Zkouška MB101, 31.1.2013
Příklad l.(5b.) V prostoru M3 je dána zrcadlová rovina y — 0. Určete délku dráhy, kterou urazí světelný paprsek při cestě z hodu [1, 2, 3] odrazem o zrcadlovou rovinu do hodu [2,1, 2].
Řešení. y/íí □ Příklad 2. (5h.) Určete jedinou posloupnost vyhovující rekurentnímu vztahu
xn — 2xn-i + 8x„_2 - 9,   n > 2
se členy x\ — 1, x^ — 25.
Řešení. xn — 4™ + 2 • (—2)™ + 1. Což je mimochodem (2™ + (— l)™)2, takže úloha by mohla znít: dokažte, že každý člen této posloupnosti je čtvercem přirozeného čísla ..:-). □
Příklad 3. (5b.) Určete jaké zobrazení v M3 zadává matice
Řešení. Zrcadlení podle roviny ((1, 0,1), (0,1, 0)). □
Příklad 4. (5b.) Jistá populace malých hlodavců se množí následujícím způsobem: hlodavci stáří do jednoho měsíce splodí v průměru jednoho hlodavce, na jednoho hlodavce stáří mezi jedním a dvěma měsíci připadá v průměru 12 nově narozených hlodavců. Starší hlodavci neplodí. Umírá polovina hlodavců stáří do jednoho jednoho měsíce i polovina hlodavců stáří mezi měsícem a dvěma měsíci. Více než tří měsíců se nedožije žádný. Na jakém poměru se ustálí počet hlodavců stáří do jednoho měsíce ku počtu hlodavců stáří mezi jedním a dvěma měsíci ku počtu hlodavců stáří mezi dvěma a třemi měsíci.
Řešení. 36 : 6 : 1. □
Příklad 5. (5b.) Aleš má dvě speciální hrací kostky, na jedné padá vždy šestka, na druhé padá pouze čtyřka, pětka, či šestka, každé číslo se třetinovou pravděpodobností. Jaká je pravděpodobnost, že mu při hodu těmito dvěma kostkami padne vyšší součet než Martinovi, který háže se dvěma poctivými kostkami. Výsledek vyjádřete ve tvaru podílu dvou dvouciferných čísel.
Řešení. |f. □
54