Matematika III, 6. cvičení
Absolutní extrémy funkcí více proměnných na kompaktní množine
Na kompaktní (tj. uzavřené a ohraničené) množině M nabývá funkce f svých absolutních (globálních) extrěmU bud' ve stacionárních bodech ležících v M nebo na hranici množiny M. Při urcovaní absolutních extremu funkce f postupujeme takto:
(1) urcíme stacionarní body uvnitr M, prípadne body, ve kterích nejaka parcialní derivace funkce f neexistuje;
(2) vyšetríme funkci f na hranici M;
(3) vybereme nejvetsí a nejmensí dosaženou funkcní hodnotu.
V bode (2), kterí byva obvykle nejtežsí, se da pro funkci dvou promennych postupovat nasledujícím zpusobem:
Na císte^ Mi hranice M si vyjadríme y pomocí x nebo naopak (hranici M roždelíme na takove casti Mi, aby vyjídrení jedne promenne pomocí druhe nebylo moc komplikovane), a to pak dosadíme do predpisu funkce f, címž pro každou cast Mi dostaneme novou funkci gi jedne promenne. U každe funkce gi urcíme take užavreny interval (protože M je užavrení, bude take interval užavrení), že ktereho je promenní teto funkce, a na tomto intervalu vysetríme funkci gi, tj. urcíme funkcní hodnoty funkce gi v krajních bodech intervalu, v jejích stacionárních bodech ležících uvnitr intervalu a prípadne v bodech uvnitr intervalu, ve kterych neexistuje g'i. Tyto hodnoty funkce gi budou stejne jako hodnoty funkce f v odpovídajících bodech na hranici M.
Příklad 98. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x, y) = (2x2 + 3y2)e-(x2+y2) na množině M : x2 + y2 < 4.
Výsledek. Nejvetsí hodnota je 3 pro [x,y] = [0, ±1], nejmensí hodnota je 0 pro [x,y] = [0, 0].
Příklad 99. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x, y) = xy — x2 — y2 + x + y na trojúhelníku M ohraničeném souřadnými osami a prímkou x + y — 4 = 0.
Výsledek. Jediním stacionarním bodem je [1,1], v nemž je absolutní maximum f (1,1) = 1. Absolutní minimum —12 je v bodech [4, 0] a [0, 4] ležících na hranici.
Příklad 100. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x, y) = x2 + 2xy + 2y2 — 3x — 5y na trojuhelníku M s vrcholy A = [0,2],B = [3,0] a C = [0, —1].
Vísledek. Absolutní maximum je 7 v bode [0, —1], absolutní minimum je —13 v bode [2, 1]. Funkcní hodnoty v kandidatech na extrem jsou: f (2, 1) = —13, f (0, —1) = 7, f (0, 2) = —2, f (3, 0) =
0   f (0 5 ) = _ 25   f (A   7 ) = _ 49   f ( 36  _ _5_ ) = _ 25 0 f (° 4 ) 8 ,f ( 10 , 5 ) 20 ,f ( 17 ,     17) 17 .
Příklad 101. Určete největší a nejmensí hodnotu funkce f (x, y) = 2x2 + 4y2 na množině M : x2 + y2 < 9.
Vísledek. Absolutní maximum je 36 v bodech [0, ±3], absolutní minimum je 0 v bode [0,0].
Příklad 102. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x,y) = x2 + 3xy + y2 + 2 na množině M ohraničené grafy funkcí y = 2 a y = |x|.
Vísledek. Absolutní maximum je 22 v bode [2,2], absolutní minimum je —2 v bode [—2,2].
Příklad 103. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x, y) = x2 + 2xy — 4x + 8y na množine určené podmínkami 0 < x < 1,0 < y < 2.
16
Výsledek. Absolutní maximum je 17 v bodě [1,2], absolutní minimum je —3 v bodě [1,0].
Příklad 104. Určete největší a nejmensí hodnotu funkce f (x, y, z) = x + 2y + 3z na množině M : x2 + y2 < z < 1.
Nípoveda. Protože f = 1, f = 2, f = 3, nejsou zádně stacionární body, tudíž hledaně hodnoty budou na hranici M, tj. na množine Mi U M2, kde Mi : x2 + y2 = z < 1, M2 : x2 + y2 < z = 1. Pro M1 mame funkci f1(x, y) = x + 2y + 3(x2 + y2) na množine N1 : x2 + y2 < 1, pro M2 mame funkci f2(x,y) = x + 2y + 3 na množine N2 : x2 + y2 < 1. Pro funkce dvou promenních už to (snad) umíme doreSit.
Výsledek. Absolutní maximum je 3 + --g v bode [,    , 1], absolutní minimum je —12 v bode
[    6 ,     3 , 36].
V nekterych specialních prípadech (pokud napr. umíme sestrojit vrstevnice funkce, jejíž extrémy hledame, a pokud množina, na nížž tyto extrémy hledíme, je „dostatecne jednoduchí") mužeme použít rychlejsí metodu, kterou si objasníme na nasledujícím príkladu:
Příklad 105. Pomoci vrstevnic funkce f (x, y) = x — y určete její nejvetsí a nejmensí hodnotu na množine M : x2 + y2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum v bode [1/\/2, — 1/*\/2], jeho hodnota je \/2, absolutní minimum v bode [—1/\/2,1/\/2], jeho hodnota je — \/2.
Příklad 106. Pomocí vrstevnic funkce f (x, y) = xy urcete její nejvetsí a nejmensí hodnotu na množine M : |x| + |y| < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je 1 v bodech [±1, ±1 ], absolutní minimum je —1 v bodech
[±1, ť 2 ].
Příklad 107. Pomocí vrstevnic funkce f (x, y) = x2 — 4x + y2 — 4y + 10 urcete její nejvetsí a nejmensí hodnotu na množine M : x2 + y2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je 11 + 4\/2 v bode [—1/\/2, —1/\/2], absolutní minimum je 11 — 4y^ v bode [1/v% 1/\/2].
Příklad 108. Pomocí vrstevnic funkce f (x, y) = |x| + |y| urcete její nejvetsí a nejmensí hodnotu na množine M : (x — 1)2 + (y — 1)2 < 1.
Výsledek. Absolutní maximum je 2 + \/2 v bode [1 + 1/\/2,1 + 1/*\/2], absolutní minimum je 2 — ^2 v bode [1 — 1/V2,1 — V\/2].
Jacobiho matice zobrazení z R2 do R2 a jeho inverze
Necht F = (f, g) : R2 — R2 a prédpokladejme, že funkce f, g (tj. složky žobražení F) mají
v bode [xo,yo] spojité parcialní derivace a že Jacobiho matice F'(xo,yo) =
žobražení F v bode [x0,y0] je regulírní, tj. det F'(x0,y0) = 0 (det F'(x0,y0) se nažíva jacobiín žobražení F v bode [x0, y0]). Pak existuje okolí bodu [x0, y0], v nemž je žobražení F proste, tudíž k nemu existuje inveržní žobražení F-1 v okolí bodu F(x0,y0), a pro Jacobiho matici tohoto inveržního žobražení v bode [u0,v0] = F(x0,y0) platí (F_1)'(u0,v0) = [F'(x0,y0)]-1.
Příklad 109. Rozhodnete, ždaje žobražení F = (f, g) : R2 — R2, kde f (x, y) = x2—y2,g(x,y) = 2xy (tj. žobražení z — z2, uvažujeme-li F jako žobražení C — C), proste v nejakem okolí bodu [2,1]. V prípade, že ano, urcete Jacobiho matici inveržního žobražení v bode F(2,1).
í fx(xo,yo) fy(xo,yo) \ V fli(xo,yo) g'y(xo,yo) J
17
Výsledek, det F'(2,1) = 20 = 0, tudíž v nějakém okolí bodu [2,1] je F prosté. Dále
Příklad 110. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (f, g) : R2 — R2, kde f (x, y) = xy,g(x,y) = |, proste v nějakém okolí bodu [2,1]. V kladnem prípade určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bode F(2,1).
Vísledek. det F'(2,1) = — 4 = 0, tudíž F je prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. Dále
Příklad 111. Rozhodnete, zdaje zobrazení F = (f, g) : R2 — R2, kde f (x, y) = \/x2 + y2,g(x,y) = xy, proste v nějakém okolí bodu [0,1]. V kladnem prípade určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bode F(0,1).
Vísledek. det F'(0,1) = — 1 = 0, tudíž F je prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. Dále
(F0)=(1 0)
Příklad 112. Spočítejte jacobián funkce F, která je transformací dvou proměnných do polárních souřadnic, a príslušné inverzní transformace.
Nápověda. Funkce F je definována následujícím žpusobem:
V
[x, y] — y v x2 + y2, arctg ■ [x, y] — \/x2 + y2, n + arctg x   pro x < 0, [0,y] — y |sgn(y)
pro x > 0,
y"
x
Z polárních souŕadnic nazpét je to F 1 : [r,p] H> [rcosp, rsinp]. Lépe se bude počítať, když napred urCíme jacobián zobrazení F-1 a ž néj pak jacobián zobrazení F.
Výsledek. det(F= r, det F' = 1.
18