10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška DDD příklad uco body D IE3H5E1B3 Grafy (5 bodů): Problém čínského pošťáka v hranově ohodnoceném Příklad 1 neorientovaném grafu je problémem nalezení nejkratšího uzavřeného sledu, který obsahuje každou hranu v grafu. Nalezněte řešení tohoto problému pro graf na obrázku. Postup (včetně výsledku) vhodným způsobem zapište. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška 000 l příklad , 2 příklad l j I— učo c j c j l j l j l j l j l j body c j l j l j _D IB3H5ElBg Aplikace integrálů (6 bodů): Určete hmotnost a souřadnice těžiště tělesa, PffJ^J^fJ 2 které je tvořeno částí mezikruží 1 < x2 + y2 < 16, ležící v polorovině určené nerovností x < 0, je-li hustota v bodě [x,y] rovna 2U 2. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška 000 l příklad , 3 příklad l j —I učo c j c j l- j ľ j ľ j ľ j ľ j body c j ľ j ľ j _D IB3H5ElBg Funkce více proměnných (6 bodů): Drát délky £ je rozdělen na 3 části. PffJ^J^fJ 3 Z jedné části je vytvořen kruh, z druhé čtverec a ze třetí rovnostranný trojúhelník (vždy stočením vytvoříme obvod příslušného útvaru). Určete délky jednotlivých částí tak, aby celková plocha omezená těmito útvary byla maximální (tj. sestavte funkci pro obsah vymezených ploch a najděte její lokální i absolutní extrémy). Výsledek interpretujte. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: A Místnost: 1. zkouška 000 l příklad , H příklad l ■_, l I učo c j c -_, u j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ ľ j _D IB3H5ElBg Grafy (3 body): Příklad 4 (a) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) ohodnoceného grafu na třech vrcholech, na němž dá Dijkstrův algoritmus chybný výsledek. (b) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) nerovinného grafu, který neobsahuje kružnici. (c) Dokažte, že existuje graf s 12 vrcholy a 28 hranami takový, že stupeň každého vrcholu bude 3 nebo 5. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška DDDE příklad uco body D IE3H5E1B3 Grafy (5 bodů): Uveďte Floyd-Warshallův algoritmus pro nalezení Příklad 1 nejkratších cest mezi všemi dvojicemi vrcholů a zformulujte vztah, na němž je myšlenka algoritmu založena. Tento algoritmus použijte na orientovaný graf na obrázku. Jednotlivé mezivýpočty zapisujte do matic. Udržujte zároveň všechny potřebné údaje ke konstrukci nejkratších cest a určete pomocí nich nejkratší cestu z 2 do 4. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška D D D Ě příklad , 2 příklad l j I— učo c j c j l j l j l j l j l j body c j l j l j _D IE3H5E1B9 Aplikace integrálů (6 bodů): Určete hmotnost a souřadnice těžiště tělesa, PffJ^J^fJ 2 které je tvořeno částí mezikruží 4 < x2 + y2 < 36, ležící v polorovině určené nerovností x < 0, je-li hustota v bodě [x,y] rovna 2U 2. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška D D D Ě příklad , 3 příklad l j —I učo c j c j ľ j ľ j ľ j ľ j ľ j body c j ľ j ľ j _D IE3H5E1B9 Funkce více proměnných (6 bodů): Uvažte funkci z = z(x,y) Příklad 3 zadanou v okolí bodu [1,1, —1] implicitně předpisem z3 — 2xyz — x2y = 0. (a) Zapište diferenciál dz (jako funkci dx, dy) v bodě [1,1]. (b) Zapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce z v bodě [1,1]. (c) Pomocí lineární aproximace odhadněte hodnotu /(0,9; 1,2). (d) Určete směrovou derivaci z v bodě [1,1] ve směru vektoru ( — 1,2). (e) Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce z(x,y) se středem v [1,1]. (f) Uveďte podmínku (ve tvaru polynomiální rovnice v proměnných x, y, z) pro to, aby v obecném bodě [x, y, z] byla zadaným předpisem určená funkce z(x, y). Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: B Místnost: 1. zkouška DDDE :»H příklad l ■_, l I učo c j c ľ j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ ľ j _D IB3H5ElBg Grafy (3 body): Příklad 4 (a) Uveďte příklad grafu na alespoň 4 vrcholech, pro který nedá Borůvkův algoritmus správný výsledek. (b) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte neexistenci) souvislého nerovinného grafu, který není hamiltonovský. (c) Dokažte, že z Oreho věty plyne věta Diracova. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška nana příklad uco body D IE3H5E1B3 Grafy (5 bodů): Problém čínského pošťáka v hranově ohodnoceném Příklcld 1 neorientovaném grafu je problémem nalezení nejkratšího uzavřeného sledu, který obsahuje každou hranu v grafu. Nalezněte řešení tohoto problému pro graf na obrázku. Postup (včetně výsledku) vhodným způsobem zapište. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška D D D 3 příklad , 2 příklad l j I— učo c j c j l j l j l j l j l j body c j l j l j _D IE3H5E1B9 Aplikace integrálů (6 bodů): Určete hmotnost a souřadnice těžiště tělesa, PffJ^J^fJ 2 které je tvořeno částí mezikruží 9 < x2 + y2 < 16, ležící v horní polorovině 2 (y > 0), je-li hustota v bodě [x,y] rovna ^ 2. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška D D D 3 příklad , 3 příklad l j —I učo c j c j ľ j ľ j ľ j ľ j ľ j body c j ľ j ľ j _D IE3H5E1B9 Funkce více proměnných (6 bodů): Drát délky £ je rozdělen na 3 části. Pj*iJ^}^(J 3 Z jedné části je vytvořen kruh, z druhé čtverec a ze třetí rovnostranný trojúhelník (vždy stočením vytvoříme obvod příslušného útvaru). Určete délky jednotlivých částí tak, aby celková plocha omezená těmito útvary byla minimální (tj. sestavte funkci pro obsah vymezených ploch a najděte její lokální i absolutní extrémy). Výsledek interpretujte. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: C Místnost: 1. zkouška DDD3 :»H příklad l ■_, l I učo c j c ľ j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ ľ j _D IS3H5ElBg Grafy (3 body): Příklad 4 (a) Rozhodněte (a zdůvodněte), zda existuje strom s kódem 00011001111001. (b) Uveďte příklad grafu se šesti vrcholy, který je vrcholově i hranově právě 2-souvislý. (c) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) hamiltonovského grafu, jehož uzávěrem (ve smyslu Bondy-Chvátalovy věty) není úplný graf. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013 MB103 Matematika III Čas: 100 minut Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška DDDH příklad uco body D IE3H5E1B3 Grafy (5 bodů): Uveďte Floyd-Warshallův algoritmus pro nalezení Příklcld 1 nejkratších cest mezi všemi dvojicemi vrcholů a zformulujte vztah, na němž je myšlenka algoritmu založena. Tento algoritmus použijte na orientovaný graf na obrázku. Jednotlivé mezivýpočty zapisujte do matic. Udržujte zároveň všechny potřebné údaje ke konstrukci nejkratších cest a určete pomocí nich nejkratší cestu z 3 do 1. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška DDDH :»B příklad l j I— učo c j c j l j l j l j l j l j body c j l j l j _D IE3H5E1B9 Aplikace integrálů (6 bodů): Určete hmotnost a souřadnice těžiště tělesa, PffJ^l^fJ 2 které je tvořeno částí mezikruží 1 < x2 + y2 < 25, ležící v horní polorovině 2 (y > 0), je-li hustota v bodě [x,y] rovna ^ 2. Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška DDDH =B příklad l j —I učo c j c j ľ j ľ j ľ j ľ j ľ j body c j ľ j ľ j _D IE3H5E1B9 Funkce více proměnných (6 bodů): Uvažte funkci z = z(x,y) Příklad 3 zadanou v okolí bodu [1, 0,1] implicitně předpisem x3 + 2y3 + z3 - 3xyz - x - 2y - z = 0. (a) Zapište diferenciál dz (jako funkci dx, dy) v bodě [1,0]. (b) Zapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce z v bodě [1,0]. (c) Pomocí lineární aproximace odhadněte hodnotu /(0,9; —0,04). (d) Určete směrovou derivaci z v bodě [1,0] ve směru vektoru (—2,1). (e) Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce z(x,y) se středem v [1,0]. (f) Uveďte podmínku (ve tvaru polynomiální rovnice v proměnných x, y, z) pro to, aby v obecném bodě [x, y, z] byla zadaným předpisem určená funkce z(x, y). Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu. 10. ledna 2013_MB103 Matematika III_Cas: 100 minut Jméno: Skupina: D Místnost: 1. zkouška D D D H příklad , H příklad ĺ ■_, ĺ I učo c j c -_, u j ľ j ľ ľ j ľ j body c ľ ľ j _D IS3H5ElBg Grafy (3 body): Příklad 4 (a) Udejte příklad souvislého grafu se šesti vrcholy, který není eulerovský ani hamiltonovský. (b) Uveďte příklad (nebo zdůvodněte, že neexistuje) hranově ohodnoceného grafu, který není stromem a má jednoznačně určenou minimální kostru, přestože ohodnocení není prostá funkce. (c) Dokažte, že K5 není rovinný (bez použití Kuratowského věty). Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.