Matematika III ukázková
AJ
(UČO: )
Semestr	1.	2.	3.	4.	E
					
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Potřebné minimum (včetně semestru) je 20 bodů.
Na práci máte 90 minut.
Příklady: 1
(5 bodů) Určete globální extrémy funkce f(x,y) = x + 2xy — Ax + 8y na množině určené podmínkami 0 < x < 1,0 < y < 2. Určete, v kterém případě jde o maximum, resp. o minimum, a vše podrobně zdůvodněte.
(5 bodů) Určete souřadnice těžiště homogenní destičky, ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 2.
(5 bodů) Pomocí Ford-Fulkersonova algoritmu (prohledávání do hloubky, vrcholy volte vzestupně podle čísel) nalezněte maximální tok v síti na množině vrcholů {1, 2,..., 9} se zdrojem 1 a stokem 9. Nalezněte minimální řez v této síti. Jednotlivé kroky svého postupu podrobně popište. Hrany e G E , dolní omezení, resp. horní omezení na tok danou hranou (d(e), resp. h(e)) a současný tok na dané hraně f(e) jsou uvedeny v tabulce:
e	d(e)	h{e)	m
(1,2)	0	6	0
(1,3)	0	6	0
(1,6)	0	4	0
(2,3)	0	2	0
(2,4)	0	3	0
(3,4)	0	4	0
(3,5)	0	4	0
(4,5)	3	5	4
(4,8)	0	3	0
e	d(e)	h{e)	m
(5,1)	0	3	0
(5,6)	0	6	0
(5,7)	0	5	4
(5,8)	0	5	0
(6,9)	0	5	0
(7,4)	1	6	4
(7,9)	0	3	0
(8,9)	0	9	0
4. (5 bodů) Určete kolika způsoby je možné naplnit tašku n kusy uvedených druhů ovoce, přičemž jednotlivé kusy téhož druhu nerozlišujeme, nemusí být využity všechny druhy a navíc:
• jablek musí být libovolný počet,
• banánů musí být sudý počet,
• hrušek musí být násobek 4,
• pomeranče mohou být nejvýše 3 a
• avokádo může být pouze jedno (nebo žádné),
• rajče je zelenina, která do tašky (pouze pro účely této úlohy) nepatří.
(Nápověda: vytvořující funkce)