4. demonstrační cvičení
Příklad 1. Rozhodněte, zda je funkce
f{x,y) = y/\xy\
diferencovatelná v [0,0].
Příklad 2. Určete diferenciál funkce
f(x, y) = arcsin
Vx'2 + y
2
V
bodě [1, a/3] ■
Příklad 3. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte:
a) arcsin
b) 1,042'02.
Příklad 4. Určete rovnici tečné nadroviny ke grafu funkce v daném bodě:
a) f(x, y) = x2 + xy + 2y2,    [x0, y0, z0] = [1,1, ?], ^       ž/) = arctS f j    fco, ž/o, *o] = [1, -I,?]-
Příklad 5. Na kuželosečce o rovnici 3x2+6y2 — 3x+3í/ — 2 = 0 najděte všechny body, v nichž je normála k této kuželosečce rovnoběžná s osou prvního kvadrantu. Pro každý nalezený bod zapište obecnou rovnici tečny k dané křivce v tomto bodě.
Příklad 6. K elipsoidu o rovnici x2 + 2y2jrZ2 = 1 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou o rovnici x — y + 2z = 0.
Příklad 7. Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v daném bodě:
a) ln ^/x2Ty2,    [x0,yo] = [1,1],
b) z*,    [x0,yo,z0} = [1,1,1].
i
Příklad 8. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte
a) sin 29° tg 46°,
b) ln02 + 7/2 + l) v bodě [1,1; 1,2].
Příklad 9. Ukažte, že funkce f(x,y) = ex sin(y) + ey sm.(x) definuje předpisem f(x, y) = 1 pro [x, y] E (O, |) x (O, |) implicitně proměnnou y jako funkci proměnné x. Určete f'(x).
Příklad 10. Rozhodněte, zda křivka x3 + y3 — 2xy = O leží v okolí bodu [1,1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Příklad 11. Rozhodněte, zda plocha daná v okolí [1, 0,1] E Es rovnicí x3 + y3 + z3 — 3xyz — x — y — z = O leží v bodě [1,0,1] nad nebo pod tečnou rovinou.
Příklad 12. Pomocí vrstevnic funkce
f{x,y) = \x\ + \y\
určete její největší a nejmenší hodnotu na množině M : (x — l)2 + (y-l)2<l.
Příklad 13. Určete absolutní extrémy funkce
f{x,y,z) =x + 2y + 3z množině M : x2 + y2 < z < 1.
2