Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Matematika III - 4. přednáška Funkce více proměnných: Zobrazení mezi euklidovskými prostory, inverzní zobrazení a implicitně definované zobrazení Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 10. 10. 2012 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Zobrazení a transformace • „Chain Rule" • Věta o inverzním zobrazení » Implicitně zadaná zobrazení Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Gradient funkce • Tečné a normálové prostory Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů • Speciální optimalizační metody Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Silvie Kuráňová, Jan Vondra, Diferenciální počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů a testových otázek, PřF MU, 2009, http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/ prif/ps09/sbirka/web/index.html Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Silvie Kuráňová, Jan Vondra, Diferenciální počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů a testových otázek, PřF MU, 2009, http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/ prif/ps09/sbirka/web/index.html • Předmětové záložky v IS MU Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Q Zobrazení mezi euklidovskými prostory o Zobrazení a transformace • „Chain Rule" • Věta o inverzním zobrazení • Implicitně zadaná zobrazení Q Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Gradient funkce • Tečné a normálové prostory Q Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů • Speciální optimalizační metody Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory •ooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Definice Vnitřní bod x* 6 En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x £ U platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory •ooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Definice Vnitřní bod x* £ En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x £ U platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* 6 En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df(x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory •ooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x £ t/ platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f{x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* 6 En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df(x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x* (v případě diferencovatelnosti funkce f v x*) je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df(x*) = 0. Skutečně, pokud je df(x*) ý 0. Pak existuje směr v, ve kterém je dvf(x*) 7^ 0. Pak ovšem nutně podél přímky x* + tv na jednu stranu od bodu x* hodnota funkce roste a na druhou klesá. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory 0*000000000000 ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem fx2+y2, pro [x,y] ^ [0,0], ll pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory 0*000000000000 ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem fx2+y2, pro [x,y] ^ [0,0], ll pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Příklad Funkce f(x,y) = \Jx1 + y2 je v počátku spojitá a má zde ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě není diferencovatelná (grafem funkce je kuželová plocha - viz první přednáška). ■0 0.0 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oo^ooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oo^ooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = |£c/x + §^dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oo^ooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = |£c/x + §^dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Poznat, jakého typu je daný stacionární bod, nám stejně jako v případě funkcí jedné proměnné umožní (díky Taylorově větě) derivace vyšších řádů. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory ooo»oooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : M —> M a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooo»oooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : M —> M a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{xo) + r'(xo)(x - x0) + \f"{0{x - x0)2 = = f{xo) + \f"{í){x-xo)\ kde £ leží mezi x a xq. Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooo»oooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : M —> M a její stacionární bod xo (tj. f'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{xo) + r'(xo)(x - x0) + \f"{0{x - x0)2 = = f{xo) + \f"{í){x-xo)\ kde £ leží mezi x a xq. Ze spojitosti f" a vlastnosti f"(xo) < 0 pak pro £ dostatečně blízko xo dostáváme < 0 a tedy Ri(x) < 0 dostatečně blízko xo . Proto zde f[x) < f(xo) a xo je lokálním maximem. Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooosooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooocx Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En ->• M a její stacionární bod x* (tj. f'{x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooo»ooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= Tí{x) + Rí{x) = = f{x*) + df(x*)(x - x*) + \ d2f(0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* + 6v (pro 0 G (0,1)) leží „mezi" x a x*. Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooo»ooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x)= T1{x) + R1{x) = = f(x*) + df(x*)(x - x*) + \ d2f(0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* + 6v (pro 6 G (0,1)) leží „mezi" x a x*. Zbývá do více proměnných přeložit podmínku, která říká, že výraz d2f (£)(x - x*) = (x - x*)THf(0(x - x*) je nekladný (resp. nezáporný) pro libovolné x. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooo»oooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : V —> M je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u / 0 » pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u / 0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooo»oooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : V —> M je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u / 0 » pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u / 0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uT Au = Au ■ u). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy ooooo»oooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : V —> M je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u / 0 » pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u / 0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). S těmito pojmy jste se setkali již v části věnované lineárním modelům a měli byste tedy umět rozeznat definitnost kvadratické formy (resp. její matice v dané bázi). Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo»ooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo»ooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo»ooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo»ooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo»ooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo»ooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooo»ooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — A/„|) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, • hlavní minory A střídají znaménko, počínaje záporným. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory ooooooo»oooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Věta Necht f : En —» M je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), O je-li Hf(x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory ooooooo»oooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Věta Necht f : En —» M je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), O je-li Hf(x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, ■ Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný (nulový). Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. V takových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako ř3 nebo jako ±ř4 dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooo«ooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad Uvažme funkci f(x,y) = sin(x) cos(y), která připomíná známá kartónová plata na vajíčka a spočtěme její lokální extrémy. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory 000000000*0000 ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad (pokr.) Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx{*,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = -sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů q cos(x) = 0, sin(y) = 0, tj. [x,y] = [^ttJtt], pro libovolné k,£eZ 0 cos(y) = 0, sin(x) = 0, tj. [x,y] = [kir, ^vr], pro libovolné Mez. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory 000000000*0000 ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad (pokr.) Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx{x,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = - sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = 0, sin(y) = 0, tj. [x,y] = [2k^lrK,£ir], pro libovolné 0 cos(y) = 0, sin(x) = 0, tj. [x,y] = [kir, ^-^vr], pro libovolné Mez. Druhé parciální derivace jsou Hf(x,y) fxy fyy sin(x)cos(y) — cos(x) sin(y)N cos(x)sin(y) — sin(x) cos(y)y Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo»ooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: O Hf(kir + ^,£tv) = ± přičemž znaménko + nastává, když k a í jsou různé parity a naopak pro —, O Hf(kTv, £tv + |) = ± ^ ^ , přičemž znaménko + nastává, když /c a ^ jsou různé parity a naopak pro —. 4Ľ3*4l3*4 = k4 = * -š -O^O Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo»ooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a í jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami kal. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. když k a í jsou různé parity a naopak pro Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooo»ooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a í jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami kal. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí těchto stacionárních bodů. když k a í jsou různé parity a naopak pro ■0 0.0 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory ooooooooooo»oo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory ooooooooooo»oo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) • nalezené lokální extrémy šlo jistě najít snadněji úvahou o nabývání hodnot ±1 funkcí f(x,y) = sin(x) cos(y), neměli bychom ale jistotu, že jde o všechny extrémy. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooo»o ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Definice Nechť f : En —> M. a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x e M. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooo»o ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Definice Nechť f : En —> M a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x G M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M C En je kompaktní množina, f : M —> M spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooo»o ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Definice Nechť f : En —> M a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x G M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M C En je kompaktní množina, f : M —> M spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech.^ 5 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory ooooooooooooo* ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad Nalezněte extrémy funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory ooooooooooooo* ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad Nalezněte extrémy funkce f(x,y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4]. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Q| Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Zobrazení a transformace • „Chain Rule" • Věta o inverzním zobrazení » Implicitně zadaná zobrazení Q Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Gradient funkce • Tečné a normálové prostory Q Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů • Speciální optimalizační metody Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory OOOOOOOOOOOOOO »0000000000000000 Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Zobrazení F : En —» Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m-tice F(xi,... ,x„) = (fí(x1,... ,x„),..., fm(xi,... ,xn)) funkcí f, : En —» M. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f±,... ,fm. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory OOOOOOOOOOOOOO »0000000000000000 Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Zobrazení F : En —» Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m-tice F(xi,... ,x„) = (fí(x1,... ,x„),..., fm(xi,... ,xn)) funkcí f, : En —» M. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f±,... ,fm. Diferencovatelná zobrazení F : En —> En, která mají inverzní zobrazení G : En —> En definované na celém svém obrazu, se nazývají (diferencovatelné) transformace. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory OOOOOOOOOOOOOO »0000000000000000 Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Zobrazení F : En —» Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m-tice F(xi,... ,x„) = (fí(x1,... ,x„),..., fm(xi,... ,xn)) funkcí f, : En —» M. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f±,... ,fm. Diferencovatelná zobrazení F : En —> En, která mají inverzní zobrazení G : En —> En definované na celém svém obrazu, se nazývají (diferencovatelné) transformace. Příkladem transformace v E2 je přechod mezi polárními a kartézkými souřadnicemi: [r, 9] 1-4- [r cos 9, r srn 9] s inverzí [x,y] ^ [^x2 + y2,arctg^], [0,y] ^ [y, ^sgny]. 0 1/ Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oo»oooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Důsledek Věty o existenci diferenciálu pro funkce n proměnných je: Věta Necht F : En —» Em je zobrazení, jehož všechny souřadné funkce mají spojité parciální derivace v okolí bodu x G En. Pak existuje diferenciál D1F(x) zobrazení F zadaný Jacobiho maticí. Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooo»ooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Diferenciál složeného zobrazení Věta („Chain rule") Nechť F : En —» Em a G : Em —» Er jsou dvě diferencovatelná zobrazení, přičemž definiční obor G obsahuje celý obor hodnot F. Pak také složené zobrazení G o F je diferencovatelné a jeho diferenciál je v každém bodě z definičního obodu F kompozicí diferenciálů D\G o F)(x) = DxG(F(x)) o D1F{x). Příslušná Jacobiho matice je dána součinem příslušných Jacobiho matic. Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooo^oooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Polární souřadnice vzniknou z kartézských souřadnic transformací F : E2 —> E2, kterou v souřadnicích [x,y] a [r, tp] zapíšeme: x2 + y2, tp . y arctg —. x Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooo^oooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Polární souřadnice vzniknou z kartézských souřadnic transformací F : E2 —> E2, kterou v souřadnicích [x,y] a [r, tp] zapíšeme: r = V*2 + y2, (p = arctg -. x Uvažme funkci gt : E2 —> M. zadanou v polárních souřadnicích předpisem g{r,(p, t) = sin(r-t). Funkce nám docela dobře přibližuje vlnění povrchu hladiny po bodovém vzruchu v počátku v čase t: Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooo»ooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Chceme-li vypočítat derivaci funkce zadané parametricky v kartézských souřadnicích, využijeme větu o derivaci složeného zobrazení g o F : E2 —> M: D1 (g o F)(x) = DV(F(x)) o DxF(x) = / dr_ dr \ dg dg_\ I dx dy dr díp J \ díp díp j \dx dy J = ^(^^)Í(x,y) + |f(r^)Ě(x,y)N Tedy ^(x,y, ŕ) = cos(v'x2+y2- ť) * + 0 ox ^Jx2- + yz a podobně dS,„ .. -____/ /„? , „o ^ y -5-(x,y, ŕ) = cos(v/x2 +y2 - t)- ' ' v*2 + y2' M inverzní funkce f^1 existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f^1 o f = idjR, f o f Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooosoooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc i jedné pro Pokud k dané funkci f : M —> M inverzní funkce f^1 existuje (nezaměňujme značení s funkcí x i-> (^(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f^1 o f = idjR, f ° f^1 = ícIr,. Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f^1 diferencovatelná, vztah pro derivaci složené funkce nám (pro y = f(x)) dává i = (id)'(x) = (r1 o f )'(x) = (r^ifix)) • f(x) a tedy přímo víme formuli (zjevně f'(x) v takovém případě nemůže být nulové) (f^Yifix)) = jfa. Věta_ Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu xq a f'(xo) ^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = f(xo) funkce f^1 inverzní k f a platí vztah 1 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooo»ooooooooo ooooooo ooooooooooooc EU Věta Necht F : En —» En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x* G En a necht je Jacobiho matice D1F(x*) invertibilní. Pak na nějakém okolí bodu x* existuje inverzní zobrazení F^1 a jeho diferenciál v bodě F(x*) je inverzním zobrazením k D1 F (x*), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x*. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooo»ooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc EU Věta Necht F : En —» En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x* G En a necht je Jacobiho matice D1F(x*) invertibilní. Pak na nějakém okolí bodu x* existuje inverzní zobrazení F^1 a jeho diferenciál v bodě F(x*) je inverzním zobrazením k D1 F (x*), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x*. * Princip důkazu: Z pravidla pro derivovaní složené funkce vyplýva, že pokud diferencovatelná inverze existuje, pak musí být její Jacobiho matice inverzí k původní Jacobiho matici (srovnejte s případem 1 proměnné). Důkaz poměrně komplikovaným způsobem vyvozuje, že díky invertovatelnosti Jacobiho matice existuje diferencovatelná inverze. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooo«oooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad Rozhodněte, zda zobrazení F = (f, g) : M' souřadnicích f (x, y) = xy,g(x,y) l2 definované po x y je prosté v okolí bodu [2,1]. V kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě F(2,1). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory OOOOOOOOOOOOOO 000000000*0000000 Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Věta o implicitní funkci - neformální pripomenutí Pokud máme zadánu funkci f(x) vzorcem y = f(x), hovoříme 0 jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = 0, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak 1 v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. ' Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce n = V*, y2 = -v* Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory OOOOOOOOOOOOOO 000000000*0000000 Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Věta o implicitní funkci - neformální pripomenutí Pokud máme zadánu funkci f(x) vzorcem y = f(x), hovoříme 0 jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x,y) = 0, kde závislá proměnná y představuje „neznámou" funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak 1 v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y'(x) (aniž bychom znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. ' Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce yi = Vfl Y2 = -v* Při derivování implicitně zadaných funkcí obsahuje výsledná derivace y' jak proměnnou x tak proměnnou y (na rozdíl od běžného derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Literaturd Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooootoooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oooooooooooo* Věta o implicitní funkci Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooooo»oooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooooo»oooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce y = f (x) = - pro všechna x. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooooo»oooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F(x,y) : E2 —> M hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x - s)2 + (y - ŕ)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce y = f (x) = - pro všechna x. Ve druhém případě umíme pouze pro [a, fa] splňující rovnici kružnice a b ^ t najít okolí bodu a, na kterém nastane jedna z možností: y = f (x) = t + y/(x — s)2 — r, y = f (x) = ŕ - y/(x - s)2 - r. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooo»ooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooo»ooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Navíc umíme spočítat i derivace: = 1 2(x~s) = x~s = _[x { ' 2 ^/(x - s)2 - r2 y-t Fy Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooo»ooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Body [s ± r, t] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r,t) = 0, což znamená, že tečna ke kružnici v těchto bodech je rovnoběžná s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Navíc umíme spočítat i derivace: = 1 2(x~s) = x~s = _[x { ' 2 ^/(x - s)2 - r2 y-t Fy Naopak, pokud budeme chtít najít závislost x = f (y) takovou, aby F(f(y),y) = 0, pak v okolí bodů (s ± r, ŕ) bez problémů uspějeme. Všimněme si, že v těchto bodech je parciální derivace Fx nenulová. Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo oooooooooooo»oooo ooooooo ooooooooooooc Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooooooo»oooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Pro funkci F(x,y) a bod [a, b] G E2 takový, že F(a, b) = 0, umíme najít funkci y = f(x) splňující F(x, f(x)) = 0, pokud je Fy(a, b) ý 0- V takovém případě umíme i vypočíst f'(x) = —Fx/Fy. Z následující věty plyne, že takto to platí vždy, navíc rozšířené i na libovolné počty proměnných. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooo»ooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Věta (O implicitní funkci) Necht F : En+\ —> M je spojitě diferencovatelná funkce na otevřeném okolí bodu [x*,y*] é f„ x K, ve kterém je F{x*,y*) = 0 a §^(x*,y*) 7^ 0. Potom existuje spojitá funkce f : En —> M definovaná na nějakém okolí U bodu x* g En taková, že F(x, f(x)) = 0 pro všechny x g U. Navíc má funkce f v okolí bodu x* parciální derivace splňující df_( , žg(*,f(x)) d« f(x,f(x))- Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooo»ooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Věta (O implicitní funkci) Necht F : En+\ —> M je spojitě diferencovatelná funkce na otevřeném okolí bodu [x*,y*] é f„ x K, ve kterém je F{x*,y*) = 0 a §^(x*,y*) 7^ 0. Potom existuje spojitá funkce f : En —> M definovaná na nějakém okolí U bodu x* g En taková, že F(x, f(x)) = 0 pro všechny x g U. Navíc má funkce f v okolí bodu x* parciální derivace splňující df_( , žg(*,f(x)) _d* %(xJ(x)Y_ Poslední tvrzení o derivaci přitom je dobře zapamatovalné (i pochopitelné) z výrazu pro diferenciál: 0 = dF = Fx dx + Fy dy = (Fx + Fyf\x)) dx. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooooooooo»oo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Příklad Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y), která je určena implicitně rovnicí F(x,y, z) = x2 + y2 + z2 — xz — \f2yz — 1 = 0. Řešení Derivováním rovnosti podle x a y dostáváme: 2x + 2z • zx — z — x • zx - V2yzx = 0 2y + 2z • zy — x • zy - - \Í2z — Vlyzy - = 0, odkud vyjádříme z - 2x V2z - 2y 2z — x — \/2y' 2z — x — Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory OOOOOOOOOOOOOO 000000000000000*0 Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = y/2y, a tedy y = \f2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, V2, 2] a [—1, —V2, —2]. V těchto bodech je Fz ý 0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: ___2___2 zz — x — V2y zz — x — V2y ■0 0.0 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory OOOOOOOOOOOOOO 000000000000000*0 Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = y/2y, a tedy y = \f2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, V2, 2] a [—1, — V2, —2]. V těchto bodech je Fz/0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: ___2___2 lz — x — y zy Iz — x — y zy Ve stacionárních bodech je Hf negativně, resp. pozitivně definitní, proto zde nastávají lokální maximum, resp. minimum funkce f. ■0 0.0 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooooooooooo* Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo oooooooooooooooo* Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). Věta (O implicitním zobrazení) Necht F : Em+n —> En je spojitě diferencovatelné zobrazení na otevřeném okolí bodu [x*,y*] G Em x En = Em+n, v němž platí F{x*,y*) = 0 a det DyF ^ 0. Potom existuje spojitě diferencovatelné zobrazení G : Em —^ En definované na nějakém okolí U bodu x* G Em s obrazem G(U), který obsahuje bod y*, a takové, že F(x, G(x)) = 0 pro všechny x G U. Navíc je Jacobiho matice D1G zobrazení G na okolí bodu x* zadána součinem matic D1G{x) = -{DlF)-\x, G(x)) • DlF{x, G(x)). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooooc Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Zobrazení mezi euklidovskými prostory o Zobrazení a transformace • „Chain Rule" • Věta o inverzním zobrazení • Implicitně zadaná zobrazení Tečny a normály k implicitně zadaným plochám • Gradient funkce • Tečné a normálové prostory Vázané extrémy • Metoda Lagrangeových multiplikátorů • Speciální optimalizační metody Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy •oooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Definice Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... , x„) : En —> M se vektor V^xi''"' dxn/ nazývá gradient funkce f. V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy •oooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Definice Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... , x„) : En —> M se vektor V^xi''"' dxn/ nazývá gradient funkce f. V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Rovnost f(xi,... , x„) = b s pevnou hodnotou b g M zadává podmnožinu M c En, která mívá vlastnosti (n — l)-rozměrné nadplochy. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy •oooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... , x„) : En —> M se vektor V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Rovnost f(xi,... ,x„) = b s pevnou hodnotou b g M zadává podmnožinu M c En, která mívá vlastnosti (n — l)-rozměrné nadplochy. Přesněji: pokud je vektor parciálních derivací nenulový, můžeme lokálně množinu M popsat jako graf spojitě diferencovatelné funkce v n — 1 proměnných. nazývá gradient funkce f. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy •oooooo Vázané extrémy ooooooooooooc Pro spojitě diferencovatelnou funkci f{x\,... , x„) : En —> M se vektor V technické a fyzikální literatuře se často zapisuje také jako grad f. Rovnost f(xi,... , x„) = b s pevnou hodnotou b g M zadává podmnožinu M c En, která mívá vlastnosti (n — l)-rozměrné nadplochy. Přesněji: pokud je vektor parciálních derivací nenulový, můžeme lokálně množinu M popsat jako graf spojitě diferencovatelné funkce v n — 1 proměnných. Hovoříme v této souvislosti také o úrovňových množinách Mt, (analogie vrstevnic v př. n = 2). nazývá gradient funkce f. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy o«ooooo Vázané extrémy oooooooooooo* Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mt, se bude diferenciál df vždy vyčíslovat nulově: f(c(t)) = b pro všechna t, proto ±-f(c(t)) = df(c'(t)) = 0. id> <1> « o^o Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy 0*00000 Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mt, se bude diferenciál df vždy vyčíslovat nulově: f(c(t)) = b pro všechna ŕ, proto ±f(c(t)) = df(c'(t)) = 0. Pro obecný vektor v = (i/i,..., vn) g En je velikost příslušné směrové derivace funkce f: dvf\ df ■1/1 + + df (df, v) = cos^||dr|||M| dxi dxn kde tp je odchylka vektoru v od gradientu funkce f. Dokázali jsme: Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy 0*00000 Vázané extrémy ooooooooooooc Na derivacích křivek ležících v úrovňové množině Mt, se bude diferenciál df vždy vyčíslovat nulově: f(c(t)) = b pro všechna t, proto ±f(c(t)) = df(c'(t)) = 0. Pro obecný vektor v = (i/i,..., vn) g En je velikost příslušné směrové derivace funkce f: dvf\ df df (df, v) = cos tp\\ df\\|| v\\ dxi dxn kde tp je odchylka vektoru v od gradientu funkce f. Dokázali jsme: Směr zadaný gradientem v bodě x = (xi,..., x„) je právě ten směr, ve kterém funkce f nejrychleji roste. Tečná rovina k neprázdné úrovňové množině v okolí jejího bodu s nenulovým gradientem df je určena ortogonálním doplňkem ke gradientu. ■0 0.0 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy oo»oooo Vázané extrémy ooooooooooooc Násobkům gradientu v tomto případě říkáme normálový vektor nadplochy M^. Věta Pro funkci f n proměnných a bod P = (ai,..., an) g v jehož okolí je Mt, grafem funkce (n — 1) proměnných je implicitní rovnice pro tečnou nadrovinu 0 = J^(P) • (*i - ai) + • • • + • {xn - a„). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooo^ooo Vázané extrémy ooooooooooooc Pro 2D povrch známe směr v dopadu světla, tj. máme množinu M zadanou implicitně rovnicí f(x,y,z) = 0 a vektor v. Intenzitu osvětlení bodu P g M pak definujme jako Iq cos ip, kde ip je úhel mezi normálou zadanou gradientem a vektorem opačným ke směru světla. (Znaménko říká, kterou stranu plochy osvětlujeme, /oje tzv. svítivost.) Např. v = (1,1, —1) (tj. „šikmo dolů") a f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 1. Pro bod P = (x, y, z) e M l(P) grad f ■ v 2x - 2y + 2z 2~7! ||gradf|||K Dle očekávání je plnou intenzitou Iq osvětlen bod P = -js{—1, —1,1) na povrchu koule. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy oooo»oo Vázané extrémy ooooooooooooc Obecné dimenze: funkce F = (fi,..., fn) : Em+n -í£„an rovnic //(xi,..., xm+n) = b,-, i = 1,..., n. Dle věty o implicitní funkci je „většinou" množina všech řešení (xi,... ,xm+n) grafem zobrazení G : Em —> En. Pro pevnou volbu b = (£>i,..., bn) je samozřejmě množinou M všech řešení průnik nadploch M{b;,fj) příslušejících jednotlivým rovnicím f, = b\. Totéž platí pro tečné směry a normálové směry: Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy OOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOO OOOO0OO ooooooooooooc Tečné a normálové prostory Obecné dimenze: funkce F = (fi,..., fn) : Em+n -í£„an rovnic //(xi,..., xm+n) = b,-, i = 1,..., n. Dle věty o implicitní funkci je „většinou" množina všech řešení (xi,... ,xm+n) grafem zobrazení G : Em —> En. Pro pevnou volbu b = (£>i,..., bn) je samozřejmě množinou M všech řešení průnik nadploch M{b;,fj) příslušejících jednotlivým rovnicím f, = b\. Totéž platí pro tečné směry a normálové směry: Afinní podprostor v Em+n obsahující právě všechny tečny k M bodem P dán rovnicemi: df df 0 = —^-(P) • (xi - ai) + • • • + —±-{P) ■ {xm+n - am+n) r)f r)f 0 = -±(P) • (xi - 3l) + • • • + -ÍL(P) • (xm+n - am+n). ůx\ oxn (P)(c'(0)) = 0. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy •oooooooooooc Metoda Lagrangeových multiplikátorů V předchozím příkladu jsme viděli, že normálový vektor (tj. gradient) funkce, k níž hledáme extrém, musí být ve vyšetřovaném bodě prvkem normálového prostoru k ploše (v temže bodě). Toto samozřejmě platí i obecně. Pokud je M ve všech svých bodech grafem hladkého zobrazení, musí být každý extrém P g M stacionárním bodem, tj. pro každou křivku c(ŕ) c M procházející přes P = c(0) musí být h(c(t)) extrémem pro tuto funkci jedné proměnné. Proto musí platit ^/i(c(t))|t=o = dc(o)h(P) = d/>(P)(c'(0)) = 0. Tato vlastnost je ekvivalentní tvrzení, že gradient h leží v normálovém podprostoru (přesněji v jeho zaměření). Takové body P g M budeme nazývat stacionární body funkce h vzhledem k vazbám F. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy o«>ooooooooooc V praxi mívají optimalizační úlohy často m + n parametrů, které jsou vázány n podmínkami. V našem jazyce diferenciálního počtu tedy hledáme extrémy spojitě diferencovatelné funkce h na množině bodů M zadaných implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0 (F : Em+n —> En). Normálový prostor k naší množině M je generován řádky Jacobiho matice zobrazení F a stacionární body jsou proto ekvivalentně určeny následujícím tvrzením, kterému se říká metoda Lagrangeových multiplikátorů: Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ©•ooooooooooc V praxi mívají optimalizační úlohy často m + n parametrů, které jsou vázány n podmínkami. V našem jazyce diferenciálního počtu tedy hledáme extrémy spojitě diferencovatelné funkce h na množině bodů M zadaných implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0 (F : Em+n —> En). Normálový prostor k naší množině M je generován řádky Jacobiho matice zobrazení F a stacionární body jsou proto ekvivalentně určeny následujícím tvrzením, kterému se říká metoda Lagrangeových multiplikátorů: Věta Nechi F = (fi,... ,fn) : Em+n —> En je spojitě diferencovatelná v okolí bodu P, F(P) = 0 a M je zadána implicitně rovnicí F(xi,... ,xm+n) = 0, přičemž hodnost matice D1F v bodě P je n. Pak P je stacionárním bodem spojitě diferencovatelné funkce h : Em+n —> M právě, když existují reálné parametry Ai,..., A„ takové, že grad h = X1 grad f\ -\-----h A„ grad fn. 00.0 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oo»oooooooooc Všimněme si počtu neznámých a rovnic v tomto algoritmu: gradienty jsou vektory o m + n souřadnicích, tedy požadavek z věty dává m + n rovnic. Jako neznámé máme jednak souřadnice xi,... ,xm+n hledaných stacionárních bodů P, ale navíc také n parametrů A/ v hledané lineární kombinaci. Zbývá však požadavek, že hledaný bod P patří implicitně zadané množině M, což představuje dalších n rovnic. Celkem tedy máme 2n + m rovnic pro 2n + m proměnných a proto lze očekávat, že řešením bude diskrétní množina bodů P (tj. každý z nich bude izolovaným bodem). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooo^ooooooooc Výklad o vázaných extrémech jsme začali tím, že pro nalezení absolutních extrémů funkce na kompaktní množině často potřebujeme vyšetření extrémů na množině bodů vázaných nějakou podmínkou. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy ooo^ooooooooc Výklad o vázaných extrémech jsme začali tím, že pro nalezení absolutních extrémů funkce na kompaktní množině často potřebujeme vyšetření extrémů na množině bodů vázaných nějakou podmínkou. Ilustrujme si to na příkladu: Příklad Maximalizujte ŕ(x,y) = 2x + y za podmínky ^- + y2 < 1 Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oooo»oooooooc Řešení Množina určená vazební podmínkou je uzavřená a ohraničená, proto zde nabývá jakákoliv spojitá funkce svých extrémů, a to bud' ve stacionárních bodech nebo na hranici. Snadno se ale přesvědčíme (df(x,y) = (2,1)), že uvnitř množiny extrémy nejsou. Proto maximalizujeme funkci f za podmínky ^- +y2 = 1. ■0 0.o Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oooo»oooooooc Řešení Množina určená vazební podmínkou je uzavřená a ohraničená, proto zde nabývá jakákoliv spojitá funkce svých extrémů, a to bud' ve stacionárních bodech nebo na hranici. Snadno se ale přesvědčíme (df(x,y) = (2,1)), že uvnitř množiny extrémy nejsou. Proto maximalizujeme funkci f za podmínky ^- +y2 = 1. Sestrojíme Lagrangeovu funkci L(x, y, A) = 2x + y - A(^- + y2 - 1). Pak dostáváme: 0 = Lx = 2 - A^ 0 = Ly = l-2Xy o = i- + /-i. ■0 0.o Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy oooo»oooooooc Množina určená vazební podmínkou je uzavřená a ohraničená, proto zde nabývá jakákoliv spojitá funkce svých extrémů, a to bud' ve stacionárních bodech nebo na hranici. Snadno se ale přesvědčíme (df(x,y) = (2,1)), že uvnitř množiny extrémy nejsou. Proto maximalizujeme funkci f za podmínky ^- +y2 = 1. Sestrojíme Lagrangeovu funkci L(x, y, A) = 2x + y - A(4- + y2 - 1). Pak dostáváme: 0 0 ° = T + y 2Xy 1. Odtud snadno x = j, y = a tedy A = ^L,x = -^,y = (resp. A 17 17' pro minimum). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooo»ooooooc Speciální optimalizační metody Zmiňme se jen ve stručnosti o speciálních optimalizačních technikách, které se v dnešní praxi používají. Zájemce o bližší seznámení s nimi můžeme odkázat na další předměty MU, např.: • Optimalizace - PřF: M0160 (jaro) • Optimalizace - PV027 (podzim) • Lineární programování - PřF: M4110 (jaro) • Matematické programování - PřF: M5170 (podzim) Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy OOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOO OOOOOO0OOOOOC Metoda gradientu Již dříve jsme zmínili, že funkce nejrychleji roste ve směru gradientu (a nejrychleji klesá ve směru opačném) - proto je přirozené se při hledání maxima vydat z daného bodu ve směru gradientu (analogie chození do kopce nejprudším svahem). Otázka je, jak dlouho "jít"a jak často gradient počítat. Iterace: xn+i = xn + 7n grad f(xn), pro dostatečně malé 7,,, aby f(xn+i) > f(xn). Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy OOOOOOOOOOOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOO OOOOOOO OOOOOO0OOOOOC Metoda gradientu Již dříve jsme zmínili, že funkce nejrychleji roste ve směru gradientu (a nejrychleji klesá ve směru opačném) - proto je přirozené se při hledání maxima vydat z daného bodu ve směru gradientu (analogie chození do kopce nejprudším svahem). Otázka je, jak dlouho "jít"a jak často gradient počítat. Iterace: xn+í = xn + 7n grad f(xn), pro dostatečně malé 7,,, aby f(xn+i) > f(xn). Problémy: • náročný opakovaný výpočet 7, • velký počet iterací v případě velmi různorodé křivosti v různých směrech; např Rosenbrockova banánová funkce -f{x,y) = (l-x)2 + 100(y-x2)2. k, kde x\ > 0,..., xn > 0. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooo»c Simplexová metoda Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooo»c Simplexová metoda Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Úvodní fáze spočívá v nalezení nějakého vrcholu na polytopu (zobecnění polyedru na více dimenzí), který je tvořen body vyhovujícími podmínkám. V dalších krocích postupuje po hranách do vrcholů s vyšší hodnotou účelové funkce. Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory Implicitní plochy Vázané extrémy oooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooo ooooooooooo»c Simplexová metoda Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Úvodní fáze spočívá v nalezení nějakého vrcholu na polytopu (zobecnění polyedru na více dimenzí), který je tvořen body vyhovujícími podmínkám. V dalších krocích postupuje po hranách do vrcholů s vyšší hodnotou účelové funkce. Sice je ukázán příklad podmínek, kdy simplexová metoda projde nešikovně všech 2" vrcholů (jde o příklad zborcené n-rozměrné krychle), a tedy metoda je v nejhorším případě exponenciální, ale v praxi je obvykle pozoruhodně úspěšná (kolem roku 2000 bylo dokázáno, že očekávaný čas běhu na náhodném vstupu je polynomiální). Literatura Extrémy Zobrazení mezi prostory oooooooooooooo ooooooooooooooooo Implicitní plochy ooooooo Vázané extrémy OOOOOOOOOOOOi Příklad Maximalizujte f = 2x — 3y + 4z za podmínek 4x - 3y + z < 3 x + y + z < 10 2x + y-z < 10 x > 0,y > 0,z > 0.