Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Matematika III - 3. přednáška hunkce více proměnných: derivace vyssicn radu, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2012 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Obsah přednášky Literatura Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Literatura rivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných I oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura Q Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy <□> <|l -a O^O Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne inných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Dopo ručené zd roje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne inných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Dopo ručené zd roje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Předmětové záložky v IS MU Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo til L iteratura Q Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných •ooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Diferenciál funkce jedné pmmpnnp V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných •ooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Diferenciál funkce jedné pmmpnnp V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující dy = f'(xo) ■ dx. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných •ooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující Formálně říkáme, že funkce f : M —> M je diferencovatelná v xo, pokud existuje A £ M. tak, že (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) dy = f'(xo) ■ dx. lim f{x0 + h)- f{x0) - Ah h = 0. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne inných o^oooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných o^oooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> ffi diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,... > takový, že pro všechny „směry" i/ě!" platí lim 1 || v\ -(f(x+v) - f(x) - a- v) = 0. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných o^oooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> ffi i je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,... , an) £ W takový, že pro všechny „směry" i/ě!" platí lim li^ji (f(x + v) - f(x) -a-v) =0. Lineární funkci df definovanou předpisem v ^ a • v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo»ooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Diferenciál - shrnutí Funkce f : En —> M je tedy diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., an) g W takový, že pro všechny „směry" i/é!" platí O v bodě x existují všechny směrové derivace dvf(x), v g M", Q v i-> dvf(x) je lineární v závislosti na přírůstku v O 0 = \\mv^0^(f{x+v)-f{x)-dvf{x)), tj. 0 = linrwo l^i\{f{x + v)~ f{x) -a-v). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných ooo»oooooo oooooooooooo oooooooooooooo Difen anciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : M" —> M diferencovatelná v bodě x £ W, pak je v tomto bodě spojitá. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných ooo»oooooo oooooooooooo oooooooooooooo Difen anciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : M" —> M diferencovatelná v bodě xěI", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v) — f{x) = a ■ v + t(v), kde lirrv_>o = 0. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných ooo»oooooo oooooooooooo oooooooooooooo Difen anciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : M" —> M diferencovatelná v bodě xěI", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f{x + v) — f{x) = a ■ v + t(v), kde lirrv_>o = 0. Proto: lim (f(x + v) - f(x)) = lim (a • v + t (v)) = 0, a tedy lim f{x + v) = f(x). □ Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne nných oooo»ooooo oooooooooooo oooooooooooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooo»ooooo oooooooooooo oooooooooooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Důkaz: dvf(x) = lim -t (f(x + tv) - f(x)) = lim ± {df(x)(tv) + r(tv)) = = df(x)(v) + IMI lim 1^ = df(x)(v) = a-v. t->o \\tv\\ Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooo»ooooo oooooooooooo oooooooooooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné je přitom dvf(x) = df(x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Důkaz: dvf(x) = lim -t (f(x + tv) - f(x)) = lim ± {df(x)(tv) + r(tv)) = = df(x)(v) + IMI lim 1^ = df(x)(v) = a-v. v t->o \\tv\\ Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací ff(x) je přímo roven vektoru a. ■ Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne inných ooooo«oooo oooooooooooo oooooooooooooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne nných ooooo«oooo oooooooooooo oooooooooooooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M Jf df J df J df = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných ooooo«oooo oooooooooooo oooooooooooooo Uvažujme f : E2 —> M se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M Jf df J df J df = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Kvůli přehlednosti označme h := dx, k := dy. Pak f{x* +dx,y* +dy) - f{x*,y*) = = (x* + hf + (y* + kf - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*h + 2y*h +h2 + k2. Odtud df(x*, y*)(/i, k) = 2x* ■ h + 2y* • /c a r(/i, k) = h2 + k2. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooo»ooo oooooooooooo oooooooooooooo Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně Jf df J df J df J df = — dx-y + — dx2 H-----h -z—dxn OXi OX2 oxn (*) a platí: Necht f : En —» M je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x g En spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál d f v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných ooooooo»oo oooooooooooo oooooooooooooo Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e0'1 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných ooooooo»oo oooooooooooo oooooooooooooo Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e0'1 Řešení Využijeme diferenciál funkce f(x,y) = ex3+y v bodě x = [0,0] s diferencemi v = (0,05; -0,02). Máme df (x, y) = ex3+y -3x2 dx + ex3+y dy, a tedy df(0, 0) = 0 dx + 1 dy, což celkem dává odhad e0,053-0,02 _ f(0,05; -0,02) « f(0, 0) + df(0,05; -0,02) = 1 - 0,02 = 0,98. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooo»o oooooooooooo oooooooooooooo Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : E2 —> M a pevný bod [xo,yo] £ £2 uvažme rovinu v E3: df df z = f(x0,y0) + —(x0,y0)(x -x0) + t^(x0, y0)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř), y(ř), f(x(r), y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooo»o oooooooooooo oooooooooooooo Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : E2 a pevný bod [xo,yo] £ E2 uvažme rovinu v E3: xo) + ^(*o,yo)(y -yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ŕ) = (x(ŕ), y(ŕ), f(x(r), y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t, t)). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne inných 000000000» oooooooooooo oooooooooooooo Obecně pro f : En —> M je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných 000000000» oooooooooooo oooooooooooooo Obecně pro f : En —> M je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) & její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> M, tj. diferenciálu v bodě x 6 En. 4 n * < & > 4 = * 4 = > ^ -O^O Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných 000000000» oooooooooooo oooooooooooooo Obecně pro f : En —> M je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) & její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> M, tj. diferenciálu v bodě x £ En. Analogie s funkcemi jedné proměnné Diferencovatelná funkce f má na En v bodě x g En nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně bud' maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooooooo Q Literatura Q Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO «00000000000 oooooooooooooo Pro pevný přírůstek v g M" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —> M f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —> M.. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO «00000000000 oooooooooooooo Pro pevný přírůstek v g M" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —> M f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —> M.. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme , d d .r d2 r d2 f 'dxj d x-, dxjdxj dx-,dxj v případě opakované volby / = j píšeme také d ^ 9 d2 _ d2f dx; dx; dx2 dx?' 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * ^ -O^O Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo o»oooooooooo oooooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích /c-tého řádu dkf dxh ... dxik Věta Necht f : En —» M je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xéI". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo o»oooooooooo oooooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích /c-tého řádu dkf dxh ... dxik' Věta Necht f : En —» M je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xéI". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Speciálně tedy pro n = 2 platí (při alternativním způsobu zápisu parciálních derivací): fxy{xO,Yo) = fyx{xO,Yo)- Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oo»ooooooooo oooooooooooooo Taylorův polynom funkce jedné proměnné - opakování Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oo»ooooooooo oooooooooooooo Taylorův polynom funkce jedné proměnné - opakování Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Definice Nechť xo £ T>(f) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f'(xo), f"(xo), ..., /^(xo) funkce f(x) až do řádu n. Taylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě xq je polynom T(x)=Tn(x)=Tfn(x)=Tfn(x;xQ) definovaný jako T(x) := f (xo)+f'(x0) (x-xo)+-^^ (x-x0)2+- • (x-xc)". Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo ooo»oooooooo oooooooooooooo Věta Necht f (x) má spojité derivace f'(x), f"(x), ..., f^n\x) na uzavřeném intervalu [a,b] a necht existuje vlastní derivace f("+1)(x) na otevřeném intervalu (a, b). Potom pro každý bod x g (a, b) existuje bod c g (a, x) tak, že platí rovnost f{x) = Tn{x) + Rn(x), kde Rn(x) = (* - a)n+1., kde Tn(x) je Taylorův polynom stupně n funkce f[x) se středem v bodě a. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta oooooooooo oooo»ooooooo Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooooooo Definice Je-li f : En —> M libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f ^dxjdxj (9xi(9xi C*) \(9x„(9xi C*) ' ' ' (9x„(9x„ C*)/ ď2r (9xi (9x„ Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"(x). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooo»ooooooo oooooooooooooo Definice Je-li f : En —> M libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f ^dxjdxj (9xi(9xi C*) \(9x„(9xi C*) ' ' ' (9x„(9x„ C*)/ ď2r (9xi (9x„ Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"(x). Poznámka Analogicky jako v případě parciálních derivací lze definovat i směrové derivace vyšších řádů v bodě x g En. Pak platí (za předpokladu spojitosti jedné ze stran v x) fuv{x) = fvu{x) = uTHf(x)v = {Hf(x)u) ■ v. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo ooooo»oooooo oooooooooooooo Pro křivku c(ř) = (x(ř), y(ř)) = (xo + £t, yo + i]t) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df f3{t) = f(x0,y0) + ^(x0,y0)^ + -^{x0,yo)v + ^ ^/xx(x0,yo)^2 + 2/xy(x0,yo)^ + /ýy(x0, y0)r]2 v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo ooooo»oooooo oooooooooooooo Pro křivku c(ř) = (x(ř), y(ř)) = (xo + £t, yo + i]t) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df f3{t) = f(x0,y0) + ^(x0,y0)^ + -^{x0,yo)v + ^ (fxx(xo,yo)Š2 + 2/xy(x0,yo)^ + fyy(xo,yo)r]2 v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. Funkci /3 lze psát vektorově takto: I3(t) = f(x0,yo) + df(x0,yo) • (fy + ^,V) ■ Hf(xQ,yQ) • (^ nebo /3(ř) = /"(x^yo) + df(x0,y0){v) + \Hf{xQ,y0){v, v), kde v = = c'(t) je přírůstek zadaný derivací křivky c(ř) a Hessián symetrická 2-forma. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne nných oooooooooo oooooo»ooooo oooooooooooooo Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x) cos(y). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne nných oooooooooo oooooo»ooooo oooooooooooooo Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x) cos(y). Obecně pro funkce f : En —> M, body x = [xi,... ,x„] g En a přírůstky v = (£1,..., £„) klademe dkf(x)(v) = £ —-(Xl,...,Xn).^...^ K/i,..,/^/) 11 ' " lk Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO 0000000*0000 oooooooooooooo Taylorova věta pro funkci jedné proměnné aproximovala danou funkci v okolí bodu xo Taylorovým polynomem, přičemž zároveň udávala chybu, jíž se při tomto odhadu dopouštíme. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO 0000000*0000 oooooooooooooo Taylorova věta pro funkci jedné proměnné aproximovala danou funkci v okolí bodu xo Taylorovým polynomem, přičemž zároveň udávala chybu, jíž se při tomto odhadu dopouštíme. U funkcí více proměnných je situace podobná, pouze formálně složitější. Definice Taylorovým polynomem funkce f stupně m (se středem) v bodě x* nazýváme polynom (více proměnných), který má s funkcí f stejnou funkční hodnotu v daném bodě x* a stejnou hodnotu všech parciálních derivací až do řádu m včetně. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooo»ooo oooooooooooooo Věta (Taylorova) Nechť má funkce f : En —» m v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro i/é!" pla f (x) = f (x* + v)= Tm{x) + Rm{x), Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooo»ooo oooooooooooooo Věta (Taylorova) Nechť má funkce f : En —» m v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro i/é!" platí: f{x) = f{x* + v)= Tm{x) + Rm{x), kde Tm(x) = f(x*) + df(x*)(v) + i d2f(x*)(v) + • • • + -L dmf(x*)(v), resp. je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorově vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne inných oooooooooo ooooooooo^oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ľe protne inných oooooooooo ooooooooo^oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(xQ,yQ) + df(xQ,yQ)(x-xQ,y-yQ) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů , Taylorov a věta :ní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo OOOOOC )0OO»OO ^^^^ ^^^^ oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(xQ, y0) + df(x0, yo)(x - x0, y - yo) Výraz třetího řádu dV(x,y)(^) = ^3 + + 3^tf Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo ooooooooo^oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(xQ,yQ) + df(xQ,yQ)(x-xQ,y-yQ) Výraz třetího řádu a obecně Poznámka Uvedené výrazy vám snad připomínají binomickou větu. Tak si je lze rovněž „neformálně" zapamatovat: přičemž 7-té mocniny nahrazujeme 7-tými parciálními derivacemi. •S-OQ.O- Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooo»o oooooooooooooo Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přesnost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooo»o oooooooooooooo Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přesnost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Příklad Pomocí Taylorovy věty přibližně vypočteme e0'1 Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO 00000000000» oooooooooooooo Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu stupně funkce f(x,y) = ex3+y v bodě [0,0] s diferencemi v = &V) = (0,05; -0,02). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO 00000000000» oooooooooooooo Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu stupně funkce f(x,y) = ex v = {£,r}) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: v bodě [0,0] s diferencemi dl dx ex+y-3x2, •(3x2-3x2 + 6x), dy d2f dxy d2f dx2 y -3x2 a2f dy2 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO 00000000000» oooooooooooooo Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = {£,r}) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: df _ px3+y ov2 df _ px3+y <92f _ ôx — e JX ' ay - e ' — e*3+^ -(3x2 • 3x2 + 6x), g = e*3+^ -3x2, 0 = . Pak 7-2(0 + Í,0 + t,) = = f (0,0) + d f (O, 0) • (£, t?) + (£, t?) • | d2f (0,0) • = 1 +77 + ^772. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO 00000000000» oooooooooooooo Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = {£,r}) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: ex +y -3x2 ^ = ex +y 2-1 9í _ dx c ~^ ' dy ' dx (3x2-3x2 + 6x) ex +y • Pak 32f dxy e*3+r .3x2, g = ex3+^ . = f (0,0) + d f (O, 0) • (£, t?) + (£, t?) • | d2f (0,0) = 1 +77 + ^772. Odtud dostáváme odhad eo,053-o,02 _ j _ 002 + iQQ22 = 0)9802. Q Literatura Q Diferenciál funkcí více proměnných • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO »0000000000000 Definice Vnitřní bod x* 6 En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x £ U platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO »0000000000000 Definice Vnitřní bod x* £ En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x £ U platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* 6 En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df(x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO »0000000000000 Definice Vnitřní bod x* g En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x g t/ platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* g En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df(x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x* (v případě diferencovatelnosti funkce f v x*) je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df(x*) = 0. Skutečně, pokud je df(x*) ý 0. Pak existuje směr v, ve kterém je dvf(x*) 7^ 0. Pak ovšem nutně je podél přímky x* + tv na jednu stranu od bodu x* hodnota funkce roste a na druhou klesá. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutn extrémy funkcí ví ze pro mě nných oooooooooo oooooooooooo o»ooooooooooc >o Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem fx2+y2, pro [x,y] ^ [0,0], ll pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo o»oooooooooooo Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem fx2+y2, pro [x,y] ^ [0,0], ll pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Příklad Funkce f(x,y) = \J x1 + y2 je v počátku spojitá a má zde ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě není diferencovatelná (grafem funkce je kuželová plocha - viz první přednáška). ■0 0.0 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oo«ooooooooooo y Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oo«ooooooooooo Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = |£c/x + §^dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oo«ooooooooooo Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = |£c/x + §^dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Poznat, jakého typu je daný stacionární bod, nám stejně jako v případě funkcí jedné proměnné umožní (díky Taylorově větě) derivace vyšších řádů. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooo»oooooooooo Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : m —> m a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooo»oooooooooo Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : m —> m a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{xo) + r'(xo)(x - x0) + \f"{0{x - x0)2 = = f{xo) + \f"{í){x-xQ)\ kde £ leží mezi x a xq. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooo»oooooooooo Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : m —> m a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{xo) + r'(xo)(x - x0) + \f"{0{x - x0)2 = = f{xo) + \f"{í){x-xo)\ kde £ leží mezi x a xq. Ze spojitosti f" a vlastnosti f"(xo) < 0 pak pro £ dostatečně blízko xo dostáváme < 0 a tedy Ri(x) < 0 dostatečně blízko xo . Proto zde f[x) < f(xo) a xo je lokálním maximem. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí vm ze pro mě inných oooooooooo oooooooooooo oooo»ooooooooo Situa ce ve více proměnných Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí vm ze pro mě inných oooooooooo oooooooooooo oooo»ooooooooo Situa ce ve více proměnných Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= T1{x) + R1{x) = = f(x*) + df(x*)(x - x*) + \ d2f(0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* + 6v (pro 6 £ (0,1)) leží „mezi" x a x*. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooo»ooooooooo Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{x*) + df(x*)(x - x*) + \ d2f(0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* + 6v (pro 6 g (0,1)) leží „mezi" x a x*. Zbývá do více proměnných přeložit podmínku, která říká, že výraz d2f (£)(x - x*) = (x - x*)THf(0(x - x*) je nekladný (resp. nezáporný) pro libovolné x. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooo»oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> m je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u / 0 • pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u g V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u / 0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u g V • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v g V. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooo»oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> m je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u / 0 • pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u g V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u / 0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u g V • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v g V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooo»oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> m je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u / 0 • pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u g V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u / 0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u g V • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v g V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). S těmito pojmy jste se setkali již v části věnované lineárním modelům a měli byste tedy umět rozeznat definitnost kvadratické formy (resp. její matice v dané bázi). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooo»ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooo»ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooo»ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooo»ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooo»ooooooo ■ II ní definit Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooo»ooooooo ■ II ní definit Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooo»ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, • hlavní minory A střídají znaménko, počínaje záporným. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooooo»oooooo Věta Necht f : En —» m je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* g En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), O je-li Hf(x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooooo»oooooo Věta Necht f : En —» m je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* g En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), O je-li Hf(x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, ■ Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný (nulový). Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. V takových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako ř3 nebo jako ±ř4 dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ze pro mě nných oooooooooo oooooooooooo oooooooo#ooooo Příklad Uvažme funkci f(x,y) = sin(x) cos(y), která připomíná známá kartónová plata na vajíčka a spočtěme její lokální extrémy. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ze pro mě nných oooooooooo oooooooooooo 000000000*0000 Příklad (pokr.) Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx{x,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = - sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = 0, sin(y) = 0, to je [x,y] = [^^tvJ^tv], pro libovolné k, i £ Z O cos(y) = 0, sin(x) = 0, to je [x,y] = [kir, ^j^tt], pro libovolné lt,l£Z. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO 000000000*0000 Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx{x,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = - sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = 0, sin(y) = 0, to je [x,y] = [^^tvJ^tv], pro libovolné k, i g Z O cos(y) = 0, sin(x) = 0, to je [x,y] = [kir, ^j^tt], pro libovolné lt,l£Z. Druhé parciální derivace jsou Hf(x,y) XX xy sin(x) cos(y) cos(x) sin(y) cos(x) sin(y) sin(x) cos(y) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooo»ooo Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: O Hf(kir + ^,£tv) = ± přičemž znaménko + nastává, když k a í jsou různé parity a naopak pro —, O Hf(kTv, £tv + |) = ± ^ ^, přičemž znaménko + nastává, když k a ^ jsou různé parity a naopak pro —. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooo»ooo V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a í jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami kal. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. když k a í jsou různé parity a naopak pro Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo oooooooooo»ooo V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a í jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami kal. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí těchto stacionárních bodů. když k a í jsou různé parity a naopak pro ■0 0.0 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro va věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví ze pro mě nných oooooooooo oooooooooooo ooooooooooo^oo Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooooooooo»oo Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) • nalezené lokální extrémy šlo jistě najít snadněji úvahou o nabývání hodnot ±1 funkcí f(x,y) = sin(x) cos(y), neměli bychom ale jistotu, že jde o všechny extrémy. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO0O Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> M. a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x e M. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO0O Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> m a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x g M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M c En je kompaktní množina, f : M —> m spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOO0O Definice Nechť f : En —> m a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x g M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M c En je kompaktní množina, f : M —> m spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech.^ 5 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooooooooooo* Příklad Nalezněte extrémy funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oooooooooo oooooooooooo ooooooooooooo* Příklad Nalezněte extrémy funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4].