Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Matematika I – 6a
Vektorové prostory, báze, ortogonalizace
Jan Slovák
Masarykova univerzita, Fakulta informatiky
22. 10. 2012
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Obsah přednášky
1 Vektorové prostory
2 Báze a souřadnice
3 Transformace souřadnic
4 Velikost vektorů a ortonormální báze
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Uvažujme systém m lineárních rovnic pro n proměnných a
předpokládejme, že jde o rovnice tvaru A · x = 0, tj.



a11 . . . a1n
...
...
am1 . . . amn


 .



x1
...
xn


 =



0
...
0


 .
Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je okamžitě zřejmé,
že součet dvou řešení x = (x1, . . . , xn) a y = (y1, . . . , yn) splňuje
A · (x + y) = A · x + A · y = 0
a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární
násobek a · x.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic s nulovou
pravou stranou je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení
vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v Kn.
Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a
„dimenze“ tohoto prostoru určitě nemá být n (pokud matice
systému není nulová).
Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho
dimenze.
Vektorové (pod)prostory
Vektorový prostor V nad polem skalárů K je množina s operací
sčítání, pro kterou jsou splněny axiomy komutativní grupy, a
násobení skaláry takové, že platí
a · (v + w) = a · v + a · w (V1)
(a + b) · v = a · v + b · v (V2)
a · (b · v) = (a · b) · v (V3)
1 · v = v (V4)
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Budeme sice pracovat pouze s podmnožinami V ⊂ Rn majícími
všechny vlasti vektorových prostorů, podstatné ale pro nás budou
pouze následující vlastnosti, které lze také odvodit z abstraktní
definice vektorového prostoru:
Theorem
Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme
a, b, ai ∈ K, vektory u, v, uj ∈ V . Potom
1 a · u = 0 právě když a = 0 nebo u = 0
2 (−1) · u = −u
3 a · (u − v) = a · u − a · v
4 (a − b) · u = a · u − b · u
5
n
i=1 ai · m
j=1 uj = n
i=1
m
j=1 ai · uj .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
U matic jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice.
S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy
tvaru a1 · v1 + · · · + ak · vk nazýváme lineární kombinace vektorů
v1, . . . , vk ⊂ V .
Množina vektorů M ⊂ V ve vektorovém prostoru V nad K se
nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou k-tici vektorů
v1, . . . , vk ∈ M a každé skaláry a1, . . . , ak ∈ K platí:
a1 · v1 + · · · + ak · vk = 0 =⇒ a1 = a2 = · · · = ak = 0.
Posloupnost vektorů v1, . . . , vk nazveme lineárně nezávislou jestliže
v1, . . . , vk jsou po dvou různé a {v1, . . . , vk} je lineárně nezávislá.
Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně
nezávislá.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Přímo z definice pak vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů
ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když
je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace
ostatních.
Přímo z definic plyne, že každá podmnožina lineárně nezávislé
množiny M je lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že M ⊂ V
je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v
M je lineárně nezávislá.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Podmnožina M ⊂ V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže
spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry je sama
vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme
∀a, b ∈ K, ∀v, w ∈ M, a · v + b · w ∈ M.
Prostor n–tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je
vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např.
pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0, 1) ∈ R2 lineárně nezávislé,
protože z a · (1, 0) + b · (0, 1) = (0, 0) plyne a = b = 0. Dále,
vektory (1, 0), (
√
2, 0) ∈ R2 jsou lineárně závislé nad R, protože√
2 · (1, 0) = (
√
2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! Nad R
tedy tyto dva vektory „generují“ jednorozměrný podprostor,
zatímco nad Q je dvourozměrný.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Rm[x].
Polynomy můžeme chápat jako zobrazení f : R → R a sčítání a
násobení skaláry definujeme takto: (f + g)(x) = f (x) + g(x),
(a · f )(x) = a · f (x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový
prostor R∞[x] a Rm[x] ⊂ Rn[x] je vektorový podprostor pro
všechna m ≤ n ≤ ∞. Podprostory jsou např. všechny sudé
polynomy nebo liché polynomy (f (−x) = ±f (x)).
Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu
vektorového prostoru na množině všech zobrazení R → R nebo
všech zobrazení M → V libovolné pevně zvolené množiny M do
vektorového prostoru V .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje pouze univerzální
kvantifikátory, je jistě průnik podprostorů opět podprostor. Snadno
to ověříme i přímo: Nechť Wi , i ∈ I, jsou vektorové podprostory ve
V , a, b ∈ K, u, v ∈ ∩i∈I Wi . Pak pro všechny i ∈ I,
a · u + b · v ∈ Wi , to ale znamená, že a · u + b · v ∈ ∩i∈I Wi .
Zejména je tedy podprostorem průnik všech podprostorů W ⊂ V ,
které obsahují předem danou množinu vektorů M ⊂ V . Říkáme, že
takto M generuje podprostor M , nebo že prvky M jsou
generátory podprostoru M .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Theorem
Pro každou podmnožinu M ⊂ V platí
1 M = {a1 · u1 + · · · + ak · uk; k ∈ N, ai ∈ K, uj ∈ M, j =
1, . . . , k}
2 M = M právě když M je vektorový podprostor
3 jestliže N ⊂ M pak N ⊂ M je vektorový podprostor
4 ∅ = {0} ⊂ V , triviální podprostor.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Nechť Vi , i ∈ I, jsou podprostory ve V . Pak podprostor generovaný
jejich sjednocením, tj. ∪i∈I Vi , nazýváme součtem podprostorů
Vi . Značíme i∈I Vi . Zejména pro V1, . . . , Vk ⊂ V ,
V1 + · · · + Vk = V1 ∪ V2 ∪ · · · ∪ Vk .
Viděli jsme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostorů
můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z podprostorů Vi .
Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat
členy patřící do stejného podprostoru a pro konečný součet k
podprostorů tak dostáváme
V1 + V2 + · · · + Vk = {v1 + · · · + vk; vi ∈ Vi , i = 1, . . . , k}.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Součet W = V1 + · · · + Vk ⊂ V se nazývá přímý součet
podprostorů, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. Vi ∩ Vj = {0}
pro všechny i = j. V takovém případě lze každý vektor w ∈ W
napsat právě jedním způsobem jako součet
w = v1 + · · · + vk,
kde vi ∈ Vi . Pro přímé součty píšeme
W = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk = ⊕k
i=1Vi .
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Podmnožina M ⊂ V se nazývá báze vektorového prostoru V ,
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který
má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze
nazýváme dimenzí V 1. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je
nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k ∈ N, případně k = ∞.
Bázi k-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako k-tici
v = (v1, . . . , vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení
konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy
uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto,
striktně vzato, nedefinovali.
Zjevně, je-li (v1, . . . , vn) bazí V , je celý prostor V přímým součtem
jednorozměrných podprostorů
V = v1 ⊕ · · · ⊕ vn .
1
Všimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou,
která je "prázdnou"bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Intuitivně lze jistě věřit následujícímu tvrzení. S přesným důkazem
(ukazujícím, proč je k tomu třeba vlastností pole skalárů se vrátíme
v rozšířené přednášce). Pro vektory coby n–tice skalárů je možné i
formálně ověřit postupy, které jsme potkali u Gausovy eliminace
minule.
Theorem
Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V
lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Zapamatujme si:
Vlastnosti bazí
1 Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají
stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na
volbě báze.
2 Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu
doplnit do báze.
3 Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě
maximální lineárně nezávislé množiny
4 Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální
množiny generátorů
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Theorem
Nechť W , W1, W2 ⊂ V jsou podprostory v prostoru konečné
dimenze. Pak platí
1 dim W ≤ dim V
2 V = W právě když dim V = dim W
3 dim W1 + dim W2 = dim(W1 + W2) + dim(W1 ∩ W2).
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Když je množina {v1, . . . , vn} ⊂ V báze, můžeme každý vektor
v ∈ V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a1v1 + · · · + anvn.
Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby:
v = a1v1 + · · · + anvn = b1v1 + · · · + bnvn.
Potom ale
0 = (a1 − b1) · v1 + · · · + (an − bn) · vn
a proto ai = bi pro všechna i = 1, . . . , n. Lze tedy každý vektor
zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových
vektorů.
Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor
v ∈ V ve zvolené bázi (v1, . . . , vn) se nazývají souřadnice vektoru
v v této bázi.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Přiřazení, které vektoru u = a1v1 + · · · + anvn přiřadí jeho
souřadnice v bázi v, budeme značit stejným symbolem v : V → Kn.
Má tyto vlastnosti:2
v(u + w) = v(u) + v(w); ∀u, w ∈ V
v(a · u) = a · v(u); ∀a ∈ K, ∀u ∈ V .
2
Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou
totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této
příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná
nekonečněrozměrného) prostoru V . Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale
ještě můžeme definovat zobrazení M : V → KM
(tj. souřadnice vektoru jsou
zobrazení z M do K).
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K.
Zobrazení f : V → W se nazývá lineární zobrazení
(homomorfismus) jestliže platí:
1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V
2 f (a · u) = a · f (u), ∀a ∈ K, ∀u ∈ V .
Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení
matic:
Kn
x → A · x ∈ Km
s maticí typu m/n nad K.
Je tomu i naopak – v souřadnicích je každé lineární zobrazení dané
pomocí násobení vhodnou maticí:
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Uvažujme libovolné vektorové prostory V , W nad K s dim V = n,
dim W = m a mějme lineární zobrazení f : V → W . Pro každou
volbu bází u = (u1, . . . , un) na V , v = (v1, . . . , vn) na W , máme k
dispozici příslušná přiřazení souřadnic:
V
f //
u

W
v

Kn
fu,v
// Km
Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými
hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na bázi
u. Odtud přímo vidíme, že fu,v je dáno jako násobení maticí, do
jejíchž sloupců jsou vepsány souřadnice hodnot zobrazení f (ui ) v
bázi v.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bazemi, a
za f identické zobrazení, vyjadřuje náš postup vektory báze u v
souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak
zadáme vektor u
u = x1u1 + · · · + xnun
v souřadnicích vzhledem k u a dosadíme za ui , obdržíme souřadné
vyjádření ¯x téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přeskládat pořadí
sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Podle výše
uvedeného postupu musí vyjít ¯x = T · x. Tuto matici nazýváme
matice přechodu od báze u k bázi v. Matice T zadávající
transformaci souřadnic z báze u do báze v je tedy maticí
identického zobrazení idV : V → V :
V
idV
//
u

V
v

Kn
(idV )u,v
// Kn
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Theorem
Matici T přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice
vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T.
Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x
vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží
vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní
zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice
přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu
opačným směrem, tj. od báze v k bázi u.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
V geometrii roviny jsem již pracovali nejen s bázemi a lineárními
zobrazeními, ale také s velikostí vektorů a jejich úhly. Pro zavedení
těchto pojmů jsme použili souřadného vyjádření pro velikost
v = (x, y):
v = x2 + y2,
zatímco úhel ϕ dvou vektorů v = (x, y) a v = (x , y ) byl dán
cos ϕ =
xx + yy
v v
.
Povšimněme si, že výraz v čitateli posledního výrazu je lineární v
každém ze svých argumentů, značíme jej v, v a říkáme mu
skalární součin vektorů v a v . Skalární součin je také symetrický ve
svých argumentech a platí
v 2
= v, v .
Zejména platí, že v = 0 právě, když v = 0. Z našich úvah je také
vidět, že v Euklidovské rovině jsou dva vektory kolmé právě, když je
jejich skalární součin nulový. Zobecníme si tento postup pro
libovolné (zatím konečné) dimenze.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Lineární a multilineární formy
Speciálním případem lineárních zobrazení jsou tzv. lineární formy.
Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem
skalárů K do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V , je přiřazení
jednotlivé i-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou.
Při pevně zvolené bázi {1} na K jsou s každou volbou báze na V
lineární formy ztotožněny s maticemi typu 1/n, tj. s řádky. Vyčíslení
takové formy na vektoru je pak dáno vynásobením příslušného
řádkového vektoru se sloupcem souřadnic.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Množina všech lineárních forem na daném prostoru V je opět
vektorový prostor, značíme jej V ∗. Pokud je V konečněrozměrný, je
V ∗ izomorfní prostoru V . Realizace takového izomorfismu je dána
např. volbou tzv. duální báze k zvolené bázi na V , jejímiž prvky αi
jsou právě formy zadávající i-tou souřadnici.
Podobně budeme pracovat i se zobrazeními ze součinu k kopií
vektorového prostoru V do skalárů lineárních v každém argumentu.
Hovoříme o k-lineárních formách. Budeme se setkávat (a již jsme
je viděli v dimenzi 2) zejména s n-lineárními antisymetrickými
formami (formy objemu) a symetrickými bilineárními formami.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Definition
Skalární součin na vektorovém prostoru V nad reálnými čísly je
bilineární symetrická forma , : V × V → R taková, že
v, v ≥ 0 a je roven nule pouze při v = 0.
Pro skalární součin se často používá také obvyklé tečky, tj.
u, v = u · v. Z kontextu je pak třeba poznat, zda jde o součin
dvou vektorů (tedy výsledkem je skalár) nebo něco jiného.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Definition
Vektory v a w ∈ V se nazývají ortogonální, jestliže v, w = 0.
Vektor v se nazývá normovaný, jestliže v = 1. Báze prostoru V
složená z ortogonálních vektorů se nazývá ortogonální báze.
Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze.
Úhel ϕ dvou vektorů v a w je dán vztahem
cos ϕ =
v, w
v w
.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Theorem
Skalární součin je v každé ortonormální bázi dán výrazem
x, y = xT
· y.
V obecné bázi V existuje symetrická matice S taková, že
x, y = xT
· S · y.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Existence ortonormální báze
Přímočaré početní využití kolmých projekcí vede k tzv.
Grammovu–Schmidtovu ortogonalizačnímu procesu. Cílem
procedury je z dané posloupnosti nenulových generátorů v1, . . . , vk
konečněrozměrného prostoru V vytvořit ortogonální množinu
nenulových generátorů pro V .
Začneme prvním (nenulovým) vektorem v1 a spočteme kolmou
projekci v2 do
v1
⊥
⊂ {v1, v2} .
Výsledek bude nenulový právě, když je v2 nezávislé na v1. Ve všech
dalších krocích budeme postupovat obdobně.
V -tém kroku tedy chceme, aby pro v +1 = u +1 +a1v1 +· · ·+a v
platilo v +1, vi = 0, pro všechny i = 1, . . . , . Odtud plyne
0 = u +1 + a1v1 + · · · + a v , vi = u +1, vi + ai vi , vi
a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny
jednoznačně až na násobek.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Dokázali jsme tedy následující tvrzení:
Theorem
Nechť (u1, . . . , uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů prostoru V
se skalárním součinem. Pak existuje ortogonální systém vektorů
(v1, . . . , vk) takový, že vi ∈ u1, . . . , ui , i = 1, . . . , k. Získáme je
následující procedurou:
Z nezávislosti vektorů ui plyne u1 = 0. Položíme v1 = u1.
Máme-li již vektory v1, . . . , v potřebných vlastností klademe
v +1 = u +1 + a1v1 + · · · + a v , ai = −
u +1, vi
vi
2
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Kdykoliv máme ortogonální bázi vektorového prostoru V , stačí
vektory vynormovat a získáme bázi ortonormální. Dokázali jsme
proto také:
Corollary
Na každém vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje
ortonormální báze.
V ortonormální bázi se obzvlášť snadno spočtou souřadnice a kolmé
projekce. Skutečně, mějme ortonormální bázi (e1, . . . , en) prostoru
V . Pak každý vektor v = x1e1 + · · · + xnen splňuje
ei , v = ei , x1e1 + · · · + xnen = xi
a platí tedy vždy
v = e1, v e1 + · · · + en, v en.
Vektorové prostory Báze a souřadnice Transformace souřadnic Velikost vektorů a ortonormální báze
Pokud máme zadán podprostor W ⊂ V a jeho ortonormální bázi
(e1, . . . , ek), jde ji jistě doplnit na ortonormální bázi (e1, . . . , en)
celého V . Kolmá projekce obecného vektoru v ∈ V do W pak bude
dána vztahem
v → e1, v e1 + · · · + en, v ek.
Pro kolmou projekci nám tedy stačí znát jen ortonormání bázi
podprostoru W , na nejž promítáme.
Povšimněme si také, že obecně jsou projekce f na podprostor W
podél U a projekce g na U podél W svázány vztahem g = idV −f .
Je tedy u kolmých projekcí na daný podprostor W vždy výhodnější
počítat ortonormální bázi toho z dvojice W , W ⊥, který má menší
dimenzi.