Zkouška MB101 a MB201, 21.1.2013
Příklad l.(5h.) Rozhodněte, za existuje úsečka PQ, kde P g p, Q g q, přičemž přímky p a q jsou dány vztahy
p : [1, -1, 2] + í(l, 0,1), í g M,    q: [2, -3, 1] + a(-l, -1,1) s g M a navíc bod [0,1, 3] leží na úsečce PQ.
Řešení. Neexistuje. Přímka procházející daným bodem a protínající jak p tak q je daná body P — [1,-1,2] (g p) a Q — [2, —3,1] (g q). Daný bod však na úsečce PQ neleží. □
Příklad 2. (5b.) Určete jedinou posloupnost vyhovující rekurentnímu vztahu
xn — —xn-\ + 6x„_2 — 8n + 10,   n > 2
se členy     — 4, x2 — 20.
Řešení. xn = 2™ + (-3)™ + 2n + 3. □ Příklad 3. (5b.) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
Řešení. Jednonásobná vlastní hodnota 2, příslušný vektorový prostor vlastních vektorů ((1,1,0)), dvojnásobná vlastní hodnota 1, příslušný vektorový prostor vlastních vektorů ((1,0,—1), (1,1,1)). □
Příklad 4. (5b.) Adam, Bedřich a Čeněk si házejí balónem. Adam jej s pravděpodobností -| hodí Čeňkovi, s pravděpodobností ^ Bedřichovi. Bedřich jej s pravděpodobností | hodí Adamovi a s pravděpodobností | Čeňkovi. Konečně Čeněk jej hodí s pravděpodobností | Adamovi a s pravděpodobností | Bedřichovi. Sestavte matici tohoto Markovova procesu a určete, s jakou pravděpodobností se míč bude nacházet po velkém počtu hodů u Bedřicha (každý potřebuje stejný čas na odhození balónu).
u 3
Řešení. Matice procesu je [ ^   0   ^ j , vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě 1 je (^, 1, ||), hledaná
pravděpodobnost pak j-=
13/9+1+25/18 23'
-2- □
23
Příklad 5.(8b.) Osm karet, čtyři esa a čtyři krále rozdělíme po dvou mezi čtyři hráče. Jaká je pravděpodobnost, že někdo dostane alespoň dvě esa? Výsledek vyjádřete ve tvaru podílu dvou dvojciferných čísel.
Řešení.
4! -4! _ 27