Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Matematika I – 9a
Lineární diferenční rovnice
Jan Slovák
Masarykova univerzita
12. 11. 2012
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Obsah přednášky
1 Lineární diferenční rovnice a filtry
2 Lineární filtry
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Plán přednášky
1 Lineární diferenční rovnice a filtry
2 Lineární filtry
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Diferenčními rovnicemi jsme se zabývali již v první kapitole. Nyní si
uvedeme náznak obecné teorie.
Definition
Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k s konstantními
koeficienty je dána výrazem
a0xn + a1xn−1 + · · · + akxn−k = 0, a0 = 0 ak = 0.
Říkáme také, že řešíme homogenní lineární rekurenci řádu k.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Diferenčními rovnicemi jsme se zabývali již v první kapitole. Nyní si
uvedeme náznak obecné teorie.
Definition
Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k s konstantními
koeficienty je dána výrazem
a0xn + a1xn−1 + · · · + akxn−k = 0, a0 = 0 ak = 0.
Říkáme také, že řešíme homogenní lineární rekurenci řádu k.
Libovolným zadáním k po sobě jdoucích hodnot xi jsou určeny i
všechny následující hodnoty jednoznačně. Zároveň je zjevné, že
součet dvou řešení nebo skalární násobek řešení je opět řešení.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Diferenčními rovnicemi jsme se zabývali již v první kapitole. Nyní si
uvedeme náznak obecné teorie.
Definition
Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k s konstantními
koeficienty je dána výrazem
a0xn + a1xn−1 + · · · + akxn−k = 0, a0 = 0 ak = 0.
Říkáme také, že řešíme homogenní lineární rekurenci řádu k.
Libovolným zadáním k po sobě jdoucích hodnot xi jsou určeny i
všechny následující hodnoty jednoznačně. Zároveň je zjevné, že
součet dvou řešení nebo skalární násobek řešení je opět řešení.
Opět tedy je množina řešení vektorovým prostorem. Uvědomme si,
že vektory jsou sice nekonečné posloupnosti čísel, samotný prostor
všech řešení ovšem bude konečněrozměrný a předem víme, že jeho
dimenze bude rovna řádu rovnice k.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Pokud tedy budeme předpokládat řešení v nějaké vhodné formě a
podaří se nám najít k lineárně nezávislých možností, budeme mít
opět fundamentální systém řešení a všechna ostatní budou jejich
lineárními kombinacemi.
Uvažujme možnost xn = λn pro nějaký skalár λ. Pak dostáváme
podmínku
λn−k
(a0λk
+ a1λk−1
· · · + ak) = 0
což znamená, že buď λ = 0 nebo je λ kořenem tzv.
charakteristického polynomu v závorce. Předpokládejme, že má
tento polynom k různých kořenů λ1, . . . , λk.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Pokud tedy budeme předpokládat řešení v nějaké vhodné formě a
podaří se nám najít k lineárně nezávislých možností, budeme mít
opět fundamentální systém řešení a všechna ostatní budou jejich
lineárními kombinacemi.
Uvažujme možnost xn = λn pro nějaký skalár λ. Pak dostáváme
podmínku
λn−k
(a0λk
+ a1λk−1
· · · + ak) = 0
což znamená, že buď λ = 0 nebo je λ kořenem tzv.
charakteristického polynomu v závorce. Předpokládejme, že má
tento polynom k různých kořenů λ1, . . . , λk.
Můžeme za tímto účelem i rozšířit uvažované pole skalárů, např. Q
na R nebo R na C, protože výsledkem výpočtu pak stejně budou i
všechna řešení, která opět zůstanou v původním poli díky samotné
rovnici.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Pokud tedy budeme předpokládat řešení v nějaké vhodné formě a
podaří se nám najít k lineárně nezávislých možností, budeme mít
opět fundamentální systém řešení a všechna ostatní budou jejich
lineárními kombinacemi.
Uvažujme možnost xn = λn pro nějaký skalár λ. Pak dostáváme
podmínku
λn−k
(a0λk
+ a1λk−1
· · · + ak) = 0
což znamená, že buď λ = 0 nebo je λ kořenem tzv.
charakteristického polynomu v závorce. Předpokládejme, že má
tento polynom k různých kořenů λ1, . . . , λk.
Můžeme za tímto účelem i rozšířit uvažované pole skalárů, např. Q
na R nebo R na C, protože výsledkem výpočtu pak stejně budou i
všechna řešení, která opět zůstanou v původním poli díky samotné
rovnici.
Každý z kořenů nám dává jedno možné řešení
xn = (λi )n
.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Abychom byli hotovi, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení.
Nezávislost ověříme dosazením k hodnot pro n = 0, . . . , k − 1 pro k
možností λi . Dostaneme tzv. Vandermondovu matici a je pěkným
(ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a
jakékoliv k–tice různých λi je determinant takovéto matice
nenulový. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Abychom byli hotovi, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení.
Nezávislost ověříme dosazením k hodnot pro n = 0, . . . , k − 1 pro k
možností λi . Dostaneme tzv. Vandermondovu matici a je pěkným
(ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a
jakékoliv k–tice různých λi je determinant takovéto matice
nenulový. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá.
Zbývá možnost násobných kořenů λ. Dosaďme pro takové λ do
definiční rovnice předpokládané řešení xn = nλn. Dostáváme
podmínku
a0nλn
+ . . . ak(n − k)λn−k
= 0.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Abychom byli hotovi, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení.
Nezávislost ověříme dosazením k hodnot pro n = 0, . . . , k − 1 pro k
možností λi . Dostaneme tzv. Vandermondovu matici a je pěkným
(ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a
jakékoliv k–tice různých λi je determinant takovéto matice
nenulový. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá.
Zbývá možnost násobných kořenů λ. Dosaďme pro takové λ do
definiční rovnice předpokládané řešení xn = nλn. Dostáváme
podmínku
a0nλn
+ . . . ak(n − k)λn−k
= 0.
Tuto podmínku je možné přepsat pomocí tzv. derivace polynomu,
kterou značíme apostrofem:
λ(a0λn
+ · · · + akλn−k
) = 0
a časem uvidíme, že kořen polynomu f je vícenásobný právě, když
je kořenem i jeho derivace f . Naše podmínka je tedy opět splněna.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Při násobnosti kořene charakteristického polynomu λ dojdeme
obdobně k řešením xn = nj λn pro j = 0, . . . , − 1. Tato budou
opět tvořit lineárně nezávislý systém, tj. fundamentální řešení.
Úplně obdobně jako u systémů lineárních rovnic můžeme dostat
všechna řešení nehomogenních rovnic tak, že najdeme jedno řešení
a přičteme celý vektorový prostor dimenze k řešení odpovídajících
systémů homogenních. Za tímto účelem zpravidla hledáme řešení ve
tvaru polynomu
xn = α0 + α1n + · · · + αk−1nk−1
s neznámými koeficienty αi , i = 1, . . . , k − 1. Dosazením do
diferenční rovnice dostatneme systém k rovnic pro k proměnných
αi .
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Vlastnosti řešení
prostor všech řešení homogenního systému řádu k je vektorový
prostor dimenze k,
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Vlastnosti řešení
prostor všech řešení homogenního systému řádu k je vektorový
prostor dimenze k,
všechna řešení jsou generována fundamentálním systémem k
řešení, který lze obdržet z kořenů charakteristického polynomu
(λn
i , pokud jsou kořeny po dvou různé, složitěji v případě
násobných kořenů),
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Vlastnosti řešení
prostor všech řešení homogenního systému řádu k je vektorový
prostor dimenze k,
všechna řešení jsou generována fundamentálním systémem k
řešení, který lze obdržet z kořenů charakteristického polynomu
(λn
i , pokud jsou kořeny po dvou různé, složitěji v případě
násobných kořenů),
všechna řešení nehomogenního systému obdržíme, když
přičteme jedno pevně zvolené partikulární řešení systému ke
všem řešením systému homogenního se stejnými koeficienty.
Partikulární řešení můžeme hledat pomocí tzv. metody
neurčitých koeficientů, tj. hledáme jej jako polynom
s neznámými koeficienty a řešíme systém lineárních rovnic.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Vlastnosti řešení
prostor všech řešení homogenního systému řádu k je vektorový
prostor dimenze k,
všechna řešení jsou generována fundamentálním systémem k
řešení, který lze obdržet z kořenů charakteristického polynomu
(λn
i , pokud jsou kořeny po dvou různé, složitěji v případě
násobných kořenů),
všechna řešení nehomogenního systému obdržíme, když
přičteme jedno pevně zvolené partikulární řešení systému ke
všem řešením systému homogenního se stejnými koeficienty.
Partikulární řešení můžeme hledat pomocí tzv. metody
neurčitých koeficientů, tj. hledáme jej jako polynom
s neznámými koeficienty a řešíme systém lineárních rovnic.
řešení vyhovující daným počátečním podmínkám x0 = b0,. . . ,
xk−1 = bk−1 hledáme z obecného řešení dosazením podmínek
a určením koeficientů lineání kombinace fundamentálních
řešení. Opět systém lineárních rovnic.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Všimněme si, že pro rovnice s reálnými koeficienty musí vždy kořeny
charakterstického polynomu být buď reálné nebo musí vystupovat
po dvou komplexně združené nereálné kořeny. Jejich lineárními
kombinacemi (součet a rozdíl goniometrických tvarů mocnin) lze
pak přímo obdržet reálná řešení vyjádřená pomocí funkcí cos(nϕ) a
sin(nϕ).
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Example
Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici
s počátečními podmínkami:
xn+2 = xn+1 + 2xn + 1, x1 = 2, x2 = 2.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Example
Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici
s počátečními podmínkami:
xn+2 = xn+1 + 2xn + 1, x1 = 2, x2 = 2.
Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(−1)n + b2n.
Partikulárním řešením je konstanta −1/2.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Example
Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici
s počátečními podmínkami:
xn+2 = xn+1 + 2xn + 1, x1 = 2, x2 = 2.
Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(−1)n + b2n.
Partikulárním řešením je konstanta −1/2.
Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních
podmínek je tedy
a(−1)n
+ b2n
−
1
2
.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Example
Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici
s počátečními podmínkami:
xn+2 = xn+1 + 2xn + 1, x1 = 2, x2 = 2.
Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(−1)n + b2n.
Partikulárním řešením je konstanta −1/2.
Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních
podmínek je tedy
a(−1)n
+ b2n
−
1
2
.
Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = −5/6,
b = 5/6. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje
posloupnost
−
5
6
(−1)n
+
5
3
2n−1
−
1
2
.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Plán přednášky
1 Lineární diferenční rovnice a filtry
2 Lineární filtry
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
filtry
Uvažujme nyní nekonečné posloupnosti
x = . . . , x−n, x−n+1, . . . , x−1, x0, x1, . . . , xn, . . .
a operaci T, která zobrazí posloupnost x na posloupnost z = Tx se
členy
zn = a1xn + a2xn−1 + · · · + akxn−k+1.
Protože nekonečné posloupnosti x umíme sčítat i násobit skaláry po
složkách, jedná se opět o příklad vektorového prostoru. Zjevně má
dimenzi nekonečnou.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Posloupnosti lze chápat jako diskrétní hodnoty nějakého signálu,
odečítané zpravidla ve velmi krátkých časových jednotkách, operace
T je pak filtrem, který signál zpracovává. Z definice je zřejmé, že
periodické posloupnosti xn splňující pro nějaké pevné přirozené číslo
p
xn+p = xn
budou mít i periodické obrazy z = Tx
zn+p = a1xn+p + a2xn−1+p + · · · + akxn−k+1+p
= a1xn + a2xn−1 + · · · + akxn−k+1 = zn
se stejnou periodou p.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Pro pevně zvolenou operaci T nás bude zajímat, které vstupní
posloupnosti zůstanou přibližně stejné (případně až na násobek) a
které budou utlumeny na nulové hodnoty.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Pro pevně zvolenou operaci T nás bude zajímat, které vstupní
posloupnosti zůstanou přibližně stejné (případně až na násobek) a
které budou utlumeny na nulové hodnoty.
Jde nám tedy o vyčíslení jádra našeho lineárního zobrazení T. To je
dáno homogenní diferenční rovnicí
a0xn + a1xn−1 + · · · + akxn−k = 0, a0 = 0 ak = 0.
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Špatný equalizer
Jako příklad uvažujme lineární filtr zadaný rovnicí
zn = (Tx)n = xn+2 + xn.
Výsledky takového zpracování signálu jsou naznačeny na
následujících čtyřech obrázcích pro postupně se zvyšující frekvenci
periodického signálu xn = cos(ϕn).
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
Červený je původní signál, zelený je výsledek po zpracování filtrem.
Nerovnoměrnosti křivek jsou důsledkem nepřesného kreslení, oba
signály jsou samozřejmě rovnoměrnými sinusovkami.
1
1
0
2
2
-1
0
-2
43 5
A=7.1250
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
1
1
0
2
2
-1
0
-2
43 5
A=19.375
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
1
1
0
2
2
-1
0
-2
43 5
A=25.500
Lineární diferenční rovnice a filtry Lineární filtry
1
1
0
2
2
-1
0
-2
43 5
A=29.583
Všimněme si, že v oblastech, kde je výsledný signál přibližně stejně
silný jako původní, dochází k dramatickému posuvu fáze signálu.
Levné equalizery skutečně podobně špatně fungují.
Výsledek lze samozřejmě podrobně spočítat výše uvedenou
metodikou.