Diferenciální rovnice
1. ÚLOHA
Řešte následující diferenciální rovnice metodou separace proměnných (značení: y =
dx ''
(a) 2xyý + l+y2 =0 [y = ±y/f=T\
(b) ýtan(x) — y = a, aěI, x ^ ^ + ku                                    [y = csin(x) — a]
(c) ý + x2y = 0, y(0) = l
(d) (ý)2 = y2 [y = cexp(±x) y = lyfty) [y = {x + c)2
y = exp(-^;
e
(f) y sin(x) + y cos(x) = 0
y
sin(:r)
2. ÚLOHA
Rychlost rozpadu prvku rádium je přímo úměrná jeho hmotnosti. Určete, kolik procent hmotnosti itiq rádia se rozpadne za 200 let, jestliže víte, že poločas rozpadu rádia, tj. doba, za níž se rozpadne právě polovina jeho původního množství (resp. hmotnosti), je roven 1590 let.
3. ÚLOHA
Teplota chleba vytaženého z pece během 20 minut klesla ze 100 °C na 60 °C. Teplota okolního vzduchu je to =25 °C. Za jakou dobu od počátku ochlazování se teplota chleba snížila na 30 °C?
4. ÚLOHA
Vybíjení kondenzátoru (časová změna náboje Q) přes rezistor je nepřímo úměrné odporu resistoru R a přímo úměrné kapacitě kondenzátoru C. Nalezněte funkci času, která bude popisovat vybíjení kondenzátoru když víte, že v čase t = 0 byl Q(0) = Qo-
5. ÚLOHA
Řešte následující rovnice metodou variace konstant:
(a) 2xý + x2 — 6y = 0 [y = cx3 + ^x2]
(b) y + 4x3y = x2 exp(—x4) y = exp(—x4)(^ + c)
(c) ý + j+T = sin(x), y(f) = ± [y = - cos(x)(x + 1) + sin(x) +     - ^)]
(d) (x + y)dy = ydx + y \n(y)dy y = y (ln(y) - + cj
6. ÚLOHA
Nádrž o celkovém objemu 1000 litrů obsahuje 100 litrů mořské vody o koncentraci 30 gramů soli na litr. Do nádrže přitéká rychlostí 2 litry za minutu zředěná mořská voda o koncentraci 10 gramů na litr. Po důkladném promíchání vytéká roztok z nádrže
1
rychlostí 1 litr za minutu. Určete množství soli (v gramech) v nádrži v libovolném čase t a koncentraci soli v nádrži (v gramech na litr) v okamžiku, když se nádrž zcela naplní.
2