případně samostatně!): /(O) = f(u -u) = /((l - 1) • u) = 0 • f(u) = 0, f(-u) = /((-l) • u) = (-1) • f(u) = -f(u). Vlastnost (3) se ověří snadno z definičního vztahu pro dva sčítance indukcí přes počet sčítanců. Z platnosti (3) nyní plyne, že (/(Vi)) = f(V\), je to tedy vektorový podprostor. celý podprostor U je generován pouze prvními dvěma maticemi. Ty jsou potom lineárně nezávislé (jedna není násobkem druhé), a tak zadávají bázi. Chceme-li ji doplnit na bázi celého prostoru reálných matic 3x2, musíme najít další čtyři matice (dimenze celého prostoru je zjevně 6) takové, aby výsledná šestice byla lineárně nezávislá. Můžeme využít toho, že známe např. standardní bázi '\ 0\ /O l\ /O 0\ /O 0\ /O 0> 0 0 I , 0 0 I , 1 0 I , 0 1 I, o o v0 0/ \0 0/ \0 0/ \0 0/ \1 Oy prostoru reálných matic 3x2, který lze přímo ztotožnit s M6. Sepíšeme-li dva vektory báze U a vektory standardní báze celého prostoru v tomto pořadí, výběrem prvních 6 lineárně nezávislých vektorů dostaneme hledanou bázi. Pokud však uvážíme, že kupř. 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 4 3 0 1 0 0 5 4 0 0 1 0 6 5 0 0 0 1 můžeme ihned bázového vektory podprostoru U doplnit maticemi (vektory prostoru matic) na bázi. Upozorněme, že výše uvedený determinant lze vyčíslit velmi snadno - je roven součinu prvků na diagonále, neboť matice je v dolním trojúhelníkovém tvaru (nad diagonálou jsou všechny prvky nulové). □ H. Lineární zobrazení Jak popsat analyticky shodná zobrazení v rovině či prostoru jako je rotace, osová symetrie či zrcadlení, nebo projekci třírozměrného prostoru na dvojrozměrné plátno? Jak popsat zvětšení obrázku? Co mají společného? Jsou to všechno lineární zobrazení. Znamená to, že zachovávají jistou strukturu roviny či prostoru. Jakou strukturu? Strukturu vektorového prostoru. Každý bod v rovině je popsán dvěma v prostoru pak třema souřadnicemi. Pokud zvolíme počátek souřadnic, tak má smysl mluvit o tom, že nějaký bod je dvakrát dál od počátku stejným směrem než jiný bod. Také víme, kam se dostaneme, posuneme-li se o nějaký úsek v jistém směru a pak o jiný úsek v jiném směru. Tyto vlastnosti můžeme zformalizovat, hovoříme-li o vektorech v rovině, 103 H. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ či prostoru a o jejich násobcích, či součtech. Lineární zobrazení má pak tu vlastnost, že obraz součtu vektoru je součet obrazů sčítaných vektorů a obraz násobku vektoru je ten stejný násobek obrazu násobeného vektoru. Tyto vlastnosti právě mají zobrazení zmíněná v úvodu tohoto odstavce. Takové zobrazení je pak jednoznačně určeno tím, jak se chová na vektrorech nějaké báze (to je v rovině obrazem dvou vektorů neležících na přímce, v prostoru obrazem tří vektorů neležích v rovině). A jak tedy zapsat nějaké lineární zobrazení / na vektorovém prostoru V? Začněme pro jednoduchost s rovinou M2: předpokládejme, že obraz bodu (vektoru) (1, 0) je (a, b) a obraz bodu (0, 1) je (c, d). Tím už je jednoznačně určený obraz libovolného bodu o souřadnicích (u, v): f((u, v)) = f(u(\, 0) + i,(0, 1)) = uf(\, 0) + u/(l, 0) = (ua, ub) + (vc, vd) = (au + cv, bu + dv), což můžeme výhodně zapsat následujícím způsobem: a c \ i u b d) [v au + cv bu + dv Lineární je tedy zobrazení jednoznačně dané maticí. Navíc pokud (e f\ máme další lineární zobrazení g, dané maticí . , tak snadno \8 hj spočítáme (čtenář si jistě ze zájmu sám ověří), že jejich složení g o f , fae + fc be + df i e dáno maticí . , , „ y ag + ch bg + dh To nás vede k tomu, abychom násobení matic definovali tímto způsobem, tedy aby aby aplikace zobrazení na vektor byla dána maticovým násobením matice zobrazení se zobrazovaným vektorem a aby složení zobrazení bylo dáno součinem matic jednotlivých zobrazení. Obdobně to funguje v prostorech vyšší dimenze. Zároveň tato úvaha znovu ukazuje to, co již bylo dokázáno v (2.5), totiž že násobení matic je asociativní, ale není komutativní, neboť tomu tak je u skládání zobrazení. To je tedy další z motivací, proč se zabývat vektorovými prostory a proč je s pojmem vektorového Připomeňme si nyní, že v první kapitole jsme již pracovali s maticemi některých lineárních zobrazení v rovině M2, zejména rotace kolem bodu a osové symetrie (viz 1.31 a 1.32), Nyní zkusme zapsat matice lineárních zobrazení z M3 do M3. Jak vypadá matice rotace ve třech rozměrech? Začněme speciálními (pro popis jednoduššími) rotacemi kolem souřadnicových os: 2.64. Matice rotací kolem os v M3. Napište matice zobrazení rotací o úhel

K" dané libovolně zvolenou bází u = (u\, ..., un) vektorového prostom V je izomorfismus. (5) Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. (6) Složení dvou izomorfismu je izomorfismus. Důkaz. Ověření prvního tvrzení je velmi snadné ^vK^ cvičení. -j^y^ Pro důkaz druhého si uvědomme, že je-li / V'-' ' lineární bijekce, pak je vektor w vzorem line-- raní kombinace au +bv, tj. w = f~1(au +bv), právě když f(w) =au+bv = f (a ■ f-l(u) + b ■ f'1 (v)). Je tedy také w = af~l(u) + bf~l(v) a tedy je inverze k lineární bijekci opět lineární zobrazení. Dále, / je surjektivní, právě když Im / = W a pokud Ker / = {0}, pak f(u) = f (v) zaručuje f(u — v) = 0, tj. u = v. Je tedy v tom případě / injektivní. Další tvrzení se dokáže snadno přímo z definic. Najděte si protipříklad, že v dokazované inkluzi opravdu nemusí nastat rovnost! Zbývající body jsou již zřejmé. □ 2.36. Opět souřadnice. Uvažujme libovolné vektorové pro-J.i.- story ľaW nad K s dim V = n, dim W = m a mějme lineární zobrazení / : V -> W. Pro každou volbu bází u = (u\, ..., un) na V, v = (v\, ..., vn) $ na W, máme k dispozici příslušná přiřazení souřadnic a celou situaci několika právě zmíněných zobrazení zachycuje následující diagram: Spodní šipka je definována zbylými třemi, tj. jako zobrazení jde o složení fu,v = v o f o u~\ 104 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Matice lineárního zobrazení Postupně tedy dostáváme následující matice — rotace kolem osy Každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na vektorech báze u. Označme = an-v1+a21-v2-\-----h amlvm f(u2) =a12-v1+a22-v2-\-----h am2vm f(un) — a\n ■ v\ + a2n ■ v2 + ■ ■ ■ + amnvm tj. skaláry atj tvoří matici A, kde sloupce jsou souřadnice hodnot f(uj) zobrazení / na bázových vektorech vyjádření v bázi v na cílovém prostoru W. Matici A = (ciij) nazýváme maticí zobrazení f v bázích u, v. Pro obecný vektor u = x\U\ + • • • + xnun e V spočteme (vzpomeňme, že sčítání vektorů je komutativní a distributivní vůči násobení skaláry) f(u) = xxfiux) H-----\-xnf(un) = x\{a\\V\-\- • ■+amivm) + ■ ■ ■ + x„(ai„vi+- ■ ■+amnvm) = (xiútn+- • ■+x„ai„)vi + ■ ■ ■ + (x\ami+- ■ ■+xnamn)vm. Pomocí násobení matic lze nyní velice snadno a přehledně zapsat hodnoty zobrazení fu,v(w) definovaného jednoznačně předchozím diagramem. Připomeňme si, že vektory v W chápeme jako sloupce, tj. matice typu r/1 fu,v(u(w)) = v(f(w)) = A ■ u(w). Naopak, máme-li pevně zvoleny báze na V i W, pak každá volba matice A typu m/n zadává jednoznačně lineární zobrazení W -» W" a tedy i zobrazení / : V -» W. Máme-li tedy zvoleny báze prostorů V a.W, odpovídá každé volbě matice typu m/n právě jedno lineární zobrazení V -» W a ukázali jsme bijekci mezi maticemi příslušného rozměru a lineárními zobrazeními V -> W. 2.37. Matice přechodu mezi souřadnicemi. Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bázemi, a za / identické zobrazení, vyjadřuje postup z předchozího odstavce vektory báze u v souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak zadáme vektor u U = X\U\ -\- ' ' ' -\- Xnlln v souřadnicích vzhledem ku a dosadíme za u{ jejich vyjádření pomocí vektorů z v, obdržíme souřadné vyjádření x = (xi, ..., xn) téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přesklá-dat pořadí sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Ve skutečnosti teď děláme totéž, co v předchozím odstavci pro speciální případ identického zobrazení idy na vektorovém prostoru V. Matice tohoto identického zobrazení je rotace kolem osy y: cos (p 0 sin (p 0 1 0 — sin cp 0 cos cp) rotace kolem osy x: U matice rotace kolem osy y máme jinak znaménko u cp. Chceme totiž, stejně jako u ostatních os rotaci kolem osy y v kladném smyslu, tedy takovou, že pokud se díváme proti směru osy y, tak se svět točí proti směru hodinových ručiček. Znaménka v maticích jsou závislá na orientaci naší souřadné soustavy. Obvykle se v třírozměrném prostoru volí tzv. „pravotočivá soustava souřadnic": položíme-li ruku na osu x tak, aby prsty byly po směru osy a abychom mohli osu x otočit v rovině xy do osy y tak, aby souhlasily jejich směry, pak palec by měl ukazovat ve směru osy z. V takové soustavě jde o rotaci v záporném smyslu v rovině xz (tedy osa z se otáčí směrem k x). Rozmyslete si kladný a záporný smysl rotace podél všech tří os. □ Znalost matic rotací kolem souřadnicových os nám již umožňuje napsat matici rotace kolem libovolné (orientované) osy. Začněme s konkrétním příkladem: 2.65. Nalezněte matici rotace v kladném smyslu o úhel jt/3 kolem přímky procházející počátkem s orientovaným směrovým vektorem (1, 1, 0) ve standardní bázi M3. Řešení. Uvedené otočení lze získat složením po řadě těchto tří zobrazení: • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu x); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy x; • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa x přejde na osu rotace). Matice výsledné rotace bude součinem matic odpovídajících uvedeným třem zobrazením, přičemž pořadí matic je dáno pořadím provádění jednotlivých zobrazení - prvnímu zobrazení odpovídá v součinu 105 H. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ matice nejvíce napravo. Takto dostaneme hledanou matici /vi 2 vi 2 0 _vi 0\ 2 u vi 2 0 o o 2 vi 2 / \ _ vi \ 4 4 3 4 v6 4 V6 i ; 4 2 / /l 0 \o f vš \ 4 _ V6 4 1 2 o \ V3 / vi 2 vi 2 \ 0 vi 2 vi 2 0 o\ o Uvědomme si, že výslednou rotaci bylo možné získat např. také složením následujících tří zobrazení: • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu y); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy y; • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa y přejde na osu rotace). Analogicky tak dostáváme /vi _v2 2 v2 2 v2 2 2 \0 0 □ 2.66. Matice obecné rotace v M3. Odvodíte matici obecné rotace v R3. Řešení. Úvahu z předchozího příkladu můžeme provést i s obecnými hodnotami. Uvažme libovolný jednotkový vektor (x, y, z). Rotace v kladném smyslu o úhel

Z a označme příslušnou matici gv,w- V f W fu,v_ Se,, Složení go f na horním řádku odpovídá matici zobrazení W -> Kk dole a přímo spočteme (píšeme A pro matici / a B pro matici g ve zvolených bazích): 8v,w o fu,v(.x) = w o g o v'1 o v o f o u~l = B ■ (A ■ x) = (B ■ A) ■ x = (g o f)u_,vJx) pro všechny x e K". Skládání obražení tedy odpovídá násobení příslušných matic. Všimněte si také, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím. Stejný postup nám dává odpověď na otázku, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: V V f W iáw fu,v w kde T je matice přechodu od w' k u a S je matice přechodu od i/ k v_. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako A' = S^AT. 106 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Ve speciálním případě lineárního zobrazení / : V -» V, tj. zobrazení má stejný prostor V jako definiční obor i obor hodnot, vyjadřujeme zpravidla / pomocí jediné báze u prostoru V. Pak tedy přechod k nové bázi w' s maticí před-chodu T od w' k u bude znamenat změnu matice zobrazení na A' = T~1AT. 2.39. Lineární formy. Obzvlášť jednoduchým a zároveň důležitým případem lineárních zobrazení jsou ^_ tzv. lineární formy. Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem skalárů K - do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V, je přiřazení jednotlivé /-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou. Přesněji řečeno, pro každou volbu báze v = (i>i, ..., vn) máme k dispozici lineární formy v* : V -» K takové, že v*(vj) = <5ý, tj. nula pro různé indexy i a. j a. jednička pro stejné. Vektorový prostor všech lineárních forem na V značíme V* a říkáme mu duální prostor vektorovému prostoru V. Předpokládejme nyní, že prostor V má konečnou dimenzi n. Bázi V* sestavenou z přiřazování jednotlivých souřadnic jako výše nazýváme duální báze. Skutečně se jedná o bázi prostoru V*, protože jsou tyto formy zjevně lineárně nezávislé (prověřte si!) a je-li a libovolná forma, pak platí pro každý vektor u = x\v\ + ■ ■ ■ + x„v„ a(u) = x\a(v\) + • • • + x„a(v„) = a(v!)v^(u) H-----h a(vn)v*(u) a je tedy a lineární kombinací forem v*. Při pevně zvolené bázi {1} na jednorozměrném prostoru skalárů K jsou s každou volbou báze v na V lineární formy a ztotožněny s maticemi typu l/n, tj. s řádky y. Právě komponenty těchto řádků jsou souřadnicemi obecných lineárních forem v duální bázi v*. Vyčíslení takové formy na vektoru je pak dáno vynásobením příslušného řádkového vektoru y se sloupcem souřadnic x vektoru u e V v bázi v: a(u) = y ■ x = yixi H-----h y„x„. Zejména tedy vidíme, že pro každý konečněrozměrný prostor V je V* izomorfní prostoru V. Realizace takového izo-morfismu je dána např. naší volbou duální báze ke zvolené bázi na prostoru V. V tomto kontextu tedy znovu potkáváme skalární součin řádku n skalárů se sloupcem n skalárů, jak jsme s ním pracovali již v odstavci 2.3 na straně 76. U nekonečně rozměrného prostoru se věci mají jinak. \\ Např. už nejjednodušší příklad prostoru všech polynomů K[x] v jedné proměnné je vektorovým prostorem se spočetnou bazí s prvky vt = x1 a stejně jako výše můžeme definovat lineárně nezávislé formy v*. Jakýkoliv formální nekonečný součet YlľLo ai v*i Je nyní dobře definovanou lineární formou na K[x], protože bude vyčíslován vždy pouze na konečné lineární kombinaci bázových polynomů xl, i = 0, 1, 2, .... iii) rotace TZ3 v kladném smyslu kolem osy x o úhel

/ stavci 1.29 pracovali nejen s bázemi a lineár-nimi zobrazeními, ale také s velikostí vektorů a jejich úhly. Pro zavedení těchto pojmů jsme také použili skalárního součinu dvou vektorů v = (x, y) a v' = (x', ý) ve tvaru u ■ v = xx' + yý. Skutečně, souřadné vyjádření pro velikost v = (x, y) je dáno IMI = V*2 + y2 = V11 • v, zatímco (orientovaný) úhel

M, které je symetrické ve svých argumentech, lineární v každém z nich a takové, že (v, v) > 0 a ||u||2 = (v, v) = 0 pouze při v = 0. Číslu ||u|| = ^(v, v) říkáme velikost vektoru v. Vektory v a w e V se nazývají ortogonální nebo kolmé, jestliže (v, w) =0. Píšeme také v _L w. Vektor v se nazývá normovaný, jestliže ||t>|| = 1. Báze prostoru V složená z ortogonálních vektorů se nazývá ortogonální báze. Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze. ^,^m^mm.^m.^^m^\ Skalární součin se také často zapisuje pomocí obvyklé tečky, tj. (u, v) = u ■ v. Z kontextu je pak třeba poznat, zda jde o součin dvou vektorů (tedy výsledkem je skalár) nebo něco jiného (stejně jsme značili součin matic a také někdy součin skalárů). 108 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Protože je skalární součin lineární v každém ze svých argumentů, bude jistě úplně určen již svými 1__hodnotami na dvojicích bázových vektorů. Skutečně, zvolme si bázi u = (u\, ..., un) pro-_ storu V a označme Sij = (Ui,Uj). Pak ze symetričnosti skalárního součinu plyne = Sý a z linearity součinu v každém z argumentů dostáváme: yj- Pokud je báze ortonormální, je matice S jednotkovou maticí. Tím jsme dokázali následující užitečné tvrzení: skalární součin a ortonormální báze Tvrzení. Skalární součin je v každé ortonormální bázi dán v souřadnicích výrazem (x, y) =xT ■ y. Pro každou obecnou bázi prostoru V existuje symetrická matice S taková, že souřadné vyjádření skalárního součinu je (x, y) =xT ■ S -y. 2.41. Ortogonální doplňky a projekce. Pro každý pevně zvolený podprostor W C V v prostoru se ska-lárním součinem definujeme jeho ortogonální ^-""-^^-^ doplněk takto W1' = {u e V; u _L v pro všechny v e W}. Přímo z definice je zjevné, že W1- je vektorový podprostor. Jestliže W C V má bázi («i,..., uk), je podmínka pro W1-dána jako k homogenních rovnic pro n proměnných. Bude tedy mít dimenzi alespoň n—k. Zároveň ale u e IVniy1 znamená (u,u) = 0 a tedy i u = 0 podle definice skalárního součinu. Zřejmě je tedy vždy celý prostor V přímým součtem V = W © W^. Lineární zobrazení / : V -» V na libovolném vektorovém prostoru se nazývá projekce, jestliže platí / o f = f. V takovém případě je pro každý vektor v e V v = f (v) + (v- f (v)) e Im(/) + Ker(/) = V a je-li v e Im(/) a f (v) = 0, pak je i v = 0. Je tedy předloží součet podprostorů přímý. Říkáme, že / je projekce na podprostor W = Im(/) podél podprostorů U = Ker(f). Slovy se dá projekce popsat přirozeně takto: rozložíme daný vektor na komponentu ve W a v U a tu druhou zapomeneme. Je-li na V navíc skalární součin, říkáme že jde o kolmou projekci, když je jádro kolmé na obraz. Každý podprostor W V tedy definuje kolmou projekci na W. Je to ležícími v rovině kolmé na osu, má uvažovaná rotace matici / 1 0 0 \ A = I 0 cos( (0, 1) a (0, 1) h-> (1, 0) a matice konjugace v teto bazi je I ^ b) Pro bázi (1,0 dostáváme 1 2+i, i 2i — 1, tedy (1,0) h-> (2, 1), (0, 1) i-^ (2, —1). Celkem je matice násobení číslem 2 + i v bázi (1,/) tato: ■1 \ 2 Nyní určeme matici v bázi /. Násobením číslem (2+0 dostáváme: (1 - 0 i-> (1 - 0(2 + 0 = 3- i, (1 + 0 i-^(l + 30- Souřadnice (a, b) f vektoru 3 — / v bázi / jsou dány, jak již dobře víme, rovnicí a ■ (1 - 0 + b ■ (1 + 0 = 3 + i, tedy (3 + i)f = (2, 1). Obdobně (2 -1\ (1 + 30/ = (—1,2). Dohromady jsme získali matici I 1. 109 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ Zamyslete se, proč nám matice násobení číslem 2 + i vyšla stejná v obou bázích. Byla by stejná matice násobení libovolným jiným komplexním číslem v těchto bazích? □ projekce na W podél W-1, která je dána pomocí jednoznačného rozkladu každého vektoru u na komponenty uw e W a U |y_L e W-1, tj. lineární zobrazení, které uw +uw± zobrazí na uw. 2.73. Určete matici A, která ve standardní bázi prostoru M3 zadává kolmou projekci do vektorového podprostoru generovaného vektory m = (-1, 1,0) a w2 = (-1,0, 1). Řešení. Nejprve poznamenejme, že uvedený podprostor je rovinou procházející počátkem s normálovým vektorem w3 = (1,1,1). Uspořádaná trojice (1, 1, 1) je totiž očividným řešením soustavy —x\ + x2 =0, — X\ + x3 = 0, tj. vektor w3 je kolmý na vektory u\,u2. Při dané projekci se vektory u\ a u2 musejí zobrazit na sebe a vektor «3 potom na nulový vektor. V bázi složené po řadě z vektorů ui, u2, «3 je proto matice této projekce Pomocí matic přechodu -1 0 1 od báze u2, w3) ke standardní bázi a od standardní báze k bázi («i, u2, «3) získáme -1 -1 1 0 ) 1 1 0 0> 1 0 0 0 0; 1 2 I 5 3 3 □ 2.74. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu x + y — 2z. = 0. 2.75. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu 2x — y + 2z = 0. I. Báze a skalární součiny Pomocí skalárního součinu umíme řešit jiným způsobem (lépe?) problémy, které jsme již dříve zvládli pomocí transformace souřadnic. 2.42. Existence ortonormální báze. Povšimněme si, že na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru jistě existují skalární součiny. Prostě si stačí vybrat libovolnou bázi, prohlásit ji za ortonormální a hned jeden dobře definovaný skalární součin máme. V této bázi pak skalární součiny počítáme podle vzorce v Tvrzení 2.40. Umíme to ale i naopak. Máme-li zadán skalární součin na vektorovém prostoru V, můžeme vcelku jednoduše početně využít vhodných kolmých projekcí a jakoukoliv zvolenou bázi upravit na ortonormální. Jde o tzv. Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. Cílem této procedury bude z dané posloupnosti nenulových generátorů v\, ..., vk konečněrozměrného prostoru V vytvořit ortogonální množinu nenulových generátorů pro V. Grammova-S chmidtova ortogonalizace Tvrzení. Nechť (u\, ..., uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů prostoru V se skalárním součinem. Pak existuje ortogonální systém vektorů (vi, ..., vk) takový, že Vi e ..., Ui), i = 1, ..., k. Získáme je následující procedurou: • Nezávislost vektorů Ui zaručuje, že u\ 7= 0; zvolíme v\ = U\. • Máme-li již vektory v\, ..., vi potřebných vlastností, zvolíme vi+\ = ui+i -\-a\V\ + • • • -\-a1V1, kde at = — ^"jj^'ip'^ 1 Důkaz. Začneme prvním (nenulovým) vektorem v\ a spočteme kolmou projekci v2 do (vi)1- C {{vuv2}). Výsledek bude nenulový právě, když je v2 nezávislé na v\. Ve všech dalších krocích budeme postupovat obdobně. V £-tém kroku tedy chceme, aby pro ví+i = uí+i + a\V\ + ■ ■ ■ + aivi platilo (vi+i, t>;) = 0, pro všechny i = !,...,£. Odtud plyne 0 = (Ui+i +atvi H-----\-aiVi,Vi) = {uí+]_, vt) vt) a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny jednoznačně až na násobek. □ Kdykoliv máme ortogonální bázi vektorového prostoru V, stačí vektory vynormovat a získáme bázi ortonormální. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze. 110 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA V ortonormální bázi se obzvlášť snadno spočtou souřadnice a kolmé projekce. Skutečně, mějme ortonormální bázi (e\, ..., en) prostoru V. Pak každý vektor v = x\e\ + • • • + xnen splňuje ()ilľ 2 V 2 2 , 1,0 resp. zvolme násobek v2 = (—1, — 1, 2, 0) . Následně je V3 = «3 WvxW1 1 1 3' ~3' Máme tedy celkem 1 3' u\ ■ v2 \\v2\\2 1 1 v2 = u3 v2 /-1\ /-1\ /-1\ 1 -1 -1 Vl = 0 , v2 = 2 , v3 = -1 loj \3/ Dodejme, že pro jednoduchost příkladu lze bezprostředně uvést ortogonální bázi z vektorů (l,-l,0,0)r, (0,0, l,-l)r, (1, 1,-1,-l)r K problematice skalárních součinů a úhlů vektorů se vrátíme v dalších kapitolách. 2.44. Multilineární formy. Skalární součin byl dán jako zobrazení ze součinu dvou kopií vektorového 51, prostoru V do prostoru skalárů, které bylo lineární v každém ze svých argumentů. Podobně budeme pracovat i se zobrazeními ze součinu k kopií vektorového prostoru V do skalárů, která jsou lineární v každém ze svých k argumentů. Hovoříme o k-lineárních formách. Nejčastěji se budeme setkávat s bilineárními formami, tj. případem a : V x V -> K, kde pro jakékoliv vektory u, v, w, z a skaláry a,b, c nd platí, stejně jako u skalárního součinu a(au + bv, cw + dz) = aca(u, w) + ada(u, z) + bc a(v, w) + bd a(v, z)- Pokud navíc platí a(u, w) = a(w, u), hovoříme o symetrické bilineární formě. Jestliže záměna argumentů vede k obrácení znaménka výsledku, hovoříme o antisymetrické bilineární formě. Již v rovinné geometrii jsme zavedli determinant jako bilineární antisymetrickou formu a, tj. a(u, w) = —a(w, u). Obecně víme z věty 2.17, že je determinant v dimenzi n možno nahlížet jako «-lineární antisymetrickou formu. Jako u lineárních zobrazení je zřejmé, že každá k-lineární forma je úplně určena svými hodnotami na všech /c-ticích bázových prvků v pevné bázi. V analogii k lineárním zobrazením tyto hodnoty můžeme vnímat jako /c-rozměrné analogie matic. Ukážeme si to v případě k = 2, kde půjde doopravdy o matice, jak jsme je zavedli. j Matice bilineární formy [_ Jestliže zvolíme bázi u na ľ a definujeme pro danou bilineární formu a skaláry útý = a(u.i, Uj), pak zjevně dostaneme pro vektory v, w se souřadnicemi x a y (jakožto sloupce souřadnic) a(v, w) kde A je matice A = "''v^v ij=i (aij). y ■ A ■ x, Přímo z definice matice bilinerání formy je vidět, že forma je symetrická nebo antisymetrická, právě když má tutéž vlastnost její matice. Každá bilineární forma a na vektorovém prostoru V definuje zobrazení V -> V*, v h-> a( , v), tj. dosazením pevného vektoru v za druhý argument dostáváme lineární formu, která je obrazem tohoto vektoru. Zvolíme-li pevně bázi na ko-nečněrozměrném prostoru V a duální bázi na V*, pak jde o zobrazení y (x yT ■ A ■ x). 112 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 4. Vlastnosti lineárních zobrazení nebo Podrobnějším rozborem vlastností různých typů lineárních zobrazení se nyní dostaneme k lepšímu pochopení nástrojů, které nám vektorové prostory pro lineární modelování procesů a systémů nabízejí. (-1, 1, 1,-I)1 , (1,-1, 1,-1/ (-1,-1,1,1)' 2.45. Začneme čtyřmi příklady v nejnižší zajímavé di- menzi. Ve standardní bázi roviny R2 se standardním skalárním součinem uvažujme následující matice zobrazení / : R2 -» R2: 1 0 0 0 B 0 1 0 0 c a 0 0 b D 0 -1 1 0 Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru na podprostor W C {(0, a); a e R} C V c {(fl,0); ael)c tj. projekce na osu x podél osy y. Evidentně pro toto zobrazení / : R2 -» R2 platí / o / = / a tedy zúžení /1 v daného zobrazení na obor hodnot je identické zobrazení. Jádrem / je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení /. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Ri[x] stupně nejvýše jedna v bázi (1, x) (derivacemi se budeme podrobně zabývat v kapitole páté, viz ??). Matice C zadává zobrazení /, které první vektor báze zvětší út-krát, druhý b-kiát. Tady se nám tedy celá rovina rozpadá na dva podprostory, které jsou zobrazením / zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem (první příklad byl speciální případem s a = 1, b = 0). Např. volba a = 1, b = — 1 odpovídá osové symetrii (zrcadlení) podle osy x, což je totéž jako komplexní konjugace x + iy h» x — iy na dvourozměrném reálném prostoru E2~Cv bázi (1,0- T°to je lineární zobrazení dvourozměrného reálného vektorového prostoru C, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi a na první pohled je vidět, že žádný jednorozměrný podprostor není zobrazením zachováván. Taková rotace je bijekcí roviny na sebe, proto jistě umíme najít (různé) báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na definičním oboru i oboru hodnot. Zkusme však uvažovat matici D jako matici zobrazení g : C2 -» C2 ve standardní bázi komplexního vektorového prostoru C2. Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = (—i, 1), pro které bude platit □ 2.83. Napište něj akou bázi reálného vektorového prostoru matic 3x3 nad R s nulovou stopou (součet prvků na diagonále) a napište souřadnice matice v této bázi. 2.84. Zavedie nějaký skalární součin na vektorovém prostoru matic z předchozího příkladu. Spočítejte normu matice z předchozího příkladu, která je indukovaná Vámi zavedeným součinem. 2.85. Určete nějakou bázi vektorového prostoru antisymetrických reálných čtvercových matic typu 4x4. Uvažte standardní skalární součin v této bázi a pomocí tohoto součinu vyjádřete velikost matice / 0 3 1 0\ -3012 -1-1 0 2 \0 -2-2 0/ 2.86. Najděte ortogonální doplněk U1- podprostoru U = {(x\, x2, x3, x4); x\ = x3, x2 = x3 + 6x4} c R4. Řešení. Ortogonální doplněk U1- tvoří právě ty vektory, které jsou kolmé na každé řešení soustavy Xi - x3 x2 — x3 6x4 0, 0. Vektor je ovšem řešením této soustavy tehdy a jenom tehdy, když je kolmý na oba vektory (1,0, —1,0), (0, 1, —1, —6). Je tedy U1- = {a ■ (1, 0, -1, 0) + b ■ (0, 1, -1, -6); a,be □ 2.87. Určete, zda jsou podprostory U = ((2, 1, 2, 2)) a y = ((-1, 0, -1, 2), (-1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, -1)) prostoru R4 na sebe kolmé. Pokud ano, je R4 = U © V, tj. je U1- = VI 2.88. V závislosti na parametru t e R stanovte dimenzi podprostoru U vektorového prostoru R3, je-li U generován vektory (a) ui = (1, 1, 1), u2 = (í,t,\), w3 = (2, 2, ř); (b) ui = (t,t,t), u2 = (-4ř,-4ř, 4ř), «3 = (-2, -2, -2). 113 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 2.89. Sestrojte ortogonální bázi podprostoru ((1,1,1,1), (1,1,1,-1), (-1,1,1,1)) prostoru R4. 2.90. V prostoru R4 nalezněte nějakou ortogonální bázi podprostoru všech lineárních kombinací vektorů (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, —7), (4, —2, 4, 14) a podprostoru generovaného vektory (1, 2, 2, —1), (1, 1, -5,3), (3,2, 8, -7). 2.91. Pro jaké hodnoty parametrů a, b e M jsou vektory (1,1,2,0,0), (1,-1,0, l,a), (1,0,2,3,-2) v prostoru M5 po dvou ortogonální? 2.92. V prostoru M5 uvažujte podprostor generovaný vektory (1,1,-1,-1,0), (1,-1,-1,0,-1), (1,1,0,1,1), (—1, 0, —1, 1, 1). Najděte nějakou bázi jeho ortogonálního doplňku. 2.93. Popište ortogonální doplněk podprostoru V prostoru R4, jeli V generován vektory (-1, 2, 0, 1), (3, 1, -2, 4), (-4, 1, 2, -4), (2,3, -2,5). 2.94. V prostoru M5 určete ortogonální doplněk W1- podprostoru W, jestliže (a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t); r, s, t e R}; (b) W je množina řešení soustavy rovnic x\ — x3 = 0, x\ — x2 + x3 — XiX -\- x$ =0. 2.95. Nechť jsou v prostoru R4 dány vektory (1,-2,2,1), (1,3,2,1). Doplňte tyto dva vektory libovolným způsobem na ortogonální bázi celého R4. (Můžete k tomu využít Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.) 2.96. Nalezněte nějakou ortonormální bází podprostoru y C M, kde V = {(xi, x2, x3, x4) e R4 \ x\ + 2x2 + x3 = 0}. Řešení. Vidíme, že čtvrtá souřadnice se v omezení na podprostor nevyskytuje, bude tedy vhodné volit jeden z vektorů hledané ortonormální báze vektor (0, 0, 0, 1) a redukovat problém do prostoru R3. I dále se zkusíme vyhnout počítání: vidíme, že položíme-li druhou souřadnici rovnu nule, tak ve vyšetřovaném prostoru leží vektory s opačnou první a třetí souřadnicí, zejména jednotkový vektor (-^, 0, — -^j, 0). Na tento vektor je kolmý libovolný vektor, který g(v) 0 -1 1 0 0 -1 1 o ■1 1 ■ u, -1 ■ v. To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má zobrazení g matici K i 0 0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky a = cos(^jt) + i sin(jjt) a kmoplexně sdružené ä. Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Tomu lze snadno porozumět, když si označíme reálnou a imaginární část vektoru u takto xu + Uu = Re u -\- i Im u + i ■ Vektor v je komplexně sdružený k u. Zajímá nás zúžení zobrazení g na reálný vektorový podprostor V = R2 n (u, v) c C2. Evidentně je V = {u + ú, i(u - ú)) = {xu, -yu) celá reálná rovina R2. Zúžení zobrazení g na tuto rovinu je právě původní zobrazení dané maticí A a z definice násobení komplexní jednotkou jde o otočení o úhel ^jt v kladném smyslu ve vztahu ke zvolené bázi xu, —yu (ověřte si přímým výpočtem a uvědomte si také, proč případné prohození pořadí vektorů u a. v povede k témuž výsledku, byť v jiné reálné bázi!). 2.46. Vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení. Klíčem k popisu zobrazení v předchozích příkladech byly odpovědi na otázku „jaké jsou vektory tít^ splňující rovnici f(u) = a-u pro nějaké vhodné skaláry a?". Zvolme tedy pevně lineární zobrazní / : V -> V na vektorovém prostoru dimenze n nad skaláry K. Jestliže si představíme takovou rovnost zapsanou v souřadnicích, tj. s využitím matice zobrazení A v nějakých bázích, jde o výraz A ■ x — a ■ x = (A — a ■ E) ■ x = 0. Z předchozího víme, že taková soustava rovnic má jediné řešení x = 0, pokud je matice A — a E invertibilní. My tedy chceme najít takové hodnoty aeK, pro které naopak A — aE invertibilní není, a nutnou a dostatečnou podmínkou je (viz Věta 2.23) (2.4) det(A - a-E) = 0. Jestliže považujeme k = a za proměnnou v předchozí skalární rovnici, hledáme ve skutečnosti kořeny polynomu stupně n. Jak jsme viděli v případě matice D výše, kořeny mohou, ale nemusí existovat podle volby pole skalárů K. 114 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA «J Vlastní čísla a vlastní vektory Skaláry k vyhovující rovnici f(u) = k ■ u pro nenulový vektor u e V nazýváme vlastní čísla zobrazení f, příslušné nenulové vektory u pak vlastní vektory zobrazení f. Jsou-li u, v vlastní vektory příslušné k témuž vlastnímu číslu k, pak i pro jejich jakoukoliv lineární kombinaci platí f (au + bv) = af(u) + bf(v) = k(au + bv). Proto tvoří vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu k, společně s nulovým vektorem, netriviální vektorový podprostor Vx, tzv. vlastní podprostor příslušný k. Např., je-li k = 0 vlastním číslem, je jádro Ker / vlastním podprostorem V0- Z definice vlastních čísel je zřejmé, že jejich výpočet nemůže záviset na volbě báze a tedy matice zobrazení /. Skutečně, jako přímý důsledek trasformačních vlastností z odstavce 2.38 a Cauchyovy věty 2.19 pro výpočet determinantu součinu dostáváme jinou volbou souřadnic matici A' = P~1AP s invertibilní maticí P a \P~lAP P~lAP - P~lkEP\ kE\ ■- \P~l(A - kE)P ■ \A - kE\, \p-1\\(A-kE\\P\ protože násobení skalárů je komutativní a = li5!-1. Z těchto důvodů používáme pro matice a zobrazení společnou terminologii: ir-j Charakteristický polynom matice a obražení _^ Pro matici A dimenze n nad K nazýváme polynom | A — kE\ e K„[A] charakteristický polynom matice A. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice A. Jeli A matice zobrazení / : V -» V v jisté bázi, pak \A — kE\ ^razýváme^ak^ polynom zobrazení f. Protože je charakteristický polynom lineárního zobrazení / : V -» V nezávislý na volbě báze V, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné k skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení /, tj. nemohou záviset na naší volbě báze. Zejména jako jednoduché cvičení na počítání determinantů vyjádříme koeficienty u nejvyšších a nejnižších mocnin (předpokládáme dim V = n a matici zobrazení A = (útý) v nějaké bázi): i n — l \A — k ■ E\ = (-l)nkn + {au + ■■■+ ann) ■ k + ••• + |A| -k°. Koeficient u nejvyšší mocniny říká jen, zda je dimenze prostoru V sudá nebo lichá. O determinantu matice zobrazení jsme už zmiňovali, že vyjadřuje, kolikrát dané lineární zobrazení zvětšuje objemy. Zajímavé je, že i součet diagonálních členů matice zobrazení nezávisí na volbě báze. Nazýváme jej stopa matice a značíme TrA. Stopa zobrazení je definována jako stopa jeho matice v libovolné bázi. Ve skutečnosti to natolik překvapivé má stejnou první a třetí souřadnici. Abychom se dostali do uvažovaného podprostoru, volíme druhou souřadnici rovnu záporné hodnotě součtu první a třetí souřadnice a normujeme, tedy volíme vektor ^'-Ä'75'0)aJsmehotovL D J. Vlastní čísla a vlastní vektory 2.97. Vlastní čísla a vlastní vektory mohou sloužit k názornému popisu lineárních zobrazení, zejména vE2al3. (1) Uvažme zobrazení s maticí ve standardní bázi / : M3 M3, A = Pak dostáváme -k 0 1 \A-kE\ = 0 1 — k 0 = -k3 + k2 + k - 1, 1 0 —k s kořeny Ai_2 se spočtou: 1, A.3 -1. Vlastní vektory s vlastní hodnotou k = 1 s bází prostoru řešení, tj. všech vlastních vektorů s touto vlastní hodnotou Podobně pro k Ml = (0,1,0), lť2 = (1,0,1). — 1 dostáváme třetí nezávislý vlastní vektor = (-1,0, 1). V bázi Mi, u2, «3 (všimněte si, že «3 musí být lineárně nezávislý na zbylých dvou díky větě 2.47 aui, u2 vyšly jako dvě nezávislá řešení) má / diagonální matici Celý prostor M3 je přímým součtem vlastních podprostoru, M3 = Vi © V2, dim Vi = 2, dim V2 = 1. Tento rozklad je dán jednoznačně a vypovídá mnoho o geometrických vlastnostech zobrazení /. Vlastní podprostor V\ je navíc přímým součtem jednorozměrných vlastních podprostoru, které lze však zvolit mnoha různými způsoby (takový další rozklad nemá tedy již žádný geometrický význam). 115 J. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI (2) Uvažme lineární zobrazení / : m2m —> definované derivováním polynomů, tj. /(I) = 0, f(x) = 1, /(x2) = 2x. Zobrazení / má tedy v obvyklé bázi (1, x, x2) matici ^0 1 A = I 0 0 2 ,0 0 0; Charakteristický polynom je \A — k ■ E\ = —k3, existuje tedy pouze jediná vlastní hodnota, k = 0. Spočtěme vlastní vektory: '0 1 0\ /Ol 0^ 0 0 2 - 0 0 1 v0 0 0/ \0 0 Oj Prostor vlastních vektorů je tedy jednorozměrný, generovaný konstantním polynomem 1. 2.98. Příklad i se změnou báze. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice 'i 1 o^ 1 2 1 ,1 2 h Popište geometrickou interpretaci tohoto zobrazení a napište jeho matici v bázi: V, na n— rozměrném prostoru V, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních podprostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má f diagonální matici. Tato báze je určená jednoznačně až na pořadí prvků. Příslušnou bázi (vyjádřenou v souřadnicích vzhledem k libovolně zvolené bázi V) obdržíme řešením n systémů homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A — ki ■ E), kde A je matice f ve zvolené bázi. 116 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.48. Invariantní podprostory. Viděli jsme, že každý vlastní vektor v zobrazení / : V -» V gene- 1__ruje podprostor (v) C V, který je zobrazením / zachováván. Obecněji říkáme, že vektorový podprostor W C V je invariantní podprostor pro lineární zobrazení /, jestliže platí f(W) C W. Jestliže je V konečněrozměrný vektorový prostor a vybereme nějakou bázi (ui, ..., uk) podprostoru W, můžeme ji vždy doplnit na bázi (ui, ..., uk, uk+i, ..., un) celého V a v každé takové bázi má naše zobrazení matici A tvaru B ť 0 D, (2.5) kde S je čtvercová matice dimenze k, D je čtvercová matice dimenze n — k a C je matice typu n/(n — k). Naopak, jestliže je v nějaké bázi (u\, ..., un) matice zobrazení / tvaru (2.5), je W = (u\, ..., uk) invariantní podprostor zobrazení /. Pochopitelně bude v naší matici zobrazení (2.5) sub-matice C nulová právě tehdy, když bude i podprostor (uk+i, ..., un) generovaný doplněnými vektory báze invariantní. Z tohoto pohledu jsou vlastní podprostory lineárního zobrazení extrémní případy invariantních podprostoru a zejména v případě existence n = dim V různých vlastních čísel zobrazení / dostáváme rozklad V na přímý součet n vlastních podprostoru. V příslušné bázi z vlastních vektorů má pak naše zobrazení diagonální tvar s vlastními čísly na diagonále. 2.49. Ortogonální zobrazení. Podívejme se teď na speciální případ zobrazení / : V -» W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají izl. velikosti pro všechny vektory u e V. Definice ortogonálních zobrazení [ Lineární zobrazení / : V -> W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jesltiže pro všechny u e V (f (u), f (u)) = (u, u). Z linearity / a ze symetrie skalárního součinu vyplývá pro všechny dvojice vektorů rovnost (f(u + v), f(u + v)) = (f(u), f(u)) + (f(v), f (v)) + 2(f(u),f(v)). Proto všechny ortogonální zobrazení splňují i zdánlivě silnější požadavek, aby platilo pro všechny vektory u, v e V (f(u),f(v)) = (u, v). V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme ve Větě 1.33 dokázali, že lineární zobrazení M2 -> M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a taje ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A-1 = AT. • 2 + a/2: Řešíme soustavu -(1 + V2) 1 0 \ /jcA 1 -V2 1 x2 = 0. 1 2 -(1 + V2)/ W Řešením je jednodimenzionální prostor ((1,1 + V2, 1 + V2)). • 2 — \fl: Řešíme soustavu V2- 1) 1 0 \ /jcA 1 V2 1 x2 = 0. 1 2 (72 - 1)/ W Řešením je prostor vlastních vektorů ((1, 1 — 72, 1 — 72)). Daná matice má vlastní čísla 0,2+72 a 2—72, kterým přísluší po řadě jednorozměrné prostory vlastních vektorů ((1, —1, 1)), ((1, 1 + 72, 1 + 72)) a ((1, 1 - 72, 1 - 72)). Zobrazení tedy můžeme interpretovat jako projekci podél vektoru (1, -1, 1) do roviny dané vektory (1, 1 + 72, 1 + 72) a (1, 1 -72, 1 — 72) složenou s lineárním zobrazením daným „natažením" daným vlastními čísly ve směru uvedených vlastních vektorů. Nyní jej vyjádřeme v uvedené bázi. K tomu budeme potřebovat matici přechodu T od standardní báze k dané nové bázi. Tu získáme tak, že souřadnice vektorů staré báze v bázi nové napíšeme do sloupců matice T. My však snadněji zapíšeme matici přechodu od dané báze k bázi standardní, tedy matici T~l. Souřadnice vektorů nové báze pouze zapíšeme do sloupců: Potom a pro matici B zobrazení v nové bázi pak máme (viz 2.38) B = T AT □ Procvičme si počítání s vlastními čísly a vlastními vektory na následujících příkladech. 2.99. Naleznete vlastní čísla a jim příslušné vektorové prostory vlastních vektorů matice: A= -1 1 0> -13 0 2 -2 2> 117 J. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI Řešení. Nejprve sestavíme charakteristický polynom dané matice: ■1-k -1 2 1 0 3-k 0 -2 2 — X X3 - 4k3 +2X + 4. Tento polynom má kořeny 2,1 + -v/3, 1 — VŠ, což jsou tak vlastní čísla zadané matice. Jejich algebraická násobnost je jedna (jsou to jednoduché kořeny charakteristického polynomu), každému tedy bude odpovídat právě jeden (až na nenulový násobek) vlastní vektor (tj. jejich tzv. geometrická násobnost bude také jedna, viz 3.32). Určeme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu 2 (je řešením homogenní lineární soustavy s maticí A — 2E): —3xi + x2 —1*1 + x2 2x\ — 2x2 0 0 0. Soustava má řešení x\ = x2 = 0, x3 e M libovolné, vlastním vektorem příslušným vlastní hodnotě 2 je tedy například vektor (0, 0, 1) (a libovolný jeho nenulový násobek). Analogickým způsobem určíme i zbývající dva vlastí vektory, jakožto řešení soustavy [A — (1 + -j3)E]x = 0, respektive [A — (1 + V3)E]x = 0. Řešením soustavy (-2-V3)xi+x2 = 0 — Ijci + (2 - V3)x2 = 0 2xi - 2x2 + (1 - V3)x3 = 0 je prostor {((^ — l)ř, —\, ^ , ř e M}. To je tedy prostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 1 + -v/3 (mimo nulového vektoru, který sice je řešením dané soustavy, ale za vlastní vektor jej nepovažujeme; tuto záležitost již nebudeme více zmiňovat a nebudeme nulový vektor explicitně vylučovat z množiny řešení). Obdobně pak dostaneme, že prostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 1 - 73 je ((-1 - ^, -\, 1)). □ 2.100. Nalezněte vlastní čísla a jim příslušné vektorové prostory vlastních vektorů matice: Řešení. Charakteristický polynom matice je k3 — 6k2+12A—8, což je (k — 2)2 s trojnásobným kořenem 2. Číslo 2 je tedy vlastní hodnotou s algebraickou násobností tři. Její geometrická násobnost tedy bude jedna, dvě, nebo tři. Určeme tedy vlastní vektory příslušné této vlastní Obecně, ortogonální zobrazení / : V -» W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), /(«)) = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Je tedy vždy v takovém případě dimenze oboru hodnot alespoň taková, jako je dimenze definičního oboru /. Pak ovšem je dimenze obrazu rovna dimenzi oboru hodnot a víme, že / : V -» Im / je bijekce. Pokud Im/ 7^ W, doplníme ortonormální bázi na obrazu / na ortonormální bázi cílového prostoru a matice zobrazení bude obsahovat čtvercovou regulární matici A doplněnou nulovými řádky na potřebnou velikost. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Naše podmínka pro matici ortogonálního zobrazení v ortonormální bázi pak říká pro všechny vektory x a y v prostoru toto: T x -y. (A ■ xY ■ (A ■ y) = x ■ (A ■ A) ■ y Speciálními volbami vektorů standardní báze za x a y dostaneme přímo, že AT ■ A = E, tedy tentýž výsledek jako v dimenzi dvě. Dokázali jsme tak následující tvrzení: -| Matice ortogonálních zobrazení |» Věta. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a f : V —> V je lineární zobrazení. Pak f je ortogonální, právě když v některé ortonormální bázi (a pak už ve všech) má matici A splňující AT = A-1. 1 Důkaz. Skutečně, jestliže zachovává / velikosti, musí mít uvedenou vlastnost v každé ortonormální bázi. Naopak, předchozí výpočet ukazuje, že vlastnost matice v jedné bázi už zaručuje zachovávání velikostí. □ Čtvercovým maticím, které splňují rovnost AT = A-1 říkáme ortogonální matice. Důsledkem předchozí věty je také popis všech matic přechodu S mezi ortonormálními bázemi. Každá totiž musí zadávat zobrazení W -> K" zachovávající velikosti a splňují tady také právě podmínku 5_1 = ST. Při přechodu od jedné ortonormální báze ke druhé se tedy matice (libovolných) lineárních zobrazení mění podle vztahu A' STAS. Rozklad ortogonálního zobrazení. Podívejme se nyní podrobněji na vlastní vektory a vlastní čísla ortogonálních zobrazení na reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Uvažujme pevně zvolené ortogonální zobrazení V s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako s maticí rotace D v příkladu 2.45. Nejprve se ale podívejme obecně na invariantní podpro-story ortogonálních zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor W C V a ortogonální zobrazení / : V -> V platí f(W) C W, pak také platí pro 118 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA všechny v e W-1, w e W (f(v),w) = {f(v),fof-\w)) {v,f-\w))=0 protože i f~l(w) e W. To ale znamená, že také f (W^) C W-1. Dokázali jsme tedy jednoduché, ale velice důležité tvrzení: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru je také invariantní. Kdyby byla vlastní čísla ortogonálního zobrazení reálná, zaručovalo by už toto tvrzení, že bude vždy existovat báze V z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení f na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V. Nicméně většinou nejsou vlastní čísla ortogonálních zobrazení reálná. Musíme si proto pomoci opět výletem do komplexních vektorových prostorů. Zformulujeme rovnou výsledek: ' Rozklad ortogonálních zobrazení Věta. Nechť f : V -» V je ortogonální zobrazení na prostoru se skalárním součinem. Pak všechny kořeny charakteristického polynomu f mají velikost jedna a existuje rozklad V na jednorozměrné vlastní podprostory odpovídající vlastním číslům k = ± 1 a dvourozměrné podprostory P^l, na kterých působí f rotací o úhel rovný argumentu komplexního čísla k v kladném směru. Všechny tyto různé podprostory jsou po dvou ortogonální. storu Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme pracovat s pro-\\ storem V = W" se standardním skalárním součinem. Zobrazení tedy bude dáno ortogonální matici A, kterou můžeme stejně považovat za matici lineárního zobrazení na komplexním pro-(která je jen shodou okolností reálná). Zaručeně bude existovat právě m (komplexních) kořenů charakteristického polynomu, včetně jejich algebraické násobnosti (viz tzv. základní věta algebry, ??). Navíc, protože charakteristický polynom zobrazení bude mít výhradně reálné koeficienty, budou tyto kořeny buď reálné, nebo půjde o dvojice komplexně sdružených kořenů k a k. Příslušné vlastní vektory v Cm k takové dvojici komplexně sdružených vlastních čísel budou řešením dvou komplexně sdružených systémů homogenních lineárních rovnic, neboť příslušné matice systémů rovnic jsou celé reálné, až na samotná dosazená vlastní čísla. Evidentně proto budou také řešení těchto systémů komplexně sdružené vektory. Nyní využijeme skutečnost, že ke každému invariantnímu podprostoru je i jeho ortogonální doplněk invariantní. Nejprve si najdeme všechny vlastní podprostory V±1 příslušné k reálným vlastním hodnotám a zúžíme naše zobrazení na ortogonální doplněk k jejich součtu. Bez újmy na obecnosti tedy můžeme předpokládat, že naše ortogonální zobrazení nemá žádná reálná vlastní čísla a že je dim V = 2n > 0. hodnotě jako řešení soustavy (A - 2E)x -- —X\ +x2 —X\ +x2 2x\ —2x2 0, 0, 0. Jejím řešením je dvojrozměrný prostor ((1, —1, 0), (0, 0, 1)). Vlastní hodnota 2 má tedy algebraickou násobnost tři, ale geometrickou pouze dva. □ Další základní příklady na vlastní čísla vektory matic naleznete na straně 125 2.101. Pro libovolnou n x n matici A je její charakteristický polynom | A — k E I stupně n, je tedy tvaru | A - k E I = cn kn + c„_i k"-1 + ■ ■ ■ + a k + c0, cn^0, přičem platí cn = (-l)n, c„_! = (-l)"-1TrA, c0 = |A|. Jestliže je matice A trojrozměrná, obdržíme | A - k E I = -k3 + (Tr A) k2 + ci k + | A |. Volbou k = 1 dostáváme |A-£| = -l+TrA+ci + |A|. Odsud získáváme vyjádření \A-kE\ = -k3 + (Tr A) k2 + (\ A-E \ + \-Tr A-\A\)k + \A\. Využijte toto vyjádření k určení charakteristického polynomu a vlastních hodnot matice 2.102. Bez počítání napište spektrum lineárního zobrazení f :M. —> R3 zadaného přiřazením (jci, x2, x3) (jci + x3, x2, x\ + x3). 2.103. Uvedte dimenze vlastních podprostoru jednotlivých vlastních hodnot ki matice /4 0 0 0\ 14 0 0 5 2 3 0 \0 4 0 3/ 2.104. Pauliho matice Ve fyzice se stav částice se spinem ^ popisuje Pauliho maticemi. Jsou to následující matice 2x2 nad komplexními čísly '0 1\ /0 -i\ (\ 0 i oJ-ff2= V* o)>a3 = {o -1, Pro čtvercové matice definujeme jejich komutátor (značený hranatými závorkami) jako [eri, a{\ '.= 01o2 — a2a\ 119 J. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI Ukažte, že platí \o\, a2] = 2zer3 a podobně \o\, 03] = 2ia2 a [a2, er3] = 2io\. Dále ukažte, že er2 = er2 = er2 = 1 a že vlastní hodnoty matic o\,o2, 03 jsou ±1. Ukažte, že pro matice popisující stav částice se spinem 1 —i 0 1 platí stejné komutační relace jako v případě Pauliho matic. Ekvivalentně Lze ukázat, že při označení 1 := ^ ^ /03, J := ia2, K := z'eri. tvoří vektorový prostor s bazí (1, /, J, K) algebru kvaternionů (algebra je vektorový prostor s binární bilineární operací násobení; v tomto případě je toto násobení dáno násobením matic). K tomu, aby uvažovaný prostor byl skutečně algebrou kvaternionů, je nutné a stačí ukázat následující vlastnosti: I2 = J2 = K2 = -1 a IJ = - JI = K,JK = -KJ = I a KI = -IK = J. 2.105. Lze vyjádřit matici B 5 6 6 5 ve tvaru součinu S = P~l DP pro nějakou diagonální matici D ain-vertibilní matici P? Pokud je to možné, udejte příklad takové dvojice matic D, P a zjistěte, kolik takových dvojic existuje. Jak jsme viděli v , na základě vlastních hodnot a vektorů dané matice 3x3, umíme často geometricky interpretovat zobrazení, které zadává ve standardní bázi v M3. Umíme to zejména v těchto situacích: Má-li matice vlastní číslo 0 a vlastní číslo 1 s geometrickou násobností 2, tak se jedná o projekci ve směru vlastního vektoru příslušného vlastní hodnotě 0 na rovinu vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 1. Pokud je vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě 0 kolmý na rovinu vlastních vektorů příslušných hodnotě 1, pak se jedná o kolmou projekci. Má-li matice vlastní číslo — 1 s vlastním vektorem kolmým na rovinu vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 1, jde o zrcadlení podle roviny vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 1. Má-li matice vlastní číslo 1 s vlastním vektorem kolmým na rovinu vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě —1, jedná se o osovou symetrii (v prostoru) podle osy dané vlastním vektorem příslušným vlastní hodnotě 1. 2.106. Určete, jaké lineární zobrazení'. zadává matice Zvolme nyní nějaké vlastní číslo k a označme ux vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k = a + i/3, f3 7^ 0. Zcela stejně jako v případě rotace v rovině zadané v odstavci 2.45 maticí D nás zajímá reálná část součtu dvou jednorozměrných podprostorů (ux) ®{úx), kde úx je vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k. Jde o průnik uvedeného součtu komplexních podprostorů s M2", který je generovaný vektory ux + úx a i(ux — úx), tj. reálný vektorový podprostor Px danou reálnou a imaginární částí ux C p2« generovaný bazí xx = reux, mvux. Protože A ■ (ux + úx) = kux + kúx a podobně s druhým bázovým vektorem, jde zjevně o invariantní podprostor vůči násobení maticí A a dostáváme A ■ xx = axx + fíyx, A ■ yx = -ayx + fixx. Protože naše zobrazení zachovává velikosti, musí být navíc velikost vlastní hodnoty k rovna jedné. To ale neznamená nic jiného, než že zúžení našeho zobrazení na Px je rotací o argument vlastní hodnoty k. Všimněme si, že volba vlastního čísla k místo k vede na stejný podprostor se stejnou rotací, pouze ji dostaneme vyjádřenou v bázi xx, yx, tj. musíme v souřadnicích rotovat o úhel s opačným znaménkem. Důkaz celé věty tím dokončen, protože zúžením našeho zobrazení na ortogonální doplněk a opakováním předchozí úvahy dostaneme celý rozklad po n krocích. □ K myšlenkám tohoto důkazu se ještě vrátíme v kapitole třetí, když budeme studovat komplexní rozšíření euklidovských vektorových prostorů, viz 3.26. Poznámka. Specielně v dimenzi tři musí být alespoň jedno vlastní číslo ±1, protože je trojka liché číslo. Pak ovšem příslušný vlastní podprostor je osou rotace trojrozměrného prostoru o úhel daný argumentem dalších vlastních čísel. Zkuste si rozmyslet, jak poznat, kterým směrem jde rotace a také, že vlastní číslo — 1 znamená ještě dodatečné zrcadlení podle roviny kolmé na osu rotace. K diskusi vlastností matic a lineárních zobrazení se budeme vracet. Před pokračováním obecné teorie si napřed ukážeme v následující kapitole několik aplikací, ještě ale uzavřeme naši diskusi obecnou definicí: -| Spektrum lineárního zobrazení [. 2.51. Definice. Spektrum lineárního zobrazení f : V —> V (resp. matice) je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jakožto kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostorů vlastních vektorů. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení (matice) je největší z absolutní hodnot vlastních čísel. 120 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA V této terminologii můžeme naše výsledky o ortogonálních zobrazeních zformulovat tak, že jejich spektra jsou vždy celá podmnožinou jednotkové kružnice v komplexní rovině. To znamená, že v reálné části spektra mohou být pouze hodnoty ±1, jejichž algebraické a geometrické násobnosti jsou stejné. Komplexní hodnoty spektra pak odpovídají rotacím ve vhodných dvourozměrných podprostorech, které jsou na sebe po dvou kolmé. Řešení. Matice má dvojnásobnou vlastní hodnotu — 1, jí příslušný prostor vlastních vektorů je ((2, 0, 1), (1, 1,0)). Dále má matice vlastní hodnotu 0, s vlastním vektorem (1, 4, —3). Zobrazení dané touto maticí ve standardní bázi je tudíž osová souměrnost podle přímky dané posledním vektorem složená s projekcí na rovinu kolmou k poslednímu vektoru, tedy danou obecnou rovnicí x + 4y — 3z = 0. □ 2.107. Věta (2.50) nám dává do ruky nástroje, jak poznat matici rotace v M3: má tři různá vlastní čísla s absolutní hodnotou 1, jedno z nich je přímo číslo 1 (jemu příslušný vlastní vektor je osa rotace). Argument zbylých dvou, tedy nutně komplexně sdružených, vlastních čísel potom udává úhel rotace v kladném smyslu v rovině určené bazí ux + ui~, i[ux - «!]. 2.108. Určete, jaké lineární zobrazení zadává matice Řešení. Již známým postupem zjistíme, že matice má následující vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory: 1, (1,2,0); | + \i, 1, (1, 1 + i, -1 - Z); f - p, (L 1 - i, -1 + 0- Jde tedy o matici rotace (všechna vlastní čísla mají absolutní hodnotu 1 a jedna z vlastních hodnot je přímo 1), navíc víme, že se jedná o rotaci o arccos(|) = 0, 2957T, což je argument vlastního čísla | + ji. Zbývá určit smysl otáčení. Nejprve je dobré si připomenout, že smysl otáčení se mění s orientací osy (nemá tedy smyslu hovořit o smyslu otáčení, pokud nemáme orientovánu jeho osu. Dle úvah v důkazu věty 2.50, působí daná matice otáčením o arccos(|)) v kladném smyslu v rovině dané bazí ((0, 1, —1), (1, 1, —1)). První vektor báze je imaginární částí vlastního vektoru příslušného vlastní hodnotě | + ji, druhý pak je (společnou) reálnou částí vlastních vektorů příslušných komlexním vlastním hodnotám. Tady je důležité pořadí vektorů v bázi (prohozením vektorů se změní smysl otáčení). Osa otáčení je kolmá na uvažovanou rovinu. Pokud ji orientujeme podle pravidla pravé ruky (daný kolmý směr také dostaneme vektorovým součinem vektorů v bázi) tak bude smysl otáčení v prostoru souhlasit se smyslem otáčení v rovině s uvedenou bazí. V našem případě dostaneme vektorovým součinem (0, 1, —1) x (1, 1, —1) = (0, —1, —1). Jedná se tedy o rotaci o arccos(|) v kladném smyslu kolem vektoru (0, —1, —1), neboli o rotaci o arccos(|) v záporném smyslu kolem vektoru (0, 1, 1). □ 121 k. doplňující príklady k cele kapitole 4. vlastnosti lineárních zobrazeni K. Doplňující příklady k celé kapitole 2.109. Řešte soustavu X\ + x2 + X3 + x4 — 2X5 2x2 + 2x3 + 2x4 — 4x5 — X\ — x2 — X3 -\- X4 -\- 2x5 —2xi + 3x2 + 3x3 — 6x5 Řešení. Rozšířená matice soustavy je 3, 5, 0, 2. / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 -1 -1 -1 1 2 0 V "2 3 3 0 -6 2/ Přičtením prvního řádku ke třetímu a jeho dvojnásobku ke čtvrtému a poté přičtením (—5/2)násobku druhého řádku ke čtvrtému obdržíme /1 1 1 1 -2 3 \ / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3 0 0 0 2 0 3 5 5 2 -10 8 / 0 0 -3 0 -9/2 j Poslední řádek je zřejmě násobkem předposledního, a tak jej můžeme vynechat. Pivoti se nacházejí v 1., 2. a 4. sloupci, proto jsou volné proměnné X3 a X5, které nahradíme reálnými parametry t, s. Uvažujeme tak soustavu + *2 2x2 + + t 2t + + JC4 2^4 2s 4s 3, 5, 3. Víme tedy, že X4 = 3/2. Druhá rovnice dává 2x2 + 2t + 3 - 4s = 5, tj. x2 = 1 - t + 2s. z první potom plyne xi + 1 - t + 2s + t + 3/2 - 2s = 3, tj. Xi = 1/2. Celkem máme (2.1) (Xi, X2, X3, X4, X5) (1/2, 1 - t +2s, t, 3/2, s), t,s € Také v tomto příkladu znovu uvažujme rozšířenou matici a převeďme ji pomocí řádkových úprav do schodovitého tvaru, kde první nenulové číslo v každém řádku je 1 a kde ve sloupci, ve kterém tato 1 je, jsou ostatní čísla 0. Ještě připomeňme, že čtvrtou rovnici, jež je kombinací prvních třech rovnic, budeme vynechávat. Po řadě vynásobením druhého a třetího řádku číslem 1 /2, odečtením třetího řádku od druhého a od prvního a odečtením druhého řádku od prvního získáme 0 1 1 1 1 -2 3^ 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3^ 1 1 1 0 -2 3/2 0 1 1 0 -2 1 0 0 0 1 0 3/2 1 0 0 0 0 0 110-2 0 0 0 1 0 122 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Pokud opět zvolíme s (t, s € W), dostaneme odsud obecné řešení (2.1) ve stejném tvaru, a to bezprostředně. Uvažte příslušné rovnice jci = 1/2, X2 + t — 2s = 1, x4 = 3/2. □ 2.110. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic zadané rozšířenou maticí / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5 / Řešení. Uvedenou rozšířenou matici upravíme na schodovitý tvar. Nejprve první a třetí řádek opíšeme a do druhého řádku napíšeme součet (—2)násobku prvního a 3násobku druhého řádku a do čtvrtého řádku součet 5násobku prvního a (—3)násobku posledního řádku. Takto získáme / 3 3 2 1 3 \ / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 -3 -1 -2 6 0 5 -4 3 1 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5 ) ^ 0 6 1 14 0/ Opsání prvních dvou řádků a přičtení 5násobku druhého řádku k 3násobku třetího a jeho 2násobku ke čtvrtému řádku dává 2 -1 -17 -1 / 3 0 0 -1 -4 1 1 -2 3 14 3 \ 1 0/ / 3 0 0 V 0 o o 1 -2 -1 10 3 \ 33 12/ Pokud první, druhý a čtvrtý řádek opíšeme a ke třetímu přičteme čtvrtý, dostaneme / 3 0 0 V 0 o o -1 ■17 -1 1 -2 -1 10 3 \ 6 33 12/ / 3 0 0 V 0 o o -1 ■18 -1 1 -2 9 10 3 \ 6 45 12/ Dále je (řádkové úpravy jsou již „obvyklé") / 3 3 2 1 3 \ ( 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 -18 9 45 0 0 2 -1 -5 \o 0 -1 10 12 ; V 0 0 1 -10 -12 ) / 3 3 2 1 3 / 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 1 -10 -12 0 0 1 -10 -12 0 2 -1 -5 J \0 0 0 19 19 / Vidíme, že soustava má právě 1 řešení. Určeme ho zpětnou eliminací / 3 0 0 V 0 o o 1 o 1 -2 -10 3 \ -12 / 3 0 0 V 0 o o 1 o / 3 3 0 0 6 \ ( 1 1 0 0 2 \ 0 -3 0 0 6 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 1 ) \0 0 0 1 1 / 0 2 0 8 0 -2 1 1 ) ( 1 0 0 0 4 \ 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 1 / 123 K. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE_4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Výsledek je tak X\ = 4, x2 = —2, x3 = —2, x^ = 1. □ 2.111. Uvedlte všechna řešení homogenního systému x + y = 2z + v, z + 4« + v = 0, — 3« =0, z = — 1; 4 lineárních rovnic 5 proměnných x, y, z, u, v. Řešení. Systém přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci budou koeficienty u x, ve druhém sloupci koeficienty u v, až v pátém sloupci koeficienty u v, přičemž všechny členy v každé rovnici převedeme na levou stranu. Tímto způsobem přísluší systému matice /l 1 —2 0 -l\ 0 0 14 1 0 0 0 -3 0' \0 0 1 o 1 / Přičteme-li (4/3)násobek třetího řádku ke druhému a odečteme-li poté druhý řádek od čtvrtého, obdržíme /l 1 —2 0 -l\ /l 1 —2 0 -l\ 0 0 1 4 1 0 0 1 0 1 000 -3 0 ^000 -3 0' v0 01 0 1/ \0 0 0 0 Oj Dále vynásobíme třetí řádek číslem —1/3 a přičteme 2násobek druhého řádku k prvnímu, což dává /l 1 —2 0 -l\ /l 1 0 0 l\ 0 0 1 o 1 0 0 10 1 00 0 -3 0 ~ 0 0 0 1 0 - \o o o o o / \o o o o 0/ Z poslední matice můžeme přímo vypsat všechna řešení /x\ /-1\ /-1\ y 1 0 z = t 0 + s -1 u 0 0 \v) \°) neboť máme matici ve schodovitém tvaru, přičemž první nenulové číslo v každém řádku je 1 a ve sloupci, kde se taková 1 nachází, jsou na ostatních pozicích 0. Výše uvedené řešení ve tvaru lineární kombinace dvou vektorů je určeno právě sloupci bez prvního nenulového čísla nějakého řádku, tj. druhým a pátým sloupcem, kdy volíme 1 jako druhou složku pro druhý sloupec a jako pátou složku pro pátý sloupec a kdy čísla v příslušném sloupci bereme s opačným znaménkem a umisťujeme je na pozici danou sloupcem, ve kterém je první 1 v jejich řádku. Dodejme, že výsledek je ihned možné přepsat do tvaru (x, y, z, u, v) = (—t — s, t, —s, 0, s) , t, s e M. □ 2.112. Rozložte na transpozice následující permutace: A 2 3 4 5 6 7\ 1} [l 6 5 4 3 2 1J' 124 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA ii) iii) 1 2345678 6 4 1 2 5 8 3 7 1 2 3 4 5 6 7 4 6 1 10 2 5 9 9 3 10 7 i) ii) iii) 2.113. Určete paritu následujících permutací: '1 2 3 4 5 6 7 7 5 6 4 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 1 2 3 8 4 5, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 971 10 25493 2.114. Stanovte vlastní hodnoty matice /-13 0 -30 V-12 5 4 2\ -10 0 12 9 6 4 5 2.115. Víte-li, že čísla 1,-1 jsou vlastní hodnoty matice /-ll 5 4 -3 0 1 -21 11 8 V-9 5 3 uvedlte všechna řešení charakteristické rovnice \ A — k E nomu | A — k E | jako k\, k2, A.3, a4, je \A\ = kl-k2-k3-k4, TrA = 2.116. Udejte příklad čtyřrozměrné matice s vlastními čísly k\ k2 jako kořene charakteristického polynomu byla 3 a aby (a) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 3; (b) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 2; (c) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 1. 2.117. Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice: -1 -| 0 -| o \ 1\ o 2 ' V I = 0. Nápověda: Označíme-li kořeny poly- k\ -\- k2 -\- A. 3 -\- A.4. 6 a A2 = 7 takové, aby násobnost 2.118. Určete charakteristický polynom | A — k E |, vlastní čísla a vlastní vektory matice <\ -1 2 1 a -1 125 k. doplňující príklady k cele kapitole 4. vlastnosti lineárních zobrazeni Řešení cvičení 2.7. / 122 A5 = -121 V o -121 121 122 -121 0 1 , 2.72. Taková matice X existuje právě jedna, a to 18 -32^ 5 - /14 13 -13> A~3 — í 13 14 13 \ 0 0 27 ; 2.74. A 2.15. /l 10 -4\ A-1 = (i 12 5 i- (2 -3 0 0 o\ -5 8 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -5 2 \o 0 0 3 -v (0 1 1 o\ C"1 = 1 2 0 1 1 -1 0 0 -i 0 v -1 -1 1 2 \i 1 2.77. V prvním případě dostáváme ve druhém potom '14 8 5^ A-1 = | 2 1 1 i i o; 2.18. Platí n - 1 /o i 1 ... l\ 1 0 1 ... 1 1 1 0 '•. 1 V 1 1 0/ 2.27. -3,17,-1 2.24. Odečtením prvního řádku od všech ostatních řádků a následným rozvojem podle prvního sloupce obdržíme V„(xi,x2, ...,*„) = 0 X2 — Xl x| — 0 xw xi x^ x^ Xw x\ xr1 „n-1 _ „"-I ■*2 Al xT -1 _ Yn-l „n-1 _ „"-I x^-i-xr1 126 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Vytkneme-li z ř-tého řádku x;+i — x\ pro / e {1, 2, ..., n — 1}, dostaneme V„(xi,x2, ...,*„) 1 X2 + X1 ... 2Üj=0 X2~'/~2xl (x2-xi)---(x„ -xi) 1 X„ + XI En-2 n—j—2 i j=0 x" l Odečtením od každého sloupce (počínaje posledním a konče druhým) x\-násobku předcházejícího lze docílit úpravy 1 X2 + x\ sr-n-2 n-j-2 i 1 X2 1 xn x2 xT 1 xn -\- x\ ... j—0 xn xl Proto V„(xi,x2, ..., xn) — (x2 -xi) • • • (x„ -xi) V„_i(x2, ... ,x„). Neboťje zřejmě V2(xn—i, xw) = xw xn—\, platí (uvažme matematickou indukci) V„(xi, x2, ..., x„) = ]~[ (x;- - X/). \ + 7), y = (3a -fc - l)/(£ + 7) (lb). ii) Pro b = -7(lb)aa / -2 (lb) nemá řešení (lb), pro a — —2 je řešením x — z, 3z — 1 (2b). 2.41. Ze znalosti inverzní matice F-1 dostáváme / & -p 0 0 aS — Py F* = (a<5 - F" -Y 0 0 pro libovolná a, p, y, S e BL 2.44. Hledanými maticemi jsou / 1 1 -2 -4\ 0 10-1 -1-13 6 \2 1-6 -10/ (a) (b) 6 -3 + 2i -2i í + i 2.47. Lehce se ověří, že se jedná o vektorový prostor. První souřadnice neovlivňuje výpočty součtů vektorů ani hodnoty skalárních násobků vektorů: jedná se o přeznačený prostor (M, +, •)■ 2.52. Úloha má jediné řešení p — 2, q — —2, r — 3. 2.55. (2+^,2-^). 2.56. Vektory jsou závislé, je-li splněna alespoň jedna z podmínek a — b — l. a — c — 1, b — c — 1. 2.57. Vektory jsou lineárně nezávislé. 2.58. Stačí připojit např. polynom x. 2.70. / 1/4 -V6/4 3/4 \ 76/4 -1/2 -V6/4 V 3/4 V6/4 1/4 / 2.74. 5/6 -1/6 1/3 -1/6 5/6 1/3 1/3 1/3 1/3 2.75. / 5/9 2/9 -4/9\ 2/9 8/9 2/9 \-4/9 2/9 5/9 / 2.80. cos = ^1. 128 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.81. qi : (2--^,2V3 + Í)r, q2: (2 +-2^3 + i)r. 2.84. Například skalární součin, který vyplývá z izomorfismu prostoru všech reálných matic 3 x 3 s M9. Použijeme-li součin z R9 dostáváme skalární součin, který dvěma maticím přiřadí součet součinů po dvou odpovídajících si složek. Pro danou matici dostaneme 12 0 0 2 0 1 -2 -3, '1 0 1 2 0 = (|0 2 0 ) , I 0 2 0 1 ) = V l2 + 22 + O2 + O2 + 22 + O2 + l2 + (-2)2 + (-3)2 1 -2 -31 \1 -2 -3, 2.87. Vektor, který zadává podprostor U, je kolmý na každý ze tří vektorů, které generují V. Podprostory jsou tak na sebe kolmé. Avšak není pravda, že M4 = U ©V. Podprostor V je totiž pouze dvojdimenzionální, protože (-1, 0, -1, 2) = (-1, 0, 1, 0) - 2 (0, 0, 1, -1). 2.88. V prvním případě je dim U = 2 pro t e {1, 2}, jinak je dim U = 3. Ve druhém případu je dim U — 2 pro t ^ 0 a dim U — 1 pro t — 0. 2.89. Gramovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem lze obdržet výsledek ((1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, -3), (-2, 1, 1,0)). 2.90. Při zachování pořadí podprostorů ze zadání jsou ortogonálními bázemi např. ((1,0, 1,0), (0, 1,0, -7)) a ((1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, -2)). 2.97. Výsledek je a — 9/2, b — —5, neboť musí mj. platit 1+6 + 4 + 0 + 0 = 0, 1-6 + 0 + 3-2a = 0. 2.92. Hledaná báze obsahuje jediný vektor. Jejím nějaký nenulový skalární násobek vektoru (3, -7, 1,-5,9). 2.93. Ortogonální doplněk (komplement) V je množina všech skalárních násobků vektoru (4, 2, 7, 0). 2.94. (a) W1- = ((1, 0, -1, 1, 0), (1, 3, 2, 1, -3)); (b) W1- = ((1,0, -1,0,0), (1, -1, 1, -1, 1)). 2.95. Hledaných doplnění je pochopitelně nekonečně mnoho. Jedním (skutečně jednoduchým) je např. (1,-2,2,1), (1,3,2,1), (1,0,0,-1), (1,0,-1,1). 2.707. Je | A - X E \ = -X3 + 12X2 - MX + 60, tj. Xx = 3, X2 = 4, X3 = 5. 2.102. Výsledkem je posloupnost 0, 1, 2. 2.103. Dimenze je 1 pro X\ = 4 a 2 pro X2 = 3. 2.105. Matice B má dvě různá vlastní čísla, a proto takové vyjádření existuje. Např. platí (5 6\_iA/2 -V2\ /ll 0\ i/V2 V2\ \6 5)~2\^2 V2j\0 -\)-2\-j2 V2j-Existují právě dvě diagonální matice D, a to ('o'-0,)- (o'ľO- 129 K. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ ovšem sloupce matice P 1 můžeme nahradit za jejich libovolné nenulové skalární násobky, tedy uvažovaných dvojic D, P je nekonečně mnoho. 2.772. i) (1, 7)(2, 6)(5, 3), ii) (1, 6)(6, 8)(8, 7)(7, 3)(2, 4), iii) (1, 4)(4, 10)(10, 7)(7, 9)(9, 3)(2, 6)(6, 5) 2.113. i) 17 inverzí, lichá, ii) 12 inverzí, sudá, iii) 25 inverzí, lichá 2.774. Daná matice má pouze jedno vlastní číslo, a to — 1. 2.775. Kořen —1 polynomu | A — X E | je trojnásobný. 2.776. Kupř. (a) /6 0 0 o\ (6 0 0 o\ 0 7 0 0 (b) 0 7 1 0 0 0 7 0 0 0 7 0 0 0 V (6 0 0 V> o\ 0 0 v (c) 0 7 1 0 0 vO 0 0 7 0 1 V 2.117. Trojnásobná vlastní hodnota —1, příslušný vektorový prostor je ((1, 0, 0), (0, 2, 1)). 2.778. Charakteristický polynom je — (k—2)2(k—9). tj. vlastní čísla j sou 2 a 9 s přišlu nými (po řadě) vlastními vektory (1,2, 0), (-3,0, 1) a (1,1,1). 130 KAPITOLA 3 Linární modely a maticový počet kde jsou matice užitečné? — nakonec skoro všude... Máme už vybudován docela slušný balíček nástrojů a tak je na čase, abychom si maticový počet zkusili použít. Na docela jednoduchých úlohách uvidíme, že teorie nám umožňuje kvalitativní i kvantitativní analýzy a někdy i překvapivě snadno vede k nečekaným výsledkům. Jakkoliv se může zdát, že předpoklad linearity vztahů mezi veličinami je příliš omezující, v reálných úlohách naopak často právě lineární závislosti buď vystupují přímo nebo je skutečný proces výsledkem iterace mnoha lineárních kroků. I když tomu tak není, můžeme tímto způsobem skutečné procesy alespoň aproximovat. V této kapitole proto neprve zrekapitulujeme nejjednodu-šší případ, kdy celý proces je popsán jediným ^_ lineárním zobrazením. O co méně tady bude nové teorie, tím více snad bude zajímavé, jak takové modely vznikají v různých oblastech využití matematických nástrojů. Poté se vrátíme k tzv. lineárním diferenčním rovnicím, které lze chápat buď jako rekurentně definované funkce nebo také jako specifický případ lineárního interovaného procesu. Právě takovým pocesům bude věnována část třetí, kde si ukážeme, k jakým kouzlům vede pochopení vlastností vlastních hodnot matic. Na matice (resp. lineární zobrazení) se také někdy rádi ji ,. díváme jako na objekty, se kterými bychom rádi pracovali tak, jak to umíme se skaláry. K tomu ale bude třeba docela usilovná práce ve čtvrté části kapitoly. ifí1 ' Rychlé a užitečné použití pak ukážeme na tzv. rozkladech matic, které jsou potřebné pro numerické zvládnutí matičkového počtu co nejrobustnějším způsobem. 1. Lineární procesy 3.1. Řešení systému lineárních rovnic. Jednoduché line-e^Ojx^ ární procesy jsou dány lineárními zobrazeními ■

x2 + 90 xx > 110 Účelová funkce (funkce udávající zisk při daném počtu vyrobených šroubků a matic) je 40xi + 60x2. Předchozí soustava nerovnic zadává v M2 určitou oblast a optimalizace zisku znamená najít v této oblasti bod (případně body), ve kterém bude mít účelová funkce nejvy-šší hodnotu, tj. najít největší k takové, že přímka 40xi +60x2 = k bude mít s danou oblastí neprázdný průnik. Graficky můžeme najít řešení například tak, že umístíme přímku p do roviny tak, aby splňovala rovnici 40xi + 60x2 = 0 a začneme ji rovnoběžně posunovat „nahoru" tak dlouho, dokud bude mít nějaký společný průnik s danou oblastí. Je zřejmé, že tímto posledním průnikem může být buď bod, nebo hraniční přímka dané oblasti (pokud by byla rovnoběžná s p). Dostaneme tak (viz. obrázek), bod x\ = 110 a x2 = 5. Maximální možný zisk tedy činí 40 • 100 + 60 • 5 = 4700 Kč. □ 3.2. Minimalizace nákladů na krmení. Hříbárna v Nišovicích u Volyně nakupuje na zimu krmivo: seno a oves. Výživné hodnoty krmiv a požadované denní dávky pro jedno hříbě jsou v tabulce g/kg Seno Oves POŽADAVKY Sušina 841 860 Alespoň 6300 g SNL 53 123 Nejvýše 1150 g Škrob 0,348 0,868 Nejvýše 5,35 g Vápník 6 1,6 Alespoň 30 g Fosfor 2,8 3,5 Nejvýše 44 g Sodík 0,2 1,4 Přibližně 7 g CENA 1,80 1,60 Každé hříbě musí v krmné dávce denně dostat alespoň 2 kg ovsa Průměrná cena včetně dopravy činí 1, 80 Kč za 1 kg sena a 1, 60 Kč za 1 kg ovsa Sestavte denní dávku krmení pro jedno hříbě tak, aby náklady byly minimální. 3.3. Optimální dělení materiálu. Na vnitřní dřevěné obložení chaty je třeba • maximálně 120 ks prken délky 35 cm • 180 až 330 ks prken délky 120 cm • alespoň 30 ks prken délky 95 cm pro neznámý vektor x a známý vektor b. V pevně zvolených souřadnicích pak máme matici A zobrazení cp a souřadné vyjádření vektoru b. Jak jsme si povšimnuli už v úvodu druhé kapitoly, množina všech řešení tzv. homogenní úlohy A ■ x = 0 je vektorovým podprostorem. Pokud je dimenze V konečná, řekněme n, a dimenze obrazu zobrazení cp je k, pak řešením této soustavy pomocí převodu na řádkově schodovitý tvar (viz 2.7) zjistíme, že dimenze podprostoru všech řešení je právě n — k. Skutečně, protože sloupce matice zobrazení jsou právě obrazy bázových vektorů, je v matici systému právě k lineárně nezávislých sloupců a tedy i stejný počet lineárně nezávislých řádků. Proto nám zůstane při převodu na řádkový schodovitý tvar právě n — k nulových řádků. Při řešení systému rovnic nám tak zůstane právě n — k volných parametrů a dosazením vždy jednoho z nich s hodnotou jedna a vynulováním ostatních získáme právě n—k lineárně nezávislých řešení. Všechna řešení jsou pak dána právě všemi lineárními kombinacemi těchto n — k řešení. Každé takové (n — &)-tici řešení říkáme fundamentální systém řešení daného homogenního systému rovnic. Dokázali jsme: Věta. Množina všech řešení homogenního systému rovnic A ■ x = 0 pro n proměnných s maticí A hodnosti k je vektorovým podprostorem v W dimenze n — k. Každá báze tohoto podprostoru tvoří fundamentální systém řešení daného homogenního systému. 3.2. Nehomogenní systémy rovnic. Uvažme nyní obecný systém rovnic A ■ x = b. Znovu si uvědomme, že sloupce matice A jsou ve skutečnosti obrazy vektorů standardní báze v W v lineárním zobrazení cp odpovídajícím matici A. Pokud má existovat řešení, musí být b v obrazu cp a tedy musí být lineární kombinací sloupců v A. Jestliže tedy rozšíříme matici A o sloupec b, můžeme, ale nemusíme, také zvětšit počet lineárně nezávislých sloupců a tedy i řádků. Pokud se tento počet zvětší, pak b v obrazu není a tedy systém rovnic nemůže mít řešení. Jestliže ale naopak máme stejný počet nezávislých řádků i po přidání sloupce b k matici A, znamená to, že sloupec b musí být lineární kombinací sloupců matice A. Koeficienty takové kombinace jsou právě řešení našeho systému rovnic. Uvažme nyní dvě pevně zvolená řešení x a y našeho systému a nějaké řešení z systému homogenního se stejnou maticí. Pak zjevně A-(x-y) = b-b = 0 A ■ (x +z) = 0 + b = b. Můžeme proto shrnout: 132 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Koupit lze jen prkna délky 4 metry. Celkový odpad nesmí být větší než 360 cm. Určete, kolik nejméně prken můžeme nakoupit (a jak je rozřezat), aby bylo vyhověno podmínkám úlohy. V literatuře se tomuto tvrzení často říká Frobeniova věta a obvyklá formulace je „systém má řešení, právě když je hodnost jeho matice rovna hodnosti matice rozšířené". 3.4. Optimalizační lineární modely. Ve vedlejším sloupci jsme tuto kapitolu začali problémy natěračů. Budeme v tom pokračovat. Představme si, že náš velice specializovaný natěrač v černobílém světě je ochoten natírat fasády buď malých rodinných domků nebo naopak velikých veřejných budov a že pochopitelně používá jen černou a bílou barvu. Může si zcela volně vybírat, v jakém rozsahu bude dělat x jednotek plochy prvého typu nebo y jednotek druhého. Předpokládejme však, že jeho maximální pracovní zátěž je ve sledovaném období L jednotek plochy, jeho čistý výnos (tj. po odečtení nákladů) je na jednotku plochy c\ u malých domků a c2 u veřejných staveb. Zároveň má k dispozici maximálně W kg bílé a S kg černé barvy. Konečně na jednotku plochy rodinného domu potřebuje w\ kg bílé barvy a b\ kg černé, zatímco u veřejných staveb jsou to hodnoty w2 a b2. Když si to celé shrneme do (ne)rovnic, dostáváme omezení (3.1) xi+x2, přičemž opět uvažujeme nezáporné proměnné. Je snadné nahlédnout, že každý obecný problém lineárního programování lze převést na kterýkoliv ze standardních. Kromě změn znamének můžeme ještě pracovat s rozdělením případných proměnných bez omezení znaménka na rozdíl dvou kladných. Bez újmy na obecnosti se tedy budeme dále věnovat jen standardnímu maximalizačnímu problému. Jak takový problém řešit? Hledáme maximum lineární formy h na podmnožinách M vektorového prostoru, které jsou zadány lineárními nerovnostmi, tj. v rovině pomocí průniku polorovin, obecně budeme v další kapitole hovořit o poloprostorech. Všimněme si, že každá lineární forma na reálném vektorovém prostoru h : V -» M (tj. libovolná lineární skalární funkce) v každém vybraném směru buď stále roste nebo stále klesá. Přesněji řečeno, jestliže vybereme pevný počáteční vektor w e V a „směrový" vektor v € V, pak složením naší formy h s parametrizací dostaneme t h-» h(u + t v) = h(u) + t h(v). Tento výraz je skutečně s rostoucím parametrem t vždy buď rostoucí nebo klesající, případně konstantní (podle toho, zda je h (v) kladné nebo záporné, případně nulové). Jistě tedy musíme očekávat, že problémy podobné tomu s natěračem budou buď nesplnitelné (když je množina zadaná omezením prázdná) nebo bude výnos neohraničený (když omezení zadají neomezenou část celého prostoru a forma h v některém z neomezených směrů bude nenulová) nebo budou mít maximální řešení v alespoň jednom z „vrcholů" množiny M (přičemž zpravidla půjde o jediný vrchol, může ale jít o ^ecdľo™' konstatní maximální honotu na části horanice oblasti M). Dantzigovi, algoritmech, odkaz apod. 3.5. Formulace pomocí lineárních rovnic. Ne vždy je nalezení optima tak snadné jako v předchozím případě. Problém může zahrnovat velmi mnoho proměnných a velmi mnoho omezení a jen rozhodnout, zda je množina M splnitelných bodů neprázdná je problematické. Nemáme tu prostor na úplnou teorii, zmíníme ale alespoň dva směry úvah, které ukazují, že ve skutečnosti bude řešení naleznutelné vždy podobně, jako tomu bylo v dvojrozměrném problému v předchozím odstavci. Začneme srovnáním se systémy lineárních rovnic - těm už totiž rozumíme dobře. Zapišme si rovnice (3.1)—(3.3) vektorově v obecném tvaru: A - x < b, kde x je nyní n-rozměrný vektor, b je m-rozměrný vektor a A odpovídající matice a nerovností myslíme jednotlivé nerovnosti po řádcích. Maximalizovat chceme součin c ■ x pro daný řádkový vektor koeficientů lineární formy h. Jestliže si pro každou z rovnic přidáme jednu pomocnou proměnnou a ještě si primyslíme proměnnou z jako hodnotu Unární formy 134 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET h, můžeme celý problém přepsat jako systém lineárních rovnic x 0. Minimalizační problém: Minimalizuj yT ■ b za podmínky yT ■ A > cT a zároveň y > 0. Říkáme, že tyto problémy jsou vzájemně duální. K odvození dalších vlastností problémů lineárního programování zavedeme trochu terminologie. Řekneme, že jde o idxřešitelný problém, jestliže existuje nějaký přípustný vektor x, který vyhoví všem omezujícícm podmínkám. Řešitelný maximalizační, resp. minimalizační problém je ohraničený, jestliže je účelová funkce na množině vyhovující omezením ohraničená shora, resp. zdola. Lemma. Je-li x e W přípustný vektor pro standarní maximalizační problém a y e W" je přípustný vektor pro duální minimalizační problém, pak pro účelové fuknce platí c ■ x < yT ■ b Důkaz. Jde vlastně jen o snadné pozorování: x > 0 a cT < yT ■ A, ale také y >Q & A ■ x < b, proto musí platit i c ■ x < yT ■ A ■ x < yT což jsme měli dokázat. □ 135 A. PROCESY S LINEÁRNÍMI OMEZENÍMI 1. LINEÁRNÍ PROCESY Odtud okamžitě vidíme, že jestliže jsou oba duální problémy řešitelné, pak musí být i ohraničené. Ještě zajímavější je následující postřeh přímo vycházející z nerovnosti v předchozí větě. Důsledek. Jestliže existují přípustné vektory x a y duálních lineárních problémů takové, že pro účelové funkce platí c ■ x = yT ■ b, pak jde o optimální řešení obou problémů. 3.7. Věta (O dualitě). Je-li standardní problém lineárního programování řešitelný a ohraničený, pak je takový i jeho duální problém, optimální hodnoty jejich účelových funkcí splývají a optimální řešení vždy existuje. Důkaz. Jeden směr tvrzení jsme již dokázali v předchozím důsledku. Zbývá důkaz existence optimálního řešení. Ten se nejsnadněji dokáže konstrukcí funkčního algoritmu, tomu se však teď nebudeme v podrobnostech věnovat. K chybějící části důkazu se vrátíme na straně 208 v afinní geometrii. □ Povšimněme si ještě pěkného přímého důsledku právě zformulované věty o dualitě: Důsledek (Věta o ekvilibriu). Uvažme příspustné vektory x a y pro standarní maximalizační problém a jeho duální problém z definice 3.6. Pak jsou oba tyto vektory optimální, právě tehdy když yt = 0 pro všechny souřadnice s indexem i, pro které 2~2"j=i aUxJ < h a zároveň x j = 0 pro všechny souřadnice s indexem j, pro které YlT=i y'a'j > c'- Důkaz. Předpokládejme, že platí oba vztahy z předpko- ladu impliace ve větě. Pak tedy můžeme v ná-sledujím výpočtu počítat s rovnosti, protože sčítance s ostrou nerovností mají stejně u sebe nulové koeficienty: m m n m n i — l i — l j—l i — l j—l a z stejného důvodu také m n n zE E ^''"'/V/ = Y2cJxj- Tím máme dokázánu jednu implikaci z tvrzení díky větě o dualitě. Předpokládejme nyní, že x a y jsou skutečně optimální vektory. Víme tedy, že platí m m n n ale zároveň jsou si levé a pravé strany rovny. Nastává tedy všude rovnost. Přepíšeme-li prvou rovnost jako m / n \ i = \ V 7=1 7 136 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET vidíme, že může být naplněna jen za podmínek ve větě, protože jde o nulový součet samých nezáporných čísel. Z druhé rovnosti stejně plyne i druhé zbylé tvrzení a důkaz je ukončen. □ Věty o dualitě a ekvilibriu jsou užitečné při řešení problémů lineárního programování, protože nám ukazují souvislosti mezi nulovostí jednotlivých dodatečných proměnných a naplňování omezujících podmínek. 3.8. Poznámky o lineárních modelech v ekonomii. Náš velice schematický problém černobílého natěrače z odstavce 3.4 můžeme použít jako ilustraci jednoho z typických ekonomických modelů, tzv. model plánování výroby. Jde přitom o zachycení problému jako celku, tj. se zahrnutím vnitřních i vnějších vztahů. Levé strany rovnic (3.1), (3.2), (3.3) i účelové funkce h(x\,x2) jsou vyjádřením různých výrobních vztahů. Podle povahy problému pak jsou požadovány na pravé straně buď přesné hodnoty (pak řešíme systém rovnic) nebo požadujeme kapacitní omezení a optimalizaci účelu (a pak dostáváme právě problémy lineárního programování). Můžeme tak tedy obecně řešit problém alokace zdrojů při dodavatelských omezeních a přitom buď minimalizovat náklady nebo maximalizovat zisk. Z tohoto pohledu lze také nahlížet dualizaci problémů. Jestliže by náš natěrač chtěl hypoteticky nastavit svoje náklady spojené se svojí prací yL, bílou barvou yw a černou barvou yB, pak bude chtít minimalizovat účelovou funkci L ■ y l + Wyw + By b při omezujících podmínkách Vl + wiyw + bxyB > cx yL + w2yw + b2yB > c2. To je právě duální problém k původnímu a hlavní věta 3.7 říká, že optimální stav je takový, kdy účelové funkce mají stejnou hodnotu. V ekonomických modelech najdeme mnoho modifikací. Jednou z nich jsou úlohy finančního plánování, související s optimalizací portfolia. Určujeme přitom objemy investic do jednotlivých investičních variant s cílem držet se daných omezení na rizika a optimalizovat přitom zisk, resp. při očekávaném objemu minimalizovat rizika. Dalším obvyklým modelem jsou marketingové aplikace, např. alokace nákladů na reklamy v různých médiích nebo umísťování reklam do časových termínů. Omezujícími podmínkami bude disponibilní rozpočet, rozložení cílových skupin apod. Velmi obvyklé jsou modely výživových problémů, tj. návrh návek různých komponent výživy s daným složením a omezujícími požadavky na celkové objemy výživových látek. A. PROCESY S LINEÁRNÍMI OMEZENÍMI 2. DIFERENČNÍ ROVNICE Problémy lineárního programování se objevují při personálních úlohách, kdy jsou pracovníci s různými kvalifikacemi a dalšími předpoklady rozdělováni do směn. Obvyklé jsou také problémy směšování, problémy dělení a problémy distribuce zboží. 2. Diferenční rovnice Diferenčními rovnicemi jsme se stručně zabývali již v první kapitole, byť pouze těmi prvního řádu.Nyní si ukážeme obecnou teorii pro lineární rovnice s konstantními koeficien-'//• • ty, která poskytuje nejen velmi praktické nástroje, ale je také pěknou ilustrací pro koncepty vektoro vých podprostorů a lineárních zobrazení. Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k \— 3.9. Definice. Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k je dána výrazem oqx„ + a\xn-\ + ■ ■ ■ + a^Xn-i =0, a$ ^ 0 ak ^ 0, kde koeficienty at jsou skaláry, které mohou případně i záviset na n. Říkáme také, že taková rovnost zadává homogenní lineární rekurenci řádu k a často zapisujeme hledanou posloupnost jako funkci *n = f in) =--f {n - 1)------f {n - k). Řešením této rovnice nazýváme posloupnost skalárů xt, pro všechna i e N, případně i e Z, které vyhovují rovnici s libovolným pevným n. 1 Libovolným zadáním k po sobě jdoucích hodnot xt jsou určeny i všechny ostatní hodnoty jednoznačně. Skutečně, pracujeme nad polem skalárů, takže hodnoty ao i jsou invertibilní a proto z definičního vztahu lze vždy spočíst hodnotu xn ze známých ostatních hodnot a stejně tak pro Indukcí tedy okamžitě dokážeme, že lze jednoznačně dopočíst všechny hodnoty jak pro kladná tak pro záporná celá n. Prostor všech nekonečných posloupností x; je vektorový prostor, kde sčítání i násobení skaláry je dáno po složkách. Přímo z definice je zjevné, že součet dvou řešení homogenní lineární rovnice nebo skalární násobek řešení je opět řešení. Stejně jako u homogenních systémů lineárních tedy vidíme, že množina všech řešení je vektorový podprostor. Počáteční podmínka na hodnoty řešení je dána jako k-rozměrný vektor v Kk. Součtu počátečních podmínek odpovídá součet příslušných řešení a obdobně se skalárními násobky. Dále si všimněme, že dosazením nul a jedniček do zadávaných počástečních k hodnot snadno získáme k lineárně nezávislých řešení naší rovnice. Jakkoliv jsou tedy zkoumané vektory nekonečné posloupnosti skalárů, samotný prostor všech řešení je konečněrozměrný, předem víme, že jeho 138 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET dimenze bude rovna řádu rovnice k, a umíme snadno určit bázi všech těchto řešení. Opět hovoříme o fundamentálním systému řešení a všechna ostatní řešení jsou právě jejich lineární kombinace. Jak jsme si již ověřili, vybereme-li k po sobě jdoucích indexů i, i + 1, ..., i + k — 1, zadává homogenní lineární diferenční rovnice lineární zobrazení Kk -» K°° k-rozměrných vektorů počástečních hodnot do nekonečně rozměrných poslouností týchž skalárů. Nezávislost různých takových řešení je ekvivalentní nezávislosti počátečních hodnot, ale tu umíme snadno rozpoznat pomocí determinantu. Máme-li /c-tici řešení (x^1], ..., x^), pak jde o nezávislá řešení právě, když následující determinant, tzv. Casoratián je nenulový pro jedno (a pak už všechna) n [i] r[i] xn xíl] \+k-\ xn [k] Xn + l [k] Xn+k-l 3.10. Řešení homogenních rekurencí s konstantními koeficienty. Těžko bychom hledali univerzální postup, jak hledat řešení obecných homogenních lineárních diferenčních rovnic, tj. přímo spočítatelný výraz pro obecné řešení xn. V praktických modelech ale velice často vystupují rovnice, kde jsou koeficienty konstantní. V tomto přípdě se daří uhodnout vhodnou formu řešení a skutečně se nám podaří najít k lineárně nezá-vislých možností. Tím budeme mít problém vyřešený, protože všechny ostatní budou jejich lineární kombinací. Pro jednoduchost začneme rovnicemi druhého řádu. Takové potkáváme obzvlášť často v praktických problémech, kde se vyskytují vztahy závisející na dvou předchozích hodnotách. Lineární diferenční rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty (resp. lineární rekurencí druhého řádu s konstantními koeficienty) tedy rozumíme předpis (3.4) f(n+2) = a- f(n + l)+b-f(n)+c, kde a,b, c jsou známé skalární koeficienty. Např. v populačních modelech můžeme zohlednit, že jedinci v populaci dospívají a pořádně se rozmnožují až o dvě období později (tj. přispívají k hodnotě f(n + 2) násobkem b ■ f (n) s kladným b > 1), zatímco nedospělí jedinci vysílí a zničí část dospělé populace (tj. koeficient a pak bude záporný). Navíc si je třeba někdo pěstuje a průběžně si ujídá konstantní počet c < 0 v každém jednotlivém období. Speciálním takovým příkladem s c = 0 je např. Fibo-nacciho posloupnost čísel y0, yi, ..., kde yn+2 = y„+i + y„. Jestliže při řešení matematického problému nemáme žádný nový nápad, vždy můžeme zkusit, do jaké míry funguje známé řešení podobných úloh. Zkusme proto dosadit do rovnice (3.4) s koeficientem c = 0 podobné řešení jako u B. Rekurentní rovnice Různé lineární závislosti mohou být dobrým nástrojem pro popsání rozličných modelů růstu. Začněme s velmi populárním populačním modelem, který využívá lineární diferenční rovnici druhého řádu: 3.4. Fibonacciho posloupnost. Na začátku jara přinesl čáp na louku dva čerstvě narozené zajíčky, samečka a samičku. Samička je schopná od dvou měsíců stáří povít každý měsíc dva |!L malé zajíčky (samečka a samičku). Nově narození zajíci plodí potomky po jednom měsíci a pak každý další měsíc. Každá samička je březí jeden měsíc a pak opět porodí samečka a samičku. Kolik párů zajíců bude na louce po devíti měsících (pokud žádný neuhyne a žádný se tam „nepřistěhuje")? Řešení. Po uplynutí prvního měsíce je na louce pořád jeden pár, nicméně samička zabřezne. Po dvou měších se narodí první potomci, takže na louce budou dva páry. Po uplynutí každého dalšího měsíce se narodí (tedy přibude) tolik zajíců, kolik zabřezlo zaječic před měsícem, což je přesně tolik, kolik bylo před měsícem párů schopných mít potomka, což je přesně tolik, kolik bylo párů před dvěma měsíci. Celkový počet pn zajíců po uplynutí n-tého měsíce tak je tak součtem počtů párů v předchozích dvou měsících. Pro počet párů zajíců na louce tedy dostáváme homogenní lineární rekuretní formuli (3-1) Pn+2 = Pn + 1 + Pn, « = 1,..., která spolu s počátečními podmínkami p\ = 1 a p2 = 1 jednoznačně určuje počty párů zajíců na louce v jednotlivých měsících. Linearita formule znamená, že všechny členy posloupnosti (pn) jsou ve vztahu v první mocnině, rekurence je snad jasná a homogenita značí, že v předpisu chybí absolutní člen (viz dále pro nehomogenní formule). Pro hodnotu n-tého členu můžeme odvodit explicitní formuli. V hledaní formule nám pomůže pozorování, že pro jistá r je funkce r" řešením diferenční rovnice bez počátečních podmínek. Tato r získáme tak, že dosadíme do rekurentního vztahu: r"+2 = r"+1 + ŕ a po vydělení r" dostaneme r2 = r + 1, což je tzv. charakteristická rovnice daného rekurentního vztahu. Naše rovnice má kořeny -í+Vš í-Vš „ í+Vš a tedy posloupnosti an (±-^)" a bn = ( +2V )", n > 1, vyhovují danému vztahu. Vztah také splňuje jejich libovolná tzv. lineární kombinace, tedy posloupnost cn = san + tbn, s, t e M. Čísla s a t můžeme zvolit tak, aby výsledná kombinace splňovala dané počáteční podmínky, v našem případě ci = 1, 139 B. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE c2 = 1. Pro jednoduchost je vhodné navíc ještě dodefinovat nultý člen posloupnosti jako c0 = 0 a spočítat s a t z rovnic pro cq&c\. Zjistíme, že5 = -75'ř = 75atedy d + Vš)" - (i - Vš)" (3-2) p„ =-p-. 2" (VŠ) Takto zadaná posloupnost splňuje danou rekurentní formuli a navíc počáteční podmínky c0 = 0, c\ = 1, jedná se tedy o tu jedinou posloupnost, která je těmito požadavky zadána. Všimněte si, že hodnota vzorce (3.2) je celočíselná pro libolné přirozené n (zadává totiž celočíselnou Fibonacciho posloupnost), i když to tak na první pohled nevypadá. □ 3.5. Zjednodušený model chování hrubého národního produktu. Uvažujme diferenční rovnici (3.3) yk+2 - a(l + b)yk+1 + abyk = 1, kde yk je národní produkt v roce k. Konstanta a je takzvaný mezní sklon ke spotřebě, což je makroekonomický ukazatel, který udává jaký zlomek peněz, které mají oby-■ vatelé k dispozici, utratí, a konstanta b popisuje, jak závisí míra investic soukromého sektoru na mezním sklonu ke spotřebě. Předpokládáme dále, že velikost národního produktu je normována tak, aby na pravé straně rovnice vyšlo číslo 1. Spočítejte konkrétní hodnoty pro a = |,& = |,yo = l,yi = l. Řešení. Nejprve budeme hledat řešení homogenní rovnice (pravá strana nulová) ve tvaru ŕ. Číslo r musí být řešením charakteristické rovnice x2 - a(l + b)x + ab = 0, tj. x2 1 x + - = 0, 4 která má dvojnásobný kořen j. Všechna řešení homogenní rovnice jsou potom tvaru a{\)n + bn(^)n. Dále si všimněme, že najdeme-li nějaké řešení nehomogenní rovnice (tzv. partikulární řešení), tak pokud k němu přičteme libovolné řešení homogenní rovnice, obdržíme jiné řešení nehomogenní rovnice. Lze ukázat, že takto získáme všechna řešení nehomogenní rovnice. V našem případě (tj. pokud jsou všechny koeficienty i nehomogenní člen konstantami) je partikulárním řešením konstanta y„ = c. Dosazením do rovnice máme c — c + = 1, tedy c = 4. Všechna řešení diferenční rovnice yk+2 i yk+i + 4 • ä i jsou tedy tvaru 4 + a(^)n + bn(^)n. Požadujeme y0 = yi = 1 a tyto dvě rovnice dávají a = b = —3, tedy řešení naší nehomogenní rovnice rovnic lineárních, tj. f(n) = X" pro nějaké skalární X. Dosazením dostáváme n+2 aX n + l bX" = Xn(X2 -aX-b) = 0. Tento vztah bude platit buď pro X = 0 nebo při volbě hodnot X1 = + V«2 + 4b), X2 = ^(a - V«2 + 4b). Zjistili jsme tedy, že skutečně opět taková řešení fungují, jen musíme vhodně zvolit skalár X. To nám ale nestačí, protože my chceme naj ít řešení pro j akékoliv počáteční hodnoty / (0) a f(l), a zatím jsme našli jen dvě konkrétní posloupnosti splňující danou rovnici (a nebo dokonce jen jednu, pokud je ^2 = ^l)- Jak jsem již dovodili i u zcela obecných lineárních reku-rencí, součet dvou řešení f\(n) a f2(n) naší rovnice f(n + 2) — a ■ f (n + 1) — b ■ f (n) = 0 je zjevně opět řešením téže rovnice a totéž platí pro konstatní násobky řešení. Naše dvě konkrétní řešení proto poskytují daleko obecnější řešení f(n) = ClX"l+ C2X\ pro libovolné skaláry C\ a C2 a pro jednoznačné vyřešení konkrétní úlohy se zadanými počátečními hodnotami /(0) a f(\) nám zbývá jen najít příslušné konstanty C\ a C2. (A také si musíme ujasnit, zda to pro všechny počáteční hodnoty půjde). 3.11. Volba skalárů. Ukažme si, jak to může fungovat alespoň na jednom příkladě. Soustředíme se přitom na problém, že kořeny charakteristického polynomu nevychází obecně ve stejném oboru skalárů, jako jsou koeficienty v rovnici. Řešme tedy problém: (3.5) 1 yn+2 = yn+\ + y0 = 2, yi = 0. V našem případě je tedy Ai_2 = ^(1 ± V3) a zjevně y0 = Ci + C2 = 2 yi ^Ci(l + V3) + ^C2(l-V3) je splněno pro právě jednu volbu těchto konstant. Přímým výpočtem C\ = 1 — \ V3, C2 = 1 + \ V3 a naše úloha má jediné řešení f in) = (1 - i V3)^(l + V3)" + (1 + ^/3)^(1 - V3)". Všimněme si, že i když nalezená řešení pro rovnice s celočíselnými koeficienty vypadají složitě a jsou vyjádřena pomocí iracionálních (případně komplexních) čísel, o samotném řešení dopředu víme, že je celočíselné též. Bez tohoto „úkroku" do většího oboru skalárů bychom ovšem obecné řešení napsat neuměli. S podobnými jevy se budeme potkávat velice často. Obecné řešení nám také umožňuje bez přímého vyčíslování konstant diskutovat kvalitativní chování posloupnosti čísel 140 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET f (n), tj. zda se budou s rostoucím n blížit k nějaké pevné hodnotě nebo budou oscilovat v nějakém rozsahu nebo utečou do neomezených kladných nebo záporných hodnot. 3.12. Obecný případ homogenních rekurencí. Zkusme nyní stejně jako v případě druhého řádu dosadit volbu xn = k" pro nějaký ( zatím neznámý) skalár k do obecné homogenní rovnice z definice 3.9. Dostáváme pro každé n podmínku je k"~k(a0kk + aik k-l + ak)=0 což znamená, že buď k = 0 nebo je A kořenem tzv. charakteristického polynomu v závorce. Charakteristický polynom ale už není závislý na n. Předpokládejme, že má charakteristický polynom k různých kořenů k\, ..., kk. Můžeme za tímto účelem i rozšířit uvažované pole skalárů, např. Q na M nebo M na C, protože výsledkem výpočtu pak stejně budou řešení, která opět zůstanou v původním poli díky samotné rovnici. Každý z kořenů nám dává jedno možné řešení xn = (ki)" ■ Abychom byli uspokojeni, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení. K tomu nám postačí ověřit nezávislost dosazením k hodnot pro n = 0, ..., k— 1 pro k možností k{ do Casoratiánu viz 3.9. Dostaneme tak tzv. Vandermondovu matici a je pěkným (ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a jakékoliv /c-tice různých k{ je determinant takovéto matice nenulový, viz příklad 2.24 na straně 87. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá. Nalezli jsme tedy fundamentální systém řešení homogenní diferenční rovnice v případě, že všechny kořeny jejího charakteristického polynomu jsou po dvou různé. Uvažme nyní násobný kořen k a dosaďme do definiční rovnice předpokládané řešení xn = nk". Dostáváme podmínku a0nkn + ■ ■ ■ + ak(n — k)kn 0. Tuto podmínku je možné přepsat pomocí tzv. derivace polynomu (viz ?? na straně ??), kterou značíme apostrofem: k(a0kn +■■■ + akk"-ky = 0 a hned na začátku kapitoly páté uvidíme, že kořen polynomu / je vícenásobný právě, když je kořenem i jeho derivace /'. Naše podmínka je tedy splněna. Při vyšší násobnosti l kořenu charakteristického polynomu můžeme postupovat obdobně a využijeme skutečnosti, že £-násobný kořen je kořenem všech derivací polynomu až do l — 1 včetně. Derivace přitom postupně vypadají takto: 3n Opět, protože víme, že posloupnost zadaná touto formulí splňuje danou diferenční rovnici a zároveň dané počáteční podmínky, jedná se vskutku o tu jedinou posloupnost, která je těmito vlastnostmi charakterizována. □ V předchozím příkladu jsme použili tzv. metodu neurčitých koeficientů. Ta spočívá v tom, že na základě nehomogenního členu dané diferenční rovnice „uhodneme" tvar partikulárního řešení. Tvary partikulárních řešení jsou známy pro celou řadu nehomogenních členů. Např. rovnice (3-4) yn+k + aiyn+k_i -\-----h akyn = Pm(n), kde P (m) je polynom stupně n a příslušná charakteristická rovnice má reálné kořeny má (skoro vždy) partikulární řešení tvaru Qm (n), Qm (n) je polynom stupně m. Další možnou způsobem řešení je tzv. medota variace konstant, kdy nejprve najdeme řešení y(n) = ^Cifiin) Z = l zhomogenizované rovnice a poté uvažujeme konstanty q jako funkce ci (jí) proměnné n a hledáme partikulární řešení dané rovnice ve tvaru i = \ Ukažme si na obrázku hodnoty /) pro i < 35 a rovnicí f in) = 9-f(n - 1) - 3-f(n - 2) + i /(O) = /(l) = 1. 0,9- 0,7- » • '„„„•'•♦•••o 0 5 10 15 20 25 30 35 141 B. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE Dále si procvičme, jak řešit lineární diferenční rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Posloupnost vyhovující dané rekurentní rovnici druhého řádu je dána jednoznačně, pokud zadáme navíc nějaké dva její sousední členy. Znovu si povšimněme dalšího využití komplexních čísel: pro určení explicitního vzorce pro n-tý člen posloupnosti reálných čísel můžeme potřebovat výpočty s čísly komplexními (to nastává tehdy, pokud má charakteristický polynom dané diferenční rovnice komplexní kořeny). 3.6. Nalezněte explicitní vzorec pro posloupnost vyhovující následující lineární diferenční rovnici s počátečními podmínkami: JCř7_j_2 = 2xn -\- ľl, X\ = 2, x2 = 2. f(X) = a0X" + ■■■+ akXn~k f'(X) = aonk"-1 +■■■+ ak(n - k)Xn-k~l f"(X) = a0n(n-l)Xn-2+- ■ ■+ak(n-k)(n-k-l)Xn-k-2 fV+1~> =a0n...(n- £)X n-l-l + n-k-l-l + ak(n — k)... (n — k — Í)X Podívejme se na případ trojnásobného kořenu X a hledejme řešení ve tvaru n2X". Dosazením do definiční podmínky dostaneme rovnost Řešení. Zhomogenizovaná rovnice je Xn_|_2 = 2xn. Její charakteristický polynom je x2 — 2, jeho kořeny jsou ±V2- Řešení zhomogenizované rovnice je tedy tvaru a(V2)n + b(-V2)n, pro libovolné a,beR. Partikulární řešení budeme hledat metodou neurčitých koeficientů. Nehomogenní část dané rovnice je lineární polynom n, partikulární řešení proto budeme nejprve hledat ve tvaru lineárního polynomu v proměnné n, tedy kn + l, kde k, l e R. Dosazením do původní rovnice dostáváme k(n + 2) + l = 2(kn +l)+n. Porovnáním koeficientů u proměnné n na obou stranách rovnice dostáváme vztah k = 2k + 1, tedy k = — 1, porovnáním absolutních členů pak vztah 2k + l = 21, tedy l = —2. Celkem je tedy partikulárním řešením je posloupnost —n — 2. Řešení dané nehomogenní diferenční rovnice druhého řádu bez počátečních podmínek jsou tedy tvaru a(~j2)n + b(—~j2)n — n — 2, a, b e M. Nyní dosazením do počátečních podmínek určíme neznámé a, b e R. Pro početní jednoduchost použijeme malého triku: z počátečních podmínek a daného rekurentního vztahu vypočteme člen x0 : x0 = \ (x2 — 0) = 1. Daný rekurentní vztah spolu s podmínkami x0 = 1 a x\ = 1 pak zřejmě splňuje tatáž posloupnost, která splňuje původní počáteční podmínky. Máme tedy následující vztahy pro a, b: x0: a(V2f + b(-V2f - 2 = 1, tedy a+b = 3, x\ : ~j2a — ~j2b = 5, 21 n—k a0n X" + ■ ■ ■ + ak (n — k) X Zjevně je levá strana rovna výrazu X2 f"(X) + Xf'(X) a protože je X kořenem obou derivací, je podmínka splněna. Indukcí snadno dokážeme, že i obecnou podmínku pro hledané řešení ve tvaru xn = nlXn, a0nlX" + ... ak(n — k)lX' í i n—k o, dostaneme jako vhodnou lineární kombinaci derivací charakteristického polynomu začínající výrazem 1 Xl+lf(l+l> + -XH(£ + l)fw + ... a dostali jsme se tedy blízko k úplnému důkazu následující: Věta. Každá homogenní lineární diferenční rovnice řádu k nad libovolným číselným oborem K obsaženým v komplexních číslech K má za množinu všech řešení k—rozměrný vektorový prostor generovaný posloupnostmi x„ = nlXn, kde X jsou (komplexní) kořeny charakteristického polynomu a mocniny l probíhají všechna přirozená čísla od nuly až do násobnosti příslušného kořenu X. Důkaz. Výše použité vztahy násobnosti kořenů a derivací uvidíme později, a nebudeme tu dokazovat tvrzení, že každý komplexní polynom má právě tolik kořenů, včetně násobnosti, jaký má stupeň. Zbývá tedy ještě dokázat, že nalezená /c-tice řešení je lineárně nezávislá. I v tomto případě lze induktivně dokázat nenulovost příslušného Casora-tiánu, jako jsme odkazovali u případu Vandermondova determinantu výše. Pro ilustraci postupu ukážeme, jak výpočet vypadá pro případ jednonásobného kořenu X\ a dvojnásobného kořenu 142 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET X2 charakteristického polynomu: C(X" X", nXn2) i n+2 2 l n+2 nX"2 (n + l)Xn2+1 (n + 2)Xn2+1 -1n-12n K\K2 ^n -í2n K\K2 1 xx 1 ~X2 x\ 1 1 n -\ 2n -AlA2 Xi(X\ - (n + 1)X2 (n + 2)X\ 1 n 0 A2 0 X\ x2 ~X2 -A2) -x2 X\(X\ — X2) Xi n } 2n + \ xxx2 (xl - x2y ŕ o. V obecném případě vedeme podobně důkaz nenulovosti příslušného Casoratiánu indukcí. □ 3.13. Reálné báze řešení. Pro rovnice s reálnými koeficienty povedou reálné počáteční podmínky vždy na reálná řešení. Přesto ale budou příslušná fundamentální řešení z právě odvozené věty často existovat pouze v oboru komplexním. Zkusme proto najít jiné generátory, se kterými se nám bude pracovat lépe. Potože jsou koeficienty charakteristického polynomu reálné, každý jeho kořen bude buď také reálný nebo musí kořeny vystupovat po dvou komplexně združených. Jestliže si řešení popíšeme v goniometrickém tvaru jako X" = \X|" (cos n

Řešení. Charakteristický polynom dané rovnice je x4 — x3 — x + 1. Hledáme-li jeho kořeny, řešíme reciprokou rovnici x4 - x3 - x + 1 = 0 Standardním postupem nejprve vydělíme rovnici výrazem x2 a poté zavedeme substituci t = x + ^, tedy t2 = x2 + + 2. Obdržíme rovnici t2 -t -2 = 0, s kořeny t\ = — 1, t2 = 2. Pro obě tyto hodnoty neznámé t pak řešíme zvlášť rovnici danou substitučním vztahem: 1 x + - X -1. Ta má dva komplexní kořeny x\ = —\ + í^y = cos(2jt/3) + i sin(27r/3) a x2 = — j — i& = cos(2jt/3) — i sin(27r/3). Pro druhou hodnotu neznámé t dostáváme rovnici 1 x + - = 2 x s dvojnásobným kořenem 1. Celkem je tedy bazí hledaného vektorového prostoru posloupností, které jsou řešením dané diferenční rovnice, následující čtveřice posloupností: {—\ + iV3}^=l, {—\ — 'V^J^LľílJ^Li (konstantní posloupnost) a {n}^=l. Hledáme-li však reálnou bázi, musíme nahradit dva generátory (posloupnosti) z této báze s komplexními hodnotami generátory reálnými. Protože tyto generátory jsou geometrické řady, jejichž libovolné členy jsou komplexně sdružená čísla, můžeme vzít jako vhodné generátory posloupnosti dané polovinou součtu, resp. polovinou /-násobku rozdílu, daných komplexních generátorů. Takto dostaneme následující reálnou bázi řešení: {1}^ (konstantní posloupnost), {n}^=l, {cos(« • 27r/3)}^1, {sm(n-27t/3)}Zv □ 143 B. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE 3.8. Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: x„_|_2 = xn+i + 2x„ + 1, x\ = 2, X2 = 2. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(—1)" + b2n. Partikulárním řešením je konstanta —1/2. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-l)n+b2n Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = —5/6, b = 5/6. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost 5 5,1 — (-1)" + -2""1 - -. 6 3 2 □ 3.9. Určete posloupnost reálných čísel, která vyhovuje následující nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: 2x n+2 ~xn + \ + xn + 2, X\ — 2, X2 — 3. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(—1)" + b(1/2)". Partikulárním řešením je konstanta 1. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-l)n+b(^j +1. Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = l,b = 4. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost (_iy+ 4 +1. □ 3.10. Řešte následující diferenční rovnici: -"-«+4 = -"-«+3 xn+2 xn + l -OH- ŘEŠENÍ. Z teorie víme, že prostor řešení této diferenční rovnice bude čtyřdimenzionální vektorový prostor, jehož generátory zjistíme z kořenů charakteristického polynomu dané rovnice. Charakteristická rovnice je x4 - x3 + x2 - x + 1 = 0. Jedná se o reciprokou rovnici (to znamená, že koeficienty u (n—k)-té a k-té mocniny x, k = 1, ..., n, jsou shodné). Zavedeme tedy substituci Postupujeme tak, že najdeme jedno řešení a přičteme celý vektorový prostor dimenze k řešení odpovídajících systémů homogenních. Skutečně takto dostáváme řešení a protože je rozdíl dvou řešení nehomogenní rovnice zjevně řešením homogenní, dostáváme takto řešení všechna. U systému lineárních rovnic se mohlo stát, že nemusel vůbec mít řešení. To u našich diferenčních rovnic možné není. Zato ale bývá nesnadné nalézt to jedno potřebné partikulární řešení nehomogenního systému, pokud je chování skalárních koeficientů v rovnici složité. U lineárních rekurencí je to podobné. Omezíme se tu na jediný případ, kdy příslušný homogenní systém má koeficienty konstantní a b(n) je polynom stupně s. Řešení pak lze hledat ve tvaru polynomu x„ = ao + a\n + • • • + asns s neznámými koeficienty a,■, i = 1, ..., s. Dosazením do diferenční rovnice a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin n dostaneme systém s + 1 rovnic pro s + 1 proměnných a i. Pokud má tento systém řešení, našli jsme řešení našeho původního problému. Pokud řešení nemá, může stačit zvětšit stupeň s hledaného polynomu. Např. rovnice xn — x„_2 = 2 nemůže mít konstantní řešení, ale dosazením xn = a0+ain dostáváme řešení a i = 1 (a koeficient a0 může být libovolný) a proto je obecné řešení naší rovnice x„ = d +C2(-1)" +n. Všimněme si, že skutečně matice příslušného systému rovnic d°Plnit odkaz na pro polynom nižšího stupně nula je nulová a rovnice 0-a0 = 2 vedlejším sloupci, snad tam je i diskuse řešitelnosti pomocí variace nema resem. 3.15. Lineární filtry. Uvažujme nyní nekonečné posloupnosti konstant. (. . . , X—n, X—n + 1' X — i, Xq, X\, a budeme, podobně jako u systémů lineárních rovnic, pracovat s operací T, která zobrazí celou posloupnost x na posloupnost z = Tx se členy z„ ü{)Xn + ü\xn-\ + • • • + akxn- S posloupnostmi x můžeme opět pracovat jako s vektory J' „ vzhledem ke sčítání i násobení skaláry po složkách. Pouze bude tento velký vektorový prostor nekoneč-něrozměrný. Naše zobrazení T je zjevně lineárním ffi 1 zobrazením na takovém vektorovém prostoru. Posloupnosti si představme jako diskrétní hodnoty nějakého signálu, odečítané zpravidla ve velmi krátkých časových jednotkách, operace T pak může být filtrem, který signál zpracovává. Bude nás zajímat, jak odhadnout vlastnosti, které takový „filtr" bude mít. Signály jsou velice často ze své podstaty dány součtem několika částí, které jsou samy o sobě víceméně periodické. Z naší definice je ale zřejmé, že periodické posloupnosti xn, 144 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET raději spravit obrázky - černobílé sinusovkami a pondne :-) tj. posloupnosti splňující pro nějaké pevné přirozené číslo p xn+p — xn budou mít i periodické obrazy z = T x Zn+p = aOxn+p + a\xn-\+p + • • • + aicX„-ic+p = a^xn + a\x„-i + • • • + a^Xn-k = z,n se stejnou periodou p. Pro pevně zvolenou operaci T nás bude zajímat, které vstupní periodické posloupnosti zůstanou přibližně stejné (případně až na násobek) a které budou utlumeny na nulové hodnoty. Ve druhém případě tedy hledáme jádro našeho lineárního zobrazení T. To je ale dáno právě homogenní diferenční rovnicí aoxn + a\xn-\ + • • • + a^Xn-k = 0, «o 7= 0 ak 7= 0, kterou jsme se už naučili řešit. 3.16. Spatný equalizer. Jako příklad uvažujme velmi jednoduchý lineární filtr zadaný rovnicí Zn — (TX)n = Xn-^-2 + xn- Výsledky takového zpracování signálu jsou naznačeny ifgfc. na následujících čtyřech obrázcích pro po-'J,3^\/f^"'' stupně se zvyšující frekvenci periodického ''Wjh^-'' signálu x„ = cosiqrn). Červený je původní jNiás^-- signál, zelený je výsledek po zpracování filtrem. Nerovnoměrnosti křivek jsou důsledkem nepřesného kreslení, oba signály jsou samozřejmě rovnoměrnými Všimněme si, že v oblastech, kde je výsledný signál přibližně stejně silný jako původní, dochází k dramatickému u = x + j. Po vydělení rovnice x (nula nemůže být kořenem) a r2 substituci (všimněte si, že x2 + \ = u2 — 2) dostáváme 9 1 1 9 x — x + 1---1—— = u — u — 1=0. x x2 Dostáváme tedy neznámé m 1 2 = ■ Odtud pak z rovnice x2 —ux + 1=0 určíme čtyři kořeny xi, 2,3,4 1 + 75 + 7-10 + 275 Nyní si všimněme, že kořeny charakteristické rovnice jsme mohli „uhodnout" rovnou. Je totiž x5 + 1 = (x + l)(x4 x3 +x2 - X + 1), a tedy jsou kořeny polynomu x4 — x3 + x2 ■ ■ x + 1 i kořeny polynomu x5 + 1, což jsou páté odmocniny z —1. Takto dostáváme, že řešením charakteristikého polynomu jsou čísla xi 2 = cos^+sin^) ax34 = cos^) ± sin^). Tedy reálnou bází prostoru řešení dané diferenční rovnice je například báze posloupností cos^), sin^), cosiny1) a sin(3ip-), CQ- jSQU sjny akosmy argumentů příslušných mocnin kořenů charakteristického polynomu. Všimněme si, že jsme mimochodem odvodili algebraické výrazy pro cos(fO = 1±fi, sin(^) = ^10~2^, cos(^) = ^r" a sin(T) = 710+2^5 (vzhledem k tomu, že všechny kořeny rovnice mají absolutní hodnotu 1, tak jsou to reálné, resp. imaginární, části příslušných kořenů). □ 3.11. Určete explicitní vyjádření posloupnosti vyhovující diferenční rovnici x„+2 = 2x„+i — 2x„ se členy x\ = 2, x2 = 2. Řešení. Kořeny charakteristického polynomu x2 — 2x + 2 jsou 1 + i a 1 — i. Báze (komplexního) vektorového prostoru řešení je tedy tvořena posloupnostmi y„ = (1 + i)" a z„ = (1 — /)"■ Hledanou posloupnost můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci těchto poslopností (s komplexními koeficienty). Je tedy x„ = a ■ yn + b ■ z„, kde a = a\ + ia2, b = b\ +ib2. Z rekurentního vztahu dopočteme x0 = j(2x\ —x2) = 0 a dosazením « = 0a« = ldo uvažovaného vyjádření x„ dostáváme 1 = x0 = a\ + ia2 + b\ + íb2 2 = xi = (ai + ia2)(\ + Z) + (bi + ib2){\ - i), 145 B. REKURENTNÍ ROVNICE 3. ITEROVANÉ LINEÁRNI PROCESY doplnit podrobný a porovnáním reálné a komplexní složky obou rovnic dostáýa^ellířie':-1 .. r r •> uvedených nastroiu. ární soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých ci\ +b\ = 1 a2 + b2 = 0 ci\ — a2 + b\ + b2 = 2 ci\ + a2 — b\ + b2 = 0 denycn nástrojů asi ve druhém sloupci - pak bychom zde dali odkaz! s resenim a\ = b\ = b2 = ^ a a2 posloupnost vyjádřit jako 1 1 -112. Celkem můžeme hledanou (-- -0(1 + 0" + (i + ii)(l-0". Posloupnost můžeme však vyjádřit i pomocí reálné báze (komplexního) vektorového prostoru řešení, totiž posloupností un = \iyn + Zn) = (V2)"cos(íf) a v„ = \i(zn - yn) = (72)" sin(f). Matice přechodu od komplexní báze k reálné je 'i i, T :-- inverzní matice je T 1 = y\ ^. ), pro vyjádření posloupnosti x„ pomocí reálné báze, tj. souřadnice (c, d) posloupnosti xn v bázi {«„, vn}, pak máme 5)-'-(:)-(í: máme tedy alternativní vyjádření posloupnosti xn, ve kterém se nevyskytují komplexní čísla (ale zase jsou v něm odmocniny): JtB = (V2)-cos(^) + (V2)-sin(^), které jsme samozřejmě mohli získat též řešením dvou lineárních rovnic o dvou neznámých c, d, totiž 1 = x0 = c ■ w0 + d ■ v0 = c a 2 = x\ = c • u\ + d • v\ = c + d. □ 3.12. Určete explicitní vyjádření posloupnosti vyhovující diferenční rovnici xn+2 = 3x„+i + 3x„ se členy x\ = 1 a x2 = 3. 3.13. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}%Li vyhovující následujícím podmínkám: X„_|_2 = xn + \ ~ xm i xl = 1> x2 = 5. 3.14. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}%Li vyhovující následujícím podmínkám: ~xn+3 = 2x„_|_2 + 2xn + \ +X„, X\ = 1, X2 = 1, x3 = 1. posuvu fáze signálu. Levné equalizery skutečně podobně špatně fungují. 3. Iterované lineární procesy 3.17. Iterované procesy. V praktických modelech se často setkáváme se situací, kdy je vývoj systému v jednom časovém období dán lineárním procesem, zajímáme se ale o chování systému po mnoha iteracích. Často přitom samotný lineární proces zůstává pořád stejný, z pohledu našeho matematického modelu tedy nejde o nic jiného než opakované násobení stavového vektoru stále stejnou maticí. Zatímco pro řešení systémů lineárních rovnic jsme potřebovali jen minumum znalostí o vlastnostech lineárních zobrazení, k pochopení chování iterovaného systému budeme účelně používat znalosti vlastních čísel, vlastností vlastních vektorů a další strukturní výsledky. V jistém smyslu se pohybujeme v podobném prostředí jako u lineárních rekurencí a skutečně můžeme náš popis filtrů v minulých odstavcích takto také popsat. Představme si, že pracujeme se zvukem a uchováváme si stavový vektor Yn — (xn 1 ) všech hodnot od aktuální až po poslední, kterou ještě v našem lineárních filtru zpracováváme. V jednom časovém intervalu (ve vzorkovací frekveci audio signálu mimořádně krátkém) pak přejdeme ke stavovému vektoru Yn +1 (xn + 1. -k+l), kde první hodnota xn+\ = a\xn + • • • + a^x„_^+i je spočtena jako u homogenních diferenčních rovnic, ostatní si jen posunujeme o jednu pozici a poslední zapomeneme. Příslušná čtvercová matice řádu k, splňující Yn+\ = A ■ Yn, bude vypadat takto: (a\ a2 . ^k-l 1 0 . 0 0 A = 0 1 ' 0 0 U 0 . 1 07 Pro takovou jednoduchou matici jsme si odvodili explicitní postup pro úplné řešení otázky, jak vypadá formule pro řešení. Obecně to tak snadno nepůjde ani pro velice podobné systémy. Jedním z typických případů je studium dynamiky populací v různých biologických systémech. Všimněme si také, že vcelku pochopitelně má matice A za charakteristický polynom právě p(X) = X — a\X k-l jak snadno dovodíme pomocí rozvoje podle posledního sloupce a rekurencí. To je vysvětlitelné i přímo, protože řešení xn = k", k ^ 0, vlastně znamená, že matice A vynásobením převede vlastní vektor (kk, ..., k)T na jeho 146 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET A-násobek. Musí být tedy takové k vlastním číslem matice A. 3.18. Leslieho model růstu populací. Představme si, že zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata, hmyz, buněčné kultury apod.) rozdělený do m skupin, třeba podle stáří, fází vývoje hmyzu apod. Stav Xn je tedy dán vektorem X„ = (u\, ..., um)T závisejícím na okamžiku ř„, ve kterém systém pozorujeme. Lineární model vývoje takového systému je dán maticí A dimenze n, která zadává změnu vektoru Xn na Xn+i = A ■ Xn při přírůstku času z ř„ na ř„+1. Uvažujme jako příklad tzv. Leslieho model růstu, ve kterém vystupuje matice (fi h h ■ f m — 1 f m ^ 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 A = 0 0 0 0 Vo 0 0 . rm_i 0 / jejíž parametry jsou svázány s vývojem populace rozdělené do m věkových skupin tak, že ft označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny (ve sledovaném časovém skoku vznikne z N jedinců v /-té skupině ftN jedinců nových, tj. ve skupině první), zatímco r; je relativní úmrtnost /-té skupiny během jednoho období. Pochopitelně lze použít takový model s libovolným počtem věkových skupin. Všechny koeficienty jsou tedy nezáporná reálná čísla a čísla ti jsou mezi nulou a jedničkou. Všimněme si, že pokud jsou všechna r rovna jedné, jde vlastně o lineární reku-renci s konstantními koeficienty a tedy buď exponenciálním růstem/poklesem (pro reálné kořeny k charakteristického polynomu) nebo oscilováním spojeným s případným růstem či poklesem (pro komplexní kořeny). Než se pustíme do obecnější teorie, trochu si pohrajeme s tímto konkrétním modelem. Přímým výpočtem pomocí Laplaceova rozvoje podle posledního sloupce spočteme charakteristický polynom pm (k) matice A pro model s m skupinami: pm(k) = \A- kE\ = -kpm-i(X) + (-l)m_1/mri ... rm_i. Vcelku snadno dovodíme indukcí, že tento charakteristický polynom má tvar Pm(k) = (-ínr Cl]k' m — l s vesměs nezápornými koeficienty a\, ... ,am, pokud jsou všechny prametry r; a /) kladné. Např. je vždy 3.15. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^Li vyhovující následujícím podmínkám: — xn+3 = 3x„+2 + 3x„ + i + X„, X\ = 1, X2 = 1, X3 = 1. C. Populační modely Populační modely, kterými se budeme zabývat, budou rekurentní vztahy ve vektorových prostorech. Neznámou veličinou tedy nebude posloupnost čísel nýbrž posloupnost vektorů. Roli koeficientů pak budou hrát matice. Začneme s jednoduchým (dvourozměrným) příkladem. 3.16. Spoření. S kamarádem spoříme na společnou dovolenou následujícím způsobem. Na začátku dám 10 EUR a on 20 EUR. Každý další měsíc pak dá každý z nás tolik, co minulý měsíc plus polovinu toho, co dal ten druhý z nás předchozí měsíc. Kolik budeme mít za rok dohromady naspořeno? Kolik peněz budu platit dvanáctý měsíc? Řešení. Obnos peněz, který budu platit n-tý měsíc já označím xn a to, co bude platit kamarád označím y„. První měsíc tedy dáme x\ = 10, yi = 20. Pro další platby můžeme psát rekurentní rovnice: xn + l = xn ~\~ 2~yn yn + l = y« + 2x" Pokud označíme společný vklad zn = xn+yn, pak sečtením uvedených rovnic dostaneme vztah zn+i = zn + \zn = \zn- To je geometrická řada a dostáváme tedy z„ = 3.(|)"_1. Za rok budeme mít celkem naspořeno z.i +Z.2+- ■ -+Zi2-Tento částečný součet umíme lehce spočítat 3(1 + - H----+ (-)11) = 3 (|)12-1 "■2_ 1-1 772, 5. Za rok tedy dohromady naspoříme přes 772 euro. Rekurentní soustavu rovnic popisující systém spoření můžeme napsat pomocí matice následovně xn + l Kyn + l/ V2 Jde tedy opět o geometrickou řadu. Jejími prvky jsou teď ovšem vektory a kvocient není skalár, ale matice. Řešení lze nicméně najít obdobně JCfj \ ( J_ ~ \ í \ Mocninu matice působící na vektor (jci , yi) můžeme nalézt, když vyjádříme tento vektor v bázi vlastních vektorů. Charakteristický polynom matice je (1 — k)2 0 a vlastní čísla jsou tedy k 1,2 3 j_ 2' 2' Příslu- fm Tl - - - Tj m — l- šné vlastní vektory jsou po řadě (1, 1) a (1, —1). Pro počáteční vektor 147 C. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY (xi, yi) = (1,2) spočítáme '1\ 3 a proto n-l 3 (3 2 V2 To znamená, že já zaplatím 12. měsíc :ir-G eur a můj kamarád v podstatě stejně. 1 2 1 ' 2 «-i Xl2 12 130 □ Poznámka. Předchozí příklad lze řešit i bez matice následujícím přepsáním rekuretní rovnice: x„ = xn + \yn jXn ~\~ jj'n' Předcházející příklad byl vlastně modelem růstu (v daném případě růstu množství naspořených peněz). Nyní přejděme k modelům růstu popisujícím primárně růst nějaké populace. Leslieho model růstu, který jsme detailně rozebrali v teorii, velmi dobře popisuje nejen populace ovcí (podle kterých byl sestaven), ale uplatňuje se například i při modelování následujích populací: 3.17. Zajíci podruhé. Ukažme si, jak můžeme Leslieho modelem popsat populaci zajíců na louce, kterou jsme se zaobírali v příkladu (3.4). Uvažujme, že zajíci umírají po dovršení devátého měsíce věku (v původním modelu byl věk zajíců neomezen). Označme počty zajíců (resp. zaječic) podle stáří v měsících v čase t (měsíců) jako x\(ř), x2(t),..., x9(t), tak počty zajíců v jednotlivých věkových skupinách budou po jednom měsíci x\(t + 1) = x2(ř) + x3(ř) + • • • + x9(t), Xi(t + 1) = x,_i(ř), pro i = 2, 3, ..., 10, neboli Ai(ř+ 1)\ x2(ř+ 1) x3(ř+ 1) x4(ř+ 1) x5(ř+ 1) x6(ř+ 1) x7(ř+ 1) . h(t+ 1) \x9(ř+ 1)7 0 1 1 1 1 1 1 1 1\ 10000000 0 010000000 001000000 000100000 000010000 000001000 000000100 o o o o o o o i o/ Ai(ř)\ x2(ř) x3(ř) x4(ř) x5(ř) x7(ř) *8(ř) \x9(ř)/ ■ A^ — A^ — A^ Charakteristický polynom uvedené matice je A9 — A7 A3 —A2 —A—1. Kořeny této rovnice nejsme schopni explicitně vyjádřit, jeden z nich však velmi dobře odhadnout, k\ = 1, 608 (proč musí být menší než (V5 + l)/2)?). Populace bude tedy podle tohoto modelu růst přibližně s geometrickou řadou 1, 608ř. 3.18. Jezírko. Mějme jednoduchý model jezírka, ve kterém žije populace bílé ryby (plotice, ouklej, podoustev, ostroretka atd.). Předpokládáme, že druhého roku se dožije 20 % rybího plůdku a od tohoto stáří už jsou ryby schopny se reprodukovat. Z mladých ryb přežije z druhého do třetího roku přibližně 60 % a v dalších letech je už Zkusme kvalitativně odhadnout rozložení kořenů poly-J< „ nomu pm. Bohužel, detaily budeme umět přesně vysvětlit a ověřit až po absolvování příslušných partií $ tzv. matematické analýzy v kapitole páté a později, y& přesto by ale postup měl být intuitivně jasný. Vyjádříme si charakteristický polynom ve tvaru pm(k) = ±km(l-q(k)) kde q(k) = aik~l + ■ ■ ■ + amk~m je ostře klesající a nezáporná funkce pro A > 0. Evidentně bude proto existovat právě jedno kladné A, pro které bude q(k) = 1 a tedy také pm(k) = 0. Jinými slovy, pro každou Leslieho matici existuje právě jedno kladné reálné vlastní číslo. Pro skutečné Leslieho modely populací bývají všechny koeficienty r; i /_,■ mezi nulou a jedničkou a typicky nastává situace, kdy jediné reálné vlastní číslo k\ je větší nebo rovno jedné, zatímco absolutní hodnoty ostatních vlastních čísel jsou ostře menší nezjedná. Jestliže začneme s libovolnýmn stavovým vektorem X, který bude dán jako součet vlastních vektorů X = X\ + • • • + Xm s vlastními hodnotami A;, pak při iteracích dostáváme A ■ X k\X\ + ... kkmX„ takže za předpokladu, že |A;| < 1 pro všechna i > 2, budou všechny komponenty ve vlastních podprostorech velmi rychle mizet, kromě kompomenty AiX*. Rozložení populace do věkových skupin se tak budou rychle blížit poměrům komponent vlastního vektoru k dominantnímu vlastnímu číslu k\. Například pro matici (uvědomme si význam jednotlivých koeficientů, jsou převzaty z modelu pro chov ovcí, tj. hodnoty r zahrnují jak přirozený úhyn tak případné aktivity chovatelů na jatkách) 0.2 0 0.8 0 0 / 0 0.95 0 0 0 V vyjdou vlastní hodnoty přibližně 0.8 0 0 0.7 0 0.6 0 0 0 0.6 0\ 0 0 0 0/ 1.03, 0, -0.5, -0,27 + 0.74/, -0.27 -0.74/ s velikostmi 1.03, 0, 0.5, 0.78, 0.78 a vlastní vektor příslušný dominantnímu vlastnímu číslu je přibližně XT = (30 27 21 14 8). Zvolili jsme rovnou jediný vlastní vektor se součtem souřadnic rovným stu, zadává nám proto přímo výsledné procentní rozložení populace. Pokud bychom chtěli místo tříprocentního celkového růstu populace setrvalý stav a předsevzali si ujídat více ovce třeba z druhé věkové skupiny, řešili bychom úlohu, o kolik 148 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET tady by se hodilo trochu historie, vlastně jen naznačíme část výsledku Perrona, k Frobeniově obecnější situaci se vůbec nedopracujeme. máme zmenšit r2, aby bylo dominantní vlastní číslo rovno jedné. 3.19. Matice s nezápornými prvky. Reálné matice, které nemají žádné záporné prvky mají velmi speciální vlastnosti. Zároveň jsou skutečně časté v praktických modelech. Naznačíme proto teď proto tzv. Perronovu-Frobeniovu teorii, která se právě takovým maticím věnuje. Začneme definicí několika pojmů, abychom mohli naše úvahy vůbec formulovat. .mv—^^J Kladné a primitivní matice [ Definice. Za kladnou matici budeme považovat takovou čtvercovou matici A, jejíž všechny prvky atj jsou reálné a ostře kladné. Primitivní matice je pak taková čtvercová matice A, jejíž nějaká mocnina Ak je kladná. inspirováno materiálem na webu, viz http://www-users.math.umd.edu/ ~mmb/475/spec.pdf Připomeňme, že spektrálním poloměrem matice A nazýváme maximum absolutních hodnot všech jejích (komplexních) vlastních čísel. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení na (konečněrozměrném) vektorovém prostoru rozumíme spektrální poloměr jeho matice v některé bázi. Normou 2 matice AeP nebo vektoru x e W1 rozumíme součet absolutních hodnot všech jejich prvků. U vektorů x píšeme pro jejich normu \x\. Následující výsledek je mimořádně užitečný a snad i dobře srozumitelný. Jeho důkaz se svou náročností dosti vymyká této učebnici, uvádíme ale alespoň jeho stručný nástin. Pokud by čtenář měl problém s plynulým čtení nástinu důkazu, doporučujeme jej přeskočit. Věta (Perronova). Jestliže je A primitivní matice se spektrálním poloměrem ÄeK, pak je X jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice A, který je ostře větší než absolutní hodnota kteréhokoliv jiného vlastního čísla matice A. K vlastnímu číslu X navíc existuje vlastní vektor x s výhradně kladnými prvky x;-. Náznak důkazu. V důkazu se budeme opírat o intuici - r^gró elementární geometrie. Částečně budeme pou-^ " "' žité koncepty upřesňovat už v analytické geometrii ve čtvrté kapitole, některé analytické aspekty budeme studovat podrobněji v kapitolách páté a později, přesné důkazy některých analytických kroků v této učebnici nepodáme vůbec. Snad budou následující úvahy nejen osvětlovat dokazovaný teorém, ale budou také samy o sobě motivací pro naše další studium geometrie i matematické analýzy. Začneme docela srozumitelně znějícím pomocným lemmatem: Lemma. Uvažme libovolný mnohostěn P obsahující počátek 0 e W1. Jestliže nějaká iterace lineárního zobrazení Ý : M" -» W1 zobrazuje P do jeho vnitřku, pak je spektrální poloměr zobrazení Ý ostře menší než jedna. úmrtnost zanedbatelná. Dále předpokládáme, že roční přírůstek nových plůdků je třikrát větší než počet ryb (schopných reprodukce). Tato populace by evidentně jezírko brzy přeplnila. Rovnováhu chceme dosáhnout nasazením dravé ryby, např. štiky. Předpokládejme, že jedna štika sní ročně asi 500 dospělých bílých ryb. Kolik štik pak musíme do jezírka nasadit, aby populace stagnovala? Řešení. Pokud označíme p počet plůdku, m počet mladých ryb a r počet dospělých ryb, pak je stav populace v dalším roce popsán následovně: 'p\ / 3m + 3r m I I 0,1p r J \0, 6m + rr kde 1 — r je relativní úmrtnost dospělé ryby způsobená štikou. Příslušná matice popisující tento model je tedy Pokud má populace stagnovat, pak musí mít tato matice vlastní hodnotu 1. Jinými slovy, jednička musí být kořenem charakteristického polynomu této matice. Ten je tvaru X2(r — X)+0, 36—0, 6.(r —X) = 0. To znamená, že r musí splňovat r - 1 +0, 36-0, 6(r - 1) = 0 0, 4r - 0, 04 = 0 Do dalšího roku tedy může přežít jen 10 % z dospělých ryb a zbytek by měla sníst štika. Označíme-li hledaný počet štik x, pak dohromady sní 500x ryb, což by mělo odpovídat podle předchozího výpočtu 0, 9r. Poměr počtu bílé ryby ku počtu štik by tedy měl být r- = =fj. To je přibližně jedna štika na 556 kusů bílé ryby. □ Obecněji můžeme zpracovat předcházející model takto: 3.19. Nechť je v populačním modelu dravec-kořist určen vztah mezi počtem dravců Dk a kořisti Kk v daném a následujícím měsíci (k e N U {0}) lineárním systémem (a) Djt+i = 0,6 73* + 0,5Kk, Kk+l = -0,l6Dk + 1,2 Kk; (b) Djt+i = 0,6Djt + 0,5*:*, Kk+l = -0, 175 D* + l,2Kk; (c) Djt+i = 0,6Dk + 0,5Kk, Kk+l = -0, 135 D* + l,2Kk. Analyzujte chování tohoto modelu po velmi dlouhé době. Řešení. Všimněme si, že jednotlivé varianty se od sebe navzájem liší pouze v hodnotě koeficientu u Dk ve druhé rovnici. Můžeme proto 149 C. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY všechny tři případy vyjádřit jako Dk Kk 0,6 0,5 a 1,2 Dk-i Kk-l íěN, kde budeme postupně klást a = 0, 16, a = 0, 175, a = 0, 135. Hodnota koeficientu a zde reprezentuje průměrný počet kusů kořisti zahubených jedním (očividně „nenáročným") dravcem za měsíc. Při označení 0,6 0,5 -a 1,2 bezprostředně dostáváme Tkl^°), keN. Pomocí mocnin matice T tak můžeme určit vývoj populací dravce a kořisti po velmi dlouhé době. Snadno stanovíme vlastní čísla (a) ki = 1, k2 = 0, 8; (b) kt = 0, 95, k2 = 0, 85; (c) ki = 1,05, k2 = 0,75 matice T a jim (při zachování pořadí) příslušné vlastní vektory (a) (5,4)r, (5,2)r; (b) (10,7)r, (2, l)T; (c) (10,9)r , (10, 3)T. Pro ieff tudíž platí (a) 5 5Wl 0 V (5 5X _1 4 21 ' \0 0, 8 j ' \4 2 10 2\ /0,95 0 \* /10 2^ 1 7 1 0 0,85 7 1 10 10\ /1,05 0 Ý í\0 10> 1 (b) (c) 9 3 ) \ 0 0,75 y V 9 3 Odtud dále pro velká k e N plyne (a) 5 5\ (1 0\ /5 5 4 2j ' ^0 OJ ' \4 2 J_ /-10 25 10 I -8 20 Uvažme matici A zobrazení ý ve standardní bázi. Protože vlastní čísla Ak jsou k-té mocniny vlastních čísel matice A, můžeme rovnou bez újmy na obecnosti předpokládat, že samotné zobrazení ý již zobrazuje P do vnitřku P. Zjevně tedy nemůže mít ý žádnout vlastní hodnotu s absolutní hodnotou větší než jedna. Důkaz dále povedeme sporem. Předpokládejme, že existuje vlastní hodnota k s |A| = 1. Máme tedy dvě možnosti. Buď je kk = 1 pro vhodné k nebo takové k neexistuje. Obrazem f je uzavřená množina (to znamená, že pokud se body v obrazu budou hromadit k nějakému bodu y v W, bude y opět v obrazu) a hranici P tento obraz vůbec nepro-tíná. Nemůže tedy mít ý pevný bod na hranici P ani nemůže existovat žádný bod na hranici, ke kterému by se mohly libovolně blížit body v obrazu. První argument vylučuje, že by nějaká mocnina k byla jedničkou, protože to by takový pevný bod na hranici P jistě existoval. Ve zbývajícím případě jistě existuje dvourozměrný podprostor WcR",na nějž se ý zužuje coby rotace o iracionální argument a jistě existuje bod y v průniku W s hranicí P. Pak by ale byl bod y libovolně přesně přiblížen body z množiny \/r (y) při průchodu přes všechny iterace a tedy by musel sám být také v obrazu. Došli jsme tedy ke sporu a lemma je ověřeno. Nyní se dáme do důkazu Perronovy věty. Naším prvním krokem bude ověření existence vlastního vektoru, který má všechny prvky kladné. Uvažme za tím účelem tzv. standardní simplex S = {x = (xi, ..., xn)T, \x\ = l,Xi > 0, i = 1, ..., n}. Protože všechny prvky v matici A jsou nezáporné, obraz A • x bude mít samé nezáporné souřadnice stejně jako x a alespoň jedna z nich bude vždy nenulová. Zobrazení x \A ■ x\~l(A ■ x) proto zobrazuje S do sebe, Toto zobrazení 5^5 splňuje všechny předpoklady tzv. Browerovy věty Určitě budeme chtít o pevném bodě a proto existuje vektor y e 5 takový, že je mít později v , . , u t> i '~ analýze něco víc o tímto zobrazením zobrazen sam na sebe. To ale znamená, ze větách o pevném bodě. Tady dplníme A • y = k y, k = \A ■ y\ a našli jsme vlastní vektor, který leží v S. Protože ale má nějaká mocnina Ak podle našeho předpokladu samé kladné prvky a samozřejmě je také Ak-y = kky, všechny souřadnice vektoru y jsou ostře kladné (tj. leží ve vnitřku 5) a k > 0. Abychom dokázali zbytek věty, budeme uvažovat zobrazení zadané maticí A ve výhodnější bázi a navíc ho vynásobíme konstantou k~l: B = k'HY'1 ■ A ■ Y), kde Y je diagonální matice se souřadnicemi y; právě nalezeného vlastního vektoru y na diagonále. Evidentně je B také primitivní matice a navíc je vektor z = (1, ..., l)r jejím vlastním vektorem, protože zjevně Y ■ z = y. Jestliže nyní dokážeme, že \i = 1 je jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice B a všechny ostatní odkaz!! 150 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET kořeny mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna, bude Perronova věta dokázána. K tomu se nám teď bude hodit dříve dokázané pomocné lemma. Uvažujme matici B jako matici lineárního zobrazení, které zobrazuje řádkové vektory (b) (Ui Un) \—> U • B tj. pomocí násobení zprava. Díky tomu, že je z = (1, ..., 1)T vlastním vektorem matice B, je součet souřadnic řádkového vektoru v Uibi> =J2Ui = 1> kdykoliv je u e S. Proto toto zobrazení zobrazuje simplex S na sebe a má také jistě v S vlastní (řádkový) vektor w s vlastní hodnotou jedna (pevný bod, opět dle Browerovy věty). Protože nějaká mocnina Bk obsahuje samé ostře pozitivní prvky, je nutně obraz simplexu S v k-té iteraci zobrazení daného B uvnitř S. To už jsme blízko použití našeho lematu, které jsme si pro důkaz připravili. Budeme i nadále pracovat s řádkovými vektory a označme si P posunutí simplexu S do počátku pomocí vlastního vektoru w, který j sme právě našli, tj. P = —w+S. Evidentně je P mnohostěn obsahující počátek a vektorový podprostor V C M" generovaný f je invariantní vůči působení matice B pomocí násobení řádkových vektorů zprava. Zúžení našeho zobrazení na P tedy splňuje předpoklady pomocného lemmatu a proto nutně musí být všechny jeho vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší nezjedná. Ještě se musíme vypořádat se skutečností, že právě uvažované zobrazení je dáno násobením řádkových vektorů zprava maticí B (zatímco nás původně zajímalo chování zobrazení, zadaného maticí B pomocí násobení sloupcových vektorů zleva). To je ale ekvivalentní násobení transponovaných sloupcových vektorů transponovanou maticí B obvyklým způsobem zleva. Dokázali jsem tedy vlastně potřebné tvrzení o vlastních číslech pro matici transponovanou k naší matici B. Transponování ale vlastní čísla nemění. Dimenze prostoru V je přitom n — 1, takže důkaz věty je ukončen. □ 3.20. Jednoduché důsledky. Následující velice užitečné tvrzení má při znalosti Perronovy věty až překvapivě jednoduchý důkaz a ukazuje, tžb^ jak silná je vlastnost primitívnosti matice zobrazení. Důsledek. Jestliže A = (útý) je primitivní matice a x e W její vlastní vektor se všemi souřadnicemi nezápornými a vlastní hodnotou X, pak X > Oje spektrální poloměr A. Navíc platí n n min/g {i, ...,„} ^2clíj 5Kq, obě populace vymřou. (b) Obě populace vymřou. (c) Pro 3D0 < 10K0 nastává populační exploze obou druhů; pro 3 A) ř_ lO^o °bě populace vymřou. 151 C. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY To, že extrémně malá změna velikosti a může vést ke zcela odlišnému výsledku, je zapříčiněno neměnností hodnoty a v závislosti na velikosti obou populací. Poznamenejme, že toto omezení, kdy a v našich modelech považujeme za konstantní, nemá oporu ve skutečnosti. Přesto získáváme odhad velikosti a pro stabilní populace. □ 3.20. Poznámka. Jiný model soužití populací dravce a kořisti poskytuje model pánů Lotky a Volterra, který popisuje vztah mezi populacemi soustavou dvou obyčejných diferenciálních rovnic. Podle tohoto modelu obě populace oscilují, což je i v souladu s pozorováními. V lineárních modelech hrají významnou roli tzv. primitivní matice (3.19). 3.21. Které z matic 0 1/7 1 6/7 B '1/2 0 0 1 1/2 0 C D /1/3 1/2 1/2 1/3 0 0 0 o \l/6 jsou primitivní? Řešení. Neboť 1/6 1/6 1/3 0 5/6 2/3 1/7 6/49 \ 6/7 43/49/ /O 1 0 0\ 0 0 0 1 , E = 1 0 0 0 \° 0 1 V /3/8 1/4 \/4\ \ = 1/4 3/8 1/4 \3/8 3/8 l/2i matice A a C jsou primitivní; a neboť '1/2 0 l/3\ /(ľ 0 1 1/2 )(l vl/2 0 1/6/ \0, bude prostřední sloupec matice B" vždy (pro n e rem (0, 1, 0)T, tj. matice B nemůže být primitivní. Součin /1/3 1/2 0 0 \ M / 0 \ N) vekto- 1/2 1/3 0 0 0 1/6 1/6 1/3 \l/6 0 5/6 2/3/ 0 a w o a/6 + b/3 \5a/6 + 2b/3/ a, b e implikuje, že matice D2 bude mít v pravém horním rohu nulovou dvourozměrnou (čtvercovou) submatici. Opakováním této implikace dostáváme, že stejnou vlastnost mají matice D3 = D ■ D2, D4 = D ■ D3, ..., D" = D ■ D"-1, ..., tudíž matice D není primitivní. Matice E je permutační (v každém řádku a sloupci má právě jeden nenulový prvek, a to 1). Není obtížné si uvědomit, že mocniny permutační matice jsou opět permutační matice. Matice E proto také není primitivní. To lze rovněž ověřit výpočtem mocnin E2, E3, E4. Matice E4 je totiž jednotková. □ Nyní uveďme poněkud obsáhlejší model. Důkaz. Uvažme vlastní vektor x z dokazovaného tvrzení. Protože je A primitivní, můžeme zvolit pevně k tak, aby Ak už měla samé pozitivní prvky, a pak je samozřejmě i Ak -x = kkx vektor se samými ostře kladnými souřadnicemi. Nutně proto je k > 0. Z Perronovy věty víme, že spektrální poloměr \i je vlastním číslem a zvolme takový vlastní vektor y k \i, že rozdíl x — y má samé kladné souřadnice. Potom nutně pro všechny mocniny n 0 < A" • (x - y) = k"x - n"y, ale zároveň platí k < \i. Odtud již vyplývá k = \i. Zbývá odhad spektrálního poloměru pomocí minima a maxima součtů jednotlivých sloupců matice. Označme je bmm a bmax, zvolme za x vektor se součtem souřadnic jedna a počítejme: n n i,j=l i = l n / n \ n ^ = / \ ( / \ @íj fxj — / ' bmaxXj = bmax 7=1 \' = 1 ' 7=1 n / n \ n ~k = I Cli j I xj > bminXj = bmin. 7=1 xí = l 7=1 □ Všimněme si, že např. všechny Leslieho matice z 3.18, kde jsou všechny uvažované koeficienty /) a r j ostře kladné, jsou primitivní a tedy na ně můžeme plně použít právě odvozené výsledky. Perronova-Frobeniova věta je zobecněním Perronovy věty na obecnější matice, které tu nebudeme uvádět. Další informace lze najít např. 99 odkaz do literatury i na dalsi využiti... 3.21. Markovovy řetězce. Velice častý a zajímavý případ lineárních procesů se samými nezápornými prvky v matici je matematický model systému, který se může nacházet v m různých stavech s různou pravděpodobností. V jistém okamžiku je systém ve stavu i s pravděpodobností x; a k přechodu z možného stavu i do stavu j dojde s pravděpodobností ř;j. Můžeme tedy proces zapsat takto: V čase n je systém popsán pravděpodobnostním vektorem (ui(n), um(n)) To znamená, že všechny komponenty vektoru x jsou reálná nezáporná čísla a jejich součet je roven jedné. Komponenty udávají rozdělení pravděpodobnosti jednotlivých možností stavů systému. Rozdělení pravděpodobností pro čas n + 1 bude dáno vynásobením pravděpodobnostní maticí přechodu T = (Mj), tj. xn + l = T • Xn. Protože předpokládáme, že vektor x zachycuje všechny možné stavy a proto s celkovou pravděpodobností jedna 152 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET přejde opět do některého z nich, budou všechny sloupce matice T tvořeny také pravděpodobnostními vektory. Takovému procesu říkáme (diskrétní) Markovův proces a výsledné posloupnosti vektorů x0, x\, ... říkáme Markovův řetězec x„. Všimněme si, že každý pravděpodobnostní vektor x je skutečně Markovovým procesem zobrazen na vektor se součtem souřadnic jedna: 1. Nyní můžeme v plné síle použít Perronovu-Frobeniovu teorii. Protože je součet řádků matice T vždy roven vektoru (1, ..., 1), je zcela elementárně vidět, že matice T — E je singulární a jednička proto bude zaručeně vlastním číslem matice T. Pokud je navíc T primitivní matice (tj. např. když jsou všechny prvky nenulové), z Důsledku 3.20 víme, že je jednička jednoduchým kořenem charakteristického polynomu a všechny ostatní mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna. Věta. Markovovy procesy s maticí, která nemá žádné nulové prvky nebo jejíž některá mocnina má tuto vlastnost, splňují: • existuje jediný vlastní vektor x ^ pro vlastní číslo 1, který je pravděpodobnostní, • iterace TkXQ se blíží k vektoru xm pro jakýkoliv počáteční pravděpodobnostní vektor xq. Důkaz. První tvrzení vyplývá přímo z kladnosti souřadní „ nic vlastního vektoru dovozené v Perronově větě. Předpokládejme nejprve, že jsou algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel matice T stejné. Pak každý pravděpodobnostní vektor x0 můžeme (v komplexním rzšíření C") napsat jako lineární kombinaci X0 = CiXoo + c2u2 H-----h cnun, kde u2 ... ,un doplňují x^ na bázi z vlastních vektorů. Pak ovšem /c-násobná iterace dává opět pravděpodobnostní vektor Xk T ■ x0 = CiXoo + X2c2u2 H-----\-Xnc„u„. Protože jsou všechna vlastní čísla X2, ■ ■ ■ X„ v absolutní hodnotě ostře menší nezjedná, všechny komponenty vektoru xk, kromě té první, se velmi rychle blíží v normě k nule. Přitom ale je stále xk pravděpodobnostní, takže musí být ci = 1 a druhé tvrzení máme ověřeno. Ve skutečnosti ale i při různé algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel dojdeme ke stejnému závěru pomocí podrobnějšího studia tzv. kořenových podprostorů pro matici T, ke kterým se dostaneme v souvislosti s tzv. Jordánovým rozkladem matic ještě v této kapitole, viz poznámka 3.33. 3.22. Model šíření jednoletých bylin. Budeme uvažovat rostliny, které na začátku léta vykvetou, na jeho vrcholu vyprodukují semena a samy uhynou. Některá ze semen vyklíčí ještě na konci podzimu (ozimé rostliny), jiná přečkají zimu v zemi a vyklíčí na začátku jara (jarní rostliny). Ozimé rostlinky (sazenice), které přes zimu nezmrznou, jsou na jaře větší než jarní a většinou z nich vyrostou větší rostliny než z jarních sazenic. Větší rostlina vyprodukuje více semen. Pak se celý vegetační cyklus opakuje. Rok je tedy rozdělen na čtyři vegetační období a v každém z těchto období můžeme rozlišit několik „forem" rostliny: Období stadia rostliny začátek jara začátek léta vrcholné léto podzim malé a velké sazenice malé, střední a velké kvetoucí rostliny semena sazenice a prezimuj ící semena Označme xi(t), resp. x2(t), počet malých, resp. velkých, sazenic na začátku jara roku t ayi(ŕ),resp. y2(t), resp. y3(t), počet malých, resp. středních, resp. velkých rostlin v létě téhož roku. Z malých sazenic mohou vyrůst malé nebo střední rostliny, z velkých sazenic mohou vyrůst střední nebo velké rostliny. Kterákoliv ze sazenic samozřejmě může uhynout (uschnout, být spasena krávou a podobně) a nevyroste z ní nic. Označme bij pravděpodobnost, že ze sazenice j-té velikosti, 7 = 1,2, vyroste rostlina i-té velikosti, / = 1, 2, 3. Pak je 0d2i}' \0 f22J' ~w \w2(t) dostaneme podobnými úvahami jako výše rovnosti w(t) = Dz(t), x(t + 1) = Fw(t). Poněvadž násobení matic je asociativní, můžeme pro počty jednotlivých stadií rostlin v následujícím roce z předchozích rovností sestavit rekurentní formule: x(t + 1) =Fw(t) = F(Dz(t)) = (FD)z(t) = (FD)(Cy(t)) = =(FDC)y(t) = (FDC)(Bx(t)) = (FDCB)x(t), y(t + 1) =Bx(t + 1) = B(Fw(t)) = (BF)w(t) = (BF)(Dz(ť)) = =(BFD)z(t) = (BFD)(Cy(t)) = (BFDC)y(t), I v obecném případě totiž dostaneme k vlastnímu podpro-storu (jcqo) jednoznačně určený invariantní (n—l)-rozměrný komplement, na kterém už všechna vlastní čísla jsou v absolutní hodnotě menší než jedna a proto se příslušná komponenta v xk také bude neomezeně blížit k nule jako výše. □ 3.22. Iterace stochastických matic. Matice Markovových procesů, tj. matice jejichž všechny sloupce mají součet svých komponent roven jedné se nazývají stochastické matice. Standardní úlohy spojené s Markovovými procesy zahrnují odpovědi na otázky po očekávané střední době přechodu mezi předem určenými stavy systému apod. Momentálně nejsme na řešení vymazat příslib, ,^ , , . , , , ,. pokud to nenastane, těchto uloh pripravení, vrátíme se ale k teto tematice později. \ nahradit odkazem Přeformulujeme předchozí větu do jednoduchého, ale asi do literatury docela překvapivého důsledku. Konvergencí k limitní matici v následujcím tvrzení myslíme skutečnost, že když si předem určíme možnou chybu e > 0, tak najdeme hranici na počet iterací k po níž už všechny komponenty uvedené matice se od té limitní budou lišit o méně než e. Důsledek. Nechť T je primitivní stochastická matice z Mar-kovova procesu a xm je stochastický vlastní vektor k dominantnímu číslu 1 jako ve větě výše. Pak iterace Tk konvergují k limitní matici T^, jejíž všechny sloupce jsou rovny im. Důkaz. Sloupce v matici Tk jsou obrazy vektorů standardní báze v příslušném iterovaném lineárním zobrazení. To ale jsou obrazy pravděpodobnostních vektorů a proto všechny konvergují k x^. □ Nyní se ještě na rozlučku s Markovovými procesy zamyslíme nad problémem, zda existují pro daný systém stavy, do kterých se má systém tendenci dostat a setrvat v nich. O stavu systému řekneme, že je přechodový, jestliže v něm systém setrvává s pravděpodobností ostře menší než jedna. Za absorbční označíme stav, ve kterém systém setrvává s pravděpodobností 1, a do kterého se lze dostat s nenulovou pravděpodobností z kteréhokoliv z přechodových stavů. Konečně, Markovův řetězec xn je absorpční, jestliže jsou jeho všechny jeho stavy buď absorpční nebo přechodové. Je-li v absorpčním Markovově řetězci prvních r stavů systému absorpčních, pro stochastickou matici T systému to znamené, že se rozpadá na „blokově" horní trojúhelníkový tvar 'E 7ť ,0 G, kde E je jednotková matice, jejíž rozměr je dán počtem absorpčních stavů, zatímco R je kladná matice a Q nezáporná. V každém případě iteracemi této matice budeme pořád dostávat stejný blok nulových hodnot v levém dolním bloku a tedy zcela jistě nebude primitivní, např. R + R Q2 Q 154 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET I o takových maticích lze získat hodně informací pomocí plné Perronovy-Frobeniovy teorie a se znalostí pravděpodobnosti a statistiky také odhadovat střední doby, po kterých se systém z(t + 1) =Cy(t + 1) = C(Bx(t + 1)) = (CB)x(t + 1) = (CB)(Fw dostane do jednodo z abosrpčních stavů apod. =(CBF)w(t) = (CBF)(Dz(t)) = (CBFD)z(t), 4. Více maticového počtu Na vcelku praktických příkladech jsme viděli, že porozumění vnitřní struktuře matic a jejim vlastnostem je silným nástrojem pro konkrétní výpočty nebo analýzy. Ještě více to platí pro efektivitu numerického počítání s maticemi. Proto se budeme zase chvíli věnovat abstraktní teorii. Budeme přitom zkoumat další speciální typy lineárních zobrazení na vektorových prostorech ale také obecný případ, kdy je struktura zobrazení popsána tzv. Jordánovou větou. 3.23. Unitární prostory a zobrazení. Už jsme si zvykli, že je užitečné pracovat rovnou v číselném oboru komplexních čísel a to i v případě, kdy nás zajímají jen reálné objekty. Navíc v mnohých oblastech jsou komplexní vektorové prostory nutnou součástí úvah. Jasným příkladem je například tzv. kvantové počítání, které se stalo velmi akční oblastí teoretické informatiky, přestože kvantové počítače zatím zkonstruovány ve funkční podobě nebyly. Proto navážeme na ortogonální zobrazení a matice z konce druhé kapitoly následující definicí: Unitární prostory | ^ Definice. Unitární prostor je komplexní vektorový prostor V spolu se zobrazením V x V -» C, (u, v) h» u ■ v, které splňuje pro všechny vektory u,v,w e V a skaláry a e C (1) u ■ v = v ■ u (zde pruh značí komplexní konjugaci), (2) (au) ■ v = a(u ■ v), (3) (u + v) ■ w = u ■ w + v ■ w, (4) je-li íí / O, pak u ■ u > 0 (zejména je výraz reálný). Toto zobrazení nazýváme skalární součin na V. Reálné číslo y/v ■ v nazýváme velikostí vektoru v a vektor je normovaný, jestliže má velikost jedna. Vektory u a. v nazýváme ortogonální, jestliže je jejich skalární součin nulový, bázi sestavenou z po dvou ortogonálních a normovaných vektorů nazýváme ortonormální báze V. Na první pohled jde o rozšíření definice euklidovských vektorových prostorů do komplexního oboru. Nadále budeme také používat alternativní značení (u, v) pro sklární součin vektorů u a. v. Zcela stejně jako v reálném oboru také okamžitě z definice vyplývají následující jednoduché vlastnosti skalárního součinu pro všechny vektory ve V a skaláry w(t + 1) =Dz(t + 1) = D(Cy(t + 1)) = (DC)y(t + 1) = =(DC)(Bx(t + 1)) = (DCB)x(t + 1) = (DCB)(Fw(t)) = ==(DCBF)w(t). Při označení Ax = FDCB, Ay = BFDC, Az = CBFD, Aw = DCBF, je zjednodušíme na formule x(ř+l) = Axx(t), y(ř+l) = Ayy(t), z(ř+l) = Azz{t), w(t+\) = Aw Z těchto formulí již můžeme vypočítat složení populace rostlin v libovolném období libovolného roku, pokud známe složení populace v nějakém období počátečního (nultého) roku. Nechť je například známo složení populace v létě, tj. počet z(0) vysetých semen. Pak složení populace na začátku jara ř-tého roku je x(t) = Axx(t - 1) = A2xx(t -!) = ■■ =A'-1FDz(0). A'^xil) = A'^FwiO) Povšimněme si, že matice Az = CBFD je typu lxl; není to tedy matice, ale skalár. Můžeme tedy označit k = Az, vypočítat (3.5) X = C*™ = ( W mezi unitárními prostory se nazývá unitární zobrazení, jestliže pro všechny vektory u, v e V platí u ■ v = cp(u) ■ cp(v). Unitární isomorfismus je bijektivní unitární zobrazení. takže 4,0,1) 0,1 l3As 0,976. 1,3325 As Analogicky můžeme spočítat pružnost reakce relativního přírůstku k populace na ostatních „demografických parametrech". Výsledky jsou shrnuty v tabulce 3.24. Vlastnosti prostorů se skalárním součinem. Ve stručné diskusi euklidovských prostorů v předchozí kapitole jsme už některé jednoduché vlastnosti prostorů se skalárním součinem odvodili, důkazy v komplexním oboru jsou velmi podobné. V dalším budeme pracovat s reálnými i komplexními prostory zároveň a budeme psát K pro M nebo C, v reálném případě je konjugace prostě identické zobrazení (tak jak skutečně zúžení konjugace na reálnou přímku v komplexní rovině je). Stejně jako u reálných prostorů definujeme obecně pro libovolný vektorový podprostor U C V v prostoru se skalárním součinem jeho ortogonální doplněk U~L = {v € V; u ■ v = 0 pro všechny u e U}, což je zjevně také vektorový podprostor ve V. Budeme v dalších odstavcích pracovat výhradně s ko-nečněrozměrnými unitárními nebo euklidovskými prostory. Řada našich výsledků ale má přirozené rozšíření pro tzv. Hil-bertovy prostory, což jsou jisté nekonečněrozměrné prostory 156 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET se skalárním součinem, ke kterým se aspoň stručně vrátíme později. Tvrzení. Pro každý konečněrozměrný prostor V dimenze n se skalárním součinem platí: (1) Ve V existuje ortonormální báze. (2) Každý systém nenulových ortogonálních vektorů ve V je lineárně nezávislý a lze jej doplnit do ortogonální báze. (3) Pro každý systém lineárně nezávislých vektorů (u\, ... ,u.k) existuje ortonormální báze (v\, ..., v„) taková, že její vektory postupně generují stejné podpro-story jako vektory uj, tzn. (v\, ..., v i) = (u\ ..., 1 < i < k. (4) Je-li ..., u„) ortonormální báze V, pak souřadnice každého vektoru u e V jsou vyjádřeny vztahem u = (u ■ Ml)«l +••• + («• un)u„. (5) V libovolné ortonormální bázi má skalární součin souřadný tvar u ■ v = x ■ y = xxýx H-----h xnýn kde x a y jsou sloupce souřadnic vektorů u a v ve zvolené bázi. Zejména je tedy každý n—rozměrný prostor se skalárním součinem izomorfní standardnímu euklidovskému W1 nebo unitárnímu C". (6) Ortogonální součet unitárních podprostorů V\ +■ ■ ■ +Vt ve V je vždy přímý součet. (7) Je-li A C V libovolná podmnožina, pak A1- C V je vektorový (tedy i unitární) podprostor a (A-1)1- C V je právě podprostor generovaný A. Navíc platí V = (A) © A\ (8) V je ortogonálním součtem n jednorozměrných unitárních podprostorů. Důkaz. (1), (2), (3): Daný systém vektorů nejprve doplníme do libovolné báze (u\, ..., un) prostoru V a spustíme na ni Grammovu-Schmidtovu ortogo-*ft nalizaci z 2.42. Tak získáme ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v (3). Přitom ale z algoritmu Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vyplývá, že pokud již původních k vektorů tvořilo ortogonální systém vektorů, pak v průběhu ortogonalizace zůstanou nezměněny. Dokázali jsme tedy zároveň i (2) a (1). (4) : Je-li u = cl\U\ + • • • + a„u„, pak u ■ Ui = at(ui ■ u i) H-----\-a„(u„ ■ ut) = a;||w;||2 = at (5) : Podobně spočteme pro libovolné vektory u = x\u\ + ----h x„u„, v = yi«i H-----h y„u„ u ■ v = (xiui H-----h x„u„) ■ (yi«i H-----h y„u„) = xiýi H-----Yxnýn. (6) : Potřebujeme ukázat, že pro libovolnou dvojici Ví, V) ze zadaných podprostorů je jejich průnik triviální. Je-li však u e Ví a zároveň u e V), pak je m _L u, tj. u ■ u =0. To je ale možné pouze pro nulový vektor u e V. parametr pružnost reakce parametr pružnost reakce bu 0,006 Cil 0,006 b2i 0,019 C\2 0,244 b22 0,225 0,751 b23 0,750 f U 0,024 dn 0,024 0,976 d2\ 0,976 Z ní můžeme vidět, že přírůstek k je nejvíce ovlivňován množstvím přezimujících semen (parametr d2i) a jejich přežíváním (parametr fii)-Toto zjištění není nijak překvapivé, zemědělcům je tento fakt dobře známý již od neolitu. Výsledek však ukazuje, že matematický model skutečně nějak adekvátně realitu popisuje. Další zajímavé a detailně popsané modely růstu nalezne čtenář v souboru příkladů za touto kapitolou. 3.23. Uvažujte následující Leslieho model: farmář chová ovce. Porodnost ovcí je dána pouze věkem a je průměrně 2 ovce na jednu ovci mezi jedním a dvěma lety věku, pět ovcí na ovci mezi dvěma a třemi lety věku a dvě ovce na ovci mezi třemi a čtyřmi roky věku. Ovce do jednoho roku nerodí. Z roku na rok umře vždy polovina ovcí a to rovnoměrně ve všech věkových skupinách. Po čtyřech letech posílá farmář ovce na jatka. Farmář by rád ještě prodával (živá) jehňátka do jednoho roku na kožešinu. Jakou část jehňátek může každý rok prodat, aby mu velikost stáda zůstávala z roku na rok stejná? V jakém poměru budou potom rozděleny počty ovcí v jednotlivých věkových skupinách? Řešení. Matice daného modelu (bez zásahu farmáře) je 2 5 2\ 0 0 0 ±00 \0 0 \ OJ Farmář může ovlivnit kolik ovcí do jednoho roku mu ve stádu zůstane do dalšího roku, může tedy ovlivnit prvek In matice L. Zkoumáme tedy model 2 0 /o 1 2 0 /o a 0 5 2\ 0 0 0 o 1 2 0/ a hledáme a tak, aby daná matice měla vlastní hodnotu 1 (víme, že má pouze jednu reálnou kladnou). Charakteristický polynom této matice je X - 2alř -X 1 2" 2 požadujeme-li, aby měl kořen 1, musí být a = 1 a položíme rovno nule). Farmář tedy může prodat j (dosadíme za X číslo 10 OVCI, které se mu v daný rok narodí. Odpovídající vlastní vektor k vlastnímu 157 D. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU číslu 1 dané matice je (20, 4, 2, 1) a v těchto poměrech se taky ustálí populace ovcí. □ 3.24. Uvažujme Leslieho model růstu pro populaci krys, které máme rozděleny do tří věkových skupin: do jednoho roku, od jednoho do dvou let a od dvou let do tří. Předpokládáme, že se žádná krysa ne-dožívá více než tří let. Průměrná porodnost v jednotlivých věkových skupinách připadajících na jednu krysu je následující: v 1.skupině je to nula a ve druhé i třetí 2 krysy. Krysy, které se dožijí jednoho roku umírají až po druhém roce života (úmrtnost ve druhé skupině je nulová). Určete úmrtnost v první skupině víte-li, že daná populace krys stagnuje (počet jedinců v ní se nemění). D. Markovovy procesy 3.25. Mlsný hazardér. Hazardní hráč sází na to, která strana mince padne. Na začátku hry má tři kremrole. Na každý hod vsadí jednu kremroli a když jeho tip vyjde, tak k ní získá jednu navíc, pokud ne, tak kremroli prohrává. Hra končí, pokud všechny kremrole prohraje, nebo jich získá pět. Jaká je pravděpodobnost, že hra neskončí po čtyřech sázkách? Řešení. Před j-tým kolem (sázkou) můžeme popsat stav, ve kterém se hráč nachází náhodným vektorem Xj = (PoU), PiU), P2U), PsU), P4U), PÁD), kde pi je pravděpodobnost, že hráč má i kremroli. Pokud má hráč před /-tou sázkou i kremroli (i=2,3,4), tak po sázce má s poloviční pravděpodobností (i — 1) kremroli a s poloviční pravděpodobností (i + 1) kremroli. Pokud dosáhne pěti kremroli nebo všechny prohraje už se počet kremroli nemění. Vektor Xj+\ tak získáme podle podmínek v přiklání z Xj vynásobením maticí /l 0,5 0 0 0 0\ 0 0 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0,5 V Na začátku máme X, M o 0 1 o W (7) : Nechť u,v e A^. Pak (au + bv) ■ w = 0 pro všechny w e A, a, b e K (z distributivity skalárního součinu). Tím jsme ověřili, že A1- je unitární podprostor ve V. Nechť (vi, ..., vk) je nějaká báze (A), vybraná z prvků A, («1,..., uk) ortonormální báze vzniklá z Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vektorů (v\, ..., vk). Doplňme ji na ortonormální bázi celého V (obojí existuje podle již dokázaných částí věty). Protože se jedná o ortogonální bázi, je nutně (uk+i, ..., un) = (u\, ..., w^)1" = a A c (uk+i, ..., u,,)1- (jak plyne z vyjádření souřadnic v ortonormální bázi). Je-li m _L (uk+i, u„), pak u je nutně lineární kombinací vektorů u\, ... ,uk, to je ale právě tehdy, když je lineární kombinací vektorů v\, ..., vk, což je ekvivalentní příslušnosti u do (A). (8) : Je pouze ekvivalentní formulaci existence ortonormální báze. □ 3.25. Důležité vlastnosti velikosti. Nyní máme vše připraveno pro základní vlastnosti spojené s naší definicí velikostí vektorů. Hovoříme také o normě definované skalárním součinem. Všimněme si také, že všechna tvrzení se týkají vždy konečných množin vektorů a jejich platnost proto nezávisí na dimenzi prostoru V, ve kterém se vše odehrává. Věta. Pro libovolné vektory u, v v prostoru V se skalárním součinem platí (1) ||w + v\\ < ||u|| + ||v||, přitom rovnost nastane, právě když jsou u a v lineárně závislé. (trojúhelníková nerovnost) (2) \u ■ v\ < ||m|| ||f ||, přitom rovnost nastane, právě když jsou u a v lineárně závislé. (Cauchyova nerovnost) (3) Pro každý ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) platí \\u\\2> \u-ei\2 + ■■■+ \u-ek\2 (Besselova nerovnost). (4) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) patří vektor u do podprostoru e (e\, ..., ek) právě když ||w||2 = \u-ex\2+ --- + \u-ek\2. (Parsevalova rovnost) (5) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) a vektor u e V je vektor w = (u ■ ||2 > \u ■ v\2 a rovnost nastane právě tehdy, když w = 0, tj. když jsou u a. v lineárně závislé. (1): Opět stačí počítat ||w + i;||2 = \\u\\2 + \\v\\2 + u ■ v + v ■ u = IN|2 + IM|2 + 2Re(M-i;) < ||M||2 + ||i,||2 + 2|M.i,| < ||M||2 + ||u||2 + 2||M||||i;| = (II"II + NI)2 Protože se přitom jedná o kladná reálná čísla, je opravdu || u + v || < || m || + || ľ ||. Navíc, při rovnosti musí nastat rovnost ve všech předchozích nerovnostech, to však je ekvivalentní podmínce, že u a v jsou lineárně závislé (podle předchozí části důkazu). (3), (4): Nechť (e\, ..., ek) je ortonormální systém vektorů. Doplníme jej do ortonormální báze (e\, ..., e„) (to vždy jde podle předchozí věty). Pak, opět podle předchozí věty, je pro každý vektor u e V n n k II"II2 = •e«)(STě7) = J]|w -ei\2 > J]|w -ei\2 i — l i — l i — l To je ale právě dokazovaná Besselova nerovnost. Přitom rovnost může nastat právě tehdy, když u ■ et =0 pro všechny i > k, a to dokazuje Parsevalovu rovnost. (5): Zvolme libovolný v e (e\, ..., ek) a doplňme daný ortonormální systém na ortonormální bázi (e\, ... ,en). Nechť («i, ..., u„) a (x\, ..., xk, 0, ..., 0) jsou souřadnice u av v této bázi. Pak ||M-i;||2 = \Ul-Xi\2-\-----\-\uk-Xk\2 + \llk+i\2-\-----hKI2 a tento výraz je zjevně minimalizován při volbě jednotlivých vektorů x\ = u\, ..., xk = uk. □ 3.26. Vlastnosti unitárních zobrazení. Vlastnosti ortogonálních zobrazení mají přímočarou obdobu v komplexním oboru. Můžeme je snadno zformulovat a dokázat společně: Tvrzení. Uvažme lineární zobrazení (endomorfismus) cp : V —> V na prostoru se skalárním součinem. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: (1) cp je unitární nebo ortogonální transformace (2) cp je lineární isomorfismus a pro každé u, v e V platí cp(u) ■ v = u ■ (p~l(v) (3) matice A zobrazení cp v libovolné ortonormální bázi splňuje A~l = AT (pro euklidovské prostory to znamená A~l = AT) (4) matice A zobrazení cp v některé ortonormální bázi splňuje A~l = AT (5) řádky matice A zobrazení cp v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem po čtyřech sázkách bude situaci popisovat náhodný vektor 3 A4Xi 16 0 _5_ 16 0 \V tedy pravděpodobnost, že hra skončí do čtvté sázky (včetně) je polovina. Všimněme si ještě, že matice A popisující vývoj pravděpodobnostního vektoru X je pravděpodobnostní, tedy má součet prvků v každém sloupci 1. Nemá ale vlastnost vyžadovanou v Perronově-Frobeniově větě a snadným výpočtem zjistíte (nebo přímo uvidíte bez počítání), že existují dva lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu 1 - případ, kdy hráči nezůstane žádná krémrole, tj. x = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T, nebo případ kdy získá 5 krémrolí a hra tím pádem končí a všechny mu už zůstávají, tj. x = (0, 0, 0, 0, 0, \)T. Všechna ostatní vlastní čísla (přibližně 0, 8, 0, 3, —0, 8, —0, 3) jsou v absolutní hodnotě ostře menší nezjedná. Proto komponenty v příslušných vlastních podprostorech při iteraci procesu s libovolnou počáteční hodnotou vymizí a proces se blíží k limitní hodnotě pravděpodobnostího vektoru tvaru (a, 0, 0, 0, 0, l—a), kde hodnota a závisí na počtu krémrolí, se kterými hráč začíná. V našem případě je to a = 0, 4, kdyby začal se 4 krémrolemi, bylo by to a = 0, 2 atd. □ 3.26. Půjčovna aut. Firma půjčující každý týden auta má dvě pobočky -jednu v Brně a jednu v Praze. Auto zapůjčené v Brně lze vrátit i v Praze a naopak. Po čase se zjistilo, že na konci týdne je vždy v Praze vráceno zhruba 80 % z aut vypůjčených v Praze a 90 % z aut vypůjčených v Brně. Jak je potřeba rozdělit auta mezi pobočky, aby na obou byl na začátku týdne vždy stejný počet aut jako předchozí týden? Jak bude vypadat situace po jisté dlouhé době, pokud jsou auta mezi pobočky na začátečátku náhodně rozdělena? Řešení. Hledaný začáteční počet aut v Brně označme xB a v Praze xP. Stav rozmístění aut mezi pobočkami je tedy popsán vektorem . Uvážíme-li takový násobek vektoru x, že součet jeho složek je 1, pak dávají jeho složky procentuální rozmístění aut. Na konci týdne bude podle zadání stav popsán vektorem 0, 1 0,2\ íxB\ Ajr . „ /0,1 0,2\ . tedy popisuje Matice A 0,9 0,SJ\xpJ- \0,9 0, 8y náš (lineární) systém půjčování aut. Pokud má být na konci týdne v pobočkách stejně aut jako na začátku, pak hledáme takový vektor x, pro který platí Ax = x. To znamená, že hledáme vlastní vektor matice 159 D. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU A příslušný vlastnímu číslu 1. Charakteristický polynom matice A je (0, 1—A)(0, 8—A)—0, 9.0, 2 = (k—l)(A+0, 1) a 1 je tedy opravdu vlastní hodnota matice A. Příslušný vlastní vektor x = \ B \ splňuje rovnici ( ^'^„ | \B\ = 0. \xp) \ o,9 -0,2y v*/>/ Je to tedy násobek vektoru í q'g j- Pro zjištění procentuálního rozložení hledáme takový násobek, aby xB + xP 1 /0,2\ /0, 18 vektor - 9 j = §2 Prahou je takové, že 18% aut bude v Brně a 82% aut v Praze 1. To splňuje . Správné rozložení aut mezi Brnem a Pokud zvolíme libovolný počáteční stav x = ), pak bude stav za n týdnů popsán vektorem x„ = A"x. Nyní je výhodné vyjádřit počáteční vektor x v bázi vlastních vektorů matice A. Vlastní vektor k vlastnímu číslu 1 už jsme našli a podobně se nalezne vlastní vektor k vlastnímu číslu —0, 1. Tím je například vektor -1 1 Počáteční vektor tedy můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci x = a ( ^ j + b ( j j. Stav po n týdnech je pak *«, /0, 18\ A > 0,82 + 00 blíží nule a proto se stav ustálí na Druhý sčítanec se pro n o' 82^' teC^ s^ozce počátečního vektoru ve směru prvního vlastního vektoru. Koeficient a lze jednoduše vyjádřit pomocí počátečních počtů aut: a = ^±fJ^. □ 3.27. Sledovanost televizí. V jisté zemi vysílají jisté dvě televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že po jednom roce přejde 1 /6 diváků první stanice ke druhé stanici, 1 /5 diváků druhé stanice přejde k první stanici. Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces, napište jeho matici, nalezněte její vlastní čísla a vlastní vektory. 3.28. Studenti na přednášce. Studenty můžeme rozdělit řekněme do tří skupin - na ty, co jsou přítomni na přednášce a vnímají, na ty, co jsou rovněž přítomni, ale nevnímají a na ty, co sedí místo přednášky v hospodě. Nyní budeme hodinu po hodině sledovat, jak se mění počty studentů v těchto skupinách. Základem je vypozorovat, jaké jsou jednotlivé pravděpodobnosti změn stavu studenta. Dejme tomu, že by to mohlo být následovně: Student, který vnímá: s pravděpodobností 50% zůstane vnímat, 40% přestane vnímat a 10% odejde do hospody. Student, který je na přednášce a nevnímá: začne vnímat s pravděpodobností 10%, zůstane ve stejném stavu 50%, odejde do hospody 40%. Student, který sedí v hospodě má nulovou pravděpodobnost, že se vrátí na přednášku. (6) sloupce matice A zobrazení (p v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem Důkaz. (1) =>■ (2): Zobrazení

■ (3): Standardní skalární součin je v K" vždy dán pro sloupce x, y skalárů výrazem x ■ y = xT Eý, kde E je jednotková matice. Vlastnost (2) tedy znamená, že matice A zobrazení

- (4): Je-li A1 = A~l v některé ortonormální bázi, pak to zaručuje platnost podmínky (2) (cp(u) ■ v = (Ax)TEý = x1EA~ly = u ■ cp~l(v)) a tedy i (3). (4) =>■ (5) Dokazované tvrzení je vyjádřeno prostřednictvím matice A zobrazení

■ (6): Protože pro determinant platí \AT A\ = \E\ = |AAr| = |A||A| = 1, existuje inverzní matice A-1. Přitom je AAT A = A, proto i AT A = E což vyjadřuje právě (6). (6) =>■ (1): Ve vybrané ortonormální bázi je (p(u) ■ (piv) = (Ax)T(Ay) = xATAy = xTEy = xTy kde x a v jsou sloupce souřadnic vektorů u a. v. Tím je zaručeno zachovávání skalárního součinu. □ Charakterizace z předchozí věty si zaslouží několik po-jj' „ známek. Matice A e Mat„(K) s vlastností A-1 = ÄT se nazývají unitární matice pro komplexní skaláry Í" (a v případě M jsme jim již říkali ortogonální ma-1 tice). Z definiční vlastnosti plyne, že součin unitárních (resp. ortogonálních) matic je unitární (resp. ortogonální), stejně pro inverze. Unitární matice tedy tvoří pod-grupu U (n) c Gl„ (C) v grupě všech invertibilních komplexních matic s operací součinu. Ortogonální matice tvoří pod-grupu 0(n) c Gl„ (M) v grupě reálných invertibilných matic. Hovoříme o unitární grupe a o ortogonální grupe. Jednoduchý výpočet 1 = det E = det(AAi) = det A det A = | det A|z ukazuje, že determinant unitární matice má vždy velikost rovnu jedné, v případě reálných skalárů pak determinant musí být ±1. Dále, je-li Ax = kx pro unitární či ortogonální matici, pak (Ax) • (Ax) = x • x = |A|2(x • x). Proto jsou reálné vlastní hodnoty ortogonálních matic v reálném oboru rovny ±1, vlastní hodnoty unitárních matic jsou vždy komplexní jednotky v komplexní rovině. Stejně jako u ortogonálních zobrazení také docela snadno ověříme, že ortogonální doplňky k invariantním podprostorům vzhledem k unitárnímu (p : V -> V jsou vždy také invariatní. Skutečně, je-li (p(U) cU,ueUave U1-libovolné, pak (piv) -(p((p~l(u)) = v -(p~l(u). 160 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Protože je zúžení 3: /l a + ab + ab2 a + ab a 0\ 0 0 0 0 0 A°° := A3 = A" = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 b2 b v a snadno zjistíme, že hra skončí s pravděpodobností a + ab + ab2 = 0, 885 prohrou a s pravděpodobností cca 0, 115 výhrou 800 Kč. (Maticí A°° vynásobíme počáteční vektor (0, 1, 0, 0, 0) a dostáváme vektor (a + ab + ab2, 0, 0, 0, b3).) □ 3.30. Uvažujme situaci z předchozího případu a předpokládejme, že pravděpodobnost výhry i prohry je 1/2. Označme matici procesu A. Bez použití výpočetního software určete A100. 3.31. Roztržitý profesor. Uvažujme následující situaci: Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s pravděpodobností 1 /2 jej zapomene tam, odkud odchází. Ráno odchází do práce. V práci chodí na oběd do restaurace a zpět. Po skončení práce odchází domů. Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném místě, odkud si ho může následující den vzít (pokud nezapomene). Uvažte tuto situaci jako Markovův proces a napište jeho matici. Jaká je pravděpodobnost, že se po mnoha dnech po ránu deštník bude nalézat v restauraci? (Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den - od rána do rána.) Řešení. '11/16 3/8 l/4> 3/16 3/8 1/4 1/8 1/4 1/2, Spočítejme třeba prvek a\, tedy pravděpodobnost, že deštník začne den doma a skončí doma (bude tam i druhý den ráno): deštník může putovat třemi disjunktními cestami: D Profesor ho hned ráno zapomene doma: p\ = j. DPD Profesor si ho vezme do práce, pak ho zapomene vzít na oběd a poté ho večer odnese domů: Pi = \-\-\ = \-DPRPD Profesor bere deštník všude a nikde ho nezapomene: p3 = pevně jeden vektor v e V, dosazování vektorů za druhý argument ve skalárním součinu nám dává zobrazení V -» V* = Hom(V, K) V b v i-» (w i-» (v, w) e K). Podmínka nedegenerovanosti skalárního součinu nám zaručuje, že toto zobrazení je bijekcí. Zároveň víme, že jde skutečně o lineární zobrazení nad komplexními nebo reálnými skaláry, protože jsme pevně zvolili druhý argument. Na první pohled je vidět, že vektory ortonormální báze jsou takto zobrazeny na formy tvořící bázi duální, a každý vektor můžeme prostřednictvím skalárního součinu chápat také jako lineární formu. V případě vektorových prostorů se skalárním součinem proto převádí naše ztotožnění vektorového prostoru se svým duálem také duální zobrazení ý* na zobrazení ý* '■ W -» V zadané formulí (3.7) kde stejným značením závorek jako v definičním vztahu (3.6) nyní myslíme skalární součin. Tomuto zobrazení se říká adjungované zobrazení k ý. Ekvivalentně lze brát vztah (3.27) za definici adjungo-vaného zobrazení i/r*, např. dosazením všech dvojic vektorů ortonormální báze za vektory u a. v dostáváme přímo všechny hodnoty matice zobrazení ý*. Předchozí výpočet pro duální zobrazení v souřadnicích nyní můžeme zopakovat, pouze musíme mít na paměti, že v ortonormálních bazích na unitárních prostorech vystupují souřadnice druhého argumentu konjugované: (Ý(v), w) = (wi, ..., w„) ■ A lili 2 ' 2 ' 2 ' 2 16" {v, ý*(w)) Vidíme proto, že je-li A matice zobrazení \jr v ortonormální bázi, pak matice adjungovaného zobrazení ý* je matice transponovaná a konjugovaná, kterou značíme A* = ÄT. Matici A* se říká adjungovaná matice k matici A. Všimněme si, že adjungované matice jsou dobře definované pro jakékoliv obdélníkové matice a nepleťme si je s maticemi algebraicky adjungovanými, které jsme u čtvercových matic používali při úvahách o determinantech. Můžeme si tedy shrnout, že má-li jakékoliv lineární zobrazení ý '■ V W mezi unitárními prostory v ortonormálních bazích matici A, bude mít jeho duální zobrazení v bazích duálních matici AT. Pokud přitom zotožníme pomocí skalárního součinu vektorové prostory s jejich duálními prostory, 162 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET pak nám duální zobrazení představuje adjungované zobrazení ý* '■ W -» v (které je zvykem značit stejně jako to zobrazení duální), které ale má matici A*. Rozdíl mezi maticemi duálního a adjungovaného zobrazení je tedy v dodatečné konjugaci, ta ale samozřejmě je důsledkem toho, že zo-tožnění unitárního prostoru s jeho duálním prostorem není komplexně lineární zobrazení (neboť z druhé pozice ve skalárním součinu se skaláry vytýkají konjugované). 3.28. Samoadjungovaná zobrazení. Zvláštním případem lineárních zobrazení jsou tedy ta, která splývají se svým adjungovaným zobrazením: ý* = ~* ý. Takovým zobrazením říkáme samoadjungovaná. Ekvivalentně můžeme říci, že jsou to ta zobrazení, jejichž matice A v jedné a tedy ve všech ortonormálních bazích splňují A = A*. V případě euklidovských prostorů jsou samoadjungovaná zobrazení tedy ta, která mají v některé ortonormální bázi (a pak už všech) symetrickou matici. Často se jim proto říká symetrické matice a symetrická zobrazení. V komplexním oboru se maticím splňujícím A = A* říká hermiteovské matice. Občas se také hermiteovským maticím říká samoadjungované matice. Všimněme si, že hermiteovské matice tvoří reálný vektorový podprostor v prostoru všech komplexních matic, není však podprostorem v komplexním oboru. Poznámka. Obzvlášť zajímavý je v této souvislosti následující postřeh. Jestliže hermiteovskou matici A vynásobíme imaginární jednotkou, dostáváme matici B = i A, která má vlastnost B* = i A1 = —B. Takovým maticím říkáme anti-hermiteovské. Tak jako je tedy každá reálná matice součtem své symetrické a antisymetrické části A = ^(A + AT)+l-(A- AT), je v komplexním oboru obdobně A = I(A + A*) + ;1(A_A*) 2 2i a můžeme proto vyjádřit každou komplexní matici právě jedním způsobem jako součet A = B + iC s hermiteovskými maticemi B a C. Jde o obdobu rozkladu komplexního čísla na reálnou a ryze imaginární komponentu a skutečně se často v literatuře setkáme i se značením B = re A = -(A + A*), C = im A = —(A - A*). 2 2i V řeči lineárních zobrazení to tedy znamená, že každý komplexní lineární automorfismus můžeme takto jednoznačně vyjádřit pomocí dvou samoadjungovaných zobrazení. 16" Celkem a\ = pi + P2 + P3 Vlastní vektor této matice příslušný dominantní vlastní hodnotě 1 je (2, 1, 1), je tedy hledaná pravděpodobnost 1/(2 + 1 + 1) = 4. □ 3.32. Algoritmus na určování důležitosti stránek. Internetové vyhledávače umí na internetu vyhledat (skoro) všechny stránky obsahující dané slovo či frázi. Jak ale setřídit vyhledané stránky tak, aby uživatel dostal pokud možno seznam seřazený podle relevance daných stránek? Jednou z možností je následující algortitmus: soubor všech nalezených stránek považujme za systém a každou z nalezených stránek za jeden z jeho možných stavů. Popíšeme náhodné procházení těchto stránek jako Markovův proces. Pravděpodobnosti přechodu mezi jednotlivými stránkami jsou dány odkazy: každý odkaz, řekněme ze stránky A na stránku B určuje pravděpodobnost (l/(celkový počet odkazů ze stránky A)), se kterou se dostaneme ze stránky A na stránku B. Pokud z některé stránky nevedou žádné odkazy, tak ji uvažujeme jako stránku, ze které vedou odkazy na všechny ostatní. Tímto dostaneme pravděpodobnostní matici M (prvek m^ odpovídá pravděpodobnosti, se kterou se dostaneme z i-té stránky na j-tou). Bude-li tedy člověk náhodně klikat na odkazy v nalezených stránkách (pokud se dostane na stránku, ze které nevede odkaz, vybere si náhodně další), tak pravděpodobnost toho, že se v daný okamžik (dostatečně vzdálený od počátku klikání) bude nalézat na i-té stránce odpovídá i-té složce jednotkového vlastního vektoru matice M, odpovídajícího vlastnímu číslu 1. Podle velikosti těchto pravděpodobností pak určíme důležitost jednotlivých stránek. Tento algoritmus lze modifikovat tím, že budeme předpokládat, že uživatel po nějaké době přestane klikat z odkazu na odkaz a opět začne náhodně na nějaké nové stránce. Řekněme, že s pravděpodobností d vybere náhodně novou stránku a s pravděpodobností (1-d). V takovéto situaci je nyní pravděpodobnost přechodu mezi libovolnými dvěma stránkami 5; a S j nenulová, je to totiž d/n+(l-d)/(celkový počet odkazů ze stránky Si), pokud ze stránky Si vede odkaz na Sj, pokud ne, tak je tato pravděpodobnost d/n (1/n, pokud z 5; nevedou žádné odkazy), podle Frobeniovy-Perronovy věty je vlastní hodnota 1 jednonásobná a dominantní, takže jí odpovídající vlastní vektor je jediný (pokud bychom volili pravděpodobnosti přechodu pouze způsobem z předchozího odstavce, tak by tomu tak nemuselo být). Pro názornost uvažme stránky A, B, C a D. Odkazy vedou z A na B a na C, z B na C a z C na A, z D pak nikam. Uvažujme, že pravdě -podobnst toho, že uživatel náhodně zvolí novou stránku je 1/5. Potom 163 D. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU by matice M vypadala následovně: M /1/20 9/20 9/20 \l/20 1/20 1/20 17/20 1/20 17/20 1/20 1/20 1/20 l/4\ 1/4 1/4 1/4/ Vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě 1 je (305/53, 175/53, 315/53 důležitost stránek tedy bude stanovena v pořadí podle velikosti jeho odpovídajících složek, tedy C > A > B > D. 3.33. Na základě teploty ve 14.00 se rozdělují dny na teplé, průměrné a chladné. Dle celoročních statistik následuje po teplém dni teplý v polovině případů a průměrný ve 30 % případů, po průměrném dnu průměrný ve 40 % případů a chladný ve 30 % případů, po chladném dnu chladný v polovině případů a ve 30 % případů průměrný. Bez dalších informací zjistěte, kolik lze během roku očekávat teplých, průměrných a chladných dnů. Řešení. Pro každý den musí nastav právě jeden ze stavů „teplý den", „průměrný den", „chladný den". Pokud vektor x„ má za složky pravděpodobnosti toho, že jistý (označený jako n-tý) den bude teplý, průměrný, chladný (při zachování pořadí), potom složky vektoru *■« + ! '0,5 0,3 0,2> 0,3 0,4 0,3 ,0,2 0,3 0,5, udávají postupně pravděpodobnosti, že následující den bude teplý, průměrný, chladný. Pro ověření stačí dosadit přičemž např. pro třetí volbu musíme dostat pravděpodobnosti, že po chladném dnu bude následovat teplý, průměrný, chladný (v tomto pořadí). Vidíme tak, že úloha je Markovovým řetězcem s pravděpodobnostní maticí přechodu '0,5 0,3 0,3 0,4 v0,2 0,3 Neboť jsou všechny prvky této matice kladné, existuje pravděpodobnostní vektor 0 ■4/ 3.29. Spektrální rozklad. Uvažujme samoadjungované ,f„ zobrazení ý : ľ ^ ľs maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako v 2.50. i Opět se nejprve obecně podíváme na invariantní podprostory samoadjungovaných zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor ^ W C V a samoadjungované zobrazení ý '■ V ~* V platí ' ý(W) C W, pak také platí pro všechny v e W^, w e W To ale znamená, že také ^(W-1) C W^. Uvažme nyní matici A samoadjungovaného zobrazení v nějaké ortonormální bázi a A ■ x = kx pro nějaký vlastní vektor x e C". Dostáváme k{x, x) = {Ax, x) = {x, Ax) = (x, kx) = k (x, x). Kladným reálným číslem (x, x) můžeme krátit a proto musí být Ä = k, tj. vlastní čísla jsou vždy reálná. Komplexních kořenů má charakteristický polynom det(A — k E) tolik, kolik je dimenze čtvercové matice A, a všechny jsou ve skutečnosti reálné. Dokázali jsme tak důležitý obecný výsledek: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru pro samoadjungované zobrazení je také invariantní. Navíc jsou všechna vlastní čísla hermiteovské matice A vždy reálná. Ze samotné definice je zřejmé, že zúžení samoadjungovaného zobrazení na invariantní podprostor je opět samoadjungované. Předchozí tvrzení nám tedy zaručuje, že bude vždy existovat báze V z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení ý na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět samoadjungované zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V. Vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou navíc kolmé, protože z rovností Ý(u) = Ý(v) = lJiV vyplývá k(u, v) = (ý(u), v) = (u, ý(v)) = jí(u, v) = fi(u, v). Obvykle bývá náš výsledek formulován pomocí projekcí na vlastní podprostory. O projektoru P : V -> V říkáme, že je kolmý, je-li ImP 1 Ker P. Dva kolmé projektory P, Q jsou vzájemně kolmé, je-li Im P _L Im Q. Věta (O spektrálním rozkladu). Pro každé samoadjungované zobrazení \js : V ^ V na vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze z vlastních vektorů. Jsou-li k\, ... ,kk všechna různá vlastní čísla Ý a P\, ..., Pk příslušné kolmé a navzájem kolmé projektory na vlastní podprostory k odpovídajícím vlastním číslům, pak k němuž se blíží vektor x„ pro zvětšující se n nezávisle na tom, jaký byl vektor x„ pro mnohem menší n. Navíc podle důsledku Perronovy-Frobeniovy věty je x^ vlastním vektorem matice T pro vlastní číslo 1. Ý = klPl + --- + kkPk. Dimenze obrazů těchto projektorů je přitom vždy rovna algebraické násobnosti vlastních čísel A,. 164 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.30. Ortogonální diagonalizace. Zobrazení, pro která lze \^ najít ortonormální bázi jako v předchozí větě o spektrálním rozkladu se nazývají ortogonálně diagonalizovatelná. Jsou to samozřejmě právě ta zobrazení, pro která umíme najít ortonormální bázi tak, aby v ní jejich matice zobrazení byla diagonální. Zamysleme se, jak mohou vypadat. Pro euklidovský případ je to snadné: diagonální matice jsou zejména symetrické, jedná se tedy právě o samoadjun-govaná zobrazení. Jako důsledek získáváme tvrzení, že ortogonální zobrazení euklidovského prostoru do sebe je ortogonálně diagonalizovatelné, právě když je zároveň samoadjun-gované (jsou to právě ta samoadjungovaná zobrazení s vlastními hodnotami ±1). U komplexních unitárních prostorů je situace složitější. Uvažme libovolné lineární zobrazení cp : V -» V unitárního prostoru a nechť cp = + iř? Je (jednoznačně daný) rozklad cp na hermiteovskou a antihermiteovskou část. Máli cp ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici D, pak D = reD+ňmD, kde reálná a imaginární část jsou právě matice ý a f\ (plyne z jednoznačnosti rozkladu). Zejména tedy platí ýor) = r)oý acpocp* = cp* ocp. Zobrazení

■ (2) jsme již diskuto- Má tedy platit vali. (2) •<=>- (3): Stačí provést přímý výpočet (fxp* = (ý + Ít])(Ý — if]) ý2 + rj2 + i(r)Ý — Ý1!) (p*(p = (ý — iil)iÝ + = V'"2 + ??2 + Kýt) r]ý) Odečtením dostaneme 2i(r)ý — Ýw)- (2) =>■ (1): Nechť u e V je vlastní vektor normálního zobrazení . (4): Výraz ^i . |2 je právě stopa matice AA*, to je matice zobrazení cp o cp*. Proto nezávisí na volbě ortonormální báze. Je-li tedy cp diagonalizovatelné, je tento výraz roven právě ^i |A;|2. Opačná implikace je přímým důsledkem Schurovy věty o unitární triangulovatelnosti libovolného lineárního zobrazení V -» V, kterou dokážeme později v 3.37. Podle ní totiž existuje pro každé lineární zobrazení cp : V -» V ortonormální báze, ve které má cp horní trojúhelníkovou matici. Na její diagonále pak musí být právě všechny vlastní hodnoty cp. Jak jsme již ukázali, výraz ^i . |aí7|2 nezávisí na volbě ortonormální báze, proto z předpokládané rovnosti vyplývá, že všechny prvky mimo diagonálu musí být v této matici nulové. □ V termínech matic zobrazení dostáváme: zobrazení je normální právě, když jeho matice v některé ortonormální bázi (a ekvivalentně v každé) splňuje AA* = A*A. Takové matice nazýváme normální matice. Poznámka. Všimněme si, že pro počet s lineárními zobrazeními na komplexním unitárním prostoru lze poslední větu chápat také jako zobecnění běžných počtů s komplexními čísly v goniometrickém tvaru (roli reálných čísel zde hrají sa-moadjungovaná zobrazení). Roli komplexních jednotek pak hrají unitární zobrazení. Zejména si všimněme analogie k vyjádření komplexních jednotek ve tvaru cos t + i sin t s vlastností cos2 t + sin2 t = 1: Důsledek. Unitární zobrazení na unitárním prostoru V jsou právě ta normální zobrazení, pro která výše užívaný jednoznačný rozklad cp = i/> + ir\ splňuje ý2 + rj1 = id V. Důkaz. Pro unitární zobrazení cp je cpcp* = id V = cp*cp a tedy cpcp* = (ý + ir])(ý ~ = + 0 + rj2 = idV. Naopak, pro normální zobrazení již poslední výpočet ukazuje, že opačná implikace platí také. □ 3.31. Nezáporná zobrazení a odmocniny. Nezáporná reálná čísla jsou právě ta, která umíme psát jako druhé mocniny. Zobecnění takového chování pro matice a zobrazení lze vidět u součinů ma-tic B = A* ■ A (tj. složení zobrazení ý* o ý): (B ■ x, x) = (A* ■ A ■ x, x) = (A ■ x, A ■ x) > 0 pro všechny vektory x. Navíc zjevně B* = (A* ■ A)* = A* ■ A = B. Hermiteovských maticím B s takovou vlastností říkáme pozitivně semidefinitní a pokud nastane nulová hodnota pouze 166 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET pro x = 0, pak jim říkáme pozitivně definitní. Obdobně hovoříme o pozitive definitních a a positivně semidefinitních zobrazeních ^ : V —> V. Pro každé pozitivně semidefmitní zobrazení ý '■ V ~* V umíme najít jeho odmocninu, tj. zobrazení r] takové, že r) o r) = ý. Nejjednodušeji to uvidíme v ortonormální bázi, ve které bude mít ý diagonální matici. Taková podle našich předchozích úvah vždy existuje a matice A zobrazení ^ v ní bude mít na diagonále nezáporná reálná vlastní čísla zobrazení ý. Kdyby totiž bylo některé z nich záporné, nebyla by splněna podmínka nezápornosti již pro některý z bázových vektorů. Pak ovšem stačí definovat zobrazení r\ pomocí matice B s odmocninami příslušných vlastních čísel na diagonále. 3.32. Spektra a nilpotentní zobrazení. Na závěr této části se vrátíme k otázce, jak se mohou chovat lineární zobrazení v úplné obecnosti. Budeme i :^ nadále pracovat s reálnými nebo komplexními vektorovými prostory. Připomeňme, že spektrum lineárního zobrazení f : V -» V je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jako kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Lineární zobrazení / : V -» V se nazývá nilpotentní, jestliže existuje celé číslo k > 1 takové, že iterované zobrazení /* je identicky nulové. Nejmenší číslo k s touto vlastností se nazývá stupněm nilpotentnosti zobrazení /. Zobrazení / : V -» V se nazývá cyklické, jestliže existuje báze (ui, ..., un) prostoru V taková, že f(u\) = 0 a /(«/) = M/_i pro všechna i = 2, ..., n. Jinými slovy, matice / v této bázi je tvaru /O 1 0 . 0 0 1. v; ; Je-li f (v) = a ■ v, pak pro každé přirozené k je fk(v) = ak ■ v. Zejména tedy může spektrum nilpotentnrho zobrazení obsahovat pouze nulový skalár (a ten tam vždy je). Přímo z definice plyne, že každé cyklické zobrazení je nilpotentní, navíc je jeho stupeň nilpotentnosti roven dimenzi prostoru V. Operátor derivování na polynomech, D(xk) = kxk~l, je příkladem cyklického zobrazení na prostorech Kn[x] všech polynomů stupně nejvýše n nad skaláry K. Kupodivu to platí i naopak a každé nilpotentní zobrazení je přímým součtem cyklických. Důkaz tohoto tvrzení nám dá hodně práce, proto napřed zformulujeme výsledky, ke kterým směrujeme, a pak se teprve dáme do technické práce. Ve výsledné větě o Jordánově rozkladu vvystupují vektorové (pod)prostory a lineární zobrazení na nich s jediným vlastním • 17. výrobek byl zařazen do třídy III a 18. do třídy I po řadě s pravděpodobnostmi • 0,25-0, 8 = 0,2; • 0, 25 • 0, 2 = 0, 05; • 0, 5 • 0, 25 = 0, 125. Lehce tak získáváme výsledek 0, 375 = 0, 2 + 0, 05 + 0, 125. Nyní na úlohu nahlížejme jako na Markovův proces. Ze zadání plyne, že pořadí možných stavů „výrobek je třídy I", „výrobek je třídy II", „výrobek je třídy III" odpovídá pravděpodobnostní matice přechodu '0,8 0,2 0,25^ 0, 1 0, 6 0, 25 v0, 1 0, 2 0, 5 Situaci, kdy výrobek patří do třídy III, zadává pravděpodobnostní vektor (0, 0, 1)T. Pro následující výrobek dostáváme pravděpodobnostní vektor '0,25\ /0,8 0,2 0,25\ /0> 0,25 = 0, 1 0,6 0,25 0 0, 5 / \0, 1 0, 2 0, 5 / \ 1 a pro další výrobek v pořadí potom vektor '0,8 0,2 0,25 0, 1 0, 6 0, 25 v0, 1 0, 2 0, 5 jehož první složka je hledanou pravděpodobností. Doplňme, že první metoda řešení (bez zavedení Markovova procesu) vedla k výsledku zřejmě rychleji. Uvědomme si, jak výrazně by se však první metoda znepřehlednila, kdybychom např. místo 18. výrobku uvažovali 20., 22. nebo až 30. výrobek v pořadí. Ve druhé metodě se lze omezit na do jisté míry „bezmyšlenkovité" násobení (umocňování) matic. Při zavedení Markovova procesu jsme také současně vyšetřovali situace, kdy 18. výrobek náleží do tříd II a III. □ 3.36. Opakovaně házíme hrací kostkou. Napište pravděpodobnostní matici přechodu T pro Markovův řetězec „maximální počet ok dosažených do n-tého hodu včetně" pro pořadí stavů 1, ..., 6. Poté určete T" pro každé n e N. Řešení. Ihned můžeme uvést fl/6 0 0 0 0 0\ 1/6 2/6 0 0 0 0 1/6 1/6 3/6 0 0 0 1/6 1/6 1/6 4/6 0 0 1/6 1/6 1/6 1/6 5/6 0 \l/6 1/6 1/6 1/6 1/6 V 167 D. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU kde první sloupec je určen stavem 1 a pravděpodobností 1/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1) a pravděpodobností 1 /6 jeho přechodu do libovolného ze stavů 2, ... ,6 (po řadě padne 2, ... ,6), druhý sloupec je zadán stavem 2 a pravděpodobností 2/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1 nebo 2) a pravděpodobností 1 /6 pro přechod do jakéhokoli ze stavů 3, ..., 6 (padne 3, ..., 6), až poslední sloupce získáme ze skutečnosti, že stav 6 je trvalý (pokud již padla šestka, nemůže padnout vyšší počet ok). Rovněž pro n e N lze přímo určit číslem X a maticí 0 0 1 ^0 0 o o\ o X) rptl ( ar ar-ar ar (§)"-(§)" ar-ar ar ar-ar ar-ar ar-a' ar-ar ar-ar ar-a: v '-ar '-ar '-ar ar ar-a: -ar ar -ar o\ o o o o 1/ Hodnoty v prvním sloupci totiž odpovídají postupně pravděpodobnostem, že n-krát po sobě padne 1, n-kiát po sobě padne 1 nebo 2 a alespoň jednou 2 (odečítáme proto pravděpodobnost uvedenou v prvním řádku), n-krát po sobě padne 1, 2 nebo 3 a alespoň jednou padne 3, až v posledním řádku je pravděpodobnost, že aspoň jednou během n hodů padne 6 (tu lze snadno určit z pravděpodobnosti opačného jevu). Podobně např. ve čtvrtém sloupci jsou postupně nenulové pravděpodobnosti jevů „rc-krát po sobě padne 1, 2, 3 nebo 4", „n-kiát po sobě padne 1, 2, 3, 4 nebo 5 a alespoň jednou 5" a „alespoň jednou během n hodů padne 6". Interpretace matice T jako matice přechodu jistého Markovova procesu tak umožňuje rychlé vyjádření mocnin T", n e N. □ 3.37. Sledujte určitou vlastnost daného živočišného druhu, která je podmíněna nezávisle na pohlaví jistým genem - dvojicí alel. Každý jedinec získává po jedné alele od obou rodičů zcela náhodně a nezávisle na sobě. Existují formy genu dané různými alelami a, A. Ty určují tři možné stavy aa, a A = Aa, AA vyšetřované vlastnosti. (a) Předpokládejte, že každý jedinec jisté populace se bude rozmnožovat výhradně s jedincem jiné populace, ve které se vyskytuje pouze vlastnost podmíněná dvojicí a A. Právě jeden jejich (náhodně zvolený) potomek bude ponechán na stanovišti a také on se bude rozmnožovat výhradně s jedincem té jiné populace atd. Stanovte výskyt kombinací aa, aA, AA v uvažované populaci po dostatečně dlouhé době. (b) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (a), pokud je jiná populace tvořena pouze jedinci s dvojicí alel A A. Takovýmto maticím (a odpovídajícím invariantním podpro-storům) se říká Jordánův blok. Věta (Jordánova věta o kanonickém tvaru). Nechť V je vektorový prostor dimenze n a f : V -» V je lineární zobrazení s n vlastními čísly včetně algebraických násobností. Pak existuje jednoznačný rozklad prostoru V na přímý součet pod-prostorů V = Vi © • • • © Vk takových, že f (Ví) C Ví, zúžení f na každé Ví má jediné vlastní číslo Xt a zúžení f — A, • id na Ví je buď cyklické nebo nulové zobrazení. Věta tedy říká, že ve vhodné bázi má každé lineární zobrazení blokově diagonální tvar s Jordánovými bloky podél diagonály. Celkový počet jedniček nad diagonálou v takovém tvaru je roven rozdílu mezi celkovou algebraickou a geometrickou násobností vlastních čísel. 3.33. Poznámky. Všimněme si, že jsme Jordánovu větu již dříve plně dokázali v případech, kdy jsou všechna vlastní čísla různá nebo když jsou geometrické a algebraické násobnosti vlastních čísel stejné. Zejména jsme ji plně dokázali pro unitární, normální a samoadjungovaná zobrazení. Další užitečné pozorování je, že pro každé linerání zobrazení přísluší ke každému vlastnímu čislu jednoznačně určený invariantní podprostor, který odpovídá Jordánovým blokům s příslušnou vlastní hodnotou. Také si všimněme jednoho velice užitečného důsledku Jordánovy věty (který jsme už použili u diskuse chování Markovových řetězců). Předpokládejme, že jsou vlastní hodnoty našeho zobrazení / všechny v abso-1S lutní hodnotě menší než jedna. Potom opakované působení lineárního zobrazení na jakémkoliv vektoru v € V vede k rychlému zmenšování všech souřadnic fk(v) nad všechny meze. Skutečně, předpokládejme pro jednoduchost, že na celém V má zobrazení / jediné vlastní číslo X a f — X id v je cyklické (tj. omezujeme se na jediný Jordánův blok), a nechť v\, ..., vi je příslušná báze. Pak podmínka z věty říká, že f(v2) = Xv2 + vi, f2(v2) = X2v2 + Xvi +kv\, a podobně pro ostatní vt a vyšší mocniny. V každém případě při iterování dostáváme stále vyšší a vyšší mocniny X u všech nenulových komponent, přičemž nejnižší z nich může být nejvýše o stupeň nilpotentnosti nižžší než násobnost iterace. Tím je tvrzení dokázáno (a stejný argumet s aboslutní hodnotou vlastních čísel ostře větší nezjedná vede k neomezenému růstu všech souřadnic iterací fk(v)). 168 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Zbytek této části třetí kapitoly je věnován důkazu Jor-\. danovy věty a několika k tomu potřebným po-jmům. Je výrazně obtížnější než dosavadní text a čtenář jej může případně přeskočit až do začátku 5. části této kapitoly. 3.34. Kořenové prostory. Na příkladech jsme viděli, že vlastní podprostory popisují dostatečně geometrické vlastnosti jen některých lineárních zobrazení. Zavedeme nyní jemnější nástroj, tzv. kořenové podprostory. Definice. Nenulový vektor m e V se nazývá kořenovým vektorem lineárního zobrazení cp : V -» V, jestliže existuje a e K a celé číslo & > 0 takové, že (cp—a-idv)k(u) = 0, tj.&-tá iterace uvedeného zobrazení zobrazuje u na nulu. Množinu všech kořenových vektorů příslušných k pevnému skaláru k doplněnou o nulový vektor nazýváme kořenovým prostorem příslušným ke skaláru k e K, značíme TZx ■ Je-li u kořenový vektor a k z definice je vybráno nejme-nší možné, pak (cp — a ■ idy)*-1 (u) je vlastní vektor s vlastní hodnotou a. Je tedy TZx = {0} pro všechny skaláry k, které neleží ve spektru zobrazení cp. Tvrzení. Pro lineární zobrazení cp : V -» V platí (1) Pro každé k e Kj'e IZi C V vektorový podprostor. (2) Pro každé k, fi e K je IZi invariantní vzhledem k lineárnímu zobrazení (cp — fi ■ idy), zejména tedy je IZi invariantní vzhledem k cp. (3) Je-li fi ^ k, pak (cp — fi ■ idy)|^ je invertibilní. (4) Zobrazení (cp — k ■ idy)|^ je nilpotentní. Důkaz. (1) Ověření vlastností vektorového podprostoru je jednoduché a ponecháváme jej čtenáři. (2) Předpokládejme, že (cp — k ■ idy)*(m) = 0 a uvažme v = (cp — \jl ■ idy)(w). Pak (cp—k ■ idy)* (ľ) = = (cp — k ■ iáv)k((cp - k ■ idy) + (k - n) ■ idy)(w) = (cp — k ■ idy)*+1(w) + (k - fi) ■ (cp - k ■ idv)k(u) = o (3) Je-li u € Ker(cp — n ■ idy)|^, pak (cp — k-Ídy)(«) = (cp — fl-Ídy)(«) + (fl — k)-U = (fl — k) ■ U Odtud 0 = (cp — k ■ idy)* (m) = (p, — k)k ■ u a je tedy nutně u = 0 pro k (4) Zvolme bázi e\,...,ep podprostoru TZx- Protože podle definice existují čísla k{ taková, že (cp — k- idy)*; (e{) = 0, je nutně celé zobrazení (cp — k ■ idy)|^ nilpotentní. □ 3.35. Faktorové prostory. Našim dalším cílem je ukázat, že dimenze kořenových prostorů je vždy rovna algebraické násobnosti příslušných vlastních čísel. Nejprve však zavedeme šikovné technické nástroje. (c) Náhodně zvolené dva jedince opačného pohlaví zkřížíte. Z jejich potomstva opět náhodně vyberete dva jedince opačného pohlaví, které zkřížíte. Pokud takto budete pokračovat velmi dlouho dobu, vypočtěte pravděpodobnost, že oba křížení jedinci budou mít dvojici alel AA, příp. aa (proces křížení skončí). (d) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (c) bez kladení podmínky, že křížení jedinci mají stejné rodiče. Pouze tedy křížíte jedince jisté velké populace mezi sebou, potom křížíte potomky mezi sebou atd. Řešení. Případ (a). Jedná se o Markovův proces zadaný maticí '1/2 1/4 0 1/2 1/2 1/2 0 1/4 1/2, přičemž pořadí stavů odpovídá pořadí dvojic alel aa, a A, AA. Hodnoty v prvním sloupci plynou z toho, že potomek jedince s dvojicí alel aa a jedince s dvojicí alel a A má s pravděpodobností 1/2 dvojici aa a s pravděpodobností 1 /2 dvojici a A. Analogicky postupujeme pro třetí sloupec. Hodnoty ve druhém sloupci potom vyplývají z toho, že každý ze čtyř případů dvojic alel aa, a A, Aa, AA je stejně pravděpodobný u jedince, jehož oba rodiče mají dvojici alel a A. Uvědomme si, že na rozdíl od počítání pravděpodobností, kdy musíme rozlišovat dvojici a A od Aa (která z alel pochází od kterého z rodičů), vlastnosti podmíněné dvojicemi a A a Aa jsou samozřejmě stejné. Pro určení výsledného stavu stačí nalézt pravděpodobnostní vektor, který přísluší vlastnímu číslu 1 matice T, protože matice '3/8 1/4 l/8> 1/2 1/2 1/2 vl/8 1/4 3/8, splňuje podmínku Perronovy-Frobeniovy věty (všechny její prvky j sou kladné). Hledaný pravděpodobnostní vektor je 1 1 rr i' 2' 4, což již dává pravděpodobnosti 1/4, 1/2, 1/4 výskytu po řadě kombinací aa, a A, A A po velmi dlouhé (teoreticky nekonečné) době. Případ (b). Pro pořadí dvojic alel A A, aA,aa nyní dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu /l 1/2 7=0 1/2 1 \0 0 0, Ihned vidíme všechna vlastní čísla 1, 1/2 a 0 (odečteme-li je od diagonály, hodnost obdržené matice nebude 3, tj. touto maticí zadaná homogenní soustava bude mít netriviální řešení). Těmto vlastním číslům 169 D. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU přísluší po řadě vlastní vektory Proto je '1-1 1 \ /1 0 0\ 1 -1 1 T = | 0 1 -2-01/20-0 1 -2 ,0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 1 '1 -1 1 0 1 -2 ,0 0 1 i o o\ i i r 0 1/2 0-0 1 2 ,0 0 0/ \0 0 l, Odsud pro libovolné neN plyne -1 M 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 o 1 / Vo 0 0 i o o\" /i i r 0 1/2 0 -0 1 2 n0 0 0/ \0 0 1. '1-1 1 \ /l 0 0\ /l 1 r 0 1 -2 0 2"" 0 0 1 2 v0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 1, Zřejmě pro velká n e N můžeme nahradit 2~" za 0, což implikuje 'l 1 1\ /ll ť 0 1 2 = 0 0 0 v0 0 1/ \0 0 Oy Pokud tedy plodí potomky jedinci původní populace výhradně s členy populace, ve které se vyskytuje pouze dvojice alel AA, nutně po dostatečně velkém počtu křížení dojde k tomu, že dvojice a A a aa zcela vymizí (bez ohledu na jejich původní četnost). Případ (c). Tentokráte budeme mít 6 možných stavů (v tomto pořadí) AA, AA; aA,AA; aa, AA; aA,aA; aa,aA; aa,aa, přičemž tyto stavy jsou dány různými případy genotypů rodičů. Matice odpovídajícího Markovova řetězce je /l 1/4 0 1/16 0 0 0 0 1/2 0 1/4 0 0 1/4 1/8 1/4 1/4 1/16 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0\ 0 0 0 0 Pokud budeme např. uvažovat situaci (druhý sloupce), kdy jeden z rodičů má dvojici alel AA a druhý a A, pak zjevně může nastat každý ze čtyř případů (jde-li o dvojice alel jejich dvou náhodně zvolených potomků) AA, AA; AA,aA; aA,AA; aA,aA Definice. Nechť U c V je vektorový podprostor. Na množině všech vektorů ve V definujeme ekvivalenci takto: v\ ~ v2 právě tehdy, když v\ — v2 e U. Axiomy ekvivalence jdou ověřit snadno. Množina V/U tříd této ekvivalence, spolu s operacemi definovanými pomocí reprezentantů, tj. [v] + [w] = [v + w], a-[u] = [a-u], tvoří vektorový prostor, který nazýváme faktorový vektorový prostor prostoru V podle podprostoru U. Ověřte si korektnost definice operací a platnost všech axiomů vektorového prostoru! Třídy (vektory) ve faktorovém prostoru V/U budeme často označovat jako formální součet jednoho reprezentanta se všemi vektory podprostoru U, např. u+U e V/U, u e V. Nulový vektor ve V/U je právě třída 0 + U, tj. vektor u e V reprezentuje nulový vektor ve V/U, právě když je u e U. Jako jednoduché příklady si rozmyslete V/{0} = V, V/V = {0} a faktorový prostor roviny M2 podle libovolného jednorozměrného podprostoru (zde je každý jednorozměrný podprostor U C M2 přímkou procházející počátkem), kde třídy ekvivalence jsou rovnoběžky s touto přímkou. Tvrzení. Nechť U C V je vektorový podprostor a (u\, ..., un) je taková báze V, ze (u\, ..., uk) je báze U. Pak dim V/U = n — k a vektory uk+i + U, ... ,un + U tvoří bázi V/U. Důkaz. Protože V = (u\, ..., un), je i V/U = («i + U, ... ,un + U). Přitom ale je prvních k generátorů nulových, takže je V/U = (uk+i + [/,...,«„ + U). Předpokládejme, že ak+\ ■ (uk+i + U) + ■ ■ ■ + a„ ■ (u„ + U) = (ak+i - uk+i + ■ ■ - + an - un) + f/ = 0e V/U. To je ale ekvivalentní příslušnosti lineární kombinace vektorů uk+\, ... ,un do podprostoru U. Protože U je generováno zbylými vektory, je nutně tato kombinace nulová, tj. všechny koeficienty a; jsou nulové. □ 3.36. Indukovaná zobrazení na faktorových prostorech. Předpokládejme, že U C V je invariantní podprostor vzhledem k lineárnímu zobrazení cp : V -> V a zvolme takovou bázi u\, ... ,un prostoru V, že prvních k vektorů této báze je bazí efó bázi má cp blokovou matici A = ^ ^ . Pak budeme umět dokázat následující tvrzení: Lemma. (1) Zobrazení cp indukuje lineární zobrazení cpv/u : V/U -+ V/U, cpv/u (v + U) = cp(v) + U s maticí D v indukované bázi uk+\ + U, ..., u„ + U na V/U. (2) Charakteristický polynom cpv/u dělí charakteristický polynom cp. Důkaz. Pro v, w e V, u e U, a e K máme cp(v + u) e cp(v) + U (protože U je invariantní), (cp(v) + U) + (cp(w) + 170 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET U) = cp(v + w) + U a a ■ (cp(v) + U) = a ■ (p(v) + U = cp(a ■ v) + U (protože cp je lineární), je tedy zobrazení cpV/u dobře definované a lineární. Navíc je přímo z dennice matice zobrazení patrné, že matice cpV/u v indukované bázi na V/U je právě matice D (při počítání obrazů bázových prvků nám koeficienty z matice C přispívají pouze do třídy U). Charakteristický polynom indukovaného zobrazení cpV/u je tedy \D — k ■ E\, zatímco charakteristický polynom původního zobrazení^ je \A — k ■ E\ = \B — k ■ E\\D - k ■ E\. □ Důsledek. Nechť V je vektorový prostor nad K dimenze n a nechť cp : V -» V je lineární zobrazení, jehož spektrum obsahuje n prvků (tj. všechny kořeny charakteristického polynomu leží v K a počítáme je včetně násobnosti). Pak existuje posloupnost invariantních podprostorů {0} = Vo C Vi C • • • C V„ = V s dimenzemi dim Ví = i. V bázi u\, ..., u„ prostoru V takové, že Ví = (u\, ..., u{), má cp horní trojúhelníkovou matici: kde k] k„ je posloupnost prvků spektra. Důkaz. Konstrukci podprostorů Ví provedeme induktivně. Nechť ki, ..., kn jsou prvky ve spektru zobrazení cp, tzn. charakteristický polynom zobrazení cp je tvaru (k — k\)-■ ■ ■ ■ (k — kn). Zvolme Vo = {0}, V\ = (u\), kde u\ je libovolný vlastní vektor s vlastní hodnotou k\. Podle předešlé věty je charakteristický polynom zobrazení cpv/vx tvaru (k — k2).....(k — kn). Předpokládejme, že jsme již sestrojili lineárně nezávislé vektory u\, ..., uk a invariantní podpro-story Ví = («i ..., Ui), i = 1, ..., k < n, takové, že charakteristický polynom cpV/vk je tvaru (k — kk+i).....(k — kn) a cp(ui) e (ki ■ Ui + Ví-i) pro všechna i = 1, ..., k. Zejména tedy existuje vlastní vektor uk+i + Vk e V/Vk zobrazení cpV/vk s vlastní hodnotou kk+i. Uvažme nyní prostor Vt+i = {u\, ..., uk+i). Kdyby byl vektor uk+i lineární kombinací vektorů u\, ... ,uk, znamenalo by to, že uk+i + Vt je nulová třída v V/Vk, to ale není možné. Je proto dim Vk+i = k + 1. Zbývá studovat indukované zobrazení cpV/vk+l ■ Charakteristický polynom tohoto zobrazení je stupně n — k — 1 a. dělí charakteristický polynom zobrazení cp. Přitom doplněním vektorů u\, ..., uk+i do báze V dostaneme blokovou matici zobrazení cp s horní trojúhelníkovou submaticí B v horním levém rohu a nulou v levém dolním rohu, jejíž diagonální prvky jsou právě skaláry k\, ..., kk+i. Proto mají kořeny charakteristického polynomu indukovaného zobrazení požadované vlastnosti. □ se stejnou pravděpodobností. Pravděpodobnost setrvání ve druhém stavu je proto 1/2 a pravděpodobnost přechodu ze druhého stavu do prvního je 1/4 a do čtvrtého také 1 /4. Nyní bychom měli opět určit mocniny T" pro velká n e N. Uvážením podoby prvního a posledního sloupce ihned zjistíme, že 1 je vlastním číslem matice T. Velmi lehce lze najít vlastní vektory (l,0,0,0,0,0)r, (0,0,0,0,0, l)T příslušné vlastnímu číslu 1. Přechodem ke čtyřrozměrné podmatici matice T (vynecháním právě prvního a šestého řádku a sloupce) nalezneme poté zbylá vlastní čísla 1 1 l-VŠ 1 + VŠ 2' 4' 4 ' 4 ' Vzpomeneme-li si na řešení příkladu nazvaného Mlsný hazardér, nemusíme T" počítat. V tomto příkladu jsme dostali stejné vlastní vektory příslušné číslu 1 a ostatní vlastní čísla měla rovněž absolutní hodnotu ostře menší 1 (jejich přesné hodnoty jsme nevyužívali). Dostáváme tak totožný závěr, že proces se blíží k pravděpodobnostnímu vektoru (a,0, 0, 0,0, 1 -a)T , kde a e [0, 1 ] je dáno výchozím stavem. Protože pouze na první a šesté pozici výsledného vektoru mohou být nenulová čísla, stavy aA,AA; aa,AA; aA,aA; aa,aA po mnohonásobném křížení vymizí. Uvědomme si dále (plyne z předešlého a z příkladu Mlsný hazardér), že pravděpodobnost toho, aby proces končil AA, A A, se rovná relativní četnosti výskytu A v počátečním stavu. Případ (d). Nechť hodnoty a,b, c e [0, 1] udávají (při zachování pořadí) relativní četnosti výskytu dvojic alel AA, a A, aa v dané populaci. Chceme získat vyjádření relativních četností dvojic AA, a A, aa v potomstvu populace. Probíhá-li výběr dvojic pro páření náhodně, lze při velkém počtu jedinců očekávat, že relativní četnost páření jedinců s dvojicemi alel AA (u obou) je a2, relativní četnost páření jedinců, z nichž jeden má dvojici alel A A a druhý a A, je 2ab, relativní četnost páření jedinců s dvojicemi alel a A (u obou) je b2 atd. Potomek rodičů s dvojicemi AA, AA musí dvojici alel AA zdědit. Pravděpodobnost, že potomek rodičů s dvojicemi AA, a A bude mít AA, je zřejmě 1/2 a pravděpodobnost, že potomek rodičů s dvojicemi a A, a A bude mít A A, je pak 1 /4. Jiné případy pro potomka s dvojicí alel A A uvažovat nemusíme (pokud má jeden rodič dvojici alel aa, potomek nemůže mít dvojici AA). Relativní četnost výskytu dvojice alel AA v potomstvu 171 D. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU je tedy , 1,1, b2 a1 ■ 1 + 2ab---\- b ■ - = a + ab -\--. 2 4 4 Analogicky stanovíme postupně relativní četnosti dvojic a A aaa\ potomstvu ve tvarech b2 ab + bc + 2ac -\-- 2 a b2 c2 + bc + —. 4 Na tento proces můžeme nahlížet jako na zobrazení T, které transformuje vektor (a,b, c)T. Platí (a\ / a2 + ab + b2/4 b I h» \ab + bc + 2ac + b2/2 c) \ c2+bc + b2/4 Podotkněme, že za definiční obor (a pochopitelně i obor hodnot) T vlastně bereme pouze vektory ( a\ , kde a, b, c e [0, 1], a +b + c = 1. Chtěli bychom zadat operaci T pomocí násobení vektoru (a, b, c)T jistou konstantní maticí. To však očividně není možné (zobrazení T není lineární). Nejedná se tedy o Markovův proces a nelze zjednodušit určování, co se stane po velmi dlouhé době, jako v předešlých případech. Můžeme ale vypočítat, co se stane, když aplikujeme zobrazení T dvakrát po sobě. Ve druhém kroku dostáváme a2 + ab + b2/4 T : j ab + bc + 2ac + b2/2 ) h» j ŕ2 ) , kde c2 + bc + b214 b2\2 ( b2\ ( b2 t^=^a2 + ab + —j + í a2 + ab + — J í ab + bc + 2ac + — 1 / b2 + — I ab + bc + 2ac -\-- 4 V 2 ŕ2 = ( a2 + ab + + ( ab + bc + 2ac + — I I cz + bc + — ) + , -2\ / , b2\ 1 / u2 2 , „u i \ i „2 - 1 + + 2ac + — ) + 1,2 \ / uí + 2[az + ab + —j I cz + bc + — I + -1 ar + bc + 2ac + — , / , ^2\2 / b2\ ( , 62 £ = ( cz + 6c + — 1 + I ab + bc + 2a c + — j I c2 + bc + — 1/ &2 + — \ ab + bc + 2ac -\-- 4 V 2 3.37. Poznámky. Pokud existuje rozklad celého prostoru V na přímý součet vlastních podprostorů, existuje báze z vlastních podprostorů a předchozí věta vlastně neříká vůbec nic zajímavého. Její síla ovšem spočívá v tom, že jediným jejím předpokladem je existence dim V kořenů charakteristického polynomu (včetně násobností). To je ovšem zaručeno, je-li pole K algebraicky uzavřené, např. pro komplexní čísla C. Přímým důsledkem pak jsou zajímavá tvrzení o determinantu a stopě zobrazení: jsou vždy součinem, resp. součtem prvků ve spektru. Tuto skutečnost můžeme použít i pro všechny reálné matice. Můžeme je totiž vždy považovat za komplexní, spočítat potřebné, a protože determinant i stopa jsou algebraické výrazy v prvcích matice, výsledkem budou právě hledané reálné hodnoty. Když je na vektorovém prostoru V zadán skalární součin, můžeme v každém induktivním kroku důkazu předchozího tvrzení využít skutečnosti, že vždy V/Vk ~ V^ a V B u h-» (u + Vk) e V/Vk. To znamená, že v každé třídě rozkladu V/Vk existuje právě jeden vektor z Vk . Skutečně, tuto vlastnost má faktorový prostor podle libovolného podprostorů v unitárním prostoru - pokud u, v e V^ jsou v jedné třídě, pak jejich rozdíl patří do Vk n VkL, tedy jsou stejné. Můžeme tedy jako reprezentanta uk+i nalezené třídy, tedy vlastního vektoru zvolit právě vektor z V^. Touto modifikací dojdeme k ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v tvrzení o triangulovatelnosti. Proto existuje i taková ortonormální báze: Důsledek (Schurova věta o ortogonální triangulovatelnosti). Nechť cp : V -» V je libovolné lineární zobrazení (reálného nebo komplexního) unitárního prostoru s m = dim V vlastními hodnotami (včetně násobonosti). Pak existuje ortonormální báze prostoru V taková, že cp v ní má horní trojúhelníkovou matici s vlastními čísly X\, ... ,Xm na diagonále. 3.38. Věta. Nechť cp V -» V je lineární zobrazení. Součet kořenových prostorů nXl,...,nXt příslušných různým vlastním hodnotám X\ ..., Xk je přímý. Navíc je pro každou vlastní hodnotu X dimenze podprostorů 1ZX rovna její algebraické násobnosti. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí přes počet k kořenový vých prostorů. Předpokládejme, že tvrzení vždy platí pro méně než k prostorů a že pro vektory u\ e lZXl, ..., uk 0 je dimenze Pk-\. Z definice plyne, že Pk_\ c Ker cp, tj. vždy cp(ek- l) Předpokládejme, Pk-i = j = 1, dejme 0. ze cp(Pk_2), nutně existují v ., pk-i, takové, že cp(ek~2) Pk- V. Protože vektory e- k-l e) l. Předpoklá- axe\ 1 + '' + aPk-iePk_i + ■ „k-2 >\ex + ••• + . ) ek~2 'pt-iePk-i 0. Aplikací zobrazení cp na tuto lineární kombinaci získáme 0, proto jsou všechny bj = 0. ne?"1 + + ek~l Lze ukázat (využitím a + b + c = 1), že b2 b2 b2 tl=a2+ab-\--, ŕ? = ab + bc + 2ac-\--, ^=c2 + bc-\--, 2 4 2 4 tj- a2 + ab + b2/4 \ / a2 + ab + b2/4 T : | ab + bc + 2ac + b2/2 \ab + bc + 2ac + b2/2 c2 + bc + b2/4 j \ c2 + bc + b2/4 Získali jsme tak překvapivý výsledek, že dalším aplikováním transformace T se vektor obdržený v prvním kroku nezmění. To znamená, že výskyt uvažovaných dvojic alel je po libovolně dlouhé době totožný jako v první generaci potomstva. Pro velkou populaci jsme tak dokázali, že evoluční vývoj by se realizoval během jediné generace, kdyby nedocházelo k mutacím nebo k selekci. □ 3.38. Nechť jsou dány dvě urny, které obsahují dohromady n bílých a n černých koulí. V pravidelných časových intervalech je z obou uren vylosována jedna koule a přemístěna do druhé urny, přičemž počet koulí v obou urnách je na začátku (a tedy po celou dobu) právě n. Zadejte tento Markovův proces pravděpodobnostní maticí přechodu T. Řešení. Tento příklad se používá ve fyzice jako model prolínání dvou nestlačitelných kapalin (již v roce 1769 ho zavedl D. Bernoulli) nebo analogicky jako model difúze plynů. Stavy 0,1, ... ,n budou odpovídat kupř. počtu bílých koulí v jedné pevně zvolené urně. Tento údaj totiž současně zadává, kolik černých koulí je ve zvolené urně (všechny ostatní koule jsou pak ve druhé z uren). Pokud v jistém kroku dojde ke změně stavu j e {1, ...,«} na j — 1, znamená to, že ze zvolené urny byla vytažena bílá koule a z druhé černá. To se stane s pravděpodobností L . L = íl n n n2 Přechodu ze stavu j e {0, ..., n—1} do j+1 odpovídá vytažení černé koule ze zvolené urny a bílé z té druhé s pravděpodobností n ~ j n- j (n- j)2 Soustava zůstane ve stavu j e {1, ..., n — 1}, jestliže z obou uren byly vytaženy koule stejné barvy, což má pravděpodobnost j n - j n - j j 2j (n - j) + n n n n Pak ale i a, = 0, protože se jedná o kombinaci bázových Dodejme, že ze stavu 0 se nutně (s pravděpodobností 1) přechází do stavu 1 a že ze stavu n se s jistotou přechází do stavu n — 1. Uvážením 173 D. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU výše uvedeného dostávame hledanou matici í° T = - nL 2- l(n - 1) 0 (n - l)2 0 0 VO 0 o o 22 2 • 2(n - 2) 0 0 0 o o 2 • (n - 2)2 22 0 0 0 0 (n - l)2 2- (n - 1)1 1 pro pořadí stavů 0, 1, ..., n. Při užití tohoto modelu ve fyzice nás samozřejmě zajímá složení uren po uplynutí určité doby (po daném počtu výměn v závislosti na předešlém složení uren). Bude-li počáteční stav např. 0, můžeme pomocí mocnin matice T sledovat, s jakou pravděpodobností přibývají ve zvolené urně bílé koule. Také lze potvrdit očekávaný výsledek, že počáteční rozdělení koulí bude ovlivňovat jejich rozdělení po delší době zanedbatelným způsobem. Kdybychom jednotlivé koule očíslovali, místo výběru po jedné kouli z uren vylosovali nějaké z čísel 1, 2, ..., 2n a kouli, jejíž číslo bylo vytaženo, přemístili do druhé urny, obdrželi bychom Markovův proces se stavy 0, 1, ..., 2n (počet koulí ve zvolené urně), kdy se tak už nerozlišuje barva koulí. Tento Markovův řetězec je rovněž ve fyzice důležitý. (P. a T. Ehrenfestovi jej zavedli v roce 1907.) Používá se jako model výměny tepla mezi dvěma izolovanými tělesy (teplota je reprezentována počtem koulí, tělesa urnami). □ 3.39. Dva hráči A, B hrají o peníze opakovaně jistou hru, která může skončit pouze vítězstvím jednoho z hráčů. Pravděpodobnost výhry hráče A je v každé jednotlivé hře p e [0, 1 /2) a oba sází vždy (v libovolné hře) jen 1 Kč, tj. po každé hře s pravděpodobností p dá 1 Kč hráč B hráči A a s pravděpodobností 1 — p naopak 1 Kč dá hráč A hráči B. Hrají ovšem tak dlouho, dokud jeden z nich nepřijde o všechny peníze. Jestliže má hráč A na začátku x Kč a hráč B má y Kč, určete pravděpodobnost, že hráč A vše prohraje. Řešení. Tato úloha se nazývá Ruinovaní hráče. Jedná se o speciální Markovův řetězec (viz také příklad Mlsný hazardér) s mnoha důležitými aplikacemi. Hledaná pravděpodobnost činí 1 (3.6) 1 x+y ' Povšimněme sijakáje tato hodnota pro konkrétní volby p,x, y. Kdyby hráč B chtěl mít téměř jistotu a požadoval, aby pravděpodobnost, že hráč A s ním prohraje 1 000 000 Kč, byla alespoň 0,999, potom stačí, vektorů. Celkem jsme tedy ověřili lineární nezávislost všech (2pk-i zvolených vektorů. Doplňme je do báze 0 0 pr v „k-l „k-2 ek~l Pk-i ek~2 ek~2 Pk-l ' »-! + !' ^"2 "Pk-2 )storu Pk-i- Navíc jsou obrazy přidaných bázových prvků nutně tedy musejí být lineárními kombinacemi bázo- „k-l Q/ý zh prvků e\ «?e|ítory ek~2+1, ek~22 vektory ek~2 pti. Můžeme proto zaměnit zvolené cp(ek~2).Tímdocí-2 patří do jádra zobrazení cp. Předpokládejme to přímo o zvolené bázi (1). Předpokládejme dále, že již máme sestrojenu bázi pod-prostoru Pk-i takovou, že ji můžeme poskládat do schématu Qtfme, že doplněné vektory do báze Pk -i ' -l ' „*-3 k-l ek~l p k-i k-2 k-2 k-2 Pk-l' e»-l + ľ • • • ' "pk-2 ek-3 ek~3 Pk-l' e»-i + ľ „k-l „k-l ek~3 ek~3 Pk-2' Pk-2 + ľ „k-l „k-l "Pk-3 .. - .v „ .. _ ,v „ .. _ k l k l 1 '- - ■' Pk-l' ept-l+ľ- • •' e»-2' Pk-2 + ľ- ■ ■' Pk-3' ■ ■ Pk-l kde hodnota zobrazení cp na libovolném bázovém vektoru se nachází nad ním, nebo je nulová, pokud nad zvoleným vektorem báze již nic není. Pokud je P\-i ^ V, opět musí existovat vektory e\~l~l, ..., ekp~^~l, které se zobrazují na „k-l vektory , epk_t a můžeme je doplnit do báze řekněme ek-l-\,...,ek-1-1 'Pk-t+l' • • • ' "pk-e-i' Přitom postupným odečítáním hodnot iterací zobrazení cp na těchto vektorech dosáhneme opět toho, že doplněné vektory do báze Pk-i-i budou ležet v jádru cp a analogicky jako výše ověříme, že skutečně dostaneme bázi Pk_i_\. Po k krocích získáme bázi celého V, která má vlastnosti uvedené pro bázi prostoru Pk-i- Jednotlivé sloupce výsledného schématu pak generují hledané podprostory Ví a navíc jsme přímo našli báze těchto podprostorů ukazující, že příslušná zúžení cp jsou cyklická zobrazení. □ 3.40. Důkaz Jordánovy věty. Nechť ki,...,kk jsou J.<.- všechny různé vlastní hodnoty zobrazení cp. Z předpokladů Jordánovy věty plyne, že V = TZ^l © • • • ®1Zxk. Zobrazení cpi = (cp\-jix. — • id^.) jsou nilpotentní a proto je každý z kořenových prostorů přímým součtem prostorů na nichž je zúžení zobrazení cp — k,■ ■ idy cyklické. Matice těchto zúžených zobrazení na Prs jsou Jordánovy bloky příslušné k nulové vlastní hodnotě, zúžené zobrazení cp\prs má proto za matici Jordánův blok s vlastní hodnotou Pro důkaz Jordánovy věty zbývá dokázat tvrzení o jednoznačnosti. Protože diagonální hodnoty k{ jsou dány jako 174 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET kořeny charakteristického polynomu, je jejich jednoznačnost zřejmá. Vyjádříme rozměry jednotlivých Jordánových bloků prostřednictvím hodností rk(ki) zobrazení (cp — k{ • idy)*. Tím bude jasné, že až na pořadí jsou bloky jednoznačně určeny. Naopak, přehození bloků odpovídá přečíslování vektorů báze, lze je tedy získat v libovolném pořadí. Je-li ý cyklický operátor na n-rozměrném prostoru, pak defekt iterovaného zobrazení xjŕ je k pro 0 < k < n a je « pro všechna k > n. Odtud plyne, že pokud matice J zobrazení cp obsahuje dk (k) Jordánových bloků řádu k s vlastní hodnotou k, pak defekt matice (J — k ■ E)1 je dx(k) + 2d2(k) + . ..ldt(k) + ídl+l(k) + ... Odtud spočítáme n - n(k) = dx(X) + 2d2(k) + --- + £dl(k) + £dl+1(k) + .. dk(k) = rk-X(k) - 2rk(k) + rk+l(k) (kde poslední řádek vznikne kombinací předchozího pro hodnoty l = k - 1, k, k + 1). 3.41. Poznámka. Důkaz věty o existenci Jordánova kano-pjj^ nického tvaru byl sice konstruktivní, nedává c,x^y^' nám ale dokonale efektivní algoritmický postup ^ pro jejich hledání. Nyní shrneme již odvozený N> i*-^* - postup explicitního výpočtu báze, v níž má dané zobrazení cp : V -» V matici v kanonickém Jordánově tvaru. (1) Najdeme kořeny charakteristického polynomu. (2) Jestliže jich je méně než n = dim V, včetně násobností, kanonický tvar neexistuje. (3) Je-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, získáme bázi V z vlastních vektorů a v ní má cp diagonální matici. (4) Nechť k je vlastní hodnota s geometrickou násobností menší než algebraickou a v\, ..., vk nechť jsou příslušné vlastní vektory. To by měly být vektory na horním okraji schématu z důkazu věty 3.39, je ovšem nutné najít vhodnou bázi aplikacemi iterací cp — k ■ idy. Zároveň přitom zjistíme, ve kterém řádku se vektory nacházejí, a najdeme lineárně nezávislá řešení u>; rovnic (cp — k id) (x) = Ví z řádků pod nimi. Postup opakujeme iterativně (tj. pro u>; atd.). Najdeme tak „řetízky" bázových vektorů zadávajících podprostory, kde cp — k id je cyklické. Postup je praktický pro matice, kde násobnosti vlastních hodnot jsou malé, nebo aspoň diskutované stupně nilpotentnosti jsou malé. Např. pro matici (2 0 ŕ A = 0 2 1 \0 0 2> dostaneme dvourozměrný podprostor vlastních vektorů ((1,0,0), (0,1,0)). Potřebujeme proto najít řešení rovnic (A—2E)x = (a, b, 0)T pro vhodné konstanty a, b. Tento systém je ovšem řešitelný pouze pro a = b a jedno z možných řešení je v = (0, 0, 1), aby měl 346 Kč, je-li p = 0, 495 (či 1 727 Kč, je-li p = 0, 499). Proto je ve velkých kasinech možné, aby „vášniví" hráči mohli hrát téměř spravedlivé hry. □ 3.40. V rámci jisté společnosti fungují dvě navzájem si konkurující oddělení. Vedení společnosti se rozhodlo, že každý týden bude poměřovat relativní (vzhledem k počtu zaměstnanců) zisky dosažené těmito dvěma odděleními. Do oddělení, které bude úspěšnější, pak budou přeřazeni dva pracovníci z druhého oddělení. Tento proces má probíhat tak dlouho, až jedno z oddělení zanikne. Získali jste zaměstnání v této společnosti a můžete si vybrat jedno z těchto dvou oddělení, kde budete pracovat. Chcete si zvolit to, které nebude v důsledku vnitropodnikové konkurence zrušeno. Jaká bude Vaše volba, když jedno oddělení má nyní 40 zaměstnanců, druhé 10 a když odhadujete, že to v současnosti menší z nich bude mít větší relativní zisky v 54 % případů? Další využití Markovových řetězců viz příloha za kapitolou. E. Unitární prostory Již v minulé kapitole jsme definovali skalární součin v reálných vektorových prostorech (2.40), v této kapitole rozšiřujeme jeho definici i na komplexní vektorové prostory (3.23). 3.41. Grupy O(n) a U(n). Uvážíme-li všechna lineární zobrazení z M3 do M3, která zachovávají daný skalární součin, tedy vzhledem k definicím délky vektorů a odchylky dvou vektorů lineární zobrazení zachovávající délky a úhly, tak tato tvoří zřejmě vzhledem ke skládání zobrazení grupu (viz 1.1; složení dvou takových zobrazení je z definice zobrazení zachovávající délky a úhly, jednotkovým prvkem je identické zobrazení, inverzním prvkem k danému zobrazení je zobrazení k němu inverzní - díky podmínce na zachvávání velikostí existuje). Matice těchto zobrazení tedy tvoří vzhledem k násobení matic grupu (viz), říkáme jí ortogonální grupa, značíme 0(n). Je to podgrupa všech invertibilních zobrazení z W do W. Požadujeme-li navíc po maticích zobrazení, aby měly determinant roven jedné, hovoříme o speciální ortogonální grupě SO(n) (obecně může být determinantem matice z 0(n) číslo 1 či — 1). Obdobně definujeme unitární grupu U(n) jakožto grupu všech (komplexních) matic, které odpovídají komplexně lineárním zobrazením z C" do C", která zachovávají daný skalární součin v unitárním prostoru. Stejně pak SU(n) značí podgrupu matic v U(n) s jednotkovým determinantem (obecně může být determinantem libovolná komplexní jednodnotka). 175 E. UNITÁRNÍ PROSTORY 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 3.42. Uvažujme vektorový prostor V funkcí M -» C. Určete, zdaje zobrazení

1. Řešení. Budeme dokazovat sporem. Předpokládáme tedy, že všechny vlastní podprostory operátoru C mají dim = 1. Pak můžeme pro libovolný vektor u psát u = ^ ckuk, kde uk jsou lineárně nezávislé vlastní vektory operátoru C vlastním číslem kk (a.ck = u.uk) Pro tyto vlastní vektory pak zjevně platí 0 = [A, C]uk = ACuk — CAuk = kkAuk — C(Auk) Odtud vidíme, že Auk je vlastním vektorem matice C s vlastní hodnotou kk. To ovšm znamená, že Auk = k£uk pro nějaké číslo k£. Stejně tak odvodíme Buk = k^uk pro nějaké číslo kf. Pro komutátor matic A a S pak dostáváme [A, B]uk = ABuk - BAuk = k^k?uk - k?k^uk = 0 a = b = 1. Celá hledaná báze pak je (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0). Všimněme si, že jsme měli spoustu voleb a bazí s požadovanými vlastnostmi je tedy mnoho. 5. Rozklady matic a pseudoinverze V minulé části jsme s soustředili na geometrický popis „ struktury zobrazení. Teď naše výsledky přeložíme do jazyku tzv. rozkladů matic, což je obzvlášť důležité téma pro nume-•"ííi^ľí rické postupy a maticový počet obecně. I při počítání s reálnými čísly užíváme pro zjednodušení rozklady na součiny. Nejjednodušším je vyjádření každého reálného čísla jednoznačně ve tvaru a = sgn(út) • \a\, tj. jako součin znaménka a abolutní hodnoty. V dalším textu si uvedeme stručně přehled několika takových rozkladů pro různé typy matic, které bývají nesmírně užitečné při numerických výpočtech s maticemi. Například jsme vhodný rozklad pro pozitivně semidefmitní symetrické matice využili v odstavci 3.31 pro konstrukci odmocniny z matice. 3.42. LU-rozklad. Začneme přeformulováním několika výsledků, které jsme už dávno odvodili. V odstavcích 2.7 a 2.8 jsme upravovali matice ¥^u% nad skaláry z libovolného pole na řádkový schodovitý tvar. K tomu jsme používali elementární úpravy, které spočívaly v postupném násobení naší matice invertibilními dolními trojúhelníkovými maticemi Pí, které postihovaly přičítání násobků řádků pod právě zpracovávaným. Předpokládejme pro jednoduchost, že naše matice A je čtvercová a že při Gausově eliminaci nejsme nuceni přehazovat řádky, a proto všechny naše matice Pt mohou být dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách. Konečně, stačí si povšimnout, že inverzní matice k takovýmto Pt jsou opět dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách a dostáváme U = P ■ A = Pk ■ ■ ■ Pi ■ A kde U je horní trojúhelníková matice a tedy A = L-U kde L je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále a U je horní trojúhelníková. Tomuto rozkladu se říká LU-rozklad matice A. V případě obecné matice můžeme při Gausově eliminaci na řádkově schodovitý tvar potřebovat navíc permutace řádků, někdy i sloupců matice. Pak dostáváme obecněji A = P • L • U • Q, kde P a. Q jsou nějaké permutační matice. 176 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.43. Poznámky. Přímým důsledkem Gausovy eliminace bylo také zjištění, že až na volbu vhodných bází na definičním oboru a oboru hodnot je každé zobrazení / : V -» W zadáno maticí v blokově diagonálním tvaru s jednotkovou maticí, s rozměrem daným dimenzí obrazu /, a s nulovými bloky všude kolem. To lze přeformulovat takto: Každou matici A typu m/n nad polem skalárů K lze rozložit na součin Q, kde P a Q jsou vhodné invertibilní matice. Pro čtvercové matice jsme v 3.32 ukázali při diskusi vlastností lineárních zobrazení / : V -» V na komplexních vektorových prostorech, že každou čtvercovou matici A dimenze m umíme rozložit na součin A = P ■ B ■ P~\ kde B je blokově diagonální s Jordánovými bloky příslušnými k vlastním číslům na diagonále. Skutečně jde o pouhé přepsání Jordánovy věty, protože násobení maticí P a její inverzí z opačných stran odpovídá v tomto přípaě právě změně báze na vektorovém prostoru V a citovaná věta říká, že ve vhodné bázi má každé zobrazení Jordánův kanonický tvar. Obdobně jsme také při diskusi samoadjungovaných zobrazení dokázali, že pro reálné symetrické nebo komplexní Hermiteovské matice existuje vždy rozklad na součin A = P ■ B ■ P*, kde B je diagonální matice se všemi (vždy reálnými) vlastními čísly na diagonále, včetně násobností. Skutečně, jde opět o součin s maticemi vystihující změnu báze, nicméně připouštíme nyní pouze změny mezi mezi ortonormálními bázemi a proto i matice přechodu P musí být ortogonální. Odtud P'1 = P*. Pro reálná ortogonální zobrazení jsme odvodili obdobné vyjádření jako u symetrických, pouze naše B bude blokově diagonální s bloky rozměru dva nebo jedna vyjadřujícími buď rotaci nebo zrcadlení nebo identitu vzhledem k příslušným podprostorům. 3.44. Věta o singulárním rozkladu. Nyní se vrátíme k obecným lineárním zobrazením mezi (obecně různými) vektorovými prostory. Jestliže na nich je definován skalární součin a omezíme se přitom na ortonormální báze, musíme postupovat o hodně rafinovaněji, než v případě bazí libovolných: Věta. Nechť A je libovolná matice typu m/n nad reálnými nebo komplexními skaláry. Pak existují čtvercové unitární matice U a V dimenzí m a n, a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D dimenze r, r < min{m, n}, takové, Že A = USV*, S=(DQ £ To ovšem znamená [A,B]u = [A,B]J2ckUk ~ J^ck[A,B]uk = 0 k k a protože u bylo libovolné, znamená to, že [A, B] = 0, což je spor. □ 3.45. Použití v kvantové fyzice. V kvantové fyzice se fyzikální ve-ličině nepřiřazuje číselná hodnota, tak jak tomu je v klasické fyzice, nýbrž hermiteovský operátor. To není nic jiného, než hermiteovsé zobrazení, které ovšem může vést, a často taky vede, mezi unitárními prostory nekonečné dimenze (Můžeme si to představit třeba jako matici nekonečného rozměru). Vektory v tomto unitárním prostoru potom reprezentují stavy daného fyzikálního systému. Při měření dané fyzikální veličiny můžeme dostat jen hodnoty, které jsou vlastními hodnotami příslušného operátoru. Například místo souřadnice x máme operátor souřadnice x. Jeli stav systému popsán vektorem v, pak platí x (v) = xv, tzn. je to násobení vektoru reálným číslem x. Na první pohled je tento hermiteovský operátor jiný než naše příklady z konečné dimenze. Evidentně je totiž každé reálné číslo vlastním číslem (x má tzv. spojité spektrum). Podobně, místo rychlosti (přesněji hybnosti) máme operátor p = —i-^r-Vlastní vektory jsou řešení diferenciální rovnice —i^r = Au. I v tomto případě je spektrum spojité. To je vyjádřením faktu, že příslušná fyzikální veličina je spojitá (může nabývat libovolné reálné hodnoty). Naproti tomu máme fyzikální veličiny, např. energie, které mohou nabývat jen diskrétní hodnoty (energie je kvantována). Příslušné operátory jsou pak opracdu podobné hermiteovským maticím, jen mají nekonečný počet vlastních čísel. 3.46. Ukažte, že x a p jsou hermiteovské a že [i, p] = i Řešení. Pro libovolný vektor v platí „ „ „ „ „ „ dv d(xv) [x, p]v = xpv — pxv = x(—i—) + i- dx dx IV a odtud už přímo vyplývá naše tvrzení. □ 3.47. Ukažte [i — p, x + p] = 2i Řešení. Evidentně platí [x, x] — 0 a [p, p] = 0 a zbytek vyplývá z linearity komutátoru a z minulého příkladu. □ 177 E. UNITÁRNÍ PROSTORY 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 3.48. Jordánův tvar. Najděte Jordánův tvar matice A a napište příslušný rozklad. Jaká je geometrická interpretace rozkladu této matice? ' -i ŕ -6 4y -i ŕ -4 3. i) A ii) A Řešení. i)Nejprve spočítáme charakteristický polynom matice A -1 \A - XE\ X 1 4-X X-3X + 2 Vlastní čísla matice A jsou kořeny tohoto polynomu, to znamená Xi_2 = 1,2. Prtotože matice je řádu dva a máme dvě různé vlastní hodnoty, je Jordánův tvar diagonální matice J = ^ ^ ■ Vlastní A - E)x = vektor (x, y) příslušný vlastní hodnotě 1 splňuje 0 6 3^ i^yj' ^' _^X = ^' ^° Jsou Právě násobky vektoru (1,2). Podobně zjistíme, že vlastním vektorem k vlastní hodnotě 2 je (1, 3). Matici P pak dostaneme napsáním těchto vlastních vektorů do sloupců, tj. P = ( ^ ^ J. Pro matici A pak máme A v2 3, matice k P má tvar f-1 1 1 6 4 P ■ J ■ P 1. Inverzní a dohromady pak dostáváme 1 1 2 3 1 0 0 2 Tento rozklad nám říká, že matice A určuje takové lineární zobrazení, které má v bázi vlastních vektorů (1,2), (1,3) výše uvedený diagonální tvar. To znamená, že ve směru (1,2) se nic neděje a ve směru (1, 3) se každý vektor protáhne na svůj dvojnásobek. ii) Charakteristický polynom matice A je v tomto případě \A - XE\ 1 - X 1 -4 3 - X Dostáváme tedy dvojnásobný kořen X (x, y) splňuje 0 = (A — E)x - -- X - 2X + 1 = 0 1 a příslušný vlastní vektor -2 1 -4 2 To jsou, opět jako v minulém příkladu, násobky vektoru (1, 2). To, že řešením této rovnice nejsou dva lineárně nezávislé vektory, říká, že Jordánův tvar v tomto případě nebude diagonální, ale bude to matice 1 1 0 1 Bázi, ve které má matice A tento tvar, tvoří vlastní vektor (1,2) a vektor, který se na tento vektor zobrazí zobrazením A — E. Je tedy řešením soustavy rovnic -2 1 -4 2 -2 1 0 0 a r je hodnost matice A A*. Přitom je S určena jednoznačně až na pořadí prvků a prvky diagonální matice D jsou druhé odmocniny vlastních čísel komplexními prostory se standardními skalárními součiny, zadané maticí A ve standardních bazích. Tvrzení věty můžeme přeformulovat tak, že existují ortonormální báze na W a W" ve kterých bude mít cp matici S z tvrzení věty. Jak jsme viděli dříve, matice A* A je pozitivně semidefi-nitní. Proto má samá reálná nezáporná vlastní čísla a existuje ortonormální báze w v W, ve které má příslušné zobrazení cp*ocp diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Jinými slovy, existuje unitární matice V taková, že A*A = VBV* pro reálnou diagonální matici s nezápornými vlastními čísly (di, d2, ..., dr, 0, ..., 0) na diagonále, d{ 7^ 0 pro všechny i = 1, ..., r. Odtud B = V*A*AV = (AVT(AV). To je aleje ekvivalentní tvrzení, že prvních r sloupců matice A V je ortogonálních a zbývající jsou nulové, protože mají nulovou velikost. Označme nyní prvních r sloupců v\, ..., vr e W". Platí tedy (ví,Ví) = dh i = \,...,r, a normované vektory u i = -jjVi tvoří ortonormální systém nenulových vektorů. Doplňme je na ortonormální bázi u = u 1, ..., un celého Km. Vyjádříme-li naše původní zobrazení cp v bazích w na K" a u na W", dostáváme matici ~J~B. Přechody od standardních bází k nově vybraným odpovídají násobení zleva ortogonálními maticemi U a zprava V~l = V*. Pokud je m > n, můžeme aplikovat předchozí část důkazu na matici A*. Odtud pak přímo plyne požadované tvrzení. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, jsou všechny naše kroky v důkazu výše také realizovány v reálném oboru. □ Tento důkaz věty o singulárním rozkladu je konstruktivní a můžeme jej opravdu použít pro výpočet unitárních, resp. ortogonálních, matic U, V a diagonálních nenulových prvků matice S. 3.45. Geometrická interpretace. Diagonálním hodnotám matice D z předchozí věty se říká singulární hodnoty matice A. Přeformulujme si tuto větu v reálném případě geometrietěji. 178 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Pro příslušné lineární zobrazení

(i 75 R Všv~ ~'V2 V V5 Přibližné řešení pak splňuje Rx = Q Tb a to v našem případě znamená 5x + 9v = 9 (přibližné řešení tedy není jednoznačné). QR rozklad matice A je □ 1 (5 9) 3.56. Minimalizujte \\Ax — b\\ pro A 0 I a napište QR rozklad matice A. Řešení. Normalizovaný první sloupec matice A je 000 2 J — 1 |. Z druhého sloupce odečteme jeho složku ve směru e\. Máme 3 76 a proto dostaneme ■1 s diagonální maticí D všech nenulových singulárních čísel, a B je matice splňující předpoklady. Zjevně A A a tedy dostáváme A1" = A^SAA1" Odtud vidíme, že E 0\ E 0 o 0/ vo o D~ B D-' Q pro vhodné matice P, Q a R. Nyní však P\ /Z) 0\ _ / £ ß fl/U 0)_lßZ) SA má být hermiteovská, proto je Q D = 0 a tedy i Q = 0 (matice D je diagonální a invertibilní). Obdobně požadavek na hermitovskost AB vede na nulovost P. Zároveň ještě platí B = BAB D~ 0 D 0 D~ 0 Na pravé straně ale je v pravém dolním rohu nula, proto také R = 0 a tvrzení je dokázáno. (4): Uvažme zobrazení^ : K" -> Km,x Ax, a přímé součty K" = (Ker cp)1- © Kercp, Km = Imcp © (Imcp)-1. Zúžené zobrazení

Im

, b2 e (Imcp)^. Přitom ale ve zvolené bázi je zobrazení (p(~l\ původně zadané ve standardních bazích pseudoinverzí A(_1), dáno maticí 5' z věty o singulárním rozkladu, zejména je ip( >(\mip) = (Ker(p) a D matici zúžení (p\^ ^(imy)1- Je nulové- Je tedy skutečně (pocp(-l>(b) =(p((p(-l>(z,)) = z a důkaz je ukončen. (5) Evidentně, z rovnosti Ax = b pro pevně zvolené x e K" plyne b = AAfAx = AA^b. Jde proto o podmínku nutnou. Na druhou stranu, jestliže tato podmínka platí, pak můžeme pro uvedený výraz x spočíst Ax = A(A*b + (E - AfA)M) = b + (A — AAfA)M = b. Hodnost matice A — A1" A přitom dává správně velký obraz příslušného zobrazení podle Frobeniovy věty o řešení systému lineárních rovnic, proto takto dostáváme řešení všechna. □ 182 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Poznámka. Lze také ukázat, že matice A( ^ minimalizuje výraz ||AA(_1) - E\\2 tj. součet kvadrátů všech prvků uvedené matice. Z bodu (4) předchozí věty plyne, že matice AA1" je maticí kolmé projekce z vektorového prostoru W, kde n je počet řádků matice A na podprostor generovaný sloupci matice A (tato interpetace má samozřejmě smysl pouze pro matice mající více řádků než sloupců). Dále pro matice A, jejichž sloupečky tvoří nezávislé vektory, má smysl výraz (ATA)~lÁr a není těžké ověřit, že tato matice splňuje všechny vlastnosti z (1) a (2) z předchozí věty, jedná se tedy o pseudoinverzi k matici A. 3.50. Lineární regrese. Aproximační vlastnost (3) před- chozí věty je velice užitečná v případech, kdy máme najít co nejlepší přiblížení (neexistujícího) řešení přeurčeného systému Ax = b, kde A je reálná matice typu m/n a m > n. Např. máme experimentem dáno mnoho naměřených reálných hodnot b j a chceme najít lineární kombinaci několika funkcí f i, která bude co nejlépe aproximovat hodnoty b j. Skutečné hodnoty zvolených funkcí v bodech y j e M zadají matici clí j = fj(yi), jejíž sloupce jsou dány hodnotami jednotlivých funkcí /} v uvažovaných bodech, a naším úkolem je tedy určit koeficienty x j e M tak, aby součet kvadrátů odchylek od skutečných hodnot m n m n J> - (J]x7/7(y;)))2 = J> - (J>7*;))2 i=i j=i i=i j=i byl minimální. Jinými slovy, hledáme lineární kombinaci funkcí fi takovou, abychom „dobře" proložili zadané hodnoty bi. Díky předchozí větě jsou hledané optimální koeficienty A(~1]b. Abychom měli konkrétnější představu, uvažujme pouze dvě funkce fi(x) = x, f2(x) = x2 a předpokládejme, že „naměřené hodnoty" jejich neznámé kombinace g(x) = y\x + y2x2 v celočíselných hodnotách pro x mezi 1 a 10 jsou bT = (1.4410.644.4814.5631.1239.2054.8871.28 85.92104.16) Tento vektor vzniknul výpočtem hodnot x + x2 v daných bodech posunutých o náhodné hodnoty v rozmezí ±8. Matice A = (bij) je tedy v našem případě rovna T _ íl 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \ vl 4 9 16 25 36 49 64 81 100j a hledané koeficienty v kombinaci jsou = P ■ Výsledné proložení je možné dobře vidět na obrázku, kde zeleně jsou proloženy zadané hodnoty b lomenou čarou, zatímco červený je graf příslušné kombinace g. Výpočty byly provedeny v systému Maple pomocí příkazu leastsqrs(B,b). Tím jsme vyrobili ortogonální vektor, který normujeme a dostaneme e2 = "jf I 1 I- Třetí sloupec matice A je už lineárně závislý (můžeme ověřit spočítáním determinantu). Hledaná sloupcově -ortogonální matice je tedy Dále spočítáme « = ^=*(o ^ t :2!) j_ (6 -3 -3 \ Vě [o 373 -3737 Řešením rovnice Rx = QTb]tx = y = z- Násobky vektoru (1,1,1) tedy minimalizují \\Ax — b\\. Zobrazení určené maticí A je projekce na rovinu s normálovým vektorem (1,1, 1). □ 3.57. Lineární regrese. Znalosti, které jsme se v této kapitole naučili lze s výhodou použít v praxi při řešení problémů pomocí lineární regrese. Jde o to nalézt nejlepší přiblížení nějaké funkční závislosti pomocí lineární funkce. Máme tedy zadánu funkční závislost v několika bodech (například zkoumáme hodnotu majetku lidí v závislosti na jejich inteligenci, na majetku rodičů, počtu společných známých s panem Kalouskem,...), tj. f(a\, ..., a*) = yi,..., f(a\, a\, ..., ak) = yk,k > n (mámetedy více rovnic než neznámých) a chceme tuto závislost „co nejlépe" odhadnout pomocí lineární funkce, tj. vyjádřit hodnotu majetku jakožto lineární funkci f(x\, ... ,xn) = b\X\ + b2x2 + ■ ■ ■ + bnxn + c. Pokud navíc definujeme „co nejlépe" tím, že chceme minimalizovat k / « \ 2 ei v< e(/';v; 1 ()) v závislosti na reálných konstantách b\, ..., bn, c. Našim cílem je najít takovou lineární kombinanci sloupců matice A = (ap (s koeficienty b\, ...,&„), která bude mít co nej menší vzdálenost od vektoru (yi, ..., yk) v M.k, tedy vlastně najít kolmou projekci vektoru 183 F. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE (yi, ..., yk) na podprostor generovaný sloupci matice A. Podle věty 3.49 je touto projekcí vektor (b\, bn)T = A(~l\yi, bn). 3.58. Metodou nejmenších čverců řešte soustavu 2x + y + 2z = 1 x + y + 3z = 2 2x + y + z = 0 x + z, = -1 Řešení. Naše soustava nemá řešení, neboť její matice má hodnost 3, rozšířená matice soustavy pak hodnost 4. Nejlepším přiblížením vektoru b = (1,2,0,-1) tvořeném pravými stranami rovnic soustavy můžeme tedy dle věty 3.49 dosáhnout pomocí vektoru A(~l)b. (AA{~l)b je pak ono nejlepší přiblížení, neboli kolmá projekce vektoru b na prostor generovaný sloupci matice A.) Protože sloupce matice A jsou lineárně nezávislé, je její pseudo-inverzní matice určena vztahem (AT A)~l AT. Je tedy Pokud jste s Maplem (nebo jiným podobným softwarem) spřáteleni, zkuste si zaexperimentovat s podobnými úlohami. A[~l}b = (-6/5,7/3, 1/3)7 Projekce (nejlepší přiblížení k sloupci pravých stran) je pak vektor (3/5,32/15,4/15,-13/15). □ 10O 184 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET G. Doplňující příklady k celé kapitole 3.59. Model vývoje populace velryb. Pro vývoj populace jsou podstatné samice a u nich není důležitý věk, ale plodnost. Z tohoto hlediska můžeme samice rozdělit na novorozené neboli juve-nilní, tj. dosud neplodné samice, mladé plodné samice, dospělé samice s nej větší plodností a samice postmenopauzní, které již plodné nejsou, ale mají velký význam při ochraně mláďat nebo vyhledávání zdrojů potravy. Budeme modelovat vývoj takové populace v čase. Za časovou jednotku zvolíme dobu dosažení dospělosti. Novorozená samice, která tuto dobu přežije, dospěje k plodnosti. Vývoj mladé samice do plné plodnosti a vývoj dospělé samice k menopauze závisí na podmínkách prostředí. Přechod do další plodnostní kategorie je tedy náhodný jev. Stejně je náhodným jevem i úmrtí samice. Mladá plodná samice má za jednotku času průměrně méně mláďat, než samice plodná. Tyto poznatky vyjádříme formalizovane. Označme xi(t), resp. x2(t), resp. x3(t), resp. x4(t), množství juvenilních, resp. mladých, resp. plně plodných, resp. postmenopauzních, samic v čase t. Množství může vyjadřovat počet jedinců, ale také počet jedinců vztažených na jednotkový areál (tzv. populační hustotu), případně také celkovou biomasu a podobně. Dále označme p\ pravděpodobnost, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval a tedy během něho dospěje, a p2, resp. p3, pravděpodobnost, že během jednotkové doby mladá, resp. plně plodná, samice, která neuhyne, dospěje do následující kategorie, tj. mladá do plné plodnosti a plně plodná k menopauze. Dalším náhodným jevem je umírání (pozitivně řečeno: přežívání) samic, které nedospějí do další kategorie; označme pravděpodobnosti přežití po řadě q2, q3 a q4 pro mladé, plně plodné a postmenopauzní samice. Každé z čísel p\, p2, p3, q2, q3, q4 jakožto pravděpodobnost je z intervalu [0, 1]. Mladá samice může přežít, dospět do plné plodnosti nebo uhynout; tyto jevy jsou neslučitelné, společně tvoří jev jistý a možnost úmrtí nelze vyloučit. Platí tedy P2 +12 < 1- Z podobných důvodů platí p3 + q3 < 1. Nakonec ještě označíme f2, resp. f3 průměrný počet dcer mladé, resp. plně plodné, samice. Tyto parametry splňují nerovnost 0 < f2 < f3. Očekávaný počet novorozených samic v následujícím časovém období je součtem dcer mladých a plně plodných samic, tj. xx(t + 1) = f2X2(t) + f3X3(t). Označme na okamžik x2,i(ř + 1) množství mladých samic v čase t + 1, které byly v předchozím období, tj. v čase t juvenilními, a x2_2(r + 1) množství mladých samic, které již v čase t byly plodné, jednotkový časový interval přežily, ale nedosáhly plné plodnosti. Pravděpodobnost p\, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval, můžeme vyjádřit jako klasickou, tj. jako poměr x2,i(ř + l)/xi(ř), a podobně můžeme vyjádřit pravděpodobnost q2 jako poměr x2]2(t + \)/x2(t). Poněvadž mladé samice v čase t + 1 jsou právě ty, které dospěly z juvenilního stádia, a ty, které již plodné byly, přežily a nedospěly k plné plodnosti, platí x2(t + 1) = x2,i(ř + 1) +x2,2(ř + 1) = p\xi{f) +q2x2(t). Analogicky odvodíme očekávaný počet plně plodných samic jako x3(t + 1) = p2x2(t) + q3x3(t) a očekávaný počet postmenopauzních samic x4(t + 1) = p3x3(t) + q4x4(t). 185 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE i-1-1-1-1-r 0 10 20 30 40 50 Obrázek i. Vývoj populace kosatky dravé. Na vodorovné ose je čas v letech, na svislé velikost populace. Jednotlivé plochy zobrazují množství j u venil-ních, mladých, plně plodných a postmenopauzních samic v tomto pořadí zdola. Nyní můžeme označit /0 f2 h A = x(t) Ai(o\ *2(0 x3(t) \x4(t) J a předchozí rekurentní formule přepsat v maticovém tvaru 0\ Pl /0\ f0,0043\ 0,9775 0,9111 0 0 1 0,9111 0 0,0736 0,9534 0 0 0,0736 V 0 0 0,0452 0,9804y W v. 0 ) / 0 0,0043 0,1132 0 \ //0,0043> /0,01224925\ 0,9775 0,9111 0 0 0,9111 0,83430646 0 0,0736 0,9534 0 0,0736 0,13722720 V 0 0 0,0452 0,9804/ v0,00332672y x(2) a tak můžeme pokračovat dále. Výsledky výpočtu můžeme také znázornit graficky; to je provedeno na obrázku 1. Vyzkoušejte si výpočet a grafické znázornění jeho výsledků i pro jiné počáteční složení 186 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET populace. Výsledkem by mělo být pozorovaní, že celková velikost populace roste jako exponenciální funkce, poměry velikostí jednotlivých plodnostních tříd se postupně ustálí na konstantních hodnotách. Matice A má vlastní hodnoty ki = 1,025441326, k2 = 0,980400000, k3 = 0,834222976, k4 = 0,004835698, vlastní vektor příslušný k největší vlastní hodnotě k\ je w = (0,03697187, 0,31607121, 0,32290968, 0,32404724); tento vektor je normován tak, aby součet jednotlivých složek byl roven 1. Porovnejte vývoj velikosti populace s exponenciální funkcí F(t) = k[x0, kde x0 je celková velikost počáteční populace. Vypočítejte také relativní zastoupení jednotlivých plodnostních kategorií v populaci po jisté době vývoje a porovnejte ho se složkami vlastního vektoru w. Shoda je způsobena pouze tím, že matice A má jednu vlastní hodnotu, která má absolutní hodnotu největší z absolutních hodnot všech vlastních hodnot matice A, a tím, že vektorový podprostor generovaný vlastními vektory příslušnými k vlastním hodnotám k2, k3, k4 má s nezáporným orthantem jednoprvkový průnik (pouze nulový vektor). Struktura matice A však sama nezaručuje takto jednoduše předvídatelný vývoj, je totiž tzv. reducibilní (viz ??). 3.60. Model růstu populace bodláků Dipsacus sylvestris. Tuto rostlinu můžeme vidět ve čtyřech podobách. Buď jako kvetoucí rostlinu nebo jako růžici listů, přičemž u růžic můžeme rozlišit trojí velikost - malé, střední a velké. Životní cyklus této jednodomé víceleté byliny můžeme popsat následovně. Kvetoucí rostlina vyprodukuje v pozdním létě větší množství semen a uhyne. Ze semen některá vyklíčí ještě v temže roce a vyroste z nich růžice listů, nejčastěji střední velikosti. Jiná semena zůstanou v zemi a přezimují. Některá z přezimujících semen na jaře vyklíčí a vyroste z nich růžice listů; poněvadž jsou ale prezimovaním oslabena, bude tato růžice s nejvyšší pravděpodobností malá. Většina z přezimujících semen zůstane v zemi, a ta z nich, která přežijí, na jaře vyklíčí a vyrostou z nich malé růžice. Po třech nebo více zimách „spící" (odborně řečeno dormantní) semena hynou, ztrácí schopnost vyklíčit. Podle podmínek prostředí, kde rostlina roste, může malá nebo střední růžice listů do dalšího roku vyrůst, kterákoliv z růžic může zůstat ve své velikostní kategorii nebo uhynout - uschnout, být sežrána nějakým hmyzem a podobně. Střední nebo velká růžice může v následujícím roce vykvést. Kvetoucí rostlina produkuje semena a celý cyklus se opakuje. Abychom mohli předpovídat, jak rychle se bude populace uvažovaných bodláků v krajině šířit, potřebujeme popsané procesy nějak kvantifikovat. Botanici zjistili, že kvetoucí rostlina vyprodukuje průměrně 431 semen. Pravděpodobnosti klíčení různých semen, růstu růžic listů a vykvetení jsou shrnuty v tabulce: 187 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE jev pravděpodobnost semeno vyprodukované rostlinou uhyne ze semene vyroste malá růžice v temže roce ze semene vyroste střední růžice v temže roce ze semene vyroste velká růžice v temže roce ze semene přezimujícího rok vyroste malá růžice ze semene přezimujícího rok vyroste střední růžice ze semene přezimujícího rok vyroste velká růžice ze semene přezimujícího dva roky vyroste malá růžice semeno po prvním prezimovaní uhyne malá růžice přežije a nevyroste střední růžice přežije a nevyroste velká růžice přežije a nevyroste z malé růžice vyroste střední z malé růžice vyroste velká ze střední růžice vyroste velká střední růžice vykvete velká růžice vykvete 0,172 0,008 0,070 0,002 0,013 0,007 0,001 0,001 0,013 0,125 0,238 0,167 0,125 0,036 0,245 0,023 0,750 Povšimněme si, že všechny relevantní jevy v životním cyklu rostliny mají pravděpodobnost přiřazenu a že se jedná o jevy neslučitelné. Budeme si představovat, že populaci pozorujeme vždycky na začátku vegetačního roku, řekněme v březnu, a že ke všem uvažovaným jevům dochází ve zbytku času, dejme tomu od dubna do února. V populaci se vyskytují kvetoucí rostliny, růžice tří velikostí, vyprodukovaná semena a semena dor-mantní jeden nebo dva roky. Toto pozorování by mohlo svádět k tomu, že populaci rozdělíme do sedmi tříd - semena čerstvá, dormantní první rok a dormantní druhý rok, růžice malé střední a velké, kvetoucí rostliny. Avšak z vyprodukovaných semen se v temže roce vyvinou buď růžice nebo semena přezimují. Čerstvá semena tedy netvoří samostatnou třídu, jejíž velikost bychom na začátku roku mohli určit. Označme tedy: %\ (ŕ) — počet semen dormantních první rok na jaře roku ř *2(0 — počet semen dormantních druhý rok na jaře roku ř x3(t) — počet malých růžic na jaře roku t x4(t) — počet středních růžic na jaře roku t x5(t) — počet velkých růžic na jaře roku t x6(t) — počet kvetoucích rostlin na jaře roku t Počet vyprodukovaných semen v roce t je 431x6(ř). Pravděpodobnost, že semeno zůstane jako dormantní první rok, je rovna pravděpodobnosti, že ze semena nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 - (0,008 + 0,070 + 0,002 + 0,172) = 0,748. Očekávaný počet semen dormantních jednu zimu v následujícím roce tedy je Pravděpodobnost, že semeno, které již jeden rok bylo dormantní, zůstane dormantním i druhý rok je rovna pravděpodobnosti, že ze semena dormantnŕho jeden rok nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 — 0,013 — 0,007 — 0,001 — 0,013 = 0,966. Očekávaný počet semen dormantních dvě zimy v následujícím roce tedy bude Malá růžice může vyrůst ze semena bezprostředně, ze semena dormantního jeden rok nebo dormantního dva roky. Očekávaný počet malých růžic vyrostlých bezprostředně v roce t je roven xi(t + 1) = 0,748 • 431x6(ř) = 322,388x6(ř). x2(t + 1) = 0,966x!(ř). 188 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 0,008 • 431x6(ŕ) = 3,448x6(ŕ). Očekávaný počet malých růžic vyrostlých ze semen dormantních jeden a dva roky je 0,013xi (ř) a 0,010x2(ŕ)- S těmito nově vyrostlými malými růžicemi jsou v populaci rostlin také malé růžice starší, které nevyrostly; těch je 0,125x3(r). Celkový očekávaný počet malých růžic tedy je x3(r + 1) = 0,013x!(ř) + 0,010x2(r) + 0,125x3(r) + 3,448x6(r). Analogicky určíme očekávaný počet středních a velkých růžic x4(t + 1) =0,007x^0 + 0,125x3(ř) + 0,238x4(ř) + 0,070 • 431x6(ř) = =0,007xi (ř) + 0,125x3 (ř) +0,238x4(ř) + 30,170x6, x5(ř + 1) =0,245x4(ř) +0,167x5(ř) +0,002 • 431x6(ř) = =0,245x4 (ř) +0,167x5 (ř) +0,862x6(ř). Kvetoucí rostlina může vyrůst ze střední nebo velké růžice. Očekávaný počet kvetoucích rostlin tedy bude x6(ř + 1) = 0,023x4(ř) + 0,750x5 (ř). Dospěli jsme tedy k šesti rekurentním formulím pro jednotlivé složky populace studované rostliny. Označíme nyní / 0 0 0 0 0 322,388\ íxx(t)\ 0,966 0 0 0 0 0 0,013 0,010 0,125 0 0 3,448 , x(t) = x3(ř) 0,007 0 0,125 0,238 0 30,170 x4(ř) 0,008 0 0,038 0,245 0,167 0,862 *s(0 V 0 0 0 0,023 0,750 o ) \*6(0 / a předchozí rovnosti zapíšeme v maticovém tvaru vhodném pro výpočet x(ř + 1) = Ax(ř). Pokud známe počty jednotlivých složek populace v nějakém počátečním roce t = 0, můžeme vypočítat očekávané počty rostlin a semen v letech následujících. Můžeme také počítat celkový počet jedinců 6 n(t) v čase t, n(t) = ^ xi(t), relativní zastoupení jednotlivých složek Xi(t)/n(t), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 i=\ a meziroční relativní změnu populace n(t + \)/n(t). Výsledky takového výpočtu pro patnáct let a případ, že na nějakou lokalitu jsme přesadili jednu kvetoucí rostlinu, jsou uvedeny v tabulce 1. Na rozdíl od populace velryb by nyní obrázek nebyl příliš přehledný, počty rostlin jsou oproti počtům semen zanedbatelné, v obrázku by splynuly. Matice A má vlastní hodnoty kx = 2,3339 X2 = -0,9569 + 1,4942i A3 = -0,9569 - 1,4942i Vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě k\ je A-4 A5 k6 0,1187 + 0,1953i 0,1187 -0,1953i -0,1274 w (0,6377, 0,2640, 0,0122, 0,0693, 0,0122, 0,0046); tento vektor je normován tak, aby součet jeho složek byl roven jedné. Vidíme, že s rostoucím časem t se relativní změna velikosti populace přibližuje vlastní hodnotě k\, relativní zastoupení jednotlivých složek populace se přibližují složkám normovaného vlastního vektoru příslušného k vlastní hodnotě 189 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE t XI x2 x3 X4 x5 Xg n{t) 1 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1 322,39 0,00 3,45 30,17 0,86 0,00 356,87 2 0,00 311,43 4,62 9,87 10,25 1,34 337,50 3 432,13 0,00 8,31 43,37 5,46 7,91 497,18 4 2550,50 417,44 33,93 253,07 22,13 5,09 3 282,16 5 1 641,69 2463,78 59,13 235,96 91,78 22,42 4514,76 6 7 227,10 1585,88 130,67 751,37 107,84 74,26 9 877,12 7 23 941,29 6981,37 382,20 2486,25 328,89 98,16 34 218,17 8 31646,56 23 127,29 767,29 3 768,67 954,73 303,85 60 568,39 9 97 958,56 30570,58 1 786,27 10381,63 1 627,01 802,72 143 126,78 10 258 788,42 94627,97 4570,24 27 597,99 4358,70 1 459,04 391 402,36 11 470376,19 249 989,61 9 912,57 52970,28 10991,08 3 903,78 798 143,52 12 1258 532,41 454383,40 23 314,10 134915,73 22317,98 9 461,62 1 902 925,24 13 3 050314,29 1215 742,31 56442,70 329 291,15 55 891,57 19 841,54 4727 523,56 14 6396675,73 2946603,60 127 280,49 705 398,22 133 660,97 49 492,37 10359 111,38 15 15 955 747,76 6179188,75 299182,59 1 721 756,52 293 816,44 116469,89 24566161,94 *2(0 x3(ř) x4(ř) *s(0 x6(t) n(t + 1) ř n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 356,868 1 0,903 0,000 0,010 0,085 0,002 0,000 0,946 2 0,000 0,923 0,014 0,029 0,030 0,004 1,473 3 0,869 0,000 0,017 0,087 0,011 0,016 6,602 4 0,777 0,127 0,010 0,077 0,007 0,002 1,376 5 0,364 0,546 0,013 0,052 0,020 0,005 2,188 6 0,732 0,161 0,013 0,076 0,011 0,008 3,464 7 0,700 0,204 0,011 0,073 0,010 0,003 1,770 8 0,522 0,382 0,013 0,062 0,016 0,005 2,363 9 0,684 0,214 0,012 0,073 0,011 0,006 2,735 10 0,661 0,242 0,012 0,071 0,011 0,004 2,039 11 0,589 0,313 0,012 0,066 0,014 0,005 2,384 12 0,661 0,239 0,012 0,071 0,012 0,005 2,484 13 0,645 0,257 0,012 0,070 0,012 0,004 2,191 14 0,617 0,284 0,012 0,068 0,013 0,005 2,371 15 0,650 0,252 0,012 0,070 0,012 0,005 Tabulka 1. Modelovaný vývoj populace bodláku Dipsacus sylvestris. Velikosti jednotlivých složek populace, celková velikost populace, relativní zastoupení jednotlivých složek a relativní přírůstky velikosti. X\. Každá nezáporná matice, která má nenulové prvky na stejných pozicích jako matice A je primitivní. Vývoj populace tedy zákonitě spěje ke stabilizované struktuře. 3.61. Nelineární model populace. Prozkoumejte podrobně vývoj populace pro nelineární model z učebnice (1.12) a hodnoty K = 1 a i) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(l) = 0,2 Ü) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 2 iii) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 3 iv) míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0,2 v) míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0,2 Spočítejte několik prvních členů a odhadněte, jak bude populace dále růst. Řešení. 190 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET i) Prvních deset členů posloupnosti p(n) je v následující tabulce. Odtud je vidět, že velikost populace konverguje k hodnotě 1. n P(n) 1 0,2 2 0,36 3 0,5904 4 0,83222784 5 0,971852502 6 0,999207718 7 0,999999372 Graf vývoje populace pro r = 1 a p(\) = 0, 2: ii) Pro počáteční hodnotu p(\) =2 dostaneme p(2) = 0 a dál už se populace měnit nebude. iii) Pro p(\) = 3 dostáváme n P(n) 1 3 2 -15 3 -255 4 -65535 a odtud je vidět, že populace bude klesat pode všechny meze. iv) Pro míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme n P(n) 1 0,2 2 0,552 3 1,0960512 4 0,864441727 5 1,122242628 6 0,820433675 7 1,144542647 8 0,780585155 9 1,157383491 10 0,756646772 11 1,161738128 12 0,748363958 !3 1,162657716 14 0,74660417 Vidíme, že místo konvergence dostáváme v tomto případě oscilaci-po nějaké době bude populace přeskakovat mezi hodnotami 1,16 a 0,74. Graf vývoje populace pro r = 2, 2 a p(\) = 0, 2 pak vypadá následovně: v) Pro míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme 191 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE n P(n) 1 0,2 2 0,68 3 1,3328 4 0,00213248 5 0,008516278 6 0,033847529 7 0,131953152 8 0,475577705 9 1,223788359 10 0,402179593 11 1,123473097 12 0,707316989 13 1,328375987 14 0,019755658 15 0,077851775 16 0,293224403 17 0,91495596 18 1,148390614 19 0,63715945 20 1,330721306 21 0,010427642 22 0,041384361 23 0,160399447 V tomto případě je už situace složitější-populace začne oscilovat mezi více hodnotami. Abychom lépe viděli mezi kterými, bylo by potřeba spočítat ještě víc členů. Pro členy z tabulky máme následující graf □ 3.62. V laboratoři je prováděn pokus se stejnou pravděpodobností úspěchu i neúspěchu. Pokud se pokus podaří, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu 0, 7. Jestliže skončí první pokus neúspěchem, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu pouze 0, 6. Dále se bude pokračovat v provádění pokusů, kdy úspěšnost předešlého znamená, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 7, a jeho neúspěšnost způsobí, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 6. Pro libovolné n e N stanovte pravděpodobnost, že n-tý pokus se podaří. Řešení. Zaveďme pravděpodobnostní vektor kde x\ je pravděpodobnost úspěchu n-tého pokusu a x2 = \ —x\ je pravděpodobnost jeho neúspěchu. Podle zadání je a zřejmě také _ /0, 7 0, 6\ /l/2\ _ /l3/20\ Xl ~ V0, 3 0, 4J ' \l/2 )-\ 7/20 ) ■ Při označení /7/10 3/5\ V3/10 2/5/ 192 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET platí (3.7) xn+í = T ■ x„, n e N, neboť pravděpodobnostní vektor xn+i závisí pouze na xn a tato závislost je totožná jako pro x2 ax\. Ze vztahu (3.7) bezprostředně plyne (3.8) xn+l = T ■ T -jc„_i = ••• = T" -xu n > 2, n e N. Proto vyjádříme T", n e N. Jedná se o Markovův proces, a tudíž je 1 vlastní číslo matice T. Druhé vlastní číslo 0, 1 vyplývá kupř. z toho, že stopa (součet prvků na diagonále) je rovna součtu všech vlastních čísel (každé vlastní číslo bereme tolikrát, jaká je jeho algebraická násobnost). Těmto vlastním číslům pak přísluší vlastní vektory Dostáváme tak T = tj. pro n e N je Dosazení 2 1 \ /l 0 \ (2 1 1 -17'V0 1/10/'U -1 2 1 Wl 0 V (2 1 1 -i)' [o i/ioy ' \i -i 2 1 \ /l" 0 \ (2 1 1 -1/'V0 10""/ U -1 2 ir i (i r 1-1/ - 3 U -2 a roznásobení dává rB= 1/2+10- 2-2.10-^, neN 3 VI-IQ"" 1+2-10-"1' Odtud, z (3.7) a (3.8) plyne '2111 ^ + t—7T , n e N. ,3 6 • 10" 3 6-10", Zvláště vidíme, že pro velká n je pravděpodobnost úspěchu «-tého pokusu blízká 2/3. □ 3.63. Student na koleji je značně společensky unaven (v důsledku toho není schopen plně vnímat smyslové podněty a koordinovat své pohyby). V tomto stavu se přesto rozhodne, že na právě probíhající večírek pozve známou, která má pokoj na jednom konci chodby. Na opačném konci chodby však bydlí někdo, koho pozvat rozhodně nehodlá. Je ovšem natolik „unaven", že rozhodnutí udělat krok zvoleným směrem se mu podaří realizovat pouze v 53 ze 100 pokusů (ve zbylých 47 jde přesně na opačnou stranu). Za předpokladů, že vyjde v polovině chodby a že vzdálenost k oběma dveřím na koncích chodby odpovídá jeho 20 krokům, stanovte pravděpodobnost, že nejdříve dorazí ke správným dveřím. 193 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 3.64. Nechť n e N osob hraje tzv. tichou poštu. Pro jednoduchost předpokládejte, že první osoba zašeptá druhé právě jedno (libovolně zvolené) ze slov „ano", „ne". Druhá osoba pak potichu řekne třetí osobě to ze slov „ano", „ne", o kterém si myslí, že ho řekla první osoba. Takto to pokračuje až k n-té osobě. Jestliže pravděpodobnost toho, že při libovolném předání se zamění (nechtě, úmyslně) šířené slovo na to druhé, je p e (0, 1), stanovte pro velká n e N pravděpodobnost, že n-tá osoba určí správně slovo zvolené první osobou. Řešení. Na tuto úlohu lze nahlížet jako na Markovův řetězec se dvěma stavy nazvanými Ano a Ne, kdy řekneme, že proces je ve stavu Ano v čase m e N, pokud si m-tá osoba bude myslet, že předávané slovo je „ano". Pro pořadí stavů Ano, Neje pravděpodobnostní matice přechodu Součin matice Tm~ a pravděpodobnostního vektoru počáteční volby první osoby potom udává pravděpodobnosti toho, co si bude myslet m-tá osoba. Mocniny této matice ovšem počítat nemusíme, neboť všechny prvky matice T jsou kladná čísla. Navíc tato matice je dvojnásobně stochastická. Víme tudíž, že pro velká n e N bude pravděpodobnostní vektor blízký vektoru (1/2, 1 /2)T. Pravděpodobnost, že n-tá osoba řekne „ano", je proto přibližně stejná jako pravděpodobnost, že řekne „ne", a to nezávisle na tom, pro které slovo se rozhodla první osoba. Pro velký počet zúčastněných tak platí, že zhruba polovina z nich uslyší „ano" (zopakujme, že nezávisle na tom, které slovo bylo na začátku vybráno). Pro úplnost zjistěme, jak by úloha dopadla, kdybychom předpokládali, že pravděpodobnost záměny „ano" na „ne" je u libovolné osoby p e (0, 1) a pravděpodobnost záměny „ne" na „ano" je obecně odlišné q e (0, 1). V tomto případě pro stejné pořadí stavů dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu Rovněž tentokrát při dostatečném počtu lidí nezáleželo na volbě slova, kterou učinila první osoba. Stručně řečeno, v tomto modelu platí, že nezáleží na původním rozhodnutí, protože o tom, jakou informaci si lidé předávají, rozhodují oni sami; přesněji řečeno, lidé sami rozhodují o četnosti výskytu „ano" a „ne", pokud je jich dostatečný počet (a chybí-li jakékoli ověřování). Doplňme ještě, že výše uvedený závěr byl experimentálně ověřen. V psychologických pokusech byl mj. jedinec opakovaně vystaven vjemu, který šlo vnímat dvěma různými způsoby, a to v časových intervalech zaručujících, aby si subjekt pamatoval předešlý vjem. Viz např. „T. Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy, Praha, Academia 1981", kde je uveden experiment, v němž je zábleskem osvětlován v pevných časových odstupech nejednoznačný obraz (třeba náčrt krychle vnímatelný jako nadhled i podhled). Takový proces je totiž Markovovým řetězcem s maticí přechodu která vede (pro velká n e N) k pravděpodobnostnímu vektoru blízkému vektoru \p + q p + q což kupř. plyne z vyjádření matice kde p,q e (0, 1). □ 194 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.65. V jisté hře si můžete vybrat jednoho ze dvou soupeřů. Pravděpodobnost, že porazíte lepšího, je 1/4, zatímco horšího ze soupeřů porazíte s pravděpodobností 1/2. Soupeři ale nejsou rozlišeni, a tak nevíte, který z nich je ten lepší. Čeká Vás velké množství her (pro každou můžete zvolit jiného soupeře) a samozřejmě chcete dosáhnout celkově co největšího podílu vítězných her. Uvažte tyto dvě strategie: 1. Pro první hru si vyberete soupeře náhodně. Pokud nějakou hru vyhrajete, pokračujete se stejným soupeřem; jestliže ji prohrajete, změníte pro další hru soupeře. 2. Pro první dvě hry si vyberete (jednoho) soupeře náhodně. Dále se řídíte výsledkem předchozích dvou her, kdy na další dvě hry změníte soupeře, právě když obě předchozí prohrajete. Kterou ze strategií (moudře) zvolíte? Řešení. Obě strategie jsou vlastně Markovovým řetězcem. Pro jednoduchost horšího ze soupeřů označujme jako osobu A a lepšího ze soupeřů jako osobu B. V prvním případě pro stavy „hra s osobou A", „hra s osobou 5" (a toto jejich pořadí) dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu '1/2 3/4^ ,1/2 1/4, Tato matice má všechny prvky kladné, a proto stačí najít pravděpodobnostní vektor x^, který přísluší vlastnímu číslu 1. Platí 3 2X T .5 5, Jeho složky odpovídají pravděpodobnostem, že po dlouhé řadě her bude soupeřem osoba A, resp. B. Lze tedy očekávat, že 60 % her bude hráno proti horšímu ze soupeřů. Neboť 2 _ 3 1 2 1 5 = 5 ' 2 + 5 ' 4' vítězných her bude kolem 40 %. Pro druhou strategii zaveďme stavy „dvě hry po sobě s osobou A" a „dvě hry po sobě s osobou 5", které vedou na pravděpodobnostní matici přechodu '3/4 9/16N 1/4 1/16, Snadno určíme, že nyní je 9 4 13' 13, Proti horšímu ze soupeřů by se tak hrálo (9/4)krát častěji než proti lepšímu z nich. Připomeňme, že pro první strategii to bylo (3/2)krát častěji. Druhá strategie je proto výhodnější. Ještě poznamenejme, že při druhé strategii bude přibližně 42,3 % her vítězných. Stačí totiž vyčíslit 11 9 1 4 1 0, 423 = — =---+---. 26 13 2 13 4 □ 3.66. Petr se pravidelně setkává se svým kamarádem. Je ovšem „proslulý" svou nedochvilností. Snaží se ale změnit, a proto platí, že v polovině případů přijde včas a v jedné desetině případů dokonce ještě dříve, pokud na minulé setkání přišel pozdě. Jestliže minule přišel včas nebo dříve, než měl přijít, vrátí se ke své „bezstarostnosti" a s pravděpodobností 0,8 dorazí pozdě a pouze s pravděpodobností 0,2 včas. Jaké je pravděpodobnost, že na dvacáté setkání přijde pozdě, když na jedenácté přišel včas? 195 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Řešení. Zřejmě se jedná o Markovův proces se stavy „Petr přijde pozdě", „Petr přijde včas", „Petr přijde dříve" a s pravděpodobnostní maticí přechodu (pro uvedené pořadí stavů) /0,4 0,8 0, 8\ T = 0,5 0,2 0,2 . \0, 1 0 0/ Jedenácté setkání je určeno pravděpodobnostním vektorem (0, 1, 0)T (s jistotou víme, že Petr přišel včas). Dvacátému setkání pak odpovídá pravděpodobnostní vektor /0\ /0,571578 368\ T9 1 = 0,371316 224 . \0/ \0, 057 105 408/ Hledaná pravděpodobnost je tudíž 0, 571 578 368 (přesně). Dodejme, že je /0, 571 316224 0,571578 368 0,571578 368\ T9 = 0,371512832 0,371316224 0,371316224 . \0,057170944 0,057105 408 0,057105 408/ Odtud vidíme, jak málo záleží na tom, zda přišel na jedenácté setkáni pozdě (první sloupec), včas nebo dříve (druhý a současně třetí sloupec). □ 3.67. Dva studenti A a S tráví každé pondělní odpoledne hraním jisté počítačové hry o to, kdo z nich večer zaplatí společnou útratu v restauraci. Hra může rovněž skončit remízou, kdy večer oba platí právě polovinu útraty. Výsledek předešlé hry částečně ovlivňuje hru následující. Pokud tedy před týdnem vyhrál student A, potom s pravděpodobností 3/4 vyhraje opět a s pravděpodobností 1 /4 skončí hra remízou. Remíza se opakuje s pravděpodobností 2/3 a s pravděpodobností 1 /3 vyhraje ve hře následující po remíze student B. Pokud před týdnem vyhrál student B, pak s pravděpodobností 1 /2 své vítězství zopakuje a s pravděpodobností 1/4 vyhraje student A. Nalezněte pravděpodobnost, že dnes bude každý platit polovinu útraty, jestliže první hru před velmi dlouhou dobou vyhrál student A. Řešení. Vlastně je zadán Markovův proces se stavy „vyhraje student A", „hra skončí remízou", „vyhraje student 5" (v tomto pořadí) pravděpodobnostní maticí přechodu /3/4 0 l/4\ T = 1/4 2/3 1/4 . V 0 1/3 1/2/ Chceme najít pravděpodobnost přechodu z prvního stavu do druhého po velkém počtu n e N kroků (týdnů). Matice T je primitivní, protože / 9/16 1/12 5/16 \ T2 = 17/48 19/36 17/48 . \ 1/12 7/18 1/3 / Stačí tak najít vlastní pravděpodobnostní vektor x^ matice T příslušný vlastnímu číslu 1. Snadno lze spočítat, že _ /2 3 2 X°° ~ Vř 7' 7 Víme, že vektor x^ se jen velmi málo liší od pravděpodobnostního vektoru pro velká n a téměř nezávisí na počátečním stavu, tj. pro velká n e N můžeme klást /2/7 2/7 2/7\ T" « 3/7 3/7 3/7 . \2/7 2/7 2/7/ 196 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET_ Hledaná pravděpodobnost je prvkem této matice na druhé pozici v prvním sloupci (je druhou složkou vektoru jc^). Poměrně rychle jsme nalezli výsledek 3/7. □ 197 g. doplňující príklady k cele kapitole 5. rozklady matic a pseudoinverze Řešení cvičení 3.2. Denní dávka by měla sestávat z 3, 9 kg sena a 4, 3 kg ovsa. Náklady na dávku potom budou 13, 82 Kč. 3.3. 3.12. 1 1 3.13. 3.14. xn 3.15. 2VŠsin(n • (tt/6)) — 4cos(n • (jr/6)). -3(-l)" - 2cos(« • (27T/3)) - 2v/3sin(n • ((2tt/3)). (-l)"(-2«2 + 8n -7). 3.24. Leslieho matice daného modeluje (úmrtnost v první skupině označíme a) 0 2 2\ a 0 0 0 1 0) Podmínka stagnace populace odpovídá tomu, že matice má vlastní hodnotu 1, neboli polynom X3 — 2aX — 2a má mít kořen 1, t.j a — 1/4. 3.27. 5 1 I I 6 5 Matice má dominantní vlastní hodnotu 1, příslušný vlastní vektor je (|, 1). Protože je vlastní hodnota dominantní, tak se poměr diváků se ustálí na poměru 6:5. 3.30. Stejně jako v (3.29) skončí hra po třech sázkách. Jsou tedy opět všechny mocniny A, počínaje A3 shodné. > 100 3.40. Můžeme využít výsledku úlohy označované jako Ruinovaní hráče. Pravděpodobnost, že zanikne to oddělení, které má nyní 40 zaměstnanců, je podle tohoto příkladu rovna 1 _ f 0.46 f 1 \ 1-0,46,/ /l 7/8 3/4 1/2 o\ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \o 1/8 1/4 1/2 1/ ,25 = 0, 56. 1 _ / 0.46 \ 1 \ 1-0,46,/ Stačilo dosadit p — 1 — 0, 54, y — 10/2 a x — 40/2 do (3.6). Prozíravější je tedy zvolit v tuto chvíli menší oddělení. 3.50. Tvrzení je pravdivé. (B := A A, bij — (i-tý řádek A ) • (j-tý sloupec A)= bj, AT) ■ (i-tý sloupec A)=(j-tý sloupec A) ■ (i-tý řádek AT) (j-tý řádek Tvrzení zřejmě neplatí. Uvažte např. A n i i 3.52. 1 / \0 0 0 3.63. Znovu se jedná o speciální případ Ruinovaní hráče. Stačí zadání vhodně přeformulovat. Pro p — 0, 47, y — 20 a x — 20 z (3.6) plyne výsledek .20 1 0,917 = - 1 V 1-0,47 J V 1-0,47 J 198 KAPITOLA 4 Analytická geometrie poloha, incidence, projekce ? — a zase skončíme u matic... Vrátíme se teď k našemu pohledu na geometrii, když jsme zkoumali polohy bodů v rovině v 5. části první kapitoly, viz 1.23. Budeme se nejprve zajímat o vlastnosti prostorových objektů vymezených pomocí bodů, přímek, rovin apod. Podstatné přitom bude vyjasnění, jak jejich vlastnosti souvisí s pojmem vektorů a zda závisí na pojmu velikosti vektorů. V další části pak použijeme lineární algebru pro studium objektů, které už lineárně definované nejsou. Opět přitom budeme potřebovat trochu více maticového počtu. Výsledky budou důležité později při diskusi technik pro optimalizace, tj. hledání extrémů funčkních hodnot. Projektivní rozšíření afinních prostorů nám v závěru kapitoly ukáže, jak lze překvapivě snadno dosáhnout zjednodušení i stability algoritmických postupů typických pro práci s počítačovou grafikou. 1. Afinní a euklideovská geometrie Když jsme si ujasňovali strukturu řešení systémů lineárních rovnic v první části předchozí kapitoly, zjistili jsme v ostavci 3.1, že všechna řešení ne-homogenních systémů rovnic sice netvoří vektorové podprostory, vždy ale vznikají tak, že k jednomu jedinému řešení přičteme celý vektorový prostor řešení příslušné homogenní soustavy. Naopak, rozdíl dvou řešení nehomogenní soustavy je vždy řešením soustavy homogenní. Obdobně se chovají lineární diferenční rovnice, jak jsme již viděli v odstavci 3.14. 4.1. Afinní prostory. Návod na teoretické uchopení takové situace dává již diskuse geometrie roviny, viz odstavec 1.25 a dále. Tam jsme totiž popisovali přímky a body jako množiny řešení systémů lineárních rovnic. Přímka pro nás pak byla „jednorozměrným" prostorem, přestože její body byly popisovány dvěmi souřadnicemi. Parametricky jsme ji zadávali tak, že k jednomu bodu (tj. dvojici souřadnic) jsme přičítali násobky pevně zvoleného směrového vektoru. Stejně budeme postupovat i teď v libovolné dimenzi. Standardní afinní prostor Standarní afinní prostor A„ je množina všech bodů v W = A„ spolu s operací, kterou k bodu A = («1, ..., an) e A„ a vektoru v = (v\, ..., vn) e W = V A. Afinní geometrie 4.1. Napište parametrické vyjádření přímky určené v M3 rovnicemi x - 2y + z = 2, 2x + y - z = 5. Řešení. Zřejmě postačuje vyřešit uvedenou soustavu rovnic. Můžeme ale postupovat také odlišně. Potřebujeme totiž najít nenulový (směrový) vektor, který bude kolmý na (normálové) vektory (1, —2, 1), (2, 1, —1). Vektorový součin (1, -2, 1) x (2, 1, -1) = (1,3,5) ovšem takový vektor dává. Všimneme-li si, že např. uspořádaná trojice (x, y, z) = (2,-1,-2) vyhovuje dané soustavě, dostaneme výsledek [2,-1,-2]+ t (1,3, 5), íel. □ 4.2. V M4 je parametricky dána rovina q : [0, 3, 2, 5] + t (1, 0, 1, 0) + s (2, -1, -2, 2), í,sel Vyjádřete tuto rovinu implicitně. 199 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Řešení. Úkolem je najít soustavu lineárních rovnic čtyř proměnných x, y, z, u (čtyři proměnné jsou dány dimenzí prostoru), jíž budou vyhovovat právě souřadnice bodů uvedené roviny. Poznamenejme, že hledaná soustava bude obsahovat 2 = 4—2 lineárně nezávislé rovnice. Příklad vyřešíme tzv. eliminací parametrů. Body [x, y, z, u] e q splňují x = t + 2s, y = 3 — s, z = 2 + t - 2s, u = 5 + 2s, přičemž í,s é1. Odtud můžeme ihned přejít k maticovému zápisu /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 \o 2 0 0 0 -1 5/ kde první dva sloupce jsou směrové vektory roviny, za svislou čarou následuje záporně vzatá jednotková matice a za druhou svislou čarou jsou souřadnice bodu [0, 3, 2, 5]. Tento přepis vzniká tak, že na výše uvedenou soustavu rovnic nahlížíme jako na soustavu rovnic pro neznámé t, s, x, y, z, u a všechny členy přitom převádíme na jednu stranu rovnic. Získanou matici převedeme pomocí elementárních řádkových transformací do tvaru, kdy před první svislou čarou bude maximální možný počet nulových řádků. Přičtením (—1)násobku prvního a současně (—4)násobku druhého řádku ke třetímu řádku a dvojnásobku druhého ke čtvrtému řádku dostáváme /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 \0 2 0 0 0 -1 5 ) /1 2 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 3 0 0 1 4 -1 0 -10 \0 0 0 -2 0 -1 11 ) Odkud plyne výsledek x + 4y - z - 10= 0, -2y - u + 11 = 0. Koeficienty za první svislou čarou v řádcích, které jsou před touto svislou čarou nulové, určují totiž koeficienty obecných rovnic roviny. Upozorněme, že kdybychom např. přepsali soustavu rovnic do matice /1 0 0 0 1 2 0 \ 0 1 0 0 0 -1 3 0 0 1 0 1 -2 2 0 0 1 0 2 5/ přiřadíme bod A + v = (a\ + v\, ... ,a„ + v„) ě8" = A„. Tyto operace splňují následující tři vlastnosti: (1) A + 0 = A pro všechny body A e A„ a nulový vektor Oeľ, (2) A + (v+w) = (A+v)+w pro všechny vektory v, w e V a body A e A„, (3) pro každé dva body A, B e A„ existuje právě jeden vektor v e V takový, že A + v = B. Značíme jej v = B — A, někdy také AB. Vektorový prostor W nazýváme zaměření standardního afinního prostoru A„. Všimněme si několika formálních nebezpečí. Používáme ^ stejný symbol „+" pro dvě různé operace: ''SCLÄI' přičtení vektoru ze zaměření k bodu v afinním ^^SsS=Z£ prostoru, ale také sčítání vektorů v zaměření V = W. Také nezavádíme zvláštní písmena pro samotnou množinu bodů afinního prostoru, tj. A„ pro nás představuje jak samotnou množinu bodů, tak i celou strukturu definující afinní prostor. Proč vlastně chceme rozlišovat množinu bodů prostoru A„ od jeho zaměření V, když se jedná jakoby o stejné W? Jde o velice podstatný formální krok k pochopení geometrie v W: Geometrické objekty jako přímky, body, roviny apod. nejsou totiž přímo závislé na vektorové struktuře na množině W a už vůbec ne na tom, že pracujeme s «-ticemi skalárů. Potřebujeme jen umět říci, co to znamená pohybovat se „rovně v daném směru". K tomu právě potřebujeme na jedné straně vnímat třeba rovinu jako neohraničenou desku bez zvolených souřadnic, ale s možností posunout se o zadaný vektor. Když přejdeme navíc k takovému abstraktnímu pohledu, budeme umět diskutovat „rovinnou geometrii" pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny ve vícerozměrných prostorech, „prostorovou" pro třírozměrné atd., aniž bychom museli přímo manipulovat &-ticemi souřadnic. Tento pohled je zachycen v následující definici: 4.2. Definice. Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů V, spolu se zobrazením V x V V, (A,v) ^ A + v, kde V je vektorový prostor a naše zobrazení splňuje vlastnosti (l)-(3) z definice standardního afinního prostoru. Pro libovolný pevně zvolený vektor v e V je tak definováno posunutí rv : A —> „4 jako zúžené zobrazení rv : V ~ V x {v} V, A ^ A + v. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. Nadále nebudeme rozlišovat ve značení důsledně množinu bodů A a množinu vektorů V, budeme místo toho hovořit o bodech a vektorech amního prostoru A. 200 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Z axiomů okamžitě plyne pro libovolné body A, B, C v afinním prostoru A (4.1) A - A = 0 e V (4.2) B - A = -(A - B) (4.3) (C - B) + (B - A) = C - A. Skutečně, (4.1) vyplýva z toho, že A + 0 = 0 a takový vektor musí být jednoznačný (první a třetí definiční vlastnost). Postupným přičtením B — A a. A — B k A (v uvedeném pořadí), zjevně dostaneme podle druhé definiční vlastnosti opět A, tedy jsme přičetli nulový vektor a to dokazuje (4.2). Obdobně z definiční vlastnosti 4.1 (2) a jednoznačnosti vyplýva (4.3). Všimněme si, že volba jednoho pevného bodu A0 e A nám určuje bijekci mezi V a A. Při volbě pevné báze u ve V tak dostáváme pro každý bod A e A jednoznačné vyjádření A = Aq + x\u\ + • • • + x„u„. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (Aq, u\, ..., u„) zadané počátkem afinní souřadné soustavy Aq a bazí zaměření u nebo také o afinním repéru (Aq, u). Slovy můžeme shrnout situaci takto: Afinní souřadnice bodu A v soustavě (Aq, u) jsou souřadnicemi vektoru A—Aq v bázi u zaměření V. Volba afinního souřadného systému ztotožňuje jakýkoliv n -rozměrný afinní prostor A se standardním afinním prostorem A„. 4.3. Afinní podprostory. Jestliže si vybereme v A j en body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu). Dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně parametricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Podprostory afinního prostoru Definice. Neprázdná podmnožina Q C A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B — A; A, B e Q} c V vektorovým podprostorem a pro libovolné A e Q,u e f je A + u e Q. Je podstatné mít obě podmínky zahrnuty v definici, protože je snadné najít příklady podmnožin, které budou splňovat první, ale nikoliv druhou podmínku. Přemýšlejte např. o přímce v rovině s vyjmutým jedním bodem. Pro libovolnou množinu bodů M c A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B - A; B, A e M}) c V všech vektorů generovaných rozdíly bodů z M. Zejména je V = Z (A) a každý afinní podprostor Q C A splňuje sám axiomy afinního prostoru se zaměřením Z(Q). která odpovídá situaci, kdy proměnné x,y,z,u zůstávají na levé straně rovnic, totožná úprava /1 0 0 0 1 2 0 \ / 1 0 0 0 1 2 0 \ 0 1 0 0 0 -1 3 0 1 0 0 0 -1 3 0 0 1 0 1 -2 2 -i -4 1 0 0 0 -10 0 0 1 0 2 5 ) V 0 2 0 1 0 0 11 / dává výsledek ve tvaru 4y 2y + + 10, 11. Při přepisování soustavy do matice je tudíž nutné zohledňovat, zda svislá čára odděluje levou stranu rovnic od pravé (či nikoliv). Jak jsme částečně viděli v tomto přikladu, metoda eliminace parametrů může být zdlouhavá a při jejím použití se lze snadno dopustit chyb. Jiné řešení Hledali jsem přitom pouze dva lineárně nezávislé normálové vektory, tj. vektory kolmé na vektory (1,0, 1,0), (2, —1, —2, 2). Pokud bychom „uhodli", že takovými vektory jsou např. (0, 2, 0, 1), (—1, 0, 1, 2), dosazením x = 0, y = 3, z = 2, u = 5 do rovnic 2y + + + u 2u a, bychom obdrželi a dření 11, b 2y 12, následně hledané implicitní vyjá- + + + u 2u 11, 12. □ 4.3. Nalezněte parametrické vyjádření roviny procházející body A = [2, 1,1], S = [3,4,5], C = [4,-2,3]. Poté parametricky vyjádřete otevřenou polorovinu obsahující bod C a vymezenou přímkou zadanou body A, B. Řešení. K parametrickému vyjádření roviny potřebujeme jeden bod ležící v této rovině a dva směrové (lineárně nezávislé) vektory. Stačí zvolit bod A a vektory B - A = (1, 3, 4) a C - A = (2, -3, 2), které jsou očividně lineárně nezávislé. Bod [x, y, z] náleží do dané roviny právě tehdy, když existují čísla í, s ě R, pro která je x =2 + l- t +2-s, y = 1+3 • ř - 3 • s, tj. hledané parametrické vyjádření roviny je [2, 1,1]+ t (1,3, 4) +s (2, -3,2). 1 + 4 • t + 2 • s; t, s e Volba s = 0 zjevně dává přímku, která prochází body A, B. Pro t = 0, s > 0 dostáváme polopřímku začínající v bodě A a procházející bodem C. Libovolně pevně zvolené í é la měnné s > 0 pak 201 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE zadávají polopřímku s počátkem na hraniční přímce a s body v polorovině, ve které se nachází bod C. To znamená, že hledanou otevřenou polorovinu můžeme vyjádřit parametricky takto [2, 1, 1] + t (1, 3, 4) + s (2, -3, 2), t € R, s > 0. □ 4.4. Určete vzájemnou polohu přímek p : [1,0, 3] + t (2,-1,-3), íel, q : [1,1, 3] + s (1,-1,-2), s el. Řešení. Hledejme společné body zadaných přímek (průnik podpro-storů). Dostáváme soustavu 1 + 2t 0 - t 3 - 3ř 1 + s, 1 - s, 3 - 2s. Z prvních dvou rovnic vyplývá, že t = 1, s = 2. To ovšem nevyhovuje třetí rovnici. Soustava tak nemá řešení. Neboť směrový vektor (2, —1, —3) přímky p není násobkem směrového vektoru (1, —1, —2) přímky q, přímky nejsou rovnoběžné. Jedná se proto o mimoběžky. □ 4.5. Pro jaká čísla a e M jsou přímky p : [4, -4, 8] +ř(2, 1, -4), íel, q : [a, 6, -5] + s (1, -3,3), s e R různoběžné? Řešení. Přímky jsou různoběžné tehdy a jenom tehdy, když má soustava 4 + 2ř = a + s, -4 + t = 6 - 3s, 8 - 4ř = -5 + 3s právě 1 řešení. V maticovém zápisu řešíme (první sloupec odpovídá proměnné t, druhý pak s) 2 1 -1 a - 4 \ / 1 2 -4 1 0 0 Vidíme, že soustava má právě 1 řešení tehdy a jenom tehdy, když je druhý řádek násobkem třetího. To je splněno pouze pro a = 3. Dodejme, že průsečíkem je v tomto případě bod [6, —3, 4]. □ Přímo z definic je také zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je buď opět afinní podprostor nebo prázdná množina. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M c i je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. j Afinní obal a parametrický popis podprostorů Afinní podprostory si můžeme pěkně popsat pomocí jejich zaměření, jakmile si zvolíme jeden jejich bod Ao e M v generující množině bodů M. Skutečně, dostáváme (M) = {Ao + v; v e Z (M) c Z (A)}, tj. pro generování afinního podprostorů vezmeme vektorový podprostor Z(M) v zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M y A. Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z (A) a jeden pevný bod A e A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty jediného bodu A se všemi vektory v U je afinní podprostor. Takový postup vede k pojmu parametrizace podprostorů: Nechť Q = A + Z(Q) je afinní podprostor v A„ a («i, ..., uk) je báze Z(Q) c R". Pak vyjádření podprostorů Q = {A + tlUl + ■■■ + tkuk; t\, ...,tk el) nazýváme parametrický popis podprostorů Q. i Již jsme viděli jinou možnost zadávání afinních podprostorů: Jestliže máme zvoleny afinní souřadnice, pak lze zaměření podprostorů popsat pomocí homogenního systému lineárních rovnic v těchto souřadnicích. Dosazením souřadnic jednoho bodu našeho podprostorů Q do získaného systému rovnic dostaneme pravou stranu nehomogenního systému se stejnou maticí a celý podprostor Q je pak právě množinou řešení tohoto systému. Zadání podprostorů Q systémem rovnic v daných souřadnicích nazýváme implicitní popis podprostorů Q. Následující obecná věta říká, že takto umíme ve skutečnosti zadat všechny afinní podprostory a tím také ukazuje geometrickou podstatu vlastností množiny všech řešení systémů lineárních rovnic. 4.4. Věta. Nechť (Aq; u) je afinní souřadný systém v n-rozměrném afinním prostoru A. Afinní podprostory dimenze k v A, vyjádřené v daných souřadnicích, jsou právě množiny řešení řešitelných systémů n — k lineárně nezávislých lineárních rovnic v n proměnných. Důkaz. Uvažujme libovolný řešitelný systém n — k lineárně nezávislých rovnic a{ (x) = b,■, b,^ e R, i = 1, ..., n—k. Je-li A = (di,...,íi„)ľel" libovolné pevně zvolené řešení tohoto (nehomogenního) systému rovnic a je-li U C R" vektorový podprostor všech řešení zhomogenizovaného systému cti (x) = 0, pak dimenze U je k a podmnožina všech řešení daného systému je tvaru {B; B = A + (yi, ..., y„)T, y = 202 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE (yi ..., yn)T e U} C M", viz. 3.1. Příslušný afinní podpro-stor je tím popsán parametricky ve výchozích souřadnicích (A0; u). Naopak, uvažme libovolný afinní podprostor Q C A„ a zvolme nějaký jeho bod B za počátek afinního souřadného systému (B, v) pro afinní prostor A. Protože Q = B +Z(Q), potřebujeme popsat zaměření podprostoru Q jako podprostor řešení homogenního systému rovnic. Zvolme tedy bázi v na Z (A) tak, aby prvních k vektorů tvořilo bázi Z(Q). Pak v těchto souřadnicích jsou vektory v e Z(Q) dány rovnostmi a j (v) = 0, j = k + 1, ..., n, kde cti jsou lineární formy z tzv. duální báze ku, tj. funkce přiřazení jednotlivých souřadnic v naší bázi v. Náš vektorový podprostor Z(Q) dimenze k v n-rozměrném prostoru W je tedy skutečně dán jako řešení homogenního systému n — k nezávislých rovnic. Popis zvoleného afinního podprostoru v námi nově vybraném souřadném systému (B; v) je proto dán systémem homogenních lineárních rovnic. Zbývá nám se vypořádat důsledky přechodu z původního zadaného souřadného systému (A; u) do našeho přizpůsobeného (B; v). Z obecné úvahy o transformacích souřadnic v následujícím odstavci vyplyne, že výsledný popis podprostoru bude opět pomocí systému rovnic, tentokrát ale už obecně nehomogenních. □ 4.5. Transformace souřadnic. Dvě libovolně zvolené afinní soustavy souřadnic (A0,w), (B0,v) se obecně liší posunutím počátku o vektor (#o — A0) a jinou bazí zaměření. Transformační rovnice mezi příslušnými souřadnicemi tedy vyčteme ze vztahu pro obecný bod X e A X = B0 + x[ vi H-----\-x'nv„ = B0 + (A0 - B0) +xtui H-----\-x„u„. Označme y = (yi, ..., yn)T sloupec souřadnic vektoru (A0 — B0) v bázi v& M = (ciij) buď matice vyjadřující bázi u prostřednictvím báze v. Potom x'l = yi + aUxl + • • • + Cl\nxn xn — yn ~\~ @nlxl + ' ' ' + ClnnXn tj. maticově x' = y + M ■ x. Jako příklad si můžeme vujádřit dopad takové změny jji ,. báze na souřadné vyjádření podmnožin pomocí sys-i> témů lineárních rovnic. Nechi" |x (A0; u) náš systém rovnic tvar S ■ x = b 4.6. V M. stanovte vzájemnou polohu přímky p zadané implicitně rovnicemi x x -2x - 1. + y 2y + 4, -3 a rovmy q : y Řešení. Normálový vektor q je (2, —1, 0) (uvažte zápis q :2x — y + 0z = 1). Lze postřehnout, že platí (1,1,-1)+ (1,-2, 1) = (2,-1,0), tj. že normálový vektor roviny q je lineární kombinací normálových vektorů p. Zaměření přímky (zadané nenulovým směrovým vektorem kolmým na uvedené dva normálové vektory) je proto podprostorem zaměření roviny q (směrový vektor přímky je nutně kolmý na vektor (2, — 1, 0)). Lehce jsme zjistili, že přímka p je rovnoběžná s rovinou q. Zajímá nás, zda se protínají (zda p leží v q). Soustava rovnic x + y - z = 4, x - 2y + z = -3, 2x — y =1 má nekonečně mnoho řešení, neboť sečtením prvních dvou rovnic dostaneme právě třetí z rovnic. Přímka p tak musí ležet v rovině q. □ Následuje standardní příklad na průnik vektorových prostorů. Čtenář by měl být schopen následující příklad vyřešit. Doporučujeme nepokračovat ve čtení této učebnice, dokud tomu tak nebude. 4.7. ôi 02 alezněte průnik podprostoru Q\ a Q2, je-li [4, -5, 1, -2] + h (3, 5, 4, 2) + t2 (2, 4, 5, 1) + ř3 (0, 3, 1, 2), [4, 4, 4, 4] + Sl (0, -6, -2, -4) + s2 (-1, -5, -3, -3), kde t\, ti, h, s\,si e M. Řešení. Bod X = [_x\, ] e M náleží do <2i (~)Qi právě tehdy, když je xx ~ 4 " (3\ (2\ (0\ x2 X3 = -5 1 + h 5 4 + h 4 5 + h 3 1 x4 -2 V) w pro nějaká čísla ři, ti, t3 e M a současně když je xx "4" /0\ /-1\ x2 4 + *i -6 + S2 -5 X3 - 4 -2 -3 4 pro nějaká s\, si e M. Porovnáním získáváme má v souřadnicích (3\ (2\ /0\ /4-4\ (0\ í- -1\ 5 4 3 4 + 5 -6 -5 h 4 + h 5 + Í3 1 — 4 - 1 + Sl -2 + S2 -3 \A + 2) V -v 203 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Při maticovém zápisu (pro pořadí proměnných t\, t2, t3, s i, s2 a po převodu vektorů u si a s2 na levou stranu) řešme pomocí řádkových ope- raci / 3 5 4 V 2 i 2 0 0 1 4 3 6 5 5 12 3 2 4 3 0 \ 9 3 6/ / 3 2 0 0 1 0 2 9 18 10 0 7 3 6 5 \ 0 -1 6 12 7 0 \ 27 9 18/ /3 00000\ 0 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 \ 0 0 0 0 1 0 / t2 = s2 = 0 a pro si = t e M je ř3 = 3 — 2ř. Podotkněme, žekurčení QiC\ Q2 stačilo znát buďři, t2, t3 nebo si, s2. Vraťme se nyní k vyjádření Odtud vidíme, že t\ xx "4" /0\ /- -1\ "4" /0\ x2 4 -6 -5 4 -6 x3 — 4 + *i -2 -3 — 4 + ř -2 x4 4 V -v 4 Průnikem zadaných podprostorů je tedy přímka (s [4,4,4,41 + ^(0,3,1,2), sel Pro kontrolu rovněž dosaďme -2ř) *1 " 4 " /3\ (2\ (o\ X3 = -5 1 + ři 5 4 + h 4 5 + t3 3 1 x4 -2 v) w + (3 - 2ř) M 3 1 V2/ + ř /0\ -6 -2 V-4/ □ 4.8. Zjistěte, zda leží body [0, 2, 1], [-1,2, 0], [-2, 5, 2] a [0, 5, 4] zťv jedné rovině. Řešení. Libovolná dvojice zadaných bodů z afinního prostoru M3 určuje vektor (viz definice afinního prostoru; jeho souřadnice jsou dány po složkách rozdíly souřadnic daných dvou bodů). To, že dané čtyři body leží v rovině je ekvivalentní tomu, že jsou tři vektory dané jedním vybraným bodem a vždy jedním ze tří zbylých lineárně závislé. Vybereme např. bod [0, 2, 1] (na výběru nezáleží), pak uvažujeme vektory [0,2, 1] — [—1, 2, 0] = (1,0, 1),[0,2, l]-[-2, 5,2] = (2, -3, -1) a [0, 2, 1] - [0, 5, 4] = (0, -3, -3). Vidíme, že součet dvojnásobku prvního vektoru a třetího vektoru je roven druhému vektoru, vektory jsou tedy lineárně závislé (jinak má taky matice, jejíž s maticí systému S. Potom S ■ x = S ■ AT1 • (y + M ■ x) - S ■ AT1 • y = b. Proto v nových výše uvažovaných souřadnicích (S0; v) bude mít náš systém rovnic tvar (5 • AT1) • x' + (5 • M ) ■ y. Pokud tedy máme nějakou podmnožinu popsánu systémem lineárních rovnic v jednom afinním repéru, pak tomu tak bude i ve všech ostatních afinních souřadných systémech. To plně dokončuje důkaz předchozí věty. 4.6. Příklady afinních podprostorů. (1) Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky A\. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor M (a nosná množina také W). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém prostoru W). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky M. (2) Dvourozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A2 se zaměřením M2. (Nosnou množinou je M2.) Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a dvou nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body a přímky v rovině (0-rozměrné a 1-rozměrné). Přímky přitom jednoznačně zadáme jejich jedním bodem a jedním generátorem zaměření (tzv. parametrický popis přímky). (3) Trojrozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A3 se zaměřením M3. Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a tří nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body, přímky a roviny (0-rozměrné, 1-rozměrné a 2-rozměrné). (4) Podprostor všech řešení jedné lineární rovnice a ■ x = b pro neznámý bod [xi, ..., xn] e A„, známý nenulový vektor koeficientů (a\, ... ,an) & skalár b e M je afinní podprostor dimenze n — 1 (říkáme také, že je jeho kodimenze 1), tj. tzv. nadrovina v A„. 4.7. Afinní kombinace bodů. Zavedeme nyní obdobu lineárních kombinací vektorů. Nechť A0, ..., Ak jsou body v afinním prostoru A. Jejich afinní obal ({A0 ..., Ak}) můžeme zapsat jako {A0 + 0(Ai - A0) + • • • + tk(Ak - A0); h, t k e a v libovolných afinních souřadnicích (tj. každý bod A, je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako k ~2ki=0 ti = 1 rozumíme body A0 + Jľ/Li ř* (A Aq) a nazýváme je afinní kombinace bodů. Body Ao ..., Ak jsou v obecné poloze, jestliže generují /c-rozměný afinní podprostor. Z našich definic je vidět, že to nastane, právě když pro kterýkoliv bod A; z nich platí, že vektory vzniklé pomocí rozdílů tohoto bodu A; a ostatních bodů A j jsou lineárně nezávislé vektory. Všimněme si také, že zadání posloupnosti (dim A) + 1 bodů v obecné poloze je ekvivalentní zadání afinního repéru se středem v prvním z nich. 4.8. Simplexy. Afinní kombinace je obdobná konstrukce pro body afinního prostoru jako byla lineární kombinace pro vektorové prostory. Skutečně, afinní podprostor generovaný body A0 ..., Ak je roven množině všech afinních kombinací svých generátorů. Můžeme však nyní dobře zobecnit i pojem „mezi dvěma body na přímce". V dvojrozměrném případě tomu odopovídá vnitřek trojúhelníku. Obecně budeme postupovat takto: k -rozměrné simplexy | Nechť A0, ..., Ak je k + 1 bodů afinního prostoru A v obecné poloze. Množina A = A(A0, ..., Ak) definovaná jako množina všech afinních kombinací bodů A; s pouze nezápornými koeficienty, tj. k A = {t0A0 + tlAl + --- + tkAk;ti e [0, 1] C M, J] ŕ; = 1}, z=o se nazývá /c-rozměrný simplex generovaný body A;. Jednorozměrný simplex je úsečka, dvourozměrný trojúhelník, nula-rozměrný simplex je bod. Všimněme si, že každý /c-rozměrný simplex má právě k + 1 stěn, které jsou postupně zadány rovnicemi ř; = 0, i = 0, ..., k. Přímo z definice je vidět, že jde opět o simplexy, a to s dimenzí k — 1. Hovoříme o hranici simplexu. Např. trojúhelník má za svou hranici tři hrany, každá z nich pak dva body. Zadání podprostoru jako množiny afinních kombinací bodů v obecné poloze je ekvivalentní parametrickému popisu. Obdobně pracujeme s parametrickými popisy simplexů. 4.9. Konvexní množiny. Podmnožina M afinního prostoru se nazývá konvexní, jestliže s každými svými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku A(A, B). Přímo z definice je vidět, že každá konvexní množina obsahuje s každými k + 1 body v obecné poloze i celý jimi definovaný simplex (formální ověření je také obsaženo v důkazu následující věty). Konvexními množinami jsou např. (1) prázdná podmnožina, (2) afinní podprostory, řádky jsou tvořeny souřadnicemi daných vektorů, hodnost nižší než tři; v tomto případě se tedy jedná o matici která má hodnost dva). Dané body tedy leží v rovině. □ 4.9. Na kolik částí mohou dělit prostor (R3) tři roviny? Pro každou možnost popište odpovídající případ. 4.10. Rozhodněte, zda leží bod [2, 1,0] uvnitř konvexního obalu bodů [0, 2, 1], [1, 0, 1], [3, -2, -1], [-1,0, 1]. Řešení. Sestavíme nehomogenní lineární soustavu, pro koeficienty t\, h, h, t a,, afinní kombinace daných bodů, která dává první bod (jsou určeny jednozačně, pokud dané body neleží v rovině). 3 -1\ (h\ /0 1 2 0 1 1 V1 1 -2 -1 1 0 1 h h W (1\ 1 0 W Poslední rovnice udává, že jde o afinní kombinaci. Jejím řešením dostáváme (ři, ř2, Í3, t4) = (1,0, 1/2,-1 /2), nejedná se tedy o konvexní kombinaci, (nelze odvodit pomocí projekcí na jednotlivé osy). □ 4.11. V R3 je dán čtyřstěn ABCD, kde A = [4, 0, 2], B = [-2, -3, 1], C = [1, -1, -3], D = [2, 4, -2]. a) Určete jeho objem. b) Rozhodněte, zda leží bod X = [0, —3, 0] uvnitř tohoto čtyřstěnu. Řešení, a) Objem čtyřstěnu je šestina objemu rovnoběžnostěnu, jehož tři hrany z bodu A jsou B — A = (—6, —3, —1), C — A = (—3, —1, —5) a D — A = (—2, 4, —4) a ten je dán absolutní hodnotou determinantu ' -6 -3 -1 -3 -1 -5 = -124. -2 4 -4 Celkem je tedy objem čtyřstěnu b) Daný bod uvnitř daného čtyřstěnu neleží. Vyjádříme-li X jakožto afinní kombinaci jeho vrcholů (řešením soustavy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých a, b, c a. d dané rovností X = aA + bB + cC + dD), obdžíme X = znamená, že X neleží v daném čtyřstěnu, tj. v konvexním obalu bodů A, B, C a D (a, b, c i d by musela být v intervalu (0, )1). □ 205 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE 4.12. Afinní transformace souřadnic bodů V afinní bázi {[1, 2, 3], (1, 1, 1), (1,-1, 2), (2, 1, 1)} v M3 jsou vyjádřeny souřadnice bodu X jako [2,2,3]. Určete jeho souřadnice ve standardní bázi, tj. v bázi {[0,0, 0], (1,0, 0), (0, 1,0), (0,0, 1)}. Řešení. Souřadnice [2, 2, 3] vbázi {[1, 2, 3], (1, 1, 1), (1, -1,2), (2, 1, určují předpisem[l,2,3] + 2-(l, 1, 1) +2-(1, -l,2) + 3-(2, 1, 1) = [11,5, 12] souřadnice bodu X ve standardní bázi. □ 4.13. Afinní transformace předpisu zobrazení. Nalezněte předpis afinního zobrazení / v souřadné soustavě dané bází u = {(1, 1), (—1, 1)} a počátkem [2, 0], které je ve standardní bázi v M2 dáno jako (3) úsečky, polopřímky p = {P + t ■ v; ŕ > 0}, (4) obecněji k- rozměrné poloprostory a {P +h-vi + --- + tk-vk; h, tk€R,tk>0}, f(xi,x2) + Řešení. Matice přechodu od dané báze u ke standardní bázi k je '1 -ť 1 1 Matici zobrazení v bázi ([2, 0], u) získáme tak, že nejprve transformujeme souřadnice v bázi ([2, 0], u) na souřadnice ve standardní bázi, tedy v bázi ([0, 0], (1, 0), (0, 1)), poté aplikujeme matici zobrazení / ve standardní bázi a na závěr výsledek transformujeme zpět do souřadnic v bázi ([2, 0], u). Transformační rovnice přechodu od suouřadnic yi, yi v bázi ([2, 0], u) k souřadnicím %\, x2 v standardní bázi jsou Odtud máme, že + + Pro předpis zobrazení pak dostáváme f(yu yi) 2 2 2 0 -1 1 + + + □ 4.14. Mějme dánu standardní souřadnou soustavu v prostoru M3. Agent K sídlí v bodě S o souřadnicích [0,1,2] a ústředí mu přidělilo pro používání souřadnou soustavu s počátkem S a bází {(1, 1,0), (-1,0, 1), (0, 1,2)}. Agent Sokol bydlí domě D na kótě [1, 1, 1] a používá souřadnou soustavu s bází {(0,0, 1), (-1, 1,2), (1,0, 1)}. Agent K žádá Sokola o schůzku v cihelně, která leží podle jeho souřadné soustavy v bodě [1, 1,0]. Kam má přijít Sokol (podle jeho souřadnic)? (5) úhly v dvojrozměrných podprostorech P = {P + h ■ vi + h ■ v2; h > 0, h > 0}. Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal K,(M) množiny M. Věta. Konvexní obal libovolné podmnožiny M C A je s K(M) = {Mi + • • • + UAs; J2ti = 1> tl- °' Ai e M5 i = \ Důkaz. Označme S množinu všech afinních kombinací na pravé straně dokazované rovnosti. Nejprve ověříme, že je S konvexní. Zvolme tedy dvě sady parametrů ti, i = 1, .., s\, ťj, j = 1, ..., s2 s požadovanými vlastnosti. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že s\ = s2 a že v obou kombinacích vystupují stejné body z M (jinak prostě přidáme sčítance s nulovými koeficienty). Uvažme libovolný bod úsečky zadané takto získanými body: e(tlAl + --- + tsAs) + (l-e)(t[Al + --- + ťsAs), 0 < e < 1. Zřejmě jsou opět všechny v S. Zbývá ukázat, že konvexní obal bodů A i, ..., As nemůže být menší než S. Samotné body A; odpovídají volbě parametrů t j = 0 pro všechny j ^ i a ř; = 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s nejvýše s — 1 body. To znamená, že konvexní obal bodů A\, ..., As_i je (podle předpokladu) tvořen právě těmi kombinacemi z pravé strany dokazované rovnosti, kde ts = 0. Uvažme nyní libovolný bod A = řiAi + • • • + tsAs e 5, ts < 1, a afinní kombinace €(Mi + "- + íJ-iVi) + (l-f(l-řs))Aí- 0) takové, že pro všechny A s A,v € Z(A) platí f(A + v) = f(A) + cp(v). Zobrazení / a

B. Přímo z definice je zřejmé, že stačí vyjádřit obraz f(A0) počátku souřadnic v A v souřadnicích na B, tj. vyjádřit vektor f(A0) — B0 v bázi v jako sloupec souřadnic y0 a vše ostatní je pak určeno násobením maticí zobrazení

p(A,C) (4) V každé kartézké souřadné soustavě (Aq, e) mají body A = A0 + aiei-\-----\-anen, B = A0 + ^i \u2\ Odtud již vyplývá, že nejmenší možné vzdálenosti je skutečně dosaženo, a to právě pro náš bod P. Vypočtená vzdálenost je skutečně ||«2ll- Obdobně ukážeme obecný výsledek. Pro volbu libovolných bodů A e Kafi e Q je jejich rozdíl dán jako součet vektorů ux e Z{11) + Z(Q) a u2 e {Z{11) + Z(Q))-L, přičemž komponenta u2 nezávisí na volbě bodů. Přičtením vhodných vektorů ze zaměření 1Za.Q zjevně obdržíme body A' a B', jejichž vzdálenost je právě ||«2ll- D Rozšíříme nyní náš stručný přehled elementárních úloh v analytické geometrii. 4.17. Příklady standardních úloh. (1) Najděte vzdálenost bodu A e £„ odpodprostoru Q c £„: Postup při řešení je dán ve větě 4.16. (2) V £2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel: Připomeňme, že na úrovni rovinné geometrie jsme s odchylkami vektorů již pracovali (viz např. 2.43). Najdeme vek-□ tor u g R2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením (v). Úloha má dvě nebo jedno řešení. (3) Spočtěte patu kolmice vedené bodem na danou přímku: Postup je uveden v důkazu předposledního bodu věty 4.16. (4) V £3 určete vzdálenost dvou přímek p, q: Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A e p, B e q. Komponenta vektoru A — B v ortogonálním doplňku (Z(p) + Z(q))-L má velikost rovnu vzdálenosti p a q. (5) V £3 najděte osu dvou mimobězek p a q: Osou zde rozumíme příčku, která realizuje nejmenší možnou vzdálenost daných mimobězek pomocí bodů průniku. Opět lze postup dovodit z důkazu věty 4.16 (poslední bod). Nechť r] je podprostor generovaný jedním bodem A e p a součtem Z(p) + (Z(p) + Ziq))^. Pokud nejsou přímky p a q rovnoběžné, půjde o rovinu. Pak průnik r] n q spolu se zaměřením (Z(p) + Z(q))1- dávají parametrický popis hledané osy. Pokud jsou přímky rovnoběžné, bude mít úloha nekonečně mnoho řešení. 212 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 4.18. Odchylky. Stejně jako vzdálenost, i řada dalších geometrických pojmů jako odchylky, orientace, objem apod. je v bodových prostorech £„ zaváděna prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Připomeňme, že odchylku dvou vektorů jsme definovali na konci třetí části druhé kapitoly, viz 2.43. Skutečně, z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 MINI < 1, má tedy smysl definice odchylky cp(u, v) vektorů u,veV v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem vztahem cos (p(u, v) u ■ v u v 0 < cp(u, v) < 2jt. To je zcela v souladu s praxí v dvourozměrném euklidovském prostoru M2 a naší filozofií, že pojem týkající se dvou vektorů je ve své podstatě záležitostí dvourozměrné geometrie. V euklidovské rovině jsme také již používali goniometrické funkce cos a sin, které jsme definovali pouze geometrickou úvahou, ke které se vrátíme na začátku kapitoly páté, kdy také budeme moci precizně ověřit geometrický názor, že je funkce cos in intervalu [0, 7t] klesající. Ve vícerozměrných prostorech je proto odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou tyto vektory generují (neboje nula) a náš definiční vztah odpovídá zvyklostem ve všech dimenzích. V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem přímo z definic plyne u — v\ ||M||2 + N|2-2(M.i;) INI2 + NI2 2||w|| ||u|| coscp(u, v). To je patrně dobře známá kosinová věta z rovinné geometrie. Dále platí pro každou ortonormální bázi e zaměření V a nenulový vektor u e V vztah e u ■ e j Podělením této rovnice číslem II u II dostáváme vztah 1 ^(cos cp(u, u\ má tedy symetrickou pozitivně semidefmitní matici at a a ý je zobrazení adjungované k cp. Viděli jsme, že každé takové zobrazení má pouze nezáporná reálná vlastní čísla a že má ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici s těmito vlastními čísly na diagonále, viz 3.29 a 3.31. Nyní můžeme odvodit obecný postup pro výpočet odchylky a = (p(Ui, ř/2). Věta. v předchozím označení nechť je x nejvetší vlastní hodnota matice at a. Pak (cos a)2 = x. Důkaz. Nechť u e U\ je vlastní vektor zobrazení ý o

i ) + pi (uu ui ) +qi (u2, vt ) - P2 { vu t>i ) - q2 {v2, ui ) = 0, Potřebujeme ukázat, že odchylka libovolného v e U\ od U2 je nejméně tak velká jako odchylka u od U2. Tzn. že kosinus příslušného úhlu nesmí být větší. Podle předchozího lemmatu stačí diskutovat odchylku u a cp(u) e U2 a přitom víme, že ||«|| = 1. Zvolme tedy v e U\, v = a\U\ + • • • + akuk, Ef=i a? = ||u||2 = l.Pak \\(p(v)f = qiv) ■ (p{v) = iý o (piv)) ■ v < \\Ý o(piv)\\\\v|| = \\Ýo(piv)\\. Předchozí lemma navíc dává i vzorec pro odchylku a vektoru v od podprostoru U2 Mv)\\ cos a Ml Mv)\l Protože jsme zvolili za k\ největší z vlastních hodnot a součet kvadrátů souřadnic af je jedna, dostáváme (cosa)2 = ||i(A;Ml) = | Vol\Vk(A; Ul,...,uk) = \\ek\\\ Vol \Vk-dA; «i, ..., «jt-i). Je-li u\, ..., un báze. souhlasná s orientací V, definujeme (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu 7 = V(-3)2 + 42 + (-2)2 + (-4)2 + 22. Vzdálenost £i od £2 jsme určovali odlišným způsobem ne vzdálenost cti od ct2. Uvedené metody jsme samozřejmě mohli použít v obou případech. Zkusme znovu vypočítat vzdálenost rovin cti , o2 postupem použitým k vyčíslení vzdálenosti rovin Qi, q2. Hledejme tedy ortogonální doplněk vektorového podprostoru generovaného vektory (2,1,0,0,1), (-2,0,1,1,0), (2,2,4,0,3), (2,0,0,-2,-1) Vol7^(A; ux un) = \No\\Vk(A;Ul v případě neosuhlasné báze klademe Wo\Vk{A\uu...,un) = -| Vol\Vk(A; uu...,un). Následující tvrzení objasňuje naše dřívější poznámky, že determinant je v jistém smyslu nástroj vyjadřující objem. První tvrzení totiž říká právě, že na /c-rozměrném prostoru dostaneme objem rovnoběžnostěnu nataženého na k vektorů tak, že jejich souřadnice (v ortonormální bázi) napíšeme do sloupců matice a spočteme determinant. Výrazu ve druhém tvrzení se říká Grammův determinant. Jeho výhoda je, že je zcela nezávislý na volbě báze a zejména se s ním proto lépe pracuje v případě k menšího než je dimenze celého prostoru. Věta. Nechť Q C £„ je euklidovský podprostor a nechť (e\, ..., ek) je jeho ortonormální báze. Pak pro libovolné vektory u\, ..., uk e Z(Q) a A e Q platí Snadno získáme / 2 1 0 0 1 \ -2011 0 2 2 4 0 3 \ 2 0 0 -2 -1 / / 1 0 0 0 3/2 \ 0 10 0-2 0 0 10 1 \ 0 0 0 1 2 odkud dostáváme ortogonální doplněk ((—3/2, 2, —1, —2, 1)), příp. jej raději zapišme jako ((3, —4, 2, 4, —2)). Připomeňme, e vzdálenost cti vůči ct2 se rovná velikosti kolmého průmětu vektoru (rozdílu libovolného bodu cti a libovolného bodu ct2) u = (3, -2, 5, 7, 3) = [3, -1, 7, 7, 3] - [0, 1, 2, 0, 0] do tohoto ortogonálního doplňku. Označme zmíněný kolmý průmět u symbolem pu a polo me v = (3, —4, 2, 4, —2). Zřejmě je pu = a ■ v pro nějaké a e M a má platit (u — pu, v ) = 0, tj. (u, v) — a (v, v) = 0. Vyčíslení dává 49 — a ■ 49 = 0. Je tudí pu = 1 • v = v a vzdálenost rovin cti , ct2 je rovna 217 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE Pu V32 + (-4)2 + 22 + 42 + (-2)2 = 7. Ukázalo se, že výpočet vzdálenosti pomocí ortogonálního doplňku součtu zaměření byl v předešlém přikladu „rychlejší cestou k výsledku". Pro roviny qi a q2 tomu bude nepochybně stejně. Druhá metoda ovšem dává body, ve kterých se vzdálenost realizuje (body, kde si jsou roviny nejblíže). Nalezněme proto s její pomocí takové body v případě rovin qi, q2. Označme Vl (1,0, -1,0,0) (1, 1, 1,0, 1), u2 = (0, 1,0, 0, -1). v2 = (0, -2, 0, 0, 3). Body X\ e Qi, X2 e q2, ve kterých se vzdálenost rovin realizuje, můžeme vyjádřit jako Xi = [7, 2, 7, -1,1] + hui + siu2, X2 = [2, 4, 7, -4, 2] + t2vi + s2v2, a tedy X2= [7,2,7,-1,1] -[2,4,7, -4,2] +hui + SiU2 - t2vt - s2v2 = (5, —2, 0, 3, —1) + t\Ui + siu2 — t2v\ — s2v2. Skalární součiny (Xi -X2,Ul) =0, (Xi -X2,ví) =0, :^i :^i pak vedou na soustavu lineárních rovnic 2ti 2si + -4t2 -—5s\ - h — X2, u2) X2, v2) 5s2 s2 I3s2 0, 0 -5, 1, -2, -1 s jediným řešením t\ jsem tak -5/2, Sl = 41/2, t2 = 5/2, s2 -8. Získali 5 41 Xi = [7,2,7,-1, l]--«i +y«2 9 45 19 2' T' T' -1, 39 X2 = [2,4,7, -4,2] + -u! 8u2 '9 45 19 39 2' ~2" ~2" ~ ' ~T Nyní ji snadno ověříme, že vzdálenost bodů X\, X2 (a současně vzdálenost rovin qu q2) je || Xi - X2\\ = || (0, 0, 0, 3, 0) || =3. □ 4.35. Najděte průnik kolmé roviny spuštěné z bodu A = [1,2,3,4] eť na rovinu q : [1, 0, 1, 0] + (1, 2, -1, -2)s + (1, 0, 0, l)ř, s, í e i (1) VólVk(A;uu...,uk) (2) (VolVk(A;Ul,...,uk))2 Důkaz. Matice uk ■ ei ui ■ ek ... uk ■ ek U\ • U\ ... Ufr • U\ uk ■ 2 a vektory u\, ... ,un-\ e V. Dosadíme-li těchto n — 1 vektorů jako prvních n — 1 argumentů n-lineárníhho zobrazení definovaného pomocí determinantu při výpočtu objemu výše, pak nám zbude jeden volný argument, tj. lineární forma na V. Protože však máme k dispozici skalární součin, odpovídá každá lineární forma právě jednomu vektoru. Tento vektor v e V nazveme vektorový součin vektorů u\, ..., w„_i, tj. pro každý vektor w e V platí (V, W) = [U\, . . . , M„_i, W]. Značíme v = u\ x ... x u„-\. Jsou-li v nějaké ortonormální bázi souřadnice našich vektorů v (Ji,..., y„Y w (xi , x„) a u j (u ... u ) , naše definice má vyjádření yixi H-----h ynxn un tni Wl(n-l) X\ ln(n — l) Xfi. Řešení. Nalezněme nejprve kolmou rovinu k q. Její zaměření bude kolmé na zaměření q, pro vektory (a, b, c, d) patřící do jejího zaměření dostáváme tedy soustavu rovnic (a,b,c,d) ■ (1,2,-1, -2) = 0 = a+2b-c-2d = 0 (a,b,c,d) ■ (1,0, 0, 1) = 0 = a+d = 0. Jejím řešením je dvojdimenzionální vektorový prostor ((0, 1, 2, 0), (—1, 0, —3, 1)). Rovina r kolmá k rovině q procházející bodem a má tedy parametrické vyjádření r : [1, 2, 3, 4] + (0, 1, 2, 0)« + (-1, 0, -3, l)v, u, v e R. Průnik rovin potom můžeme získat pomocí obou parametrických vyjádření. Pro parametry popisující průnik tedy dostáváme soustavu rovnic: 1 + s +t 2s 1 -s -2s +1 1 - v 2 + u 3 + 2u 4 + v, 3v která má jediné řešení (musí tomu tak být, protože sloupce matice soustavy jsou dány lineárně nezávislými vektory zaměření obou rovin) s = -8/19, t = 34/19, u = -54/19, v = -26/19. Dosazením hodnot parametrů s a t do parametrického vyjádření roviny q pak dostaneme souřadnice průniku [45/19, —16/19, 11/19, 18/19] (stejný výsledek pochopitelně obdržíme, dosadíme-li hodnoty parametrů u a v do parametrického vyjádření roviny r). □ 4.36. Bodem [1,2] e R2 vedte přímku, která má odchylku 30° od přímky p : [0,1] +f (1,1). Řešení. Odchylka dvou přímek je dána úhlem, který svírají jejich směrové vektory. Stačí tedy najít směrový vektor v hledané přímky. Ten získáme například rotací směrového vektoru přímky p o 30°. Matice rotace o 30° je cos 30° -sin30c sin 30° cos 30° Hledaný vektor v_ je tedy Rotovat jsme mohli i v opačném smyslu. Hledaná přímka (jedna ze dvou možných) má tedy parametrické vyjádření V3_ [1,2] + 219 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE □ 4.37. Určete cos a, kde a je odchylka dvou sousedních stěn pravidelného osmistěnu (těleso, jehož stěny tvoří osm rovnostranných trojúhelníků). Řešení. Odchylky libovolných dvou sousedních stěn jsou ze symetrie osmistěnu shodné. Rovněž tak nezáleží na jeho velikosti. Uvažujme osmistěn s délkou hrany 1, který je umístěn do standardní kartézské souřadné soustavy v R3 tak, že jeho těžiště je v bodě [0, 0, 0]. Jeho vrcholy jsou pak v bodech A = 0, 0], B = [0, ^, 0], C = [-^, 0, 0], D = [0, 0], £ = [0,0,-f]aF = [0, 0, ^]. Určeme odchylku stěn CD F a BCF. Taje dána odchylkou vektorů kolmých na jejich průnik a ležících v daných stěnách, tedy vekorů kolmých na CF. Těmi jsou vektory dané výškami z bodů D, resp. F na stranu CF v trojúhelnících CDF, resp. BCF. Výšky v rovostranném trojúhelníku splývají s těžnicemi, jedná se tedy o úsečky SD a SB, kde 5 je střed strany CF. Protože známe souřadnice bodů CaF, má bod S souřadnice [-^, 0, ^] a pro vektory máme SD = a SB = Celkem cos a / s/2 s/2 _s/2\ (s/2 s/2 _s/2\ ^ 4 ' 2 ' 4 ^ " 4 ' 2 ' 4 ^ l(^,-#,-^)llll(í,f ,-#)! Je tedy a = 132°. □ 4.38. V euklidovském prostoru M5 vypočtěte odchylku

_ lšínejjednodušší křivky na řadě tzv. kuželosečky. Jsou v kartézkých souřadnicích zadány kvadratickými rovnicemi a podle ■(U/- ' koeficientů poznáme, zda jde o kružnici, elipsu, parabolu nebo hyperbolu, případně ještě může jít o dvě přímky nebo bod (degenerované případy). Uvidíme, že naše nástroje umožní vcelku účinnou klasifikaci takovýchto objektů v libovolných konečných dimenzích i práci s nimi. Je přitom zřejmé, že v afinní geometrii nemůžeme odlišit kružnici od elipsy, proto začneme v geometrii euklidovské. 4.26. Kvadriky v £„. V analogii k rovnicím kuželoseček v rovině začneme poznámkami o objektech v euklidovských bodových prostorech, které jsou v dané ortnonormální bázi zadány kvadratickými rovnicemi, hovoříme o kvadrikách. + r (1, 1,0, 1,0) p,q,r € Řešení. Nejdříve připomeňme, že odchylka afinních podprostorů je definována jako odchylka jejich zaměření, a proto při počítání cp ne-zohledňujeme posunutí vyjádřená přičtením bodu (příp. pravé strany soustav rovnic). Varianta (a). Neboť oba podprostory U a V jsou jednodimenzionální, odchylka cp e [0, Jt/2] je dána vzorcem rns „ = (1,0,2,-2,l)-(2,0,-2,1,-1) 5 ||(1,0,2,-2,1)|M|(2,0,-2,1,-1)|| vTO-vTo' Je tedy cos

M.. Stejně dobře můžeme přemýšlet o obecné symetrické bilineární formě na libovolném vektorovém prostoru. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f(x) na vektoru x = x\e\ +• • • +xnen dána vztahem f(x) = F(x, x) = ^^XiXjF(ei, ej) = xT ■ A ■ x 'J kde A = (ciij) je symetrická matice s prvky atj = F(e;, ej). Takovýmto zobrazením / říkáme kvadratické formy a výše uvedený vzorec pro hodnotu formy s použitím zvolených souřadnic se nazývá analytický tvar formy. Obecně rozumíme kvadratickou formou zúžení f(x) jakékoliv symetrické bilineární formy F(x, y) na argumenty tvaru (x, x). Evidentně umíme z hodnot f(x) zrekonstruovat celou bilineární formu F, protože f(x + y) = F(x + y, x + y) = /(*) + f(y) + 2F(x, y). Jestliže změníme bázi e; na jinou bázi e[, ..., e'n, dostaneme pro stejný vektor jiné souřadnice x = S ■ x' (zde 5 je příslušná matice přechodu) a tedy f(x) = (S ■ x')T ■ A ■ (S ■ x') = {x'f ■ (ST ■ A ■ S) ■ x'. Předpokládejme opět, že je na našem vektorovém prostoru zadán skalární součin. Předchozí výpočet pak můžeme shrnout slovy, že matice bilineární formy F a tedy i kvadratické formy / se transformuje při změně souřadnic způsobem, který pro ortogonální změny souřadnic splývá s transformací matic zobrazení (skutečně, pak je 5_1 = ST). Tento výsledek můžeme intepretovat také jako následující pozorování: 222 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Tvrzení. Nechť V je reálny vektorový prostor se skalárním součinem. Pak vztah (p \-> F, F(u, u) = (cp(u), u) zadává bijekci mezi symetrickými lineárními zobrazeními a kvadratickými formami na V. Důkaz. Skutečně, bilineární forma s pevně zadaným ji ,. druhým argumentem je lineární formou au( ) = F( , u) a v přítomnosti skalárního součinu je nutně dána vztahem a(u)(v) = v ■ w pro vhodný vektor w. ifí1 ' Klademe cp(u) = w. Přímo ze vztahu v souřadnicích výše pak vyplývá, že cp je lineární zobrazení s maticí A. Je tedy samoadjungované. Naopak, každé symetrické zobrazení cp zadává vztahem F(u,v) = (cp(u),v) = (u,cp(v)) symetrickou bilineární formu a jejím zúžením kvadratickou formu. □ Z tohoto tvrzení vyplývá okamžitý důsledek, že pro každou kvadratickou formu / existuje ortonormální báze zaměření, ve které má / diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí). Díky ztotožnění kvadratických forem se zobrazeními můžeme také korektně zavést hodnost kvadratické formy jakožto hodnost její matice v kterékoliv bázi (tj. hodnost je rovna dimenzi obrazu příslušného zobrazení cp). 4.28. Klasifikace kvadrik. Vraťme se k naší rovnici (4.4). Naše výsledky o kvadratických formách nám umožňují dosáhnout rovnice ve tvaru J2kix? + J2biXi+b = 0- z(U) n z(V) ^ z(V). Odchylka cp je tedy definována jako odchylka podprostorů z(U) n (Z(U) n z(V))1- a z(V) n (Z(U) n z(V))-1. Dále je vidět, e je z(U) n (Z(U) n z(V))1- = < (i, o, o, i, i)), z(V) n (Z(U) n z(V))1- = < (i, i, o, i, i), (i, i, o, i, 0)). Postačuje totiž vyjádřit Z(U) jako lineární kombinaci vektorů (0,0,1,0,0), (1,0,0,1,1) a podprostor Z (V) pomocí vektorů (0,0,1,0,0), (1,1,0,1,1), (1,1,0,1,0). Protože dimenze prostoru Z(U) n (Z(U) n Z( V))-1 je 1, můžeme pou ít vzorec (4.2), kde u = (1, 0, 0, 1, 1) a pu je kolmá projekce u do Z(V) n (Z(U) n Z( V))-1. Má být pu = a (1, 1,0, 1, 1) +b(l, 1,0, 1,0) a má platit ( pu - u, (1, 1, 0, 1, 1)) = 0, ( pu - u, (1, 1, 0, 1, 0)) = 0, což vede na soustavu rovnic 4a + 3b = 3, 3a + 3b = 2 s jediným řešením a = 1, b = —1/3. Tímto jsme určili pu = (f,f,0,f,l) a z (4.2) již plyne (2/3,2/3,0,2/3,1) cos

M, f(xi, x2, x3) = 3x\ + 2x\x2 + x| + 4x2X3 + 6x|. Řešení. Její matice je Podle bodu (1) Lagrangeova algoritmu provedeme úpravy 1 2 f(xi,x2, x3) = -(3xí + x2)2 + -xf + 4x2x3 + 6x| 1,32 , = -j3Í + 2(3^2+ 2v3)2 1 3 ,2 , J 2 = 3*1 + -2z2 223 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM a vidíme, že forma má hodnost 2 a matice přechodu do příslušné polární báze w se získá posbíráním provedených transformací: 2 2 Z3 = v3 = *3, Z2 = -^yi + 2y3 = -x2 + 2x3, zi = Vl = 3xí + x2 Pokud by ale např. /(jci, x2, x3) = 2xix3 + x|, tj. matice je násobkem prvního prvku duální báze. Umíme tedy již dosáhnout výsledného tvaru X^-yf +byk+i +, 0, pak hned v prvním kroku můžeme přehodit proměnné: yi = x2, y2 = xi, y3 = x3. Aplikace kroku (1) je pak triviální (nejsou tu žádné společné členy), pro další krok ale nastane situace z bodu (4). Zavedeme tedy transformaci zi = yi, z2 = y2, z3 = y3 — y2. Pak /(xí,x2,x3) = z2 + 2z2(z3 + z2) = z2 + ^(2z2 + z3)2 - \^z\. Matici přechodu do příslušné polární báze opět dostaneme posbíráním jednotlivých transformací (tj. vynásobením jednotlivých dílčích matic přechodu). □ l, která 4.40. Nalezněte polární bázi kvadratické formy / : M3 je ve standardní bázi dána předpisem f(X\, X2, X3) = X\X2 + XiX3. Řešení. Aplikací uvedeného Lagrangeova algoritmu dostáváme: f(x\, x2, x3) = 2xix2 + x2x3 provedeme substituci podle bodu (4) algoritmu y2 — x2 — x\, y\ — x\, y3 = 2xi(xi + y2) + (xi + y2)x3 = 2x\ + 2xiy2 + XiX3 + y2x3 = 1 1,1,1, = 2^2xi +y2 + 2x3) - ^ ~ §-*3 + y^x3 = substituce yi = 2xi + y2 + j-x3 = ~ 2^ ~ g"*3 ^ = 23,1 ~ 2yi ~ 2 Š*3 = substituce y3 — \y2— 4x3 kde k je hodnost matice kvadratické formy /. Pokud je b 7= 0, můžeme ještě další změnou počátku dosáhnout vynulování konstanty c v rovnici. Celkem si tedy shrňme, že lineární člen se může (ale nemusí) objevit jen pokud je hodnost / menší než n, c e M může být nenulové pouze když je b = 0. Výsledné rovnice nazýváme kanonickými analytickými tvary kvadrik. 4.29. Případ £2. Pro ilustraci předchozího postupu projděme celou diskusi ještě jednou pro nejjed-2 = u2 — a^ai2u\, , v„ n ^11 &\nU\ a tak, jak lze očekávat, v nové bázi bude příslušná symetrická bilinerání forma splňovat g(v\,v{) = 0 pro všechny i > 0 Máme yi = 2x\ + y2 + \x3 = 2x\ + (x2 — x\) + \x3 a y3 = iy2 — \x3 = —\x\ + \x3 — jx3. Matice přechodu od standardní báze ke zvolené polární je tedy T = Pro inverzní matici pak máme Jedna z polárních bazí dané kvadratické formy je tedy například báze {(1/3, 1/3, 0), (-2/3, 4/3, 0), (-1/2, 1/2, 1)}. □ 4.41. Určete typ kuželosečky dané rovnicí: 3x2 — 3x\x2 + x2 — 1 = 0. Řešení. Pomocí algoritmu úpravy na čtverec postupně dostáváme: 3x\ - 3xix2 + x2 - 1 = — (3jci - ^j*iÝ ~ +x2-\ = 1 , 4 3 1 , 1 = -yf - -i-x2 - -) + - - i = 3n 3 4 T 3 1 2 4 2 2 = -2y\ --3yl -3. Podle seznamu kuželoseček 4.25 se tedy jedná o hyperbolu. □ 4.42. Pomocí doplnění na čtverce vyjádřete kvadriku -x2 + 3y2 + z2 + 6xy - 4z = 0 ve tvaru, ze kterého lze vyčíst její typ. Řešení. Všechny členy obsahující x připojíme k —x2 a provedeme doplnění na čtverec. Tím získáme -(x - 3y)2 + 9y2 + 3y2 + z2 - 4z = 0. Žádné „nežádoucí" členy obsahující y nemáme, a proto postup opakujeme pro proměnnou z, což dává -(x - 3y)2 + 12y2 + (z - 2)2 - 4 = 0. Odtud plyne, že existuje transformace proměnných, při které obdržíme (rovnici můžeme nejdříve vydělit 4) rovnici + 7+7-1=0. □ O typu kuželosečky můžeme rozhodnout i bez úpravy na některý z tvarů uvedený v seznamu 4.29 Jak již víme, každou kuželosečku můžeme napsat ve tvaru anx2 + 2a\2xy + a^y2 + 2a^x + 2a23y + «33 = 0. 225 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Determinanty A = det A útli ^12 ^12 a22 all a\2 a\3 ayi a22 a23 a S al3 a32 a33 jsou tzv. invariantami kuželosečky, což znamená, že se nemění při euklidovské transformaci souřadnic (rotace a posunutí) navíc různé typy kuželoseček mají různá znaménka těchto determinantů. i A / O vlastní kuželosečky: elipsa pro 8 > 0, hyperbola pro 8 < 0 a parabola pro 8 = 0 Aby šlo o reálnou elipsu, nikoliv imaginární, musí být navíc (au + a22)A < 0. • A = 0 nevlastní kuželosečky (degenerované), přímky Snadno se přesvědčíme, že znaménka, resp. nulovost, uvedených determinantů jsou skutečně invariantní vůči změně souřadnic. Označme X = I y I a A je matice kvadratické formy. Pak příslušná kuželosečka má tvar XTAX = 0. Kuželosečku ve středovém základním tvaru dostaneme otočením a posunutím, tedy transformací do nových souřadnic*', /, pro které platí x = x' cos a — y sin a + c\ y = x' siná + y' cos a + c2, tedy maticově pro nové souřadnice X' (4.3) X MX'. Dosazením vztahu X = MX' do rovnice kuželosečky, pak dostáváme rovnici kuželosečky v nových souřadnicích, tj. XTAX = 0 (MX')T A(MX') = 0 X'TMTA MX' 0. Označme A' matici kvadratické formy kuželosečky v nových souřadni- cích. Pak tedy A' = MTAM, kde matice M má jednotkový determinant, tedy det A' = det MT det A det M = det A = A. Nutně také deteminant a33, který je algebraickým doplňkem prvku «33 je nezávislý na změně souřadnic, protože pro nulové posunutí - tedy pouze otočení - je vztah det A' = det MT det A det M také platný. V tom případě matice M a det Aó (přepočtěte!). Má tedy / v nových souřadnicích analytický tvar an1x[2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné X\. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi v\ = u\, opět dostaneme výraz f = f\ + h, kde f\ závisí pouze na x[, zatímco v h se x[ nevyskytuje. Přitom pak g(v\,v\) = (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x'2 2 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření / = f\+f2+h, kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buďprovedeme n—1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme /-tém kroku bude prvek au právě získané matice nulový. (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj 7^ 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s 7-tým a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci a^ = 0 pro všechny j > /. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek ajk ^ 0 s j > i,k > /, pak jsme již úplně hotovi, neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že a^ 7^ 0. Použijeme pak transformaci v j = u j + uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. x'k = xk — Xj, ostatní zůstávají). Pak h(vj, Vj) = h(uj, Uj) + h(uk, uk) + 2h(uk, uj) = 2ajk 7^ 0 a můžeme pokračovat podle postupu v (1). □ 4.31. Afinní klasifikace kvadratických forem. Po výpočtu polární báze Lagrangeovým algoritmem můžeme ještě vylepšit bázové vektory pomocí násobení skalárem tak, aby v příslušném analytickém vyjádření naší formy vystupovaly v roli koeficientů u kvadrátů jednotlivých souřadnic pouze skaláry 1, —1 a 0. Následující věta o setrvačnosti říká navíc, že počet jedniček a mínus jedniček nezávisí na našich volbách v průběhu algoritmu. Tyto počty nyzýváme signaturou kvadratické formy. Opět tedy dostáváme úplný popis kvadratických forem ve smyslu, že dvě takové formy jsou převoditelná jedna na druhou pomocí afinní transformace tehdy a jen tehdy, když mají stejnou signaturu. Věta. Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektorovém prostoru V existuje celé číslo 0 < p < r a r nezávislých lineárních forem 0 zatímco pro v e Q je f (v) < 0. Nutně tedy platí P f) Q = {0}, a proto dim P + dim Q < n. Odtud plyne p + (n — q) 0 pro všechny vektory (2) positivně semidefinitní, je-li f(u) > 0 pro všechny vektory u e V, (3) negativně definitní, je-li f(u) < 0 pro všechny vektory ií/0, (4) negativně semidefinitní, je-li f(u) < Opro všechny vektory u e V, (5) indefinitní, je-li f(u) > 0 a /(u) < 0 pro vhodné vektory u, v e V. Stejné názvy používáme i pro symetrické reálné matice, jsou-li maticemi patřičných kvadratických forem. Signaturou symetrické matice pak rozumíme signaturu příslušné kvadratické formy. 4.32. Věta (Sylvestrovo kritérium). Symetrická reálná matice A je positivně definitní, právě když jsou všechny její hlavní minory kladné. Symetrická reálná matice A je negativně definitní právě, když (— 1)' | Ai | > 0pro všechny hlavní submatice Ai. detA33 = S. Pro samotné posunutí je matice M tento subdeterminant neovlivňuje. 4.43. Určete typ kuželosečky 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1=0. 2 -1 - Řešení. Determinant -1 3 \ I I _ "2 2 o elipsu, která je reálná, protože (a\\ + a22) A = 5 > 0 jde tedy (2 + 3)-(-f) <0. □ 4.44. Určete typ kuželosečky x2 1 Řešení. Determinant A 1 4xy - 5y2 + 2x + 4y + 3 = 0. -2 1 -5 2 - 9<0, 2 3 jde tedy o hyperbolu. □ 4.45. Určete rovnici kuželosečky (a poté její typ), která prochází body [-2,-4], [8,-4], [0,-2], [0,-6], [6,-2]. Řešení. Do obecné rovnice kuželosečky aiix2 + a22y2 + 2a\2xy + a\x + a2y + a = 0 postupně dosadíme souřadnice zadaných bodů. Takto obdržíme sou- stavu 4an + 16fl22 + 16fli2 — 2a\ - 4a2 + a = o, 64fln + 16fl22 - 64fl12 + 8ai - 4a2 + a = o, 4fl22 - 2a2 + a = o, 36fl22 - 6a2 + a = o, 36aii + 4fl22 - 24fli2 + 6ai - 2a2 + a = 0. V maticovém zápisu provedeme úpravy (4 16 64 16 0 0 \36 4 36 4 16 -64 0 0 -24 0 0 -4 -4 -2 1\ 1 1 1 (4 16 16 -2 -4 1 \ 0 4 0 0 -2 1 0 0 64 -8 12 -9 0 0 0 24 -36 27 0 0 0 3 -v /48 0 0 0 0 -1\ 0 12 0 0 0 -1 0 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 3 \0 0 0 0 3 -v Hodnotu a můžeme zvolit. Zvolíme-li a = 48, dostaneme au = 1, a22 = 4, ci\2 = 0, ci\ = —6, a2 = 32. 221 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Kuželosečka má tudíž rovnici x2 + 4 y2 - 6x + 32y + 48 = 0. V této rovnici doplníme výrazy x2 — 6x, 4y2 + 32y na druhé mocniny dvojčlenů, což dává (x - 3)2 + 4(y + 4)2 - 25 = 0, resp. I + b jsou body E = [—e, 0] a F = [e, 0], kde e = ~Ja2 — b2 jejími ohnisky (v polárních souřadnicích). Řešení. Uvažujme body X = [x, y], které splňují podmínku \EX\ + \FX\ = 2a a ukážeme, že to jsou právě body elipsy. V souřadnicích má tato rovnice tvar y/(x + e)2 + y2 + y/(x - e)2 + f = 2a Umocněním rovnice a její úpravou dostaneme ekvivalentní rovnici (a2 - e2)x2 + a2/ = a2(a2 - e2). Dosazením e2 = a2 — b2 a vydělením a2b2 dostaneme kanonickou rovnici elipsy 2 2 x y -7 + fr = l- Důkaz. Budeme si muset podrobněji rozebrat, jak vy-padají transformace použité v Lagrangeově al-áť, goritmu pro konsturkci polární báze. Transformace použité v prvním kroku tohoto algoritmu mají vždy horní trojúhelníkovou matici T a navíc, při použití technické modifikace zmíněné v důkazu věty 4.30, má tato matice jedničky na diagonále: /l £12 au b2 □ Taková matice přechodu od báze u k bázi v má několik pěkných vlastností. Zejména její hlavní submatice Tk tvořené prvními k řádky a sloupci jsou matice přechodu podprostorů Pk = («!,..., uk) od báze (u\, ..., uk) k bázi (v\ ..., vk). Hlavní submatice Ak matice A formy / jsou maticemi zúžení formy / na Pk. Při přechodu od h k k daném maticí přechodu T jsou tedy matice Ak a A'k zúžení na podprostory Pk ve vztahu Ak = TkTA'k(Tk)~l. Inverzní matice k horní trojúhelníkové matici s jedničkami na diagonále je přitom opět horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále, můžeme tedy podobně vyjádřit i A' pomocí A. Podle Cauchy-ovy věty jsou tedy determinanty matic Ak a A'k stejné. Celkem jsme tak dokázali velice užitečné pomocné tvrzení: Nechť je f kvadratická forma na V, dim V = n, a nechť je u báze V taková, že při hledání polární báze Lagrangeo-vým algoritmem není nikdy potřebné použít body (3) a (4). Pak je výsledkem analytické vyjádření f (X\, . . . , Xn) = X\X2 + ~kjXq, + • • • + A,-X2 kde r je hodnost formy f, X\, ... ,Xr ^ 0 a pro hlavní submatice (původní) matice A kvadratické formy f platí \Ak\ = X\X2 ... Xk, k < r. V námi uvažovaném postupu se při každé postupné transformaci vždy další sloupec pod diagonálou v matici A vynuluje. Odtud je již jasné, že případná nenulovost hlavních minorů v matici A zaručí nenulovost dalšího diagonálního členu v A. Touto úvahou jsme dokázali tzv. Jacobiho větu: Důsledek. Nechť f je kvadratická forma hodnosti r na vektorovém prostoru V s maticí A v bázi u. V Lagrangeově algoritmu není zapotřebí jiného kroku než doplnění čtverců právě, když pro hlavní submatice v A platí \A\\ ^ 0, ..., \Ar\ ^ 0. Pak existuje polární báze (a obdržíme ji výše odvozeným algoritmem), ve které má f analytické vyjádření tt . i yi i 2 . lA2l 2 , , \Ar\ 2 f(xx,...,xn) = \Ai\xf + —— 4 +■■■ + —--xLr. \A\\ |Ar_i I Jsou-li tedy všechny hlavní minory kladné, pak podle právě dokázané Jacobiho věty je jistě / positivně defmitní. Předpokládejme naopak, že forma / je positivně defmitní. Pak pro vhodnou regulární matici P platí A = PTEP = PTP. Je tedy \A\ = \P\2 > 0. Nechť m je zvolená báze, ve které má forma / matici A. Zúžení / na podprostory V)t = («!,..., uk) je opět positivně defmitní forma fk, 228 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE jejíž maticí v bázi u\, ..., uk je hlavní submatice Ak. Proto je podle předchozí části důkazu také \Ak\ > 0. Tvrzení o negativně defmitních vyplývá z předchozího a skutečnosti, že A je positivně defmitní právě, když — A je negativně defmitní. □ 3. Projektivní geometrie V mnoha elementárních textech o analytické geometrii autoři končí afinními a euklidovskými objekty popsanými výše. Na spoustu praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv. Tak třeba při zpracovávání obrazu z kamery nejsou zachovávány úhly a rovnoběžné přímky se mohou (ale nemusí) protínat. Dalším dobrým důvodem pro hledání širšího rámce geometrických úloh a úvah je požadovaná robustnost a jednoduchost numerických operací. Daleko jednodušší jsou totiž operace prováděné prostým násobením matic a velice těžko se totiž od sebe odlišují malinké úhly od nulových, proto je lepší mít nástroje, které takové odlišení nevyžadují. Základní ideou projektivní geometrie je rozšíření afinních prostorů o body v nekonečnu způsobem, který bude dobře umožňovat manipulace s lineárními objekty typu bodů, přímek, rovin, projekcí, apod. 4.33. Projektivní rozšíření afinní roviny. Začneme tím nejjednodušším zajímavým případem, geometrií v rovině. Jestliže si body roviny A2 představíme jako rovinu z = 1 v Ti?, pak každý bod P naší afinní roviny představuje vektor u = (x, y, 1) e M3 a tím i jednorozměrný podpro-stor (u) c M3. Naopak, skoro každý jednorozměrný pod-prostor v M3 protíná naši rovinu v právě jednom bodě P a jednotlivé vektory takového podprostoru jsou dány souřadnicemi (x, y, z) jednoznačně, až na společný skalární násobek. Žádný průnik s naší rovinou nebudou mít pouze podprostory s body o souřadnicích (x, y, 0). Projektivní rovina j Definice. Projektivní rovina V2 je množina všech jednorozměrných podprostorů v M3. Homogenní souřadnice bodu P = (x : y : z) v projektivní rovině jsou trojice reálných čísel určené až na společný skalární násobek, přičemž alespoň jedno z nich musí být nenulové. Přímka v projektivní rovině je definována jako množina jednorozměrných podprostorů (tj. bodů v V2), které vyplní dvourozměrný podprostor (tj. rovinu) v M3. Abychom měli před očima konkrétní příklad, podívejme se v afinní rovině M2 na dvě rovnoběžné přímky Ll:y-x-l=Q, L2 : y - x + 1 = 0. 4.48. Poznámka. Číslo e z předchozího příkladu se nazývá excentricita (výstřednost) elipsy. Podobně definujeme ohniska hyperboly jako body E, F, které splňují \\EX\ — \FX\\ = 2a pro libovolný bod X ležící na hyperbole. Můžete si ověřit, že tuto vlastnost splňují v polární bázi body [—e, 0] a [e, 0], kde e = -Ja2 + b2. Ohnisko paraboly je bod F, který má v polární bázi souřanice F = [0, j] a je charakterizován tím, že jeho vzdálenost od libovolného bodu X paraboly je stejná jako jako vzdálenost X od přímky y = — £. 4.49. Určete ohniska elipsy x2 + 2y2 = 2. Řešení. Z rovnice přímo odečteme, že velikosti poloos jsou a = 1 a b = -^j. Poté již snadno dopočítáme z předchozího příkladu (4.47): e = v'a2 — b2 = 1, souřadnice ohnisek j sou tedy [—1, 0] a [1, 0]. □ 4.50. Dokažte, že součin vzdáleností ohnisek elipsy od její libovolné tečny je konstantní a zjistěte velikost této konstanty. Řešení. Uvažme polární bázi. V ní má matice elipsy diagonální tvar diag(^j, ^2,-1) a rovnice poláry (tečny) v bodě X=[x0, yo] má tvar aix + yiy = 1- Vzdálenost ohnisek E,F= 0] od této přímky je rovna _qz a jejich součin je tedy \-e2%\ 2 2 xl _i_ Ŕ a4 b4 229 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE Dosadíme-li e2 = a2—b2a^ = 1—^ (bod X leží na elipse), zjistíme, že předchozí výraz je roven b . □ 4.51. Jakou velikost mají poloosy elipsy, když je součet jejich velikostí roven vzdálenosti mezi ohnisky a ta je rovna 1. Řešení. Řešíme soustavu a+b = 1 = 1 2e = 2~Ja2 - b2 a najdeme řešení a = |, b = |. □ 4.52. Pro jaké směrnice k jsou přímky vedené z bodu [—4, 2] sečnami a kdy tečnami elipsy dané rovnicí x2 y2 — + — = 1 9 4 Řešení. Směrový vektor přímky je (1, k) a proto je parametrické vyjádření přímky x = —4 + t, y = 2 + kt. Průsečík s elipsou pak splňuje (-4 + i)2 (2 + kt)2 _ 9 4 Tato kvadratická rovnice má diskriminant roven D = -^(7*+ 16) To znamená, že v intervalu k e (—y, 0) má dvě řešení, tj. přímka je sečna, a pro směrnici k = — y a & = 0 jediné řešení, tj. přímka je tečna. □ 4.53. Najděte rovnici tečny k elipse 3x2 + ly2 = 30, jejíž vzdálenost od středu elipsy je rovna 3. Řešení. Střed elipsy jev počátku souřadnic a pro vzdálenost d přímky ax + by + c = 0 od počátku se odvodí d = Jc| Tečna ze zadání tedy splňuje a2 + b2 = y. Rovnice tečny v bodě [xT, yT] je 3xxT + 7yyT — 30 = 0. Pro souřadnice bodu dotyku tak dostáváme soustavu (3xT)2 +(lyT)2 3xj + Tyj. 100 30 Jejím řešením je xT = ±y |, y t = ±y Vzhledem k symetrii elipsy dostáváme čtyři řešení ±3^~^x ± I^J^y — 30 = 0. □ 4.54. Je dána hyberbola x2 — y2 = 2. Určete rovnici hyperboly, která má stejná ohniska a prochází bodem [—2, 3]. Řešení. Výstřednost zadané hyperboly je e = \/2 + 2 = 2. Rovnice 2 2 hledané hyperboly bude ^ — ^ = 1 a její výstřednost bude splňovat e2 = a2 + b2 = 4. Podmínka, že bod [—2,3] leží na hyperbole dává 4r — = 1. Řešením této soustavy je a2 = 1, ŕ2 = 3. Hledaná v-2 _ z! = 1 Jestliže budeme body přímek L\ a L2 chápat jako konečné body v projektivním prostoru "P2, budou zjevně jejich homogenní souřadnice (x : y : z) splňovat rovnice Li : y 0, L2:y-x + z = 0. Je vidět, že průnikem L\ n L2 bude v tomto kontextu bod (—1 : 1 : 0) e "P2, tj. nevlastní bod odpovídající společnému zaměření obou přímek. 4.34. Afinní souřadnice v projektivní rovině. Pokud zač-J' i, neme naopak projektivní rovinou "P2 a budeme v ní chtít uvidět afinní rovinu jako její „konečnou" část, pak můžeme místo roviny z = 1 vzít v M3 jakoukoliv jinou rovinu a neprocházející počátkem OeK3. Konečné body pak budou ty jednorozměrné podprostory, které mají neprázdný průnik s rovinou a. Pokračujme v našem příkladu rovnoběžných přímek z předchozího odstavce a podívejme se, jak budou jejich rovnice vypadat v souřadnicích v afinní rovině, která bude dána jako y = 1. Za tím účelem stačí dosadit y = 1 do předchozích rovnic: L[:l 0, L' : 1 - x + z = 0 hyperbola je tedy x □ Nyní jsou „nekonečné" body naší původní afinní roviny dány vztahem z = 0 a vidíme, že naše přímky L[ a L'2 se protínají v bodě (1, 1, 0). To odpovídá geometrické představě, že rovnoběžné přímky L\, L2 v afinní rovině se protínají v nekonečnu a to v bodě (1:1: 0). 4.35. Projektivní prostory a transformace. Náš postup v afinní rovině se přirozeným způsobem zobecňuje na každou konečnou dimenzi. Volbou libovolné afinní nadroviny A„ ve vektorovém prostoru W+1, která neprochází počátkem, můžeme ztotožnit body P e A„ s jednorozměrnými podprostory, které tyto body generují. Zbylé jednorozměrné podprostory vyplní nadrovinu rovnoběžnou s A„ a říkáme jim nekonečné body nebo také nevlastní body v projektivním rozšíření V„ afinní roviny A„. Zjevně je vždy množina nevlastních bodů v V„ projektivním prostorem dimenze o jedničku nižším. Afinní přímka má ve svém projektivním rozšíření pouze jediný nevlastní bod (oba konce přímky se „potkají" v nekonečnu a projektivní přímka proto vypadá jako kružnice), projektivní rovina má projektivní přímku nevlastních bodů, trojrozměrný projektivní prostor má projektivní rovinu nevlastních bodů atd. Ještě obecněji zavádíme projektivizaci vektorového prostoru: pro libovolný vektorový prostor V dimenze n + 1 definujeme V(V) = {P C V; P C V, dim V = 1}. Volbou libovolné báze w ve V dostáváme tzv. homogenní souřadnice na V(V) tak, že pro P eV(V) použijeme jeho libovolný nenulový vektor w e V a souřadnice tohoto vektoru 230 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE v bázi u. Bodům projektivního prostoru V(V) říkáme geometrické body, zatímco jejich nenulové generátory ve V nazýváme říkáme aritmetické reprezentanty. Při zvolených homogenních souřadnicích je možné jednu z jejich hodnot zafixovat na jedničku (tj. vyloučíme všechny body projektivního prostoru s touto souřadnicí nulovou) a získáme tak vložení n-rozměrného afinního prostoru A„ C V{V). To je přesně konstrukce, kterou jsme použili v našem příkladu projektivní roviny. „promítnutý" 4.36. Perspektivní projekce. Velmi dobře jsou výhody projektivní geometrie vidět na perspektivní projekci R3 -» R2. Přestavme si, že pozorovatel sedící v počátku pozoruje „polovinu světa", tj. body (X, Y, Z) e R3 se Z > 0 a obraz vidí na plátně daném rovinou Z = / > 0. Bod (X, Y, Z) „reálného světa" se mu tedy promítá na bod (x, y) na průmětně takto: X Y * = /-> y = f-- Z Z To je nejen nelineární formule, ale navíc při Z malém bude velice problematická přesnost výpočtů. Při rozšíření této transformace na zobrazení V3 -» V2 dostáváme zobrazení (X : Y : Z : W) h» (x : y : z) = (—fX : — fY : Z), tj. popsané prostým lineárním vztahem '/ o 0 0> 0/00 0 0 10; (x\ Y Z W Tento jednoduchý výraz zadává perspektivní projekci pro konečné body vM3 C V3, které dosazujeme jako výrazy s W = 1. Přitom jsem elgantně odstranili problémy s body, jejichž obraz utíká do nekonečna. Skutečně, je-li Z-ová souřadnice skutečného bodu scény blízká nule, bude hodnota třetí homogenní souřadnice obrazu mít souřadnici blízkou nule, tj. bude představovat bod blízký nekonečnu. 4.37. Afinní a projektivní transformace. Každé prosté li-J< „ neární zobrazení

V vektorového prostoru na sebe .invertibilní, všechna projektivní zobrazení projektiv-I prostoru V„ na sebe jsou tedy invertibilní též. Říká se aké regulární kolineace nebo projektivní transformace. svídají v homogenních souřadnicích invertibilním mati-iimenze n + 1. Dvě takové matice zadávají stejnou pro-vní transformaci, právě když se liší o konstantní náso- festliže si zvolíme první souřadnici jako tu, jejíž nulovost je nevlastní body, budou transformace, které zachovávají istní body, dány maticemi, jejichž první řádek musí být i první člen nulový. Jestliže budeme chtít přejít do afm-mcn souřadnic konečných bodů, tj. zafixujeme si hodnotu první souřadnice na jedničku, musí být první prvek na prvním řádku být také rovný jedné. Matice kolineací zachovávajících konečné body našeho afinního prostoru tedy mají tvar: (l 0 ••• 0 \ kde b = (bi, ..., bn)L e W a A = (a^) je invertibilní matice dimenze n. Působení takové matice na vektoru (1, x\, ..., xn) je právě obecná afinní transformace, kde b zadává posunutí a A její lineární část. Jsou tedy afinní zobrazení právě ty kolineace, které zachovávají nadrovinu nevlastních bodů. 4.38. Určení kolineací. K zadání afinního zobrazení je nutné a stačí libovolně zadat obraz afinního repéru. V právě uvedeném popisu afinních transformací jako speciálního případu projektivních zobrazení to odpovídá vhodné volbě obrazu vhodné aritmetické báze vektorového prostoru V. Obecně ale neplatí, že obraz aritmetické báze V jednoznačně určí kolineací. Ukažme si podstatu problému na jednoduchém příkladu afinní roviny. Jestliže si zvolíme v rovině čtyři body A, B, C, D tak, aby každá z nich utvořená trojice byla v obecné poloze (tj. žádné tři z nich neleží na jedné přímce), můžeme si libovolně zvolit jejich obraz v kolineací následujícím způsobem: Zvolme jakkoliv jejich čtyři obrazy A', B', C, D' se stejnou vlastností a zvolme si jejich homogenní souřadnice u, v, w, z, u', v', w', z' vl3. Vektory z a z'pak můžeme jistě zapsat pomocí lineárních kombinací z = c\u + c2v + c3w, z' = c\u' + c'2v' + c'3w', přičemž všech šest koeficientů musí být nenulových, neboť jinak by některá trojice z našich bodů nebyla v obecné poloze. Nyní si zvolíme nové aritmetické reprezentanty bodů A, S a C poradě jako ú = c\u,v = c2v aw = c3w a stejně ú' = c\W', v' = c2v' a w' = c3w' pro body A', B' a C. Tato volba zadává jediné lineární zobrazení

^1- Hledané tečny jsou pak poláry těchto bodů. Ty mají rovnice 29 ' 29 y = 0a20x -2\y = 0. □ Jsou-li p a 9 po řadě přímky procházející dvojicemi bodů (A, X) a (£, X), pak také f(p) = p a /(