Literatura Integrální počet funkcí více proměnných ooooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Matematika III - 7. přednáška Integrální počet funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 31. 10. 2012 Q Literatura Q Integrální počet funkcí více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerické metody • Interpolace vs. aproximace • Numerické derivování • Numerická kvadratura (integrování) Q Literatura Q Integrální počet funkcí více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerické metody • Interpolace vs. aproximace • Numerické derivování • Numerická kvadratura (integrování) • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Roman Pich, Petra Šarmanová, Petr Sojka, Integrálni počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů, PřF MU, 2009, https://is.muni.cz/auth/do/1499/el/estud/prif/ js09/integral/Integraly_funkce_promenne.pdf. • Plch Roman, Šarmanová Petra, Interaktivní hry k oživení výuky dvojných a trojných integrálů, VSB-TUO, 2010, http://goo.gl/h98DD. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Roman Pich, Petra Šarmanová, Petr Sojka, Integrálni počet funkcí více proměnných - interaktivní sbírka příkladů, PřF MU, 2009, https://is.muni.cz/auth/do/1499/el/estud/prif/ js09/integral/Integraly_funkce_promenne.pdf. • Plch Roman, Šarmanová Petra, Interaktivní hry k oživení výuky dvojných a trojných integrálů, VSB-TUO, 2010, http://goo.gl/h98DD. • Předmětové záložky v IS MU • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Emil Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987. Q Literatura Q Integrální počet funkcí více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerické metody • Interpolace vs. aproximace • Numerické derivování • Numerická kvadratura (integrování) Potřebu zavedení integrálu více proměnných motivujeme výpočtem objemu prostoru pod grafem funkce z = f(x, y) dvou proměnných. Pracujeme s děleními na vícerozměrné intervaly v obou proměnných a s hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Potřebu zavedení integrálu více proměnných motivujeme výpočtem objemu prostoru pod grafem funkce z = f(x, y) dvou proměnných. Pracujeme s děleními na vícerozměrné intervaly v obou proměnných a s hodnotami reprezentujícími výšku grafu nad tímto obdélníčkem v rovině. Říkáme, že (dvojný) integrál existuje, jestliže pro každou volbu posloupnosti dělení E (nyní v obou proměnných zároveň) a reprezentantů jednotlivých obdélníčků s maximální velikostí mezi všemi použitými intervaly jdoucí k nule, budou integrální součty Šíj e x [yj,yj+i] c m2 konvergovat k jedné hodnotě, kterou zapisujeme f^f{x,_y) d£ dy.. ■0 0.0 Literatura Integrální počet funkcí více proměnných o«ooooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G [ip(x),tp(x)], poté rozsah další souřadnice z G [i](x, y), ((x, y)] atd. (Zejména tedy i případy, kdy jsou funkce tp,7p,r],( konstantní.) Integrální počet funkcí více proměnných Numerické metody o»ooooooooooooooooo ooooooooooooooc Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G [ip(x),tp(x)], poté rozsah další souřadnice z G [i](x, y), ((x, y)] atd. (Zejména tedy i případy, kdy jsou funkce tp,7p,r],( konstantní.) Věta (Fubiniova) V případě množiny S zadané jako výše a Riemannovsky integrovatelné funkce f na S je Riemannův integrál vyčíslen formulí J f(x,y,...,z)dx...dz l-ri(x,y,...) f(x,y,... ,z)dz .. .dy dx Literatura Integrální počet funkcí více proměnných oo»oooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Přímým důsledkem pro konstatní funkce je: Věta Pro vícerozměrný interval S = [ai, b\\ x [32, 62] x ... x [an, bn] a spojitou funkci f(xi,..., x„) na S je násobný integrál J f(xi, ...,xn) dxi... dxn = nezávislý na pořadí, ve kterém postupně integraci provádíme. Literatura Integrální počet funkcí více proměnných ooo«ooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál l=í 3(x-l)2 + (y-2)2 + 2 dxdy. J[0,l]x[0,3] Literatura Integrální počet funkcí více proměnných ooo«ooooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál l=í 3(x-l)2 + (y-2)2 + 2 dxdy. J[0,l]x[0,3] Řešení S využitím předchozí věty dostáváme ' = Iq {Iq 3^ ~ + ^ ~ 2^ + 2 ^ = = /'3[(x-l)3+x(y-2)2 + 2x]^0 dy J o = / (y - 2)2 + 3 dy = [\{y - 2)3 + 3y]3 = 12 Jo Stejný výsledek dostaneme i při integraci v opačném pořadí. ■0 0.0 Literatura Integrální počet funkcí více proměnných 0000*00000000000000 Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Literatura Integrální počet funkcí více proměnných 0000*00000000000000 Numerické metody ooooooooooooooc Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál / = J xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0, 0] a [1,1], přičemž pro x £ [0,1] je x2 < x. Integrální počet funkcí více proměnných oooo»oooooooooooooo Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0, 0] a [1,1], přičemž pro x £ [0,1] je x2 < x. Proto je / X X T ~ "8 1 40' Literatura Integrální počet funkcí více proměnných ooooo»ooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Záměna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Literatura Integrální počet funkcí více proměnných ooooo»ooooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Záměna souřadnic pri integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Integrovaný výraz f(x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f(x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(t), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako dx = —dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f{u{t))ftdt, přičemž bud' předpokládáme, že znaménko derivace u'(t) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. 5 oa,o Literatura Integrální počet funkcí více proměnných oooooo»oooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integrat ion_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). Literatura Integrální počet funkcí více proměnných oooooo»oooooooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integrat ion_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). Věta Nechť G(ri,..., tn) : En ->• En, [xi,... ,xn] = G(ri,..., tn), je spojitě diferencovatelné zobrazení, T a S = G(T) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S —> M spojitá funkce. Potom platí f(x1,... ,x„) dxi.. .x„ = J f (G(ti,..., t„))| det^G^,..., řn))|t/ři... 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcostp, y = r sin tp, z = z, 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Literatura Integrální počet funkcí více proměnných 0000000000*00000000 Numerické metody ooooooooooooooc Časté transformace souřadnic v E$ Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tp, z]; r > 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcostp, y = r sin tp, z = z, Integrální počet funkcí více proměnných Numerické metody ooooooooooo»ooooooo ooooooooooooooc Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tp, z]; r > 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcostp, y = rsmtp, z = z, (V = y/x2 +y2,tg(p = ^,z = z) , Literatura Integrální počet funkcí více proměnných ooooooooooo»ooooooo Numerické metody ooooooooooooooc Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tp, z]; r > 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcosíp, y = r sin ip, z = z, y x r = ^/x2+y2,tg(p = -,z = z), a tedy ^cos 0, ip G [0, 2ir), z G M} —> E3 je dáno předpisem x = rcosíp, y = r sin ip, z = z, y x r = ^/x2+y2,tg(p = -,z = z), a tedy ^cos]; r > 0, 6 e [0,vr],• E3 je dáno předpisem x = r sin cos ]; r > 0, 6 e [0,vr],• E3 je dáno předpisem x = r sin cos ]; r > 0, 6 e [0,vr],• E3 je dáno předpisem x = r si n 0 cos ]; r > 0, 9 G [0, vr], G [0,2tt)} - ■> ^3 je dáno předpisem x = r sin ^ cos p, y = r sin ^sin z = r cos r = yV +y2 + ^2,tg(^ = -,cos0 = Z = a tedy (sin#cos/? — rsin #sin p sin 0 siní/? rcos#sin(*/)-y/)2 byla minimální. Literatura Integrální počet funkcí více proměnných ooooooooooooooooooo Numerické metody ooooo»ooooooooc Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([xi,yi],..., [x„,yn\) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Hledáme tedy funkci tvaru f(x) = a • x + b s neznámými a, b G M tak, aby hodnota X>(*/)-y/)2 byla minimální. S využitím diferenciálního počtu lze snadno odvodit následující tvrzení. Mezi přímkami tvaru f(x) = a ■ x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x\,..., x„ od hodnot y funkce splňující y"x/ + Ď-n = ^ y/ x/y/ 00.0 Integrální počet funkcí více proměnných Numerické metody ooooooooooooooooooo oooooo»oooooooc Metoda nejmenších čtverců Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Integrální počet funkcí více proměnných Numerické metody ooooooooooooooooooo oooooo»oooooooc Metoda nejmenších čtverců Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy x2 1 1.5 1.5 1 2 1.6 3.2 4 3 2.1 6.3 9 4 3 12 16 10 8.2 23 30 00.O Integrální počet funkcí více proměnných Numerické metody ooooooooooooooooooo oooooo»oooooooc Metoda nejmenších čtverců Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1.5 1.6 2.1 3.0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy x2 1 1.5 1.5 1 2 1.6 3.2 4 3 2.1 6.3 9 4 3 12 16 10 8.2 23 30 Odtud a = 0,5, b = 0,8. Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Pro výpočet odhadu k-té derivace funkce v daném bodě, známe-li hodnoty této funkce v několika bodech, lze využít interpolaci této funkce, např. Lagrangeův interpolační polynom. V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f'(x)^-h(f(x + h)-f(x)), V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f'(x)^-h(f(x + h)-f(x)), f'{x)~±-h{f{x + h)-f{x-h)) V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f'(x)^-h(f(x + h)-f(x)), f'(x)^^-h(f(x + h)-f(x-h)), nebo pětibodový vzorec f'{x) « ^ (-f(x + 2/i) + 8f{x + />) - 8f{x -h) + f{x - 2/i)).